Axiomas de separación

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1 CAPíTULO 6 Axiomas de separación Tema 1. Axiomas de separación: conceptos básicos El objetivo de este capítulo es considerar ciertas propiedades topológicas que comparten algunos espacios topológicos y los espacios métricos. Partiremos de un espacio topológico (X, T ) y de V un subconjunto de X. Hemos visto lo que significa que V sea un entorno de un punto x X. Definición Si V es entorno de todos los puntos de un conjunto A X, diremos que V es un entorno de A (es decir, si existe U T tal que A U V ). Definición Sea (X, T ) un e.t. y sean A, B X. Diremos que A y B se pueden separar en (X, T ) si existen entornos disjuntos V A, V B X de A y B respectivamente. Observación Observa que si A = {x}, entonces V X es entorno de A si y sólo si es entorno de x en el sentido clásico (Definición 3..1). En lugar de decir que {x} y B se pueden separar, diremos que x y B se pueden separar, es decir, existen entornos disjuntos de x y B.. Todo abierto que contenga a A es un entorno de A. 3. Observa que las Propiedades 3..5.(N1)-(N4) de entornos tienen fácil traducción para entornos de conjuntos. (N 1) Todo conjunto A X admite algún entorno (ya que por ejemplo el espacio total es entorno de cualquier subconjunto suyo). (N ) Si V A es entornos de A X, entonces A V A. (N 3) Si V1 A y V A son entornos de A X, entonces V1 A V A es entorno de A. (N 4) Si V A es entorno de A y V A W, entonces W es entorno de A. 4. La propiedad de que dos conjuntos A, B X se pueden separar también se puede expresar con las siguientes propiedades equivalentes: (a) Existen abiertos U A, U B tal que A U A, B U B y U A U B = (abreviando, existen entornos abiertos disjuntos). 73

2 74 6. AXIOMAS DE SEPARACIÓN (b) Existe un abierto U A de A tal que U A B =. (c) Existe un entorno V A de A tal que V A B =. (d) Existe un entorno cerrado V A de A tal que V A B =. En este tema nos centraremos en la capacidad que tienen algunas topologías de separar entre sí conjuntos o puntos. Definición Sea X un espacio topológico. Diremos que: 1. X es T 0 si para cualesquiera dos puntos distintos de X, existe un entorno de uno de los puntos que no contiene al otro.. X es T 1 si para cualesquiera dos puntos distintos de X, existen entornos de cada uno de los puntos que no contienen al otro. 3. X es T o Hausdorff si se pueden separar puntos distintos. 4. X es regular si se pueden separar puntos de cerrados (que no contengan al punto). 5. X es T 3 si es T 1 y regular. 6. X es normal si se pueden separar cerrados disjuntos. 7. X es T 4 si es T 1 y normal. Observación De la Observación 6.1.3(4) se deduce inmediatamente que podemos substituir el término entorno por el de entorno abierto en las definiciones de T, regular y normal. Una demostración casi idéntica prueba que también ocurre esto con las definiciones de T 0 y T 1. Otra útil observación es la siguiente: sean x, y X (x y); si B es una base de abiertos de X (o bien si B x y B y son bases de entornos de x e y resp.) entonces x e y se pueden separar si y sólo si existen B 1, B B con x B 1, y B (o bien B 1 B x y B B y ) tal que B 1 B =. Por lo tanto, en la definición de T (y análogamente en la de T 0 y T 1 ) podemos substituir el término entorno por el de abierto básico que contiene a x (o bien entorno básico). También es sencillo demostrar que si x X, B es una base de X (o bien B x es una base de entornos de x) y C X es un cerrado de X tal que x / C, entonces x y C se pueden separa si y sólo si existe U C X un entorno de C y B B con x B (o bien B B x ) tal que U C B =. Por lo tanto, en la definición de regular también podemos cambiar los entornos de x por abiertos básicos que contienen a x entornos básicos de x. Las siguientes son propiedades más o menos inmediatas a partir de las definiciones: Propiedades (Separación).

3 TEMA 1. AXIOMAS DE SEPARACIÓN: CONCEPTOS BÁSICOS Todos los axiomas de separación son propiedades topológicas.. Un espacio topológico es T 1 si y sólo si sus puntos son cerrados. 3. T 4 T 3 T T 1 T Todo espacio pseudometrizable es normal y regular. 5. Todo espacio metrizable es T Todo espacio pseudometrizable y T 0 es metrizable. 7. X es T 1 si y sólo si x X, x es el único elemento de la intersección de todos los entornos de x. 8. X es T si y sólo si x X, x es el único elemento de la intersección de todos los entornos cerrados de x. 9. Las siguientes propiedades son equivalentes: (a) X regular. (b) x X y V X entorno de x en X existe un abierto U X tal que x U U V. (c) x X los entornos cerrados de x forman una base de entornos de x. 10. T 0, T 1, T, regular y T 3 son propiedades hereditarias. 11. Si X es normal (resp. T 4 ) y C C TX, entonces (C, T C ) es normal (resp. T 4 ). Observación Observa que si B x es una base de entornos de x en X, entonces B x = U E(x) U. Por lo tanto X es T 1 si y sólo si B x = {x}. Análogamente, X es T 0 si y sólo si x, y X (x y) se tiene que y B x o bien que x B y para cierta base B x o B y de entornos de x (resp. y). Ejercicio 6.1. Demuestra que si X verifica que toda sucesión convergente tiene límite único, entonces X es T 1. Ejercicio 6.. Existen espacios topológicos que no son T 0. Demuestra que la topología T (N ) definida en el Ejercicio 4. no es T 0. Encontrar otro ejemplo más general. Ejercicio 6.3. Existen espacios topológicos T 0 que no son T 1. Demuestra que la topología T definida en el Ejemplo.1.(4) es T 0 pero no es T 1. Ejercicio 6.4. Existen espacios topológicos T 1 que no son T. Demuestra que la topología cofinita definida sobre R es T 1 pero no es T. Ejercicio 6.5. Demuestra que la recta de dos orígenes (Ejemplo 4.1.7) es T 1, pero no es homeomorfa a la recta real usual (ya que no es T ). Ejercicio 6.6. Sea (X, T 1 ) e.t. T i (i = 0, 1, ). Si T 1 T, entonces (X, T ) también es T i.

4 76 6. AXIOMAS DE SEPARACIÓN Ejemplo Existen espacios topológicos T que no son T 3. El plano del semidisco del Ejercicio 4.15 es T (basta aplicar el Ejercicio 6.6) comparando con la topología usual. Para ver que no es regular veamos que es imposible separar el punto (0, 0) del cerrado A := (0, 1) {0}; A es cerrado ya que el eje X lo es y la topología inducida en él es la discreta. Sean U, V entornos abiertos de (0, 0) y A, respectivamente. Sabemos que existe ε (0, 1) tal que ˇB((0, 0), ε) U. Como V es entorno de A, podemos suponer que existe δ (0, ε ) tal que ˇB(( ε, 0), δ) U. En particular ( ε, δ ) U V. Hemos visto que U V, por lo que (0, 0) y A no se pueden separar. Obsérvese que si un espacio es T y no es regular, entonces tampoco puede ser normal, ya que si fuera normal y T sería T 4 y por tanto T 3. Ejercicio 6.7. Existen espacios topológicos normales que no son regulares (por la Propiedad 6.1.6(3), obsérvese que tales espacios no pueden ser T 1 ). Demuestra que T (ver Ejercicio 6.3) es normal pero no regular. Por último demostraremos que existen espacios T 3 que no son T 4. De esta manera habremos demostrado también que existen espacios regulares que no son normales. Para ello utilizaremos el siguiente lema. Proposición (Lema de Jones). Sea (X, T ) un espacio topológico normal. Sea Y X un cerrado de modo que T Y sea la topología discreta sobre Y. Si D X es denso en X, entonces #P(Y ) #P(D). Observación El lema de Jones se suele aplicar buscando un denso numerable y un discreto con la potencia del continuo. En efecto, si #Y = #R, X es separable (es decir, existe D denso tal que #D #N) y X es normal tendríamos #P(R) #P(D) #P(N) = #R, lo cual es falso (Observación A.5.1()). Ejercicio 6.8. Existen espacios topológicos T 3 que no son T 4. Demuestra que el plano de Moore (Ejemplo 4..8) es T 3 pero no T 4. Análogamente, el plano del semidisco (Ejercicio 4.15) tampoco es normal. Ejercicio 6.9. Demuestra que el plano del semidisco (H, D) (Ejercicio 4.15) no es regular, y por tanto, según el Ejercicio 6.8, (H, D) no es homeomorfo al plano de Moore (H, M) (Ejemplo 4..8). Ejemplo Veamos que la recta de Sorgenfrey, (R, S), es T 4. Comencemos probando que Sorgenfrey es T 1. Para ello sean x, y R distintos. Supongamos que x < y; en tal caso el abierto U := [y, y+1) cumple que y U pero x / U y por tanto (R, S), es T 1. Veamos que S es normal. Para ello consideremos A, B R cerrados disjuntos. Para cada a A existe r a > a tal que [a, r a ) B =. Del mismo

5 TEMA 1. AXIOMAS DE SEPARACIÓN: CONCEPTOS BÁSICOS 77 modo, para cada b B existe s b > b de modo que [b, s b ) B =. Consideremos U A := a A [a, r a) y U B := b B [b, s b), es claro que U A (resp. U B ) es entorno de A (resp. B) ya que es unión de abiertos en S y A U A (resp. B U B ). Veamos por último que U A U B =. Supongamos que existiera x U A U B, entonces x [a, r a ) para cierto a R y x [b, s b ) para cierto b R, es decir, a x < r a y b x < s b por lo tanto, si a < b, entonces b [a, r a ) lo cual contradice que [a, r a ) B = (análogamente ocurre si a > b). A la hora de distinguir dos espacios topológicos se pueden utilizar invariantes un poco más finos que simplemente verificar si un conjunto cumple o no los axiomas de separación. Por ejemplo, no es lo mismo que un espacio cumpla que ningunos dos puntos se pueden separar a que cumpla que todos se pueden separar exepto uno. Intenta el siguiente ejercicio. Ejercicio Consideremos la topología (R, T ) del Ejemplo.1.(4) y T la topología sobre R definida por T := {(, a) [0, b) a, b R 0 {+ }, b 0}. Demuestra que ambas son T 0 y normales, pero no son T 1 ni regulares. Demuestra que ambas topologías no son homeomorfas. Terminamos el tema con dos axiomas de separación que están relacionados con el lema de Urysohn. Definición Un espacio topológico X se dice completamente regular si dados x X y A X cerrado tal que x / A, entonces f : X R continua tal que f(x) = 0 y f(a) = {1}. Un espacio completamente regular y T 1 se dice que es T 3 1. Propiedades Un espacio regular es completamente regular. En particular, T T 4 T 3 1. T 3.