Tarea 3 Matemáticas Discretas Soluciones

Transcripción

1 Tarea 3 Matemáticas Discretas Soluciones. (a) Pruebe por inducción que n n < n! para n suficientemente grande (esto es existe un n 0, tal que la desigualdad es cierta para n n 0 ). Como parte de la prueba determine un tal valor para n 0. Solución. Calculando los primeros valores, se encuentra que la desigualdad se satisface por primera vez para n 8: y 8! Esto es el caso base. Para probar que se satisface para n 8 usamos inducción. Asumimos como hipótesis de inducción que para n con n 8 se tiene que n n < n! y deducimos la desigualdad para n + a continuación. Comenzamos escribiendo (n + ) (n + ) n Queremos tener n para poder aplicar la hipótesis de inducción. Una alternativa es forzarlo multiplicando y dividiendo por n : n n (n + ) n Por hipótesis de inducción podemos acotar la primera parte por n! y obtener (n + ) (n + ) < n! n Para concluir que esto es menor que n! es suficiente obtener la desigualdad (n + ) n < n + lo cual parece bien posible porque (n + ) /n no es muy grande; de hecho (incluso se podría acotar por ): (n + ) n < 4 porque desarollando el cuadrado y despejando se obtiene n + n + < 4n.

2 Esta última desigualdad es cierta porque n < n y < n. Así que puesto que n 8. (n + ) < n! 4 < (n + )! Ya habiendo llegado a una solución, uno puede escribirlo en forma más directa: (n + ) < 4n n porque (n + ) < n para n 8 8n n < 8n! usando la hipótesis de inducción < (n + )! porque 8 < n + para n 8 donde la desigualdad usada en la primera línea es cierta porque n < n, < n y entonces (n + ) n + n + < n + n + n 4n. (b) Pruebe por inducción que n k (n ) + n n(n + )(n + ). ( ) Solución. Caso base: Para n se tiene que la suma en la derecha es, y la expresión en la izquierda es (/)()(3). Hipótesis de inducción: Asumimos que la igualdad es válida para n. Paso de inducción: Probamos que la igual es válida para n + : k n k + (n + ) n(n + )(n + ) + (n + ) usando la hipótesis de inducción (n + )(n(n + ) + (n + )) factorizando (n + )(n + 7n + ) simplificando (n + )(n + )(n + 3) factorizando (n + )((n + ) + )((n + ) + ) que es la expresión de la derecha en ( ) con n reemplazado con n +.

3 . (a) Pruebe por inducción que n! < n para n suficientemente grande (vea problema anterior para aclarar el significado de esto). Solución. Caso base: Para n se tiene que el valor de n! es, y el valor de n es. Hipótesis de inducción: Asumimos que la igualdad es válida para n. Paso de inducción: Probamos que la desigual es válda para n + : (n + )! n!(n + ) < n (n + ) Queremos llegar a la cota (). Esto en términos de n es () n + n. Así que sólo necesitamos verificar que n + < para estar en condiciones de terminar la prueba. Pero esto es cierto porque ya sabemos que n < n para n y entonces n + < n + <. Ahora podemos terminar la cadena de desigualdades arriba: (n + )! n!(n + ) < n (n + ) < n n + (). (b) Pruebe por inducción que n k (n ) 3 + n 3 ( ) n(n + ) ( ) Solución. Caso base: Para n se tiene que la suma en la derecha es, y la expresión en la izquierda es ((/)()()). Hipótesis de inducción: Asumimos que la igualdad es válida para n. Paso de inducción: Probamos que la igual es válda para n + : k 3 n k 3 + (n + ) 3 ( ) n(n + ) + (n + ) 3 usando la hipótesis de inducción 4 (n + ) (n + 4(n + )) factorizando 3

4 4 (n + ) (n + 4n + 4) simplificando 4 (n + ) (n + ) factorizando ( ) (n + )((n + ) + ) que es la expresión de la derecha en ( ) con n reemplazado con n (a) Pruebe que para x y n, se tiene que ( + x) n + nx. Solución. Caso base: Para n ambos lados de la desigualdad son. Hipótesis de inducción: Asumimos que la desigualdad es cierta para n. Paso de inducción: Tenemos la siguiente deducción: ( + x) ( x) n ( + x) separando un factor ( + x) ( + nx)( + x) usando la hipótesis de inducción y que + x > 0 + (n + )x + nx multiplicando y factorizando + (n + )x porque nx 0. La última línea nos da la desigualdad deseada para n +. (b) Pruebe por inducción que n n n Solución. Caso base: Para n ambos lados de la desigualdad son. Hipótesis de inducción: Asumimos que la desigualdad es cierta para n. Paso de inducción: Tenemos la siguiente deducción: k n n + + k n + n + usando la hipótesis de inducción n n + + n + sumando n n + n + usando n + n n + n + n +. La última línea nos da la desigualdad deseada para n +. 4

5 4. Observe las igualdades 4 ( + ) ( ). Escriba una expresión general y pruébela por inducción. Solución. La expresión general es: n ( ) k+ k ( ) y la verificamos por inducción para n. n Caso base: Las igualdades arriba lo verifican para n,, 3, 4. Hipótesis de inducción: Asumimos que la igualdad es cierta para n. Paso de inducción: Tenemos la siguiente deducción: ( ) k+ k n ( ) k+ k + ( ) n+ (n + ) k n ( ) k + ( ) n (n + ) usando ( ) ( ) n+ k ( ) n+ k + ( ) ( ) n+ k + ( ) n ( k ( ) n+ k + ( ) n ( n n k + (n + ) ) n k (n + ) + (n + ) ) k + ( ) n (n + ) ( ) n+ k + ( ) n ( n(n + ) (n + ) + (n + ) ) ( ) n+ k + ( ) n ( n(n + ) (n + ) + (n + ) ) ( ) n+ k + ( ) n ( (n + )(n + ) + (n + ) ) 5

6 ( ) n+ k donde en la tercera línea se ha sumado y restado la suma que debe resultar (así el resto se debe cancelar), y en la sexta se ha usado n k n()/. Alternativamente es quizás más fácil reemplazar desde el pincipio la suma n k n(n + )/ en la igualdad que se quiere probar: n ( ) k+ k ( ) n(n + ) Entonces para el paso de inducción tenemos ( ) k+ k n ( ) k+ k + ( ) n+ (n + ) ( ) n(n + ) + ( )n+ (n + ) ( ) n+ (n + )( n + n + ) ( ) n+ (n + )(n + ) ( ) ()+ (n + )((n + ) + ).