Campos sin divergencia y potenciales vectores

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1 Campos sin divergencia y potenciales vectores Jana Rodriguez Hertz Cálculo 3 IMERL 24 de mayo de 2011

2 campo sin divergencia campo sin divergencia campo sin divergencia X : Ω R 3, X = (A, B, C)

3 campo sin divergencia campo sin divergencia campo sin divergencia X : Ω R 3, X = (A, B, C) campo sin divergencia o solenoidal si

4 campo sin divergencia campo sin divergencia campo sin divergencia X : Ω R 3, X = (A, B, C) campo sin divergencia o solenoidal si div X = 0, es decir

5 campo sin divergencia campo sin divergencia campo sin divergencia X : Ω R 3, X = (A, B, C) campo sin divergencia o solenoidal si div X = 0, es decir A x + B y + C z = 0

6 potencial vector potencial vector potencial vector X, Y : Ω R 3

7 potencial vector potencial vector potencial vector X, Y : Ω R 3 Y potencial vector de X si

8 potencial vector potencial vector potencial vector X, Y : Ω R 3 Y potencial vector de X si X = rot Y

9 teorema teorema teorema X : R 3 R 3

10 teorema teorema teorema X : R 3 R 3 X campo sin divergencia

11 teorema teorema teorema X : R 3 R 3 X campo sin divergencia X tiene un potencial vector

12 teorema teorema teorema X : R 3 R 3 X campo sin divergencia X tiene un potencial vector Y tal que X = rot Y

13 observación observación observación importante para que valga el teorema, X tiene que estar definido y ser solenoidal en todo R 3

14 construcción de un potencial vector demostración X = (A, B, C) dato

15 construcción de un potencial vector demostración X = (A, B, C) dato Y = (P, Q, R) desconocido

16 construcción de un potencial vector demostración X = (A, B, C) dato Y = (P, Q, R) desconocido queremos que rot Y = X

17 construcción de un potencial vector demostración X = (A, B, C) dato Y = (P, Q, R) desconocido queremos que rot Y = X rot Y i j k = x y z P Q R

18 construcción de un potencial vector demostración X = (A, B, C) dato Y = (P, Q, R) desconocido queremos que rot Y = X rot Y i j k = x y z P Q R rot Y = (R y Q z, P z R x, Q x P y ) = (A, B, C)

19 construcción de un potencial vector demostración R y Q z = A queremos que P z R x = B Q x P y = C

20 construcción de un potencial vector demostración R y Q z = A queremos que P z R x = B Q x P y = C tenemos muchos grados de libertad, así que pedimos R = 0

21 construcción de un potencial vector demostración R y Q z = A queremos que P z R x = B Q x P y = C tenemos muchos grados de libertad, así que pedimos R = 0 Q z = A (1) P z = B (2) Q x P y = C (3)

22 construcción de un potencial vector demostración de (1) Q = z 0 A(x, y, t)dt + g(x, y)

23 construcción de un potencial vector demostración de (1) Q = z 0 A(x, y, t)dt + g(x, y) de (2) P = z 0 B(x, y, t)dt + h(x, y)

24 construcción de un potencial vector demostración de (1) Q = z 0 A(x, y, t)dt + g(x, y) de (2) P = z 0 B(x, y, t)dt + h(x, y) verifiquemos (3) Q x P y = z 0 (A x + B y )dt + g x h y

25 construcción de un potencial vector demostración de (1) Q = z 0 A(x, y, t)dt + g(x, y) de (2) P = z 0 B(x, y, t)dt + h(x, y) verifiquemos (3) Q x P y = z 0 (A x + B y )dt + g x h y Q x P y = z 0 C z + g x h y

26 construcción de un potencial vector demostración de (1) Q = z 0 A(x, y, t)dt + g(x, y) de (2) P = z 0 B(x, y, t)dt + h(x, y) verifiquemos (3) Q x P y = z 0 (A x + B y )dt + g x h y Q x P y = z 0 C z + g x h y Q x P y = C(x, y, z) C(x, y, 0) + g x h y = C

27 construcción de un potencial vector demostración de (1) Q = z 0 A(x, y, t)dt + g(x, y) de (2) P = z 0 B(x, y, t)dt + h(x, y) verifiquemos (3) Q x P y = z 0 (A x + B y )dt + g x h y Q x P y = z 0 C z + g x h y Q x P y = C(x, y, z) C(x, y, 0) + g x h y = C lo cumple, por ejemplo h(x, y) = y 0 C(x, t, 0)dt, g(x, y) = 0

28 construcción de un potencial vector demostración P = z 0 B(x, y, t)dt y 0 C(x, y, 0) chequeemos Q = z 0 A(x, y, t)dt R = 0

29 construcción de un potencial vector demostración P = z 0 B(x, y, t)dt y 0 C(x, y, 0) chequeemos Q = z 0 A(x, y, t)dt R = 0 cumple: R y Q z =

30 construcción de un potencial vector demostración P = z 0 B(x, y, t)dt y 0 C(x, y, 0) chequeemos Q = z 0 A(x, y, t)dt R = 0 cumple: R y Q z = A

31 construcción de un potencial vector demostración P = z 0 B(x, y, t)dt y 0 C(x, y, 0) chequeemos Q = z 0 A(x, y, t)dt R = 0 cumple: R y Q z = A P z R x =

32 construcción de un potencial vector demostración P = z 0 B(x, y, t)dt y 0 C(x, y, 0) chequeemos Q = z 0 A(x, y, t)dt R = 0 cumple: R y Q z = A P z R x = B

33 construcción de un potencial vector demostración P = z 0 B(x, y, t)dt y 0 C(x, y, 0) chequeemos Q = z 0 A(x, y, t)dt R = 0 cumple: R y Q z = A P z R x = B Q x P y =

34 construcción de un potencial vector demostración P = z 0 B(x, y, t)dt y 0 C(x, y, 0) chequeemos Q = z 0 A(x, y, t)dt R = 0 cumple: R y Q z = A P z R x = B Q x P y = C

35 construcción de un potencial vector demostración P = z 0 B(x, y, t)dt y 0 C(x, y, 0) chequeemos Q = z 0 A(x, y, t)dt R = 0 cumple: R y Q z = A P z R x = B Q x P y = C rot Y = X

36 Averiguar si existe potencial vector Y de X = (x 1, y, 2x)

37 Averiguar si existe potencial vector Y de X = (x 1, y, 2x) con Y = (P, Q, R) tales que

38 Averiguar si existe potencial vector Y de X = (x 1, y, 2x) con Y = (P, Q, R) tales que P 0

39 Averiguar si existe potencial vector Y de X = (x 1, y, 2x) con Y = (P, Q, R) tales que P 0 Q(1, y, z) = 1 + y 2 + z

40 Averiguar si existe potencial vector Y de X = (x 1, y, 2x) con Y = (P, Q, R) tales que P 0 Q(1, y, z) = 1 + y 2 + z R(1, 0, z) = e z

41 div Y = (x 1) x + ( y) y + (2x) z = 0

42 div Y = (x 1) x + ( y) y + (2x) z = 0 existe un potencial vector, pero no sabemos si hay uno que verifique todas las restricciones

43 div Y = (x 1) x + ( y) y + (2x) z = 0 existe un potencial vector, pero no sabemos si hay uno que verifique todas las restricciones veamos: rot Y = X, P 0

44 div Y = (x 1) x + ( y) y + (2x) z = 0 existe un potencial vector, pero no sabemos si hay uno que verifique todas las restricciones veamos: rot Y = X, P 0 R y Q z = x 1 R x = y Q x = 2x

45 Q(x, y, z) Q(1, y, z) = x 1 Q x(t, y, z)dt

46 Q(x, y, z) Q(1, y, z) = x 1 Q x(t, y, z)dt Q(x, y, z) Q(1, y, z) = x 1 2tdt

47 Q(x, y, z) Q(1, y, z) = x 1 Q x(t, y, z)dt Q(x, y, z) Q(1, y, z) = x 1 2tdt Q(x, y, z) = 1 + y 2 + z + x 2 1

48 Q(x, y, z) Q(1, y, z) = x 1 Q x(t, y, z)dt Q(x, y, z) Q(1, y, z) = x 1 2tdt Q(x, y, z) = 1 + y 2 + z + x 2 1 = x 2 + y 2 + z

49 Q(x, y, z) Q(1, y, z) = x 1 Q x(t, y, z)dt Q(x, y, z) Q(1, y, z) = x 1 2tdt Q(x, y, z) = 1 + y 2 + z + x 2 1 = x 2 + y 2 + z R(x, y, z) R(1, y, z) = x 1 R x(t, y, z)dt

50 Q(x, y, z) Q(1, y, z) = x 1 Q x(t, y, z)dt Q(x, y, z) Q(1, y, z) = x 1 2tdt Q(x, y, z) = 1 + y 2 + z + x 2 1 = x 2 + y 2 + z R(x, y, z) R(1, y, z) = x 1 R x(t, y, z)dt R(x, y, z) R(1, y, z) = x 1 ydt

51 Q(x, y, z) Q(1, y, z) = x 1 Q x(t, y, z)dt Q(x, y, z) Q(1, y, z) = x 1 2tdt Q(x, y, z) = 1 + y 2 + z + x 2 1 = x 2 + y 2 + z R(x, y, z) R(1, y, z) = x 1 R x(t, y, z)dt R(x, y, z) R(1, y, z) = x 1 ydt R(x, y, z) = R(1, y, z) + yx y

52 R y Q z = x 1

53 R y Q z = x 1 R y (1, y, z) + x 2 = x 1

54 R y Q z = x 1 R y (1, y, z) + x 2 = x 1 R y (1, y, z) = 1

55 R y Q z = x 1 R y (1, y, z) + x 2 = x 1 R y (1, y, z) = 1 R(1, y, z) R(1, 0, z) = y 0 R y(1, t, z)dt

56 R y Q z = x 1 R y (1, y, z) + x 2 = x 1 R y (1, y, z) = 1 R(1, y, z) R(1, 0, z) = y 0 R y(1, t, z)dt R(1, y, z) = R(1, 0, z) + y = e z + y

57 R y Q z = x 1 R y (1, y, z) + x 2 = x 1 R y (1, y, z) = 1 R(1, y, z) R(1, 0, z) = y 0 R y(1, t, z)dt R(1, y, z) = R(1, 0, z) + y = e z + y R(x, y, z) = e z + y + yx y

58 R y Q z = x 1 R y (1, y, z) + x 2 = x 1 R y (1, y, z) = 1 R(1, y, z) R(1, 0, z) = y 0 R y(1, t, z)dt R(1, y, z) = R(1, 0, z) + y = e z + y R(x, y, z) = e z + y + yx y = e z + yx

59 conclusión:

60 conclusión: Y = (0, x 2 + y 2 + z, e z + yz)

61 conclusión: Y = (0, x 2 + y 2 + z, e z + yz) es el único potencial vector de X

62 conclusión: Y = (0, x 2 + y 2 + z, e z + yz) es el único potencial vector de X cumpliendo las restricciones dadas.

63 conclusión: Y = (0, x 2 + y 2 + z, e z + yz) es el único potencial vector de X cumpliendo las restricciones dadas. chequear que es el único.

64 recordar recordar es necesario que X esté definido y sea solenoidal en todo R 3 para que valga el teorema

65 ejemplo ejemplo un ejemplo donde div X = 0 en R 3 \ {0}, y X no tiene potencial vector

66 el campo gravitacional

67 el campo gravitacional X G = GMm(x,y,z) r = C G r 3 (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2

68 el campo gravitacional X G = GMm(x,y,z) r = C G r 3 (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 es solenoidal (no tiene divergencia)

69 r x = x r, r y = y r, r z = z r

70 r x = x r, r y = y r, r z = z r A x = C G r 3 3xr x r 2 r 6

71 r x = x r, r y = y r, r z = z r A x = C G r 3 3xr x r 2 r 6 A x = C G r 2 3x 2 r 5

72 r x = x r, r y = y r, r z = z r A x = C G r 3 3xr x r 2 r 6 A x = C G r 2 3x 2 r 5 B y = C G r 2 3y 2 r 5

73 r x = x r, r y = y r, r z = z r A x = C G r 3 3xr x r 2 r 6 A x = C G r 2 3x 2 r 5 B y = C G r 2 3y 2 r 5 C z = C G r 2 3z 2 r 5

74 r x = x r, r y = y r, r z = z r A x = C G r 3 3xr x r 2 r 6 A x = C G r 2 3x 2 r 5 B y = C G r 2 3y 2 r 5 C z = C G r 2 3z 2 r 5 div X G = A x + B y + C z

75 r x = x r, r y = y r, r z = z r A x = C G r 3 3xr x r 2 r 6 A x = C G r 2 3x 2 r 5 B y = C G r 2 3y 2 r 5 C z = C G r 2 3z 2 r 5 div X G = A x + B y + C z = 0

76 supongamos que existiera Y = (P, Q, R)

77 supongamos que existiera Y = (P, Q, R) tal que rot(p, Q, R) = r r 3

78 supongamos que existiera Y = (P, Q, R) tal que rot(p, Q, R) = r r 3 (la constante C G no tiene importancia)

79 supongamos que existiera Y = (P, Q, R) tal que rot(p, Q, R) = r r 3 (la constante C G no tiene importancia) R y Q z = x r 3 (1)

80 supongamos que existiera Y = (P, Q, R) tal que rot(p, Q, R) = r r 3 (la constante C G no tiene importancia) R y Q z = x r 3 (1) P z R x = y r 3 (2)

81 supongamos que existiera Y = (P, Q, R) tal que rot(p, Q, R) = r r 3 (la constante C G no tiene importancia) R y Q z = x r 3 (1) P z R x = y r 3 (2) Q x P y = z r 3 (3)

82 supongamos que existiera Y = (P, Q, R) tal que rot(p, Q, R) = r r 3 (la constante C G no tiene importancia) R y Q z = x r 3 (1) P z R x = y r 3 (2) Q x P y = z r 3 (3) aquí no podemos suponer que hay una componente cero

83 supongamos que existiera Y = (P, Q, R) tal que rot(p, Q, R) = r r 3 (la constante C G no tiene importancia) R y Q z = x r 3 (1) P z R x = y r 3 (2) Q x P y = z r 3 (3) aquí no podemos suponer que hay una componente cero porque debemos demostrar que ningún campo Y es solución

84 fijamos z 0 0. Entonces de (1) y (2)

85 fijamos z 0 0. Entonces de (1) y (2) P(x, y, z) P(x, y, z 0 ) = (z z 0 ) y r 3 + z z 0 R x dt

86 fijamos z 0 0. Entonces de (1) y (2) P(x, y, z) P(x, y, z 0 ) = (z z 0 ) y r 3 + z z 0 R x dt Q(x, y, z) Q(x, y, z 0 ) = (z z 0 ) x r 3 + z z 0 R y dt

87 fijamos z 0 0. Entonces de (1) y (2) P(x, y, z) P(x, y, z 0 ) = (z z 0 ) y r 3 + z z 0 R x dt Q(x, y, z) Q(x, y, z 0 ) = (z z 0 ) x r 3 + z z 0 R y dt Q x P y = Q x (x, y, z 0 ) P y (x, y, z 0 )+

88 fijamos z 0 0. Entonces de (1) y (2) P(x, y, z) P(x, y, z 0 ) = (z z 0 ) y r 3 + z z 0 R x dt Q(x, y, z) Q(x, y, z 0 ) = (z z 0 ) x r 3 + z z 0 R y dt Q x P y = Q x (x, y, z 0 ) P y (x, y, z 0 )+ (z z 0 ) 2r 2 3(x 2 +y 2 ) r 5

89 fijamos z 0 0. Entonces de (1) y (2) P(x, y, z) P(x, y, z 0 ) = (z z 0 ) y r 3 + z z 0 R x dt Q(x, y, z) Q(x, y, z 0 ) = (z z 0 ) x r 3 + z z 0 R y dt Q x P y = Q x (x, y, z 0 ) P y (x, y, z 0 )+ (z z 0 ) 2r 2 3(x 2 +y 2 ) r 5 z z 0 (R yx R xy )dt

90 fijamos z 0 0. Entonces de (1) y (2) P(x, y, z) P(x, y, z 0 ) = (z z 0 ) y r 3 + z z 0 R x dt Q(x, y, z) Q(x, y, z 0 ) = (z z 0 ) x r 3 + z z 0 R y dt Q x P y = Q x (x, y, z 0 ) P y (x, y, z 0 )+ (z z 0 ) 2r 2 3(x 2 +y 2 ) r 5 z z 0 (R yx R xy )dt Q x P y = Q x (x, y, z 0 ) P y (x, y, z 0 ) (z z 0 ) 2z2 x 2 y 2 r 5 z r 3

91 en efecto para cada (x, y) fijos, tenemos

92 en efecto para cada (x, y) fijos, tenemos Q x P y = O(1)

93 en efecto para cada (x, y) fijos, tenemos Q x P y = O(1) mientras que: z r 3 = O(z 2 )

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