Matrices y Determinantes

Transcripción

1 Apuntes de Álgebra Lineal Capítulo 3 Matrices y Determinantes 31 Operaciones con matrices 311 Suma, resta y multiplicación por escalares Las matrices de un tamaño fijo m n se pueden sumar entre sí y esta operación de sumar se puede definir operando elemento a elemento o bien operando columna a columna Por ejemplo, consideremos las siguientes matrices de tamaño 2 3: A Operar elemento a elemento es poner: A + B 1 2 3, B , mientras que operar columna a columna es poner A [a 1 a 2 a 3 ], B [b 1 b 2 b 3 ] con: a 1 de forma que a 1 + b 1 1, a , a 5 3 3, b 6 1 8, a b , b , b 1 3 1, a b 3 0, , 4 y entonces A + B [a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 ] La definición de suma de matrices elemento a elemento es fácil de entender y de aplicar, pero tediosa para la demostración de propiedades La segunda es una definición un poco más sutil y parece más complicada, pero bien mirada es incluso más sencilla que la primera y tiene la gran ventaja de que permite hacer demostraciones más sencillas de las propiedades de matrices En cualquier caso, usaremos la definición primera sólo para demostrar el número más reducido posible de propiedades, de las cuales se puedan deducir todas las demás sin tener que recurrir constantemente a la definición 1 Versión de 30 de noviembre de 2016, 21:02 h

2 31 Operaciones con matrices 3 Matrices y Determinantes Igual que ocurre con la suma de matrices, la multiplicación de números por matrices se puede definir elemento a elemento o por columnas Por ejemplo, con la matriz B anterior, podemos poner: 3B o podemos calcular: 3b 1 21, 3b ( 1) ( 4) ( 2) 3, 3b 3 3 ( 21 3 ) , y 3B [3b 6 1 3b 2 3b 3 ] Usando cualquiera de esas definiciones de suma y multiplicación por números no tiene ninguna dificultad el demostrar que estas operaciones de las matrices reales de un tamaño fijo m n cumplen los axiomas de espacio vectorial real donde la matriz cero m n, denotada 0, es aquella todos cuyos elementos son cero y la matriz opuesta, A, de una matriz A es aquella cuyos elementos son los opuestos de los de A: (a) Propiedades de la suma de matrices ( Grupo conmutativo ): 1 Propiedad asociativa de la suma: A + (B + C) (A + B) + C 2 Matriz cero: 0 + A A + 0 A 3 Opuesta de una matriz: A + A A + ( A) 0 (abreviación: en lugar de A + ( B) se puede escribir para mayor brevedad A B) 4 Propiedad conmutativa de la suma: B + A A + B (b) Propiedades distributivas de la multiplicación por números: 1 Propiedad distributiva para la suma de matrices: x(a + B) xa + xb 2 Propiedad distributiva para la suma de números: (x + y)a xa + ya (c) Acción de los escalares : 1 Propiedad asociativa del producto de números por matrices: x(ya) (xy)a 2 Ley de identidad: 1 A A (El número 1 es neutro para la multiplicación de números por matrices) Además, se cumplen las siguiente propiedades, las cuales ya sabemos que se deducen de las anteriores pero que en este caso es más fácil demostrar directamente a partir de la definición del producto de un número por una matriz: (a) Toda matriz multiplicada por cero da la matriz cero: 0A 0 (b) Todo múltiplo de la matriz cero es la matriz cero: c 0 0 (c) Multiplicar una matriz por 1 da la matriz opuesta: ( 1)A A 312 Producto de matrices Motivación Sabemos multiplicar una matriz por un vector y sabemos que el resultado es otro vector: b Ax Supongamos ahora que tenemos una segunda matriz, B, que se puede multiplicar por b y que la usamos para calcular el vector Bb B(Ax) Problema: Qué matriz hay que multiplicar por x para obtener directamente el vector B(Ax)? Para contestar a esto es necesario recordar que Ax es una combinación lineal de las columnas de A: Ax x 1 a x n a n y que la operación de producto de una matriz por un vector 2

3 3 Matrices y Determinantes 31 Operaciones con matrices respeta las combinaciones lineales, por lo que B(Ax) B(x 1 a x n a n ) es igual a una combinación lineal de los vectores Ba 1, Ba n obtenidos al multiplicar B por cada columna de A Estos vectores son matrices columna con el mismo número de elementos que cada columna de B y forman una nueva matriz que llamaremos C La combinación lineal de estas columnas usando los elementos de x como coeficientes es a la vez el producto de C por x y también el vector B(Ax), por tanto C es la matriz que multiplicada por x nos da B(Ax) Definición del producto de matrices El producto de una matriz A por una matriz B es la matriz, denotada AB, cuyas columnas son el resultado de multiplicar A por cada columna de B Es decir: cada columna del producto AB es el producto de A por la correspondiente columna de B: col j (AB) A col j (B) (31) Por tanto cada columna de AB es una combinación lineal de las columnas de A Definición del producto de matrices La propiedad característica del producto así definido es que para cualquier vector x que propiedad tenga tantos elementos como columnas tiene B, se cumple característica del producto (AB)x B(Ax) La regla fila por columna : Suponiendo que las columnas de B son b 1,, b p y para calcular AB calculamos cada uno de los productos Ab j por la regla fila columna llegamos a la conclusión de que cada fila del producto AB es igual a la correspondiente fila de A multiplicada por B: fila i (AB) fila i (A) B (32) 1 Ejercicio de tarea Usa las ecuaciones (31) y (32) como corresponda para calcular la fila 3 y la columna 2 del producto AB y lo mismo para el producto BA, donde: A , B Propiedades del producto de matrices A continuación se presenta la lista de las propiedades de la multiplicación de matrices Aquí λ es un escalar cualquiera e I k denota la matriz identidad k k (a) A(BC) (AB)C (propiedad asociativa) (b) A(B + C) AB + BC (propiedad distributiva por la izquierda) (c) (B + C)A BA + CA (propiedad distributiva por la derecha) En las propiedades (d) y (e) se supone que A tiene m filas y n columnas (d) I m A A AI n (e) (λi m )A λa A(λI n ) Toda matriz de la forma λi m (o sea, que sea un múltiplo escalar de una matriz identidad) se llama una matriz numérica o matriz escalar De ésta junto con la propiedad asociativa se puede deducir la siguiente, de la cual ésta es un caso particular: (f) (λa)b λ(ab) A(λB) 2 Ejercicio de tarea Demuestra que la propiedad (f) se deduce de las propiedades (a) y (e) 3

4 31 Operaciones con matrices 3 Matrices y Determinantes Sobre la no-conmutatividad del producto de matrices y otras advertencias (a) No conmutatividad: En general AB BA Por ejemplo: 1 (3 ) mientras que Pero la razón de esto no es que los resultados sean matrices de distinto tamaño, pues en general AB BA incluso para matrices cuadradas: mientras que (b) Matrices nilpotentes: Existen matrices A 0 tales que A 2 0 Por ejemplo, ( ) (c) Divisores de cero: Un producto de matrices igual a cero no implica que algún factor sea cero, es decir, si AB 0, en general no se puede concluir que A 0 o B 0 Por ejemplo: (d) No se cumple la Ley de cancelación: De AB AC, en general no se puede deducir B C Por ejemplo: Traspuesta de una matriz y sus propiedades Para cualquier vector (o matriz de una sola columna) a matriz fila que tiene los mismos elementos que a: a T ( a 1 a m ) a 1 a m, la matriz traspuesta es la Para una matriz general de varias columnas A [a 1 a n ], la traspuesta es la matriz cuyas filas son las traspuestas de las columnas de A: A T De esta definición se deduce que la traspuesta de una matriz m n es una matriz n m Por ejemplo: a T 1 a T n T La operación de calcular la matriz traspuesta tiene las siguientes propiedades cuya demostración es un ejercicio que debe hacer el estudiante: 4

5 3 Matrices y Determinantes 32 Matrices elementales (a) ( A T) T A (b) (A + B) T A T + B T (c) (λa) T λ A T (d) (AB) T B T A T ( cambian de orden!) Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 1, Ejercicio 2 32 Matrices elementales Ejecución de operaciones elementales mediante multiplicación de matrices Consideremos las siguientes matrices: E , E , E Obsérvese que todas ellas son el resultado de realizar una operación elemental de filas sobre la matriz identidad 3 3 Ahora calculemos los productos E 1 A, E 2 A, E 3 A, donde A es una matriz cualquiera de tres filas Por ejemplo: A a b a b c d con lo cual: E 1 A c d, E 2 A c d a b, E 3 A a b c d e f e + 3a f + 3b e f 5e 5 f Vemos que cada uno de los productos nos da como resultado el mismo que si hubiésemos hecho sobre A la operación elemental con la que se consiguió la correspondiente matriz E Esto es un hecho general y se cumple el siguiente teorema: Teorema: Sea A una matriz de m filas Para realizar una operación elemental sobre A, basta realizar dicha operación elemental sobre las filas de la matriz identidad I m y multiplicar el resultado por A Definición de matrices elementales Definición: Se llama matriz elemental a toda matriz obtenida realizando una operación elemental sobre las filas de una matriz identidad Ejemplos: (1) Sea E la matriz obtenida al realizar una operación elemental de intercambio de filas sobre la matriz identidad 2 2: I F1 F E ( ) Sea ahora A una matriz cualquiera con 2 filas Entonces: a b c F1 F A 2 d e f y también: EA d e f a b c 5 E es la matriz elemental correspondiente a la operación elemental intercambiar las filas 1 y 2 ( ) a b c d e f d e f a b c

6 33 Matriz inversa 3 Matrices y Determinantes El producto EA da como resultado el mismo que realizar sobre A la operación elemental de intercambiar las filas 1 y 2 de A (2) Sea E la matriz obtenida al realizar una operación elemental de reemplazo de filas sobre la matriz identidad 3 3: I F 2+λF 3 E E es la matriz elemental correspondiente 0 1 λ a la operación elemental sumar a la fila 2 la 3 multiplicada por λ Sea ahora A una matriz cualquiera con 3 filas Entonces: a b a b a b a b F A c d 2 +λf 3 c + λe d + λ f y también: EA 0 1 λ c d c + λe d + λ f e f e f e f e f El producto EA da como resultado el mismo que realizar sobre A la operación elemental de suma a la fila 2 la fila 3 multiplicada por λ 33 Matrices inversibles y cálculo de la matriz inversa inversa por la izquierda inversa por la derecha matriz inversible Sea A una matriz de m filas y n columnas Se llama matriz inversa por la izquierda de A a toda matriz B tal que BA I n En tal caso B será necesariamente n m Además, el sistema homogéneo Ax 0 es determinado (el vector 0 es la única solución porque si hubiera otra, x, entonces x BAx B0 0) y por por ser determinado no tiene variables libres Por tanto, si A tiene una inversa por la izquierda, A tiene un pivote en cada columna y no puede tener menos filas que columnas: m n Se llama matriz inversa por la derecha de A a toda matriz C tal que AC I m En tal caso C será necesariamente n m Además, todo sistema Ax b será compatible (ya que al menos el vector Cb será una solución) Por tanto, si A tiene una inversa por la derecha, entonces A tiene un pivote en cada fila y no puede tener más filas que columnas: m n Una matriz A se llama inversiblesi tiene una inversa por la derecha y una inversa por la izquierda En tal caso, se puede demostrar que la inversa por la izquierda es la misma matriz que la inversa por la derecha 1 (llamándose entonces simplemente la matriz inversa de A) Por lo dicho antes, la matriz A es necesariamente una matriz cuadrada (al igual que su inversa) Por tanto una matriz es inversible si y sólo si existe una matriz B tal que BA I y AB I matriz singular Toda matriz inversible es una matriz cuadrada La matriz inversa de A se denota por A 1 Se llama matriz singular a toda matriz cuadrada que no sea inversible 3 Ejercicio de tarea Suponiendo que M es una inversa de A por la izquierda y que N es una inversa de A por la derecha, demuestra: (a) M y N tienen el mismo número de filas y columnas que la traspuesta de A (b) M N (c) A es una matriz cuadrada 4 Ejercicio de tarea Demostrar que si A es una matriz cuadrada entonces basta que tenga una inversa por un lado para que sea inversible 1 Si AC I m y BA I n entonces C (BA)C B(AC) B 6

7 3 Matrices y Determinantes 33 Matriz inversa Propiedades de la inversa (a) ( A 1) 1 A (b) (AB) 1 B 1 A 1 (c) ( A T) 1 ( A 1 ) T De la segunda de estas propiedades se deduce que el producto de varias matrices inversibles de tamaño n n es de nuevo una matriz inversible y su inversa es el producto de las inversas en el orden opuesto: 1 A1 A k A 1 k A1 1 Inversa de una matriz 2 2 La inversa (suponiendo que existe) de una matriz cuadrada a b de orden 2, A, se obtiene multiplicando el inverso de ad bc por la matriz obtenida al c d intercambiar las posiciones de los elementos de la diagonal y cambiar de signo a los otros dos: 1 a b c d La comprobación de esto es un simple cálculo: 1 ad bc a b d b c d c a d b c a ad bc 0 0 ad bc En el caso c 0 es útil expresar la fórmula de la inversa de esta forma: 1 a b 0 d ( a 1 a 1 bd 1 0 d 1 ) Uso de la inversa en la resolución de sistemas Para aquellos sistemas de ecuaciones lineales Ax b en los que la matriz de coeficientes, A, sea una matriz inversible existe automáticamente solución única y esa solución está dada por x A 1 b Evidentemente esto sólo se aplica a sistemas con el mismo número de ecuaciones que incógnitas Los casos en los que esta fórmula para la solución tiene mayor utilidad son los de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, en los cuales es muy sencillo ver si la matriz de coeficientes tiene inversa y apenas es nada costoso el calcular la inversa Ejemplo: El sistema 3x 1 + 4x 2 3 5x 1 + 6x 2 7 tiene matriz de coeficientes inversible y su inversa es la matriz ( 6 ) por tanto: x A 1 b

8 33 Matriz inversa 3 Matrices y Determinantes Caracterizaciones de las matrices inversibles Teorema de la matriz inversible Una matriz cuadrada real A de orden n es una matriz inversible si y sólo si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones: (a) A tiene una inversa por la derecha (b) A tiene una inversa por la izquierda (c) El sistema homogéneo representado por la ecuación Ax 0 es determinado (no tiene más solución que la trivial) (d) A tiene n columnas pivote (e) La forma escalonada reducida de A es la matriz identidad de orden n (f) Para todo b R n el sistema representado por la ecuación Ax b es compatible (g) Las columnas de A generan R n (h) A T es una matriz inversible Lo mismo es cierto para las matrices complejas cambiando R por C en los enunciados en los que aparece Las inversas de las matrices elementales Toda matriz elemental tiene inversa y su inversa es otra matriz elemental: La correspondiente a la operación elemental inversa En consecuencia, es muy sencillo escribir la matriz inversa de una matriz elemental Por ejemplo: Si E 0 1 entonces E ; si E λ entonces E λ Algoritmo para averiguar si una matriz es inversible y calcular su inversa Teorema Una matriz cuadrada A es inversible si y sólo si es equivalente por filas a la correspondiente matriz identidad En ese caso, cualquier sucesión de operaciones elementales de filas que reducen A a la identidad I también reducen I a la inversa de A Demostración: Cada paso de la reducción corresponde a la multiplicación por la izquierda por una matriz elemental: A E 1 A E 2 E 1 A E p (E p 1 E 1 )A I por tanto (E p E 1 )A I, lo que significa que A es inversible y su inversa es: A 1 E p E 1 Corolario Si una matriz cuadrada A es inversible entonces su forma escalonada reducida de (A I) es (I A 1 ) Recíprocamente, si la forma escalonada reducida de (A I) es (I M) entonces A es inversible y su inversa es A 1 M De esto se deduce que la forma escalonada reducida de la matriz por bloques formada por una fila de dos bloques en la que el primero es la matriz A y el segundo la matriz identidad, es la que tiene como primer bloque la identidad y segundo la inversa de A: (A I) (I A 1 ) En otras palabras: Las mismas operaciones elementales que transforman una matriz inversible en la matriz identidad, transforman la matriz identidad en la inversa de la matriz 8

9 3 Matrices y Determinantes 34 Factorización LU Cómo calcular solamente una columna (o fila) particular de la matriz inversa la columna j de A 1 basta resolver el sistema Para calcular Ax e j donde e j es la columna j de la matriz identidad Para calcular la fila i de A 1 basta calcular la columna i de ( A T) 1, para lo cual, según lo dicho antes, basta resolver el sistema A T x e i Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 3, Ejercicio 4 34 Un caso especial de la forma escalonada de una matriz: La Factorización LU Motivación Supongamos que necesitamos resolver varios sistemas de ecuaciones que tienen la misma matriz de coeficientes A y sólo se diferencian en los términos independientes Si se conocen dos matrices L, U tales que L es una matriz unitriangular inferior, es decir, triangular inferior con Una matriz se unos en la diagonal, U es una matriz escalonada y son tales que LU A, entonces el sistema Ax b o L(Ux) b se puede resolver en dos pasos muy sencillos: Primero resolvemos el sistema Ly b y después el sistema Ux y Una descomposición de una matriz, A LU, como producto de dos matrices como las descritas se conoce como una factorización LU (o factorización Lower-Upper") de A (leído: «factorización L - U») llama unitriangular si es una matriz triangular y todos los elementos de su diagonal son iguales a 1 Existencia y unicidad No toda matriz admite una factorización LU, pero, como se verá más abajo, una matriz A la admitirá siempre que sea posible obtener una forma escalonada de A sin realizar operaciones elementales de intercambio de filas (ni, evidentemente, operaciones de reemplazo que se puedan combinar para conseguir un intercambio de filas, lo cual excluye las operaciones de reemplazo regresivas en que se suma un múltiplo de una fila a otra fila anterior ya que combinando tales operaciones con operaciones de reemplazo progresivas es posible conseguir un intercambio de filas) En otras palabras: La matriz A admite una factorización LU si se puede poner A en forma escalonada utilizando únicamente operaciones de reemplazo progresivas (sumar un múltplo de una fila a otra posterior a ella) Recíprocamente, si A admite una factorización LU, entonces es evidente que L, por ser una matriz triangular inferior, se puede poner en forma escalonada utilizando únicamente operaciones de reemplazo progresivas ( obteniéndose una matriz identidad!) Esas operaciones transformarán A en U y por tanto A se puede poner en forma escalonada utilizando únicamente operaciones de reemplazo progresivas En consecuencia: 9

10 34 Factorización LU 3 Matrices y Determinantes La factorización LU de una matriz A existe si y sólo si A se puede poner en forma escalonada utilizando únicamente operaciones elementales de reemplazo progresivas (sumar un múltplo de una fila a otra posterior a ella) En general, la factorización LU de una matriz no es única, como muestra el siguiente ejemplo Sean L , L , U Evidentemente L 1 y U constituyen una factorización LU de su producto L 1 U e igualmente L 2 y U constituyen una factorización LU de su producto L 2 U Por otra parte, es fácil comprobar que L 1 U L 2 U, por consiguiente tenemos aquí dos factorizaciones LU de la misma matriz Algoritmo de la factorización LU (a) Se reduce A a una forma escalonada, U, mediante una sucesión de operaciones de reemplazo progresivas si es posible Si no es posible, la matriz A no tiene factorización LU (b) Se colocan los elementos bajo la diagonal de unos de L de forma que la misma sucesión de operaciones elementales reduzcan L a la matriz identidad Entonces De aquí se deduce (E p E 1 )A U y (E p E 1 )L I A (E p E 1 ) 1 U LU Ejemplo Calcular la factorización LU de la matriz A La primera columna de L es la primera columna pivote de A dividida por el primer elemento: L Claramente, las operaciones elementales que produzcan ceros en la primera columna de A también producirán ceros en la primera columna de L Ahora intentamos hallar una forma escalonada de A utilizando solamente operaciones de reemplazo Después de crear ceros en la primera columna, el problema ha sido reducido a uno con una fila y una columna menos: A

11 3 Matrices y Determinantes 35 Factorización de rango máximo A de donde L y L En el siguiente paso: A y, puesto que A A de donde L , tenemos: y L A U Rango de una matriz y factorización de rango máximo Se llama rango de una matriz A, y se denota ran(a), al número de pivotes de A (es decir, el número de filas no nulas o de elementos principales en cualquier forma escalonada de A): ran(a) número de pivotes de A Rango de una matriz Como los distintos pivotes están en distintas filas, el rango de una matriz es siempre menor o igual al número de filas de la matriz Análogamente, como los distintos pivotes están en distintas columnas, el rango de una matriz es siempre menor o igual al número de columnas de la matriz En consecuencia, si A es una matriz m n de rango r, su rango es siempre menor o igual que el mínimo de m y n: r mín(m, n) En consecuencia, decimos que A tiene rango máximo si su rango verifica: r mín(m, n) En la matriz (ampliada) de un sistema de ecuaciones lineales compatible no hay ningún pivote en la columna de los términos independientes por tanto su rango es igual al de la matriz de coeficientes Por otra parte, el sistema será determinado si y sólo si ese rango es igual al número de incógnitas Se llama factorización de rango máximo de una matriz A a toda descomposición de A como producto de dos matrices, A MN, de tal forma que M y N sean matrices de rango máximo y ambas con el mismo rango que A Veremos a continuación que el cálculo de la forma escalonada reducida nos ofrece sin más cálculos una factorización de rango máximo de cualquier matriz no nula Evidentemente la factorización de rango máximo de una matriz no es única, pues si A MN es una factorización de rango máximo de una matriz no nula de rango r, para cualquier matriz inversible r r, B, A (MB)(B 1 N) es también una factorización de rango máximo de A 11 Matriz de rango máximo

12 35 Factorización de rango máximo 3 Matrices y Determinantes La factorización de rango máximo proporcionada por la forma escalonada reducida Para una matriz cualquiera A, de m filas, n columnas y rango r < mín(m, n), sea M la matriz formada por sus columnas pivote y sea N la matriz formada por las filas no nulas de su forma escalonada reducida El número de columnas de M es igual al rango de A y lo mismo ocurre con el número de filas de N ya que la forma escalonada reducida tiene exactamente una fila no nula por cada pivote de A En consecuencia se puede multiplicar M por N y el resultado es una matriz m n Ejemplo Sea A la matriz A Calculamos su forma escalonada reducida: A 1 2 F F 2 2F F 1 + 2F F 4 F F 1 + 3F F Las columnas pivote de A son la primera, tercera y cuarta, por tanto las matrices M y N son El producto de M y N es: M , y N MN Por qué es el resultado de este producto igual a la matriz A de partida? La explicación es muy sencilla Por un lado, al multiplicar M por una cualquiera de las columnas pivote de N (que son columnas de una matriz identidad) da como resultado la correspondiente columna pivote de A Esto explica por qué se recuperan las columnas pivote y colocadas en su sitio Pero también es claro que cada columna no pivote de N consiste en los coeficientes que necesitamos en una combinación lineal de las columnas pivote de A para que el resultado sea la correspondiente columna no pivote de A En consecuencia, el cálculo de la forma escalonada reducida de una matriz nos proporciona una factorización de rango máximo de esa matriz: Toda matriz de rango r > 0 es igual al producto de la matriz formada por sus columnas pivote por la matriz formada por las filas no nulas de su forma escalonada reducida Ejemplo La matriz A

13 3 Matrices y Determinantes 36 Matrices por bloques tiene claramente rango 2 y sus dos primeras columnas son linealmente independientes, por lo tanto se tiene A x1 y x y 2 x1 y1 donde las columnas e son respectivamente las soluciones ( únicas!) de los sistemas Resolviéndolos: x 2 y x1 3 4, x y1 4 6 y Matrices por bloques En la introducción de matrices como tablas de números que representaban sistemas de ecuaciones y en el método de las operaciones elementales para su resolución predominaba la idea de matriz como conjunto de filas, una para cada ecuación Por otra parte, la definición del producto de matrices y de la matriz traspuesta se ha basado en considerar una matriz como un conjunto ordenado de columnas y no simplemente como un rectángulo de números En otras palabras, hemos estado considerando una matriz como una fila de matrices columna Esto se podría llamar una descomposición de una matriz en bloques-columna En esta sección vamos a ver que la descomposición de las matrices en otros tipos de bloques puede ser enormemente útil En general, podemos partir tanto las filas como las columnas de una matriz m n, A, para obtener una descomposición de A en submatrices A I J, donde I 1, 2,, p y J 1, 2,, q: A A 11 A 12 A 1q A 21 A 22 A 2q A p1 A p2 A pq n 1 n 2 n q donde la submatriz A I J tiene m I filas y n J columnas, es decir tamaño m I n J Esta descomposición se llama descomposición por bloques de la matriz A Los números m 1, m 2,, m p y n 1, n 2,, n q que indican los tamaños de los bloques verifican, evidentemente, que m 1 m 2 m p m 1 + m m p m y n 1 + n 2 + n q n La submatriz A I J es el bloque I J de esta descomposición por bloques de A Operaciones con matrices por bloques Lo interesante de operar con matrices por bloques es que podemos actuar como si cada bloque fuese un número Entonces las operaciones con matrices por bloques se reducen a las operaciones con matrices que ya conocemos, excepto que hay que asegurarse de que cuando vayamos a sumar o multiplicar dos bloques sus tamaños sean compatibles para la operación que queremos realizar 13

14 36 Matrices por bloques 3 Matrices y Determinantes Multiplicación por escalares El caso de multiplicación de una matriz por bloques por un escalar no ofrece dificultad ya que todo bloque, independientemente de su tamaño, se puede multiplicar por cualquier número Suma de matrices por bloques Para poder sumar dos matrices por bloques, es necesario no sólo que sean matrices del mismo tamaño sino también que estén divididas en bloques de la misma forma de tal manera que bloques correspondientes sean del mismo tamaño y se puedan sumar Producto de matrices por bloques Para hallar el producto AB de dos matrices por bloques se puede usar la regla usual de fila por columna siempre que el número de bloques en cada fila de bloques de A sea igual al número de bloques en cada columna de bloques de B y además que los bloques en esa fila de bloques de A sean compatibles para multiplicación por los bloques de la columna de bloques de B Una de las consecuencias de la multiplicación de matrices por bloques es la siguiente alternativa a la regla fila por columna para la multiplicación de matrices: Regla columna por fila: Sean a 1,, a n las columnas de A y sean b 1,, b n las filas de B Entonces el producto matricial a 1 b 1 es una matriz con tantas filas como A y tantas columnas como B Lo mismo ocurre con los demás productos a i b i y el producto de matrices AB es igual a la suma: AB a 1 b a n b n Ejemplo Sea A1 A 2 A A 3 A 4 una matriz cuadrada de orden 2n descompuesta en cuatro bloques n n, A 1, A 2, A 3, A 4 Se trata de encontrar una matriz P1 P 2 P P 3 P 4 con P 1, P 2, P 3, P 4 bloques n n, verificando que el producto PA intercambie la primera y la segunda fila de bloques de la matriz A, es decir, tal que A3 A 4 PA A 1 A 2 Dado que el intercambio de filas es una operación elemental, basta realizar esta operación sobre la matriz identidad por bloques: I 0, P 0 I Efectuando el producto PA por bloques obtenemos y se verifica lo pedido 0 I I 0 P 1 A 1 + P 2 A 3 0A 1 + IA 3 A 3 P 1 A 2 + P 2 A 4 0A 2 + IA 4 A 4 P 3 A 1 + P 4 A 3 IA 1 + 0A 3 A 1 P 3 A 2 + P 4 A 4 IA 2 + 0A 4 A 2 14

15 3 Matrices y Determinantes 36 Matrices por bloques 5 Ejercicio de tarea En las condiciones del ejemplo anterior hállense: (a) Una matriz P tal que PA sea igual al resultado de multiplicar la primera fila de bloques de A por la izquierda por una matriz inversible X de orden n (b) Una matriz P tal que PA sea igual al resultado de sumar a la segunda fila de bloques de A la primera fila de bloques multiplicada por la izquierda por una matriz cuadrada X de orden n Inversa de una matriz por bloques En general no es sencillo calcular la inversa de una matriz por bloques realizando solamente operaciones por bloques, pero hay un caso especial en el que sí es posible: Es el caso de una matriz partida en 2 2 bloques, que sea triangular por bloques y tal que los bloques en la diagonal sean cuadrados Sean A y C matrices cuadradas (no necesariamente del mismo tamaño) y sea B una matriz con el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que C, de forma que se puede formar la matriz por bloques ( A B 0 C ), que resulta ser una matriz cuadrada Entonces 1 A B 0 C ( A 1 A 1 BC 1 0 C 1 ) (33) Es sencillo demostrar la fórmula (33) por medio de la multiplicación directa, es decir, calculando el producto ( A 1 A 1 BC 1 ) A B 0 C 1 0 C 6 Ejercicio de tarea Usando las propiedades de la traspuesta deduce la siguiente fórmula a partir de (33): 1 ( A 0 A 1 ) 0 B C C 1 BA 1 C 1 (34) 7 Ejercicio de tarea Usa las fórmulas (33) y (34) según convenga para calcular la siguiente matriz inversa: Solución: Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 5, Ejercicio 6, Ejercicio 7 15

16 37 Determinantes 3 Matrices y Determinantes 37 Determinantes 371 Definición de determinante Para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden n tenemos que saber elegir n elementos de la matriz de forma que tomemos solo un elemento de cada fila y de cada columna como se ilustra en la siguiente figura: (35) Además, hacer una elección de elementos de esta forma no es suficiente Hay, en general, muchas formas de elegir n elementos de forma que se cumpla dicha condición y es necesario realizar todas las elecciones posibles Ejercicio (a) Cuál es el número total de dichos productos en una matriz de tamaño 3 3? (b) Cuál es la fórmula general que nos da el número de dichos productos para una matriz de orden n? Solución: (a) 6 (b) n! Para cada elección de n elementos elegidos como se ha dicho, tenemos que hallar el producto todos ellos y volver a elegir otros n elementos tomando sólo uno de cada fila y uno de cada columna y hallar su producto y así sucesivamente Definición de determinante Definición El determinante de una matriz cuadrada es la suma equilibrada de todos esos posibles productos que se pueden formar eligiendo un elemento de cada fila de forma que estén todos en distintas columnas Significado de suma equilibrada Qué es una suma equilibrada? La expresión suma equilibrada en la definición de determinante significa que cada uno de esos productos va multiplicado por +1 o por 1 según cómo se hayan elegido los factores Concretamente, cada uno de esos productos va multiplicado por ( 1) p siendo p el número de intercambios de filas y columnas que sean necesarios para colocar todos los factores de ese producto en la diagonal Por ejemplo, para el producto de los elementos elegidos en (35), el número de intercambios de filas o columnas es p 3 ya que se necesitan tres intercambios: F 1 F F 3 F F 4 F

17 3 Matrices y Determinantes 37 Determinantes por lo tanto el sumando correspondiente a esta elección de elementos es: ( 1) Si todos los factores se han elegido sobre la diagonal, p 0 y el producto va multiplicado por ( 1) 0 1 El ejemplo típico de esto es el de cualquier matriz identidad En ella hay un único producto de elementos elegidos de distintas filas y columnas que no da cero: es el producto de los elementos de la diagonal Por tanto tenemos: Matriz identidad orden n, El determinante de una matriz identidad es 1 Si I n es la matriz identidad de det I n 1, det( I n ) ( 1) n Matriz diagonal Igual que en una matriz identidad, en una matriz diagonal el producto de los elementos de la diagonal es el único producto de elementos elegidos de distintas filas y columnas que no da cero Por lo tanto: d det 0 0 d 1 d n 0 0 d n Determinante de una matriz 2 2 El ejemplo general no trivial más sencillo de cálculo de determinantes es el del determinante de una matriz 2 2, A a b c d En este caso sólo hay dos productas posibles: ad y bc El primero llevará signo positivo y el segundo negativo, por tanto: a b det ad bc c d 372 Consecuencias inmediatas de la definición Determinante de la matriz traspuesta Dado que la definición de determinante es simétrica respecto a las filas y columnas, el valor del determinante de una matriz es igual al de su traspuesta det(a T ) det A Consecuencia: Toda propiedad de los determinantes enunciada en términos de filas y columnas se cumple también al sustituir cada ocurrencia de la palabra fila por columna y cada ocurrencia de la palabra columna por fila Matriz con una fila o columna de ceros Si todos los elementos de una fila o de una columna son cero el determinante es cero (Puesto que en cada uno de los productos hay un factor igual a cero) Por ejemplo: det a b 0 d e 0 0 g h 0 17

18 37 Determinantes 3 Matrices y Determinantes Efecto de un intercambio de filas o columnas Si se intecambian las posiciones de dos filas o de dos columnas de una matriz, se cambia el signo de su determinante (ya que se cambia el signo de cada sumando en la suma equilibrada ) Consecuencia 1: Si P jk es la matriz elemental que intercambia las filas j y k, (a) det(p jk A) det A (b) det P jk 1 (c) det(p jk A) det P jk det A Consecuencia 2: Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante es cero (ya que intercambiando esas dos filas o columnas el determinante no cambia y a la vez cambia de signo) Por ejemplo: det a b a d e d 0 g h g Trasladar una fila arriba o abajo o una columna a derecha o izquierda Trasladar una fila hacia arriba atravesando k filas es colocarla justo encima del bloque formado por las k filas inmediatamente anteriores sin alterar el orden de esas k filas Esto es equivalente a realizar k intercambios de filas y por tanto el determinante queda multiplicado por ( 1) k Lo mismo ocurre al trasladar una fila atravesando k filas hacia abajo o cuando esto se hace con columnas en lugar de filas Si se traslada una fila a derecha o izquierda atravesando k filas o se tralada una columna arriba o abajo atravesando k columnas el determinante queda multiplicado por ( 1) k 8 Ejercicio de tarea Usa la propiedad anterior para demostrar que si en una matriz se traslada todo un bloque de h filas a derecha o izquierda atravesando un bloque de k filas el determinante queda multiplicado por ( 1) hk Usa este resultado para calcular 0 In det I m 0 Efecto de un reescalado de una fila o columna Si se multiplican todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz por un número, se multiplica su determinante por ese número Consecuencia 1: Si E λ es una matriz elemental de reescalado por el escalar λ, (a) det(e λ A) λ det A (b) det E λ λ (c) det(e λ A) det E λ det A Consecuencia 2: Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas que son una múltiplo de la otra, su determinante es cero (ya que es un múltplo del determinante de una matriz con dos filas o columnas iguales) Por ejemplo: det a b 3a d e 3d 3 det a b a d e d 0 g h 3g g h g Múltiplo escalar de una matriz Si una matriz cuadrada de orden n la multiplicamos por un número p, todas las columnas quedan multiplicadas por p, luego el determinante de la matriz queda multiplicado por p n veces, es decir, el determinante queda multiplicado por p n Esta propiedad nos permite contestar a la siguiente pregunta: 18

19 3 Matrices y Determinantes 37 Determinantes Ejercicio: Sea A Sabiendo que det A 20 calcular det(3a) Solución: det(3a) Matriz triangular Si todos los elementos encima o debajo de la diagonal son cero, todos los productos en los que intervenga un elemento fuera de la diagonal son cero y el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal a a 11 a 21 a m1 det a 21 a 22 0 a 11 a mm det 0 a 22 a m2 a m1 a m2 a mm 0 0 a mm 373 Cálculo del determinante por desarrollo de cofactores de una fila o columna Desarrollo por la primera columna Si queremos calcular un determinante, necesitamos formar todos los posibles productos que se pueden formar eligiendo un elemento de cada fila y de cada columna Esto se puede hacer ordenadamente de la siguiente forma: Primero formamos todos los productos en los que aparece el primer elemento de la primera columna, a 11 La suma de todos estos productos (cada uno con su signo) es igual a a 11 multiplicado por el determinante de la matriz A 11 que se obtiene al eliminar en la original la primera fila y la primera columna, es decir (ver más abajo), el determinante del menor del elemento (1, 1) Después formamos todos los productos en los que interviene el segundo elemento de la primera columna, a 21 La suma equilibrada de estos productos es igual a a 21 multiplicado por el determinante de la matriz A 21 que se obtiene al eliminar en la original la segunda fila y la primera columna (el menor del elemento (2, 1)) Continuando de esta manera, vemos que el determinante de la matriz se puede expresar como una suma de productos de los elementos a i1 de la primera columna, cada uno de ellos multiplicado por el determinante de una matriz de un orden menor que la dada: det A a 11 det A 11 a 21 det A 21 + ± a n1 det A n1 (36) Para entender perfectamente esta forma de calcular un determinante necesitamos introducir algunos conceptos: Menor de un elemento Dada una matriz A, se llama menor del elemento que ocupa la posición (i, j) (es decir, fila i, columna j) y se denota A ij a la matriz obtenida al eliminar toda la fila i y toda la columna j de la matriz dada Cofactor de un elemento Dada una matriz cuadrada A, se llama cofactor del elemento que ocupa la posición (i, j) al determinante det A ij del menor de ese elemento multiplicado por +1 o 1 dependiendo de si i + j es par o impar Así, el cofactor del elemento (i, j) de la matriz A se calcula por la fórmula: C ij ( 1) i+j det A ij Usando cofactores, la fórmula (36) se puede escribir: det A a 11 C a n1 C n1 19

20 37 Determinantes 3 Matrices y Determinantes Los cofactores de los elementos de una fila o columna nos permiten calcular el determinante de una matriz cuadrada mediante la fórmula de expansión del determinante por los cofactores de una fila o columna La expansión del determinante de una matriz n n, A (a ij ) por la columna j es: det A a 1j C 1j + + a nj C nj La expansión del determinante de la misma matriz por la fila i es: det A a i1 C i1 + + a in C in 374 Consecuencias no tan inmediatas de la definición Efecto de descomponer una fila o columna como suma de dos Si en una matriz cuadrada se descompone una fila o columna como suma de dos, su determinante se descompone en suma de dos (esto se demuestra desarrollando el determinante por los elementos de dicha fila o columna) Por ejemplo: det a b c + p d e f + q (c + p)c 13 + ( f + q)c 23 + (k + r)c 33 g h k + r (cc 13 + f C 23 + kc 33 ) + (pc 13 + qc 23 + rc 33 ) det a b c d e f + det a b p d e q g h k g h r Efecto de sumar o restar a una fila otra fila o a una columna otra columna Si en una matriz cuadrada se le suma o resta a una fila otra fila o a una columna otra columna, su determinante no cambia Por ejemplo: det a b c + b d e f + e det a b c d e f + det a b b d e e det a b c d e f g h k + h g h k g h h g h k Efecto de una operación de reemplazo de una fila o columna Si a una fila o columna se le suma otra multiplicada por un escalar el determinante de la matriz no cambia Por ejemplo: det a b c + 3a d e f + 3d det a b c d e f g h k + 3g g h k Consecuencia: Si E es una matriz elemental de reemplazo y A es una matriz cuadrada del mismo tamaño que E, (a) det(ea) det A (b) det E 1 (c) det(ea) det E det A Con lo anterior se completan las consecuencias de los efectos que tiene sobre el determinante de una matriz el realizar operaciones elementales de filas En el siguiente ejercicio se obtiene una importante propiedad de la que se obtendrán consecuencias en el ejercicio 11 20

21 3 Matrices y Determinantes 37 Determinantes matriz unitriangular 9 Ejercicio de tarea (a) Usando el hecho de que toda matriz unitriangular inferior (triangular inferior con unos en la diagonal) multiplicada por la izquierda por cualquier matriz efectúa sobre ésta una sucesión de operaciones de reemplazo de filas que no cambian el determinante, justifica que si M es una matriz unitriangular inferior entonces det(ma) det A (37) (b) Usa las propiedades de la traspuesta para deducir, a partir de (37), que si N es una matriz unitriangular superior det(an) det A (38) Pista: (a) M es el producto de matrices elementales de reemplazo de filas 375 Cálculo de un determinante por reducción a forma escalonada De las propiedades enunciadas en la sección anterior se deduce que si una matriz A se transforma, mediante operaciones elementales de filas, en una matriz escalonada U y solamente se han usado operaciones de reemplazo y de intercambio (o sea, sin usar operaciones de reescalado, lo cual, por otra parte, siempre es posible), entonces el determinante de la matriz escalonada U es igual al determinante de A multiplicado por ±1 dependiendo de si el número de operaciones de intercambio ha sido par o impar En otras palabras, si U es una forma escalonada de A obtenida sin operaciones de reescalado y con r operaciones de intercambio, entonces det A ( 1) r det U Al aplicar esta técnica de cálculo de un determinante no es necesario limitarse a operaciones elementales de filas Se pueden realizar operaciones elementales de filas y de columnas mezcladas según convenga, teniendo cuidado de contabilizar en r el número total de intercambios de filas y columnas Puesto que toda matriz cuadrada escalonada es triangular, el determinante de U es igual al producto de todos los elementos de su diagonal y en consecuencia, el determinante de A es igual a ( 1) r multiplicado por todos los elementos de la diagonal de U Si A no es inversible (es decir, es singular) entonces la matriz escalonada U tiene algún elemento de la diagonal igual a cero y en consecuencia su determinante es cero Recíprocamente si U tiene determinante cero, algún elemento de su diagonal es cero y su número de pivotes es menor que el número de columnas Esto implica que A es necesariamente singular, Por tanto tenemos: Proposición cero: Una matriz es singular (no tiene inversa) si y sólo si su determinante es igual a det A 0 si y sólo si A es singular 376 Teorema fundamental del cálculo de determinantes Teorema (a) De los efectos que tiene sobre el determinante de una matriz el realizar operaciones elementales de filas (véase más arriba) se deduce que para toda matriz elemental E y toda matriz A del mismo tamaño se verifica det(ea) det E det A (39) (b) Del apartado (a) se deduce que si A y B son dos matrices cuadradas del mismo tamaño, det(ab) det A det B (310) 21

22 37 Determinantes 3 Matrices y Determinantes Demostración: Basta demostrar (b) ya que el apartado (a) se ha justificado ampliamente más arriba En el caso de que A no es inversible entonces AB tampoco lo es y, por la proposición de la sección anterior, ambos miembros de la ecuación son iguales a cero Si A es inversible entonces es igual a un producto de matrices elementales: A E 1 E k y en consecuencia: det(ab) det(e 1 ) det(e 2 E k B) det E 1 det E k det B det(e 1 E k ) det B det A det B Corolario 1 Si A es una matriz inversible, entonces det(a 1 ) 1 det A (311) Corolario 2 Si A y B son dos matrices semejantes (esto es, existe una matriz inversible, M, tal que A MBM 1 ) entonces, det A det B 377 Ejemplos de determinantes especiales (a) Si en una matriz cuadrada de orden n todos los elementos de una columna son iguales a p, su determinante es igual a p multiplicado por un determinante de orden n 1 Lo mismo ocurre si todos los elementos de una fila son iguales Se resta la primera fila de cada una de las demás, con lo que la columna en cuestión se convierte en (p, 0,, 0) y ahora se desarrolla el determinante por esa columna det a b p d e p det g h p a b p d a e b 0 g a h b 0 ( ( 1) 1+3 d a e b p det g a h b (b) Si en una matriz cuadrada de orden n la suma de los elementos de una fila es igual a la de los de otra fila cualquiera (todas las filas tienen la misma suma) entonces el determinante es igual a esa suma multiplicada por un determinante de orden n 1 Para verlo, realizamos sobre la matriz original las siguientes operaciones de reemplazo: Sumamos a la primera columna todas las demás columnas, con lo cual la primera columna tiene todos los elementos iguales y estamos en la situación del ejemplo anterior det a b c b c a det a + b + c b c a + b + c c a c b a a + b + c b a ( c b a c (a + b + c) det b b a c ) ) 378 Determinantes de matrices por bloques Sean A y C matrices cuadradas (no necesariamente del mismo tamaño) y sea B una matriz con el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que C, de forma que se puede formar la matriz por bloques A B 0 C Entonces A B det det A det C (312) 0 C 22

23 3 Matrices y Determinantes 37 Determinantes Esto es una sencilla consecuencia del teorema fundamental (ver ecuación (310)) combinado con la siguiente identidad: ( A B A 0 I A 1 ) B, 0 C 0 I 0 C pero también puede demostrarse de forma independiente del teorema fundamental usando solamente la definición de determinante La demostración se basa en la observación de que al formar los productos de elementos que forman el determinante de A B 0 C, si en un producto determinado apareciese un elemento de B, también habría uno del bloque nulo simétrico y ese producto sería cero Cada uno de los productos no nulos es, pues, un producto de dos factores: uno es uno de los productos que forman det A y el otro es uno de los productos que forman det C Usando las propiedades de la traspuesta es muy sencillo deducir de (312) su versión traspuesta : A 0 det det A det C (313) B C La fórmula (312) (y análogamente la (313)) sigue siendo cierta en un caso más general Supongamos que A es una matriz n n partida en k k bloques (no necesariamente del mismo tamaño) y tal que los bloques de la diagonal, A ii para i 1, k, son cuadrados (siendo el tamaño de A ii, p i p i ) y los bloques debajo de la diagonal son todos matrices nulas, A 11 A 12 A 1k 0 A 22 A 2k A 0 0 A kk Entonces el determinante de A es el producto de los determinantes de las matrices de la diagonal: det(a) det(a 11 ) det(a kk ) (314) Esta fórmula puede deducirse de (312) por el método de inducción 10 Ejercicio de tarea Si A es una matriz inversible y M A B C D es una matriz cuadrada, demuestra I 0 A B A B CA 1 I C D 0 D CA 1 B y usa el ejercicio 9-ecuación (37) para deducir de ello A B det det A det(d CA 1 B) C D Las operaciones de matrices por bloques son una poderosa herramienta para demostrar algunas fórmulas que aparentemente no tienen nada que ver con las matrices por bloques Como ejemplo, el siguiente ejercicio demuestra la fórmula (310) 11 Ejercicio de tarea El objetivo de este ejercicio es demostrar el teorema fundamental del cálculo de determinantes, det(ab) det A det B, usando solamente las propiedades de las operaciones de matrices por bloques Para ello hacemos los siguientes pasos donde A, B, C y D son matrices cuadradas del mismo tamaño e I es la matriz identidad del mismo tamaño que A, B, etc: 23

24 38 Regla de Cramer y fórmula de la matriz inversa 3 Matrices y Determinantes (a) Demuestra que A B C D det det C D A B ) ) ( A B C D ) ( I I 0 I ) ( I 0 I I ( I I 0 I Pista: Calcula el producto (b) Usa el resultado anterior combinado con (313) (supuesto demostrado independientemente del teorema fundamental) para deducir A B det det( C) det B C 0 (c) Usa la multiplicación de matrices por bloques para comprobar la identidad A 0 I B A AB I B 0 I I 0 y deduce de ella, del apartado anterior y del ejercicio 9-ecuación (38), que A 0 det(ab) det I B (d) Combina (313) con el resultado anterior para deducir la fórmula buscada Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 8, Ejercicio 9, Ejercicio 10, Ejercicio Regla de Cramer y fórmula de la matriz inversa La regla de Cramer es un método que nos permite escribir una fórmula para cada incógnita de un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes es una matriz inversible Dichas fórmulas nos permiten calcular la solución de dicho sistema por medio de determinantes Para explicar la fórmula que corresponde a cada incógnita es necesario comprender una operación especial que se puede realizar sobre una matriz de m filas y que consiste en sustituir una columna determinada por un vector dado de R m La operación de sustituir una columna de una matriz por un vector dado Supongamos que A es una matriz de m filas y n columnas, y que b es un vector de R m Denotamos A (j b) la matriz obtenida a partir de A al sustituir la columna j de A por el vector b Por ejemplo, si entonces A y b 5 9 a b c A (1 b) a 0 b 4, A (2 b) 1 a 2 b c 9 5 c En relación con esta operación de matrices el cálculo de determinantes tiene las siguientes propiedades: 24