ALN. Repaso matrices. In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República

Transcripción

1 ALN Repaso matrices In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República

2 Definiciones básicas - Vectores

3 Definiciones básicas - Vectores Construcciones Producto interno: ( x, y n i x y i i ' α Producto externo: PE x' y Combinación lineal: u n i αiv i

4 Definiciones básicas - Vectores a v a v a v 2 2 n n

5 { v v } B, 2,..., v n ( v i, v j si i j

6 Definiciones básicas - Vectores Espacios Vectoriales: Conjunto V con las operaciones + y. definidas tal que se cumpla: av au v u a bu au u b a u ab bu a u u u u u u w v u w v u u v v u ( ( ( ( * ( ( ( V w v u,,

7 Definiciones básicas - Vectores Sub-espacios vectoriales: Un sub-espacio vectorial de un espacio vectorial V es un subconjunto V de V, que es espacio vectorial con las operaciones definidas de V.

8 Definiciones básicas - Vectores Un conjunto finito de vectores se dice que es base de un espacio vectorial V, si: Los vectores son linealmente independientes Todo elemento de V es una combinación lineal de los vectores del conjunto La cantidad de elementos necesarios para formar una base de un espacio vectorial es llamada dimensión de dicho espacio

9 Una matriz de dimensiones mxn es un conjunto de escalares ordenados en una grilla de m filas y n columnas para el cual están definidas distintas operaciones (suma, resta, multiplicación, inversa, norma, determinante, etc Representan transformaciones lineales de un espacio vectorial. A a a.. a 2 m a a.. a 2 22 m a a.. a n 2n mn

10 Con a ij nos referimos al elemento de la fila i y columna j de la matriz A. A T se denomina matriz transpuesta: a T ij a ji A * o A H se denomina matriz transpuesta conjugada: aa iiii HH aa jjjj

11 Operaciones Suma: C A + B c a + ij ij b ij Multiplicación: ij n k C A* B c a * b ik kj

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13 Definiciones básicas - Normas Normas Una función de (vectores, matrices, otros a escalares que cumple las siguientes propiedades: x x V x sii x αx α x con x V,α R x + y x + y con x, y V

14 Definiciones básicas - Normas Ejemplos: Normas-p x x p n ( x j max j p {( x ; j,2... n} j p Normas matriciales A pq max A max x x R, x Ax Ax x q p (Norma matricial natural A n max a ij, i,2,... n j

15 Definiciones básicas v&v propios Vectores y valores propios: Si A es una matriz de nxn, entonces se dice que un vector v diferente de cero, es un vector propio de A si: Av λv es el valor propio de la matriz A asociado al vector propio v λ Presentes en muchos problemas de ingeniería: Estabilidad de sistemas físicos, soluciones de ecuaciones diferenciales, Google Page Rank!!!

16 Definiciones básicas v&v propios Los valores propios son las soluciones de: det( A λi Los vectores propios asociados a λλ son los xx solución de: ( A λi x

17 Definiciones básicas radio espectral Def.espectro de A ( σ (A es el σ (A : { λ Av λv } j j j conjunto de valores propios, Def. radio espectral de A ( ρ(a es el mayor de los modulos de sus valores propios ρ( A max λ j

18 Determinante (definición: Es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real.

19 Determinante (propiedades: det( det( det( det( det( det( det( det( det( det( det( det( I A A A A A A B A AB BA AB n t α α

20 Algunas clases particulares: Simétricas Hermitianas No-negativas Unitarias de Permutación Diagonales Triangulares (superior, inferior Bi-diagonal (superior, inferior de banda Hessenberg superior

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25 Matrices particulares: de Permutación Propiedades: En cada fila columna hay un solo elemento igual a mientras que el resto son. Son unitarias Al multiplicarlas por una matriz/vector producen una permutación de las filas/columnas de la misma, o de los elementos del vector P

26 Matrices particulares: Diagonales Poseen elementos no nulos únicamente en la diagonal Propiedades P Son simétricas, triangulares (inf y sup Sus valores propios son los elementos de la diagonal Su determinante es el producto de los elementos de la diagonal Fáciles de almacenar y operar 5 5

27 Matrices particulares: Triangulares (inferior, superior aa iiii ssssss ii > jj ssssssssssssssss Propiedades: Sus valores propios son los elementos de la diagonal Su determinante es el producto de los elementos de la diagonal. Definiciones básicas - Matrices L U

28 Otras matrices particulares: Bi-diagonal (inferior, superior BL BU

29 Otras matrices particulares: Hessenberg superior He /,, + > j i j i a ij

30 Matrices particulares: de banda l m u m, B u l ij m i j m i a +,

31 Definiciones básicas Sistema de ecuaciones lineales: Encontrar x tal que Ax b. Problema muy frecuente en modelos numéricos (sistemas físicos, economía, procesamiento de señales, optimización y muuuuuchos más!!! Teorema: Sea A una matriz (nxn con elementos de R, son equivalentes las siguientes afirmaciones: Ax b tiene una única solución Ax implica x A existe Det(A! Rango (An

32 Al final de todo. Problemas a resolver durante los dos primeros temas del curso: Ax b Av j λ j v j λ det( A I j