Algoritmos matemáticos sobre matrices:

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1 Algoritmos mtemáticos sobre mtrices: Representciones especiles de mtrices, Algoritmo de Strssen, multiplicción y tringulción de mtrices Jose Aguilr

2 Mtriz Mtriz Un mtriz es un rreglo rectngulr de elementos (números reles) ordendos en fils y columns: = n n A = mn m m m n A ij es el elemento situdo en l i-ésim fil y en l j- ésim column. L mtriz tienemfils yncolumns x B = B es un mtriz de orden 2x5.

3 Mtriz Ls mtrices son de sum importnci en ls ciencis, como l ingenierí, l economí y otrs ciencis plicds. Son útiles pr representr dtos en form ordend, pr modelr problems y resolver sistems de ecuciones, etc. Cotizción del Oro (Londres, US$/oz.) 2-Mr-6 21-Mr-6 22-Mr-6 23-Mr-6 24-Mr-6 9: : : :

4 Iguldd de mtrices Dos mtrices A y B del mismo orden son igules si todos sus elementos correspondientes son igules. mxn mxn [ ] [ b ] A = B = ij ij Mtrices especiles: Mtriz fil y mtriz column Ls mtrices fils son ls de orden 1xn y ls mtrices columns son ls de orden mx1 (vectores) [ ] A= n A es un mtriz fil. B = b b b m 1 B es un mtriz column.

5 Mtrices especiles: Mtriz digonl Mtriz digonl Es l mtriz cudrd A nxn = [ ij ] definid por: = n A λ λ λ λ ij = λ i si i = j si i j λ i ЄR Mtrices especiles: Mtriz identidd Mtriz identidd Es un cso prticulr de l mtriz digonl, en l cul los elementos de l digonl principl son todos igules 1. = I n

6 Mtriz cudrd Es quell que tiene el mismo número de fils que de columns, es decirm=n. En estos csos se dice que l mtriz cudrd es de ordenn, y nonxn. Los elementos ij con i = j, o se ii formn l llmd digonl principl de l mtriz cudrd, y los elementos ij coni+j=n+1 l digonl secundri n n n3 1n 2n 3n nn

7 Mtrices especiles: Mtriz Tringulr Es un mtriz cudrd que tiene nulos todos los elementos que están un mismo ldo de l digonl principl. Mtriz tringulr inferior: es un mtriz cudrd cuyos elementos situdos por encim de l digonl principl son todos igules cero. =, i < ij j Mtriz tringulr superior: es un mtriz cudrd cuyos elementos situdos por debjo de l digonl principl son todos igules cero. =, i > ij j

8 Mtriz trnspuest Dd un mtriz A mxn = [ ij ], llmremos mtriz trnspuest de A l mtriz que result de intercmbir en A ls fils por columns. Est mtriz estrá denotd por A t nxm = [ ji ]. 2 1 A = t A Propieddes: = ) 2) 3) 4) ( t ) t A = A t t ( ka ) = ka, k t t ( A ± B ) = A t t t ( A. B ) = B. A ± R B t

9 Mtrices especiles: Mtriz simétric y Mtriz simétric y ntisimétric ntisimétric Un mtriz cudrd A se llm simétric si A t = A y ntisimétric si A t = -A = A = B A es un mtriz simétric, pues A t = A. B es un mtriz ntisimétric, pues B t = -B.

10 Operciones con mtrices Trnsposición de mtrices Sum y diferenci de mtrices Producto de un mtriz por un número Propieddes simplifictivs Producto de mtrices Mtrices inversibles

11 Operciones con mtrices Sum y diferenci de mtrices L sum de dos mtrices A=(ij), B=(bij) de l mism dimensión, es otr mtriz S=(sij) de l mism dimensión que los sumndos y con término genérico sij=ij+bij. Por tnto, pr poder sumr dos mtrices ests hn de tener l mism dimensión. L sum de ls mtrices A y B se denot por A+B. Ejemplo Sin embrgo, no se pueden sumr. L diferenci de mtrices A y B se represent por A B, y se define como: A B = A + ( B)

12 Operciones con mtrices Propieddes de l sum de mtrices 1ª. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedd Asocitiv 2ª. A + B = B + A Propiedd conmuttiv 3ª. A + = A ( es l mtriz nul) Mtriz Nul 4ª. L mtriz A, que se obtiene cmbindo de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de mtriz opuest de A, y que A + ( A) =.

13 Operciones con mtrices Producto de un mtriz por un número El producto de un mtriz A = (ij) por un número rel k es otr mtriz B = (bij) de l mism dimensión que A y tl que cd elemento bij de B se obtiene multiplicndo ij por k, es decir, bij = k ij. Ejemplo: El producto de l mtriz A por el número rel k se design por k A. Al número rel k se le llm tmbién esclr, y este producto, producto de esclres por mtrices

14 Operciones con mtrices Propieddes del producto de un mtriz por un esclr 1ª. k (A + B) = k A + k B Propiedd distributiv 1ª 2ª. (k + h)a = k A + h A Propiedd distributiv 2ª 3ª. k [h A] = (k h) A Propiedd socitiv mixt. 4ª. 1 A = A 1 = A Elemento unidd

15 Operciones con mtrices Propieddes simplifictivs Si A + C = B + C A = B Si k A = k B A = B si k es distinto de Si k A = h A h = k si A es distinto de

16 Mtrices por bloques b11 b12 b21 b22 b31 b32 b41 b42

17 Mtrices por bloques A 11 A 12 B 11 A 11 B 11 +A 12 B 21 A 21 A 22 B 21 A 21 B 11 +A 22 B 21

18 Algoritmo de Strssen y multiplicción de mtrices Jose Aguilr

19 Operciones con mtrices Producto de mtrices Dds dos mtrices A y B, su producto es otr mtriz P cuyos elementos se obtienen multiplicndo ls fils de A por ls columns de B. De Es evidente que el número de columns de A debe coincidir con el número de fils de B. Si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, l mtriz P será de orden m x p: Ejemplo: no se pueden multiplicr

20 Producto de mtrices Sen A={ ik } un mtriz de dimensión mxn y B={b kj } un mtriz de dimensión nxs. El producto AB es l mtriz C={c ij } de dimensión mxs, donde l entrd c ij de C es el producto punto de l i-ésim fil de A y l j-ésim column deb. Ejemplo: Fil 2 Column = (-3)(5)+(5)()+(8)(2)= Posición c 23

21 Producto de mtrices En generl, el elementoc ij está ddo por Por ejemplo, si A 3x4, B 4x7, C 7x3, los productos AB 3x7, BC 4x3 y CA 7x4 están s j m i b c n k kj ik ij 1,..., 1,..., ; 1 = = = = definidos, mientrs que no es posible multiplicr BA, AC y CB. Debe observrse que el producto de mtrices en generl no es conmuttiv, esto es, ún cundo los productos AB y BA están definidos, no es necesrimente cierto queab=ba, como muestr el siguiente ejemplo = =

22 Producto de mtrices Propieddes del producto de mtrices A (B C) = (A B) C (Propiedd socitiv) El producto de mtrices en generl no es conmuttivo. Si A es un mtriz cudrd de orden n se tiene A I n = I n A = A. Dd un mtriz cudrd A de orden n, no siempre existe otr mtriz B tl que A B = B A = I n. Si existe dich mtriz B, se dice que es l mtriz invers de A y se represent por A 1. El producto de mtrices es distributivo respecto de l sum de mtrices, es decir: A (B + C) = A B + A C

23 Algoritmo secuencil Cso mtrices cudrds. for (i = ; i < n; i++) { for (j = ; i < n; j++) { c[i][j] = ; for (k = ; k < n; k++) { c[i][j] += [i][k] * b[k][j] } } } n 3 multiplicciones y n 3 sums O (n 3 )

24 Implementción recursiv L división en submtrices sugiere un estrtegi recursiv de divide y vencerás, que puede ser especilmente ventjoso en sistems de memori comprtid. L ventj de est estrtegi es que en cd pso de recursión, los dtos trnsmitidos son más pequeños y están más loclizdos.

25 Divide y vencers L técnic divide y vencerás (DV) consiste en: Descomponer el problem que hy que resolver en cierto numero de subproblems ms pequeños del mismo tipo. Resolver de form sucesiv e independiente todos estos subproblems. Combinr ls soluciones obtenids pr obtener l solución del problem originl.

26 Crcterístics de los problems resolubles utilizndo divide y vencerás El problem se puede descomponer en otros del mismo tipo que el originl y de tmño ms pequeño (formulción recursiv). Los subproblems pueden resolverse de mner independiente. Los subproblems son disjuntos, sin solpmiento. L solución finl se puede expresr como combinción de ls soluciones de los subproblems.

27 function DYC(x) Método generl divide y IF x es suficientemente simple ELSE RETURN lgoritmobsico(x) vencerás descomponer x en x[1],x[2],...,x[s] FOR i ::= 1 TO s ENDFOR y[i] ::= DYC(x[i]) combinr y[i] en un solución y x RETURN y ENDINF

28 Algoritmo de multiplicción de Strssen Cómo clculr el producto de dos mtrices de dos por dos usndo menos multiplicciones que con el método trdicionl Dds dos mtrices A = y B = b 11 b b 21 b 22 podemos poner

29 m 1 = ( ) (b 22 - b 12 + b 11 ) m 2 = 11 b 11 m 3 = 12 b 21 m 4 = ( ) (b 22 b 12 ) m 5 = ( ) (b 12 b 11 ) m 6 = ( ) b 22 m 7 = 22 ( b 11 + b 22 - b 12 b 21 ) Entonces el producto AB qued: m 2 + m 3 m 1 + m 2 + m 5 + m 6 m 1 + m 2 + m 4 m 7 m 1 + m 2 + m 4 + m 5 Este procedimiento requiere 7 multiplicciones pr cculr el producto de A y B(pero más sums que el método trdicionl!!).

30 Algoritmo de multiplicción de Strssen Si reemplzmos cd elemento de A y B por un mtriz de n x n, ls fórmuls nteriores nos dn un form de multiplicr dos 2n X 2n mtrices. A prtir de esto tenemos un método recursivo pr clculr el producto de mtrices con n potenci de 2. Este método se puede generlizr tmbién mtrices cuys dimensiones no sen de l form 2n

31 Tringulción Jose Aguilr

32 Sistem tringulr superior Los coeficientes por debjo de l digonl principl son ceros

33 Tringulción digonl superior Operciones elementles sobre ls fils Obtener ceros por debjo de l digonl principl ij

34 Índices k i j k: pivote debjo del cul se vn obtener los ceros de l mtriz tringulr i: fil trnsformr que tendrá un cero debjo del pivote en l digonl j: pr recorrer l fil i y hcer ls trnsformciones

35 Tringulción digonl superior 'tringulr superior Public Sub tpsup(x() As Double, ByVl n1 As Integer, ByVl n2 As Integer) For k = 1 To n1 1 Inici recorrido pivotes For i = k + 1 To n1 Inici recorrido fils m = x(i, k) / x(k, k) múltiplo For j = k To n1 Inici recorrido columns x(i, j) = x(i, j) - m * x(k, j)

36 Tringulción digonl inferior Operciones elementles sobre ls fils Obtener ceros por encim de l digonl principl ij

37 Tringulción digonl inferior

38 Tringulción digonl inferior j= 1..n índice columns i = k-1..1 Índice fils Pivotes: k=n1..2

39 Tringulción digonl inferior tringulr inferior Public Sub tpinf(x() As Double, ByVl n1 As Integer, ByVl n2 As Integer) For k = n1 To 2 Step -1 For i = k 1 to To 1 Step -1 m = x(i, k) / x(k, k) For j = 1 To n1 x(i, j) = x(i, j) - m * x(k, j)

40 Pr tres ecuciones y tres incógnits 2X 1 + X 2 - X 3 = 3 Ec. 1 X 1 + 2X 2 + X 3 = 6 Ec. 2 2X 1 - X 2 + X 3 = 5 Ec. 3

41 Pr trnsformr A en un mtriz tringulr superior: Eliminr x 1 de ls ecuciones 2 y 3, utilizndo l ecución 1 2X 1 + X 2 - X 3 = 3 X1 + (3/2)X2 + (3/2)X3 = 9/2 X1 + (-2)X2 + (2)X3 = 2 Ec. 1 Ec. 2 = Ec.2 - (1/2) Ec.1 Ec. 3 = Ec.3 (2/2)Ec.1

42 Trnsformr A en un mtriz tringulr superior Eliminr x 2 de l ecución 3 utilizndo l ecución 2: 2X 1 + X 2 - X 3 = 3 X1 + (3/2)X2 + (3/2)X3 = 9/2 Ec. 1 Ec. 2 X1 + X2 + (4)X3 = 8 Ec. 3 = Ec.3 - (-4/3)Ec.2

43 Sistem equivlente resultnte: 2X 1 + X 2 - X 3 = 3 Ec. 1 X X X3 = 4.5 X1 + X2 + 1 X3 = 2 Ec. 2 Ec. 3

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