PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos."

Transcripción

1 PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Se considera una varilla AB de longitud 1. El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 4x 2y + 1 ; la varilla se mantiene en todo momento tangente a dicha circunferencia. a) (1 punto) Determinar el lugar geométrico descrito por el extremo B de la varilla. b) (1 punto) Obtener la ecuación cartesiana de dicho lugar geométrico. a) Encontramos el centro y el radio de la circunferencia dada: x 2 + y 2 4x 2y + 1 x 2 4x y 2 2y (x 2) 2 + (y 1) El centro es C (2, 1) y el radio es R 2 C 2 A 1 B El triángulo ABC es rectángulo en A, de modo que d(b, C) Solución El punto B describe la circunferencia de centro el punto (2, 1) y radio 5 b) La ecuación de la circunferencia de centro el punto (2, 1) y radio 5 es (x 2) 2 + (y 1) 2 ( 5) 2 x 2 4x y 2 2y x 2 + y 2 4x 2y Solución x 2 + y 2 4x 2y Autor: Pedro Reina. URL: Creado con L A TEX. Licencia:

2 PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 2. Valor: 2 puntos. { x 2y 6z 1 Sean las rectas r : x + y s : { x 2 y 1 z a a) (1 punto) Determinar la posición relativa de r y s según los valores de a. b) (1 punto) Calcular la distancia entre las rectas r y s cuando a 2. a) Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones implícitas de r obtenemos sus ecuaciones paramétricas: { x 2y 6z 1 x 6z 1 x + y y x z 1 x x λ 2 x y λ z 1 + 1λ 6 2 De la ecuación de r se obtiene un punto P r (,, 1 6 ) y su vector de dirección (1, 1, 1 2 ), aunque es más cómodo tomar su múltiplo v r (2, 2, 1). De la ecuación de s se obtiene un punto P s (, 1, ) y su vector de dirección v s (2, a, 1). Para que los vectores v r y v s sean proporcionales debe ocurrir a 1 1 a 2 Si a 2, como P s / r, las rectas son paralelas. Si a 2, calculamos el producto mixto [6 P s P r, v r, v s ]: [6 P s P r, v r, v s ] a a a + 4 las rectas se cruzan Solución Si a 2, son paralelas; si a 2, se cruzan. b) d(r, s) d(p r, s) v s P s P r v s v s P s P r 5 9 i j k u ( 4, 1 ), 2 d(r, s) ( 4, 1, 2) (2, 2, 1) Solución 7.28u Autor: Pedro Reina. URL: Creado con L A TEX. Licencia:

3 PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio. Valor: puntos. Sea A una matriz cuadrada que verifica A 2 +2A I, donde I denota la matriz identidad. a) (1 punto) Demostrar que A es no singular (det(a) ) y expresar A 1 en función de A e I. b) (1 punto) Calcular dos números p y q tales que A pi + qa. ( ) 1 c) (1 punto) Si A cumple la relación de partida, calcular el valor de k. 1 k a) Suponemos que A y llegaremos a una contradicción, lo que demostrará que A : A 2 + 2A I (1) AA + 2IA I (2) (A + 2I)A I () det((a + 2I)A) det(i) (4) (4) det(a + 2I) det(a) 1 (5) det(a + 2I) 1 (6) 1 contradicción (1) Definición de cuadrado y de I (2) El producto de matrices es distributivo respecto a la suma () Dos matrices iguales tienen el mismo determinante (4) El determinante de un producto de matrices es el producto de sus determinantes (4) Sabemos que det(i) 1 (5) Estamos suponiendo que det(a) (6) Cualquier número multiplicado por da Trasformamos la expresión que da el enunciado para llegar al valor de A 1 : A 2 + 2A I (1) I AA + 2A (2) IA 1 1 () (AA + 2A)A () A 1 (AA)A 1 1 (4) + 2AA A(AA 1 ) + 2I (5) AI + 2I (6) A + 2I (1) Definición de cuadrado (2) Multiplicamos por la izquierda por A 1 () y (6) Definición de I () El producto de matrices es distributivo respecto a la suma (4) El producto de matrices es asociativo (4) y (5) Definición de matriz inversa Solución A y A 1 A + 2I b) Trasformamos la expresión que da el enunciado para llegar al valor de A : A 2 + 2A I A 2 I 2A A (I 2A)A A 2A 2 A 2(I 2A) A 2I + 4A 2I + 5A Solución p 2 y q 5

4 c) Sustituimos en la expresión del enunciado las matrices por sus valores: ( ) ( ) ( ) ( ) A 2 + 2A I k 1 k 1 k 1 ( ) ( ) 1 k 2 k 1 + k k k debe ser solución del siguiente sistema: 1 1 k + 2 k k 2 + 2k 1 Evidentemente, k 2 verifica las cuatro ecuaciones. ( ) ( ) 1 1 k k k 2 + 2k ( ) 1 1 Solución k 2 Autor: Pedro Reina. URL: Creado con L A TEX. Licencia:

5 PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 4. Valor: puntos. Dada la parábola y 4 x 2, se considera el triángulo rectángulo T(r) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa x r >. a) (2 puntos) Hallar r para que T(r) tenga área mínima. b) (1 punto) Calcular el área de la región delimitada por la parábola, su tangente en el punto de abscisa x 1, y el eje vertical. a) Necesitamos la ecuación de la recta t, tangente a la gráfica de la parábola en el punto de abscisa r. La ordenada del punto de contacto es y 4 r 2. La pendiente es y xr : y 4 x 2 y 2x y xr 2r Por tanto la ecuación de t es y (4 r 2 ) 2r(x r) Cortando la recta t con los dos ejes de coordenadas calculamos las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo T(r), que llamaremos x r e y r : (x r, ) t (4 r 2 ) 2r(x r r) 4 r2 2r x r r x r 2 r + r 2 (, y r ) t y r (4 r 2 ) 2r( r) y r r La superficie del triángulo T(r) es S(r) 1 2 x ry r 1 ( 2 2 r + r ) (r ) 1 (2r Calculamos el mínimo de S(r) resolviendo la ecuación S (r) : S (r) ± ) 8r r r 1 ( r + 8r + 16 ) 4 r ( r ) r 4 + 8r 2 16 r 2 8 ± r ± 16 6 { Como se pide r >, la única posibilidad es r S(r) tiene un mínimo para ese valor: S (r) 1 ( 6r + 2 ) ( ) 2 S 4 r { { 4 4 ± r 4 ± 4 sin solución 4 2. Comprobamos que la función > S tiene un mínimo en Solución r 1.155

6 b) Necesitamos la ecuación de la recta t, tangente a la gráfica de la parábola en el punto de abscisa 1. La ordenada del punto de contacto es y La pendiente es y x1 2. Por tanto la ecuación de t es y 2(x 1), que dejamos como y 2x + 5. La recta t y la parábola se cortan en x 1, luego la superficie pedida es 1 ( 2x + 5 (4 x 2 ) ) 1 ( dx x 2 2x + 1 ) dx 1 1 x x 2 + x] Solución La superficie es. u 2 Autor: Pedro Reina. URL: Creado con L A TEX. Licencia:

7 PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción B. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos Sean las matrices A 1 2, B a) (1 punto) Calcular A 1. b) (1 punto) Resolver la ecuación matricial AX BA. a) Para saber si la matriz A tiene inversa calculamos su determinante: 1 1 A A 1 1 A adj(at ) adj(a t ) Calculamos la matriz inversa: A 1 2 A t 1 adj(a t ) A 1 adj(a t ) Solución A b) Averiguamos cómo calcular X: AX BA (1) A 1 (AX) A 1 (BA) (2) (A 1 A)X A 1 (BA) () () IX A 1 (BA) (4) X A 1 (BA) (1) Multiplicamos por la izquierda por A 1 (2) El producto de matrices es asociativo () Definición de matriz inversa, siendo I la matriz identidad (4) Definición de matriz identidad Solo queda hacer las operaciones: X

8 4 1 Solución X Autor: Pedro Reina. URL: Creado con L A TEX. Licencia:

9 PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción B. Ejercicio 2. Valor: 2 puntos. Sea la matriz A ( ). Para cada número real λ definimos la matriz B A λi, donde I denota la matriz identidad 2 2. a) (,5 puntos) Hallar los valores de λ que hacen que el determinante de B sea nulo. b) (1,5 puntos) Resolver el sistema B ( x y ) ( ) para los diferentes valores de λ. a) Calculamos el determinante de B: ( ) B A λi 2 λ 1 2 Resolvemos la ecuación B : B λ 2 1 λ ± 1 ( ) 1 1 { λ 1 2 λ λ2 4 + λ 2 1 Solución λ 1 y λ 1 b) Hay que resolver el sistema ( 2 λ )( ) x 1 2 λ y ( ) Si λ 1 y λ 1 entonces B luego rg(b) 2{ y el sistema es homogéneo compatible x determinado, así que su única solución es la trivial y ( ) ( ) x Si λ 1 el sistema es { 1 1 y x µ solución es y µ con µ R ( ) ( ) 1 x Si λ 1 el sistema es 1 y { x µ es con µ R y µ ( ), que es equivalente a {x y, cuya ( ), que es equivalente a {x y, cuya solución Autor: Pedro Reina. URL: Creado con L A TEX. Licencia:

10 PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción B. Ejercicio. Valor: puntos. Sea la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 2x 4y + 1. a) (1 punto) Hallar su centro y su radio y dibujarla. b) (1 punto) Hallar el punto de la curva, de abscisa cero, más alejado del origen; hallar también la recta tangente a la curva en ese punto. c) (1 punto) Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto P(, ) razonando la respuesta. a) Transformamos la ecuación de la circunferencia para obtener el centro y el radio: x 2 + y 2 2x 4y + 1 x 2 2x y 2 4y (x 1) 2 + (y 2) El centro es el punto C (1, 2) y el radio es R b) Sustituimos x en la ecuación de la circunferencia para obtener la ordenada: x ( 1) 2 + (y 2) (y 2) 2 y 2 ± y 2 ± El punto más alejado del origen tendrá ordenada y 2 +, luego es A (, 2 + ) La pendiente de la recta que une los puntos A y C es m AC 2 + 2, luego la 1 recta t tangente a la circunferencia en el punto A, por ser perpendicular a la recta que pasa por A y C, tiene pendiente m t 1 1 m AC 1 Como ya tenemos la pendiente y la ordenada en el origen de t, t y 1 x c) Las tangentes pedidas son el eje de abscisas t 1 y y la recta vertical t 2 x, ya que ambas rectas verifican que su distancia hasta el punto C, centro de la circunferencia, es igual a 2, el radio. Autor: Pedro Reina. URL: Creado con L A TEX. Licencia:

11 PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción B. Ejercicio 4. Valor: puntos. Se considera la función f(x) xe x. a) (1,5 puntos) Estudiar y representar gráficamente la función f. b) (1,5 puntos) Sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de f y el eje OX entre x y x p (p > ) vale 1, calcular el valor de p. 9 a) D(f) R, f no es par ni impar, es continua por ser producto y composición de funciones continuas. Calculamos los puntos de corte con los ejes: x y f() (, ) Graf(f) y f(x) xe x x (, ) Graf(f) f no tiene asíntotas verticales por ser continua. Estudiamos el comportamiento cuando x : lim f(x) lim x x xex f no tiene asíntota horizontal por la derecha f(x) lim x x lim xe x x x Estudiamos el comportamiento cuando x : lim f(x) lim x x xex lim x lim x ex f no tiene asíntota oblicua por la derecha x lim e x x 1 e x la recta y es asíntota horizontal por la izquierda Calculamos las coordenadas de los extremos relativos: f(x) xe x f (x) 1e x + xe x (x + 1)e x f (x) (x + 1)e x x + 1 x 1 ( f (x) (x + 1)e x f (x) e x + (x + 1)e x f 1 ) > f tiene un mínimo relativo en x 1 x 1 ( y f 1 ) 1 1 ) e( 1 e 1 f tiene un mínimo relativo en el punto (-.,-.12) Calculamos las coordenadas de los puntos de inflexión: f (x) e x + (x + 1)e x ( + 9x + )e x (9x + 6)e x f (x) (9x + 6)e x 9x + 6 x 6 9 2

12 ( f (x) (9x + 6)e x f (x) 9e x + (9x + 6)e x f 2 ) f tiene un punto de inflexión x 2 x 2 ( y f 2 ) 2 2 ) e( 2 e 2 f tiene un punto de inflexión en el punto (-.67,-.9) Al estar el mínimo relativo y el punto de inflexión tan próximos entre sí y al eje de abscisas, la representación gráfica debe ser aproximada: b) Ya que la gráfica de f no corta al eje de abscisas en ningún punto entre y p, el área de la región se calcula como p f. Calculamos una primitiva de f usando el método de integración por partes: (1) xe x dx (1) x 1 ex [ u x du dx dv e x dx v 1 ex 1 ex dx x ex 1 e x dx x ex 1 9 ex Calculamos la integral definida: p ( x f 1 ) ] p ( p e x 9 1 ) ( e p 9 1 ) ( p e 9 1 ) e p Resolvemos la ecuación: p f 1 9 ( p 1 9 ( x 1 ) e x 9 ) e p ( p 9 1 ) e p p p 1 9 p 9 1 Solución p 1 Autor: Pedro Reina. URL: Creado con L A TEX. Licencia:

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen de junio. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 3 puntos.

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen de junio. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 3 puntos. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones lineales: { x ay = 2 se pide: ax y = a + 1 a) (2 puntos) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. Resolverlo cuando la

Más detalles

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen de septiembre. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen de septiembre. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Opción A. Ejercicio. Valor: 2 puntos. Se considera la función real de variable real definida por: f(x) = a) ( punto) Determinar sus máximos y mínimos relativos x x 2 + b) ( punto) Calcular el valor de

Más detalles

IES Francisco Ayala Modelo 2 (Septiembre) de 2008 Soluciones Germán Jesús Rubio Luna. Opción A. x - bx - 4 si x > 2

IES Francisco Ayala Modelo 2 (Septiembre) de 2008 Soluciones Germán Jesús Rubio Luna. Opción A. x - bx - 4 si x > 2 IES Francisco Ayala Modelo (Septiembre) de 008 Soluciones Germán Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio n 1 de la opción A de septiembre de 008 ax + x si x Sea f: R R la función definida por: f(x). x - bx

Más detalles

Matemáticas II Curso

Matemáticas II Curso Matemáticas II Curso 03-04 Exámenes LÍMITES Y CONTINUIDAD. Límites y continuidad Ejercicio. Dada la función f(x) = x 3 + x cos πx, demostrar que existe un valor x = a positivo y menor que, que verifica

Más detalles

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás de mayo de 13 Capítulo 6 Año 5 6.1. Modelo 5 - Opción A Problema 6.1.1 ( puntos) Justificar razonadamente

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 común Sea f : R R la función definida como f(x) = e x.(x ). [1 punto]

Más detalles

IES Francico Ayala Examen modelo 1 del Libro 1996_97 con soluciones Germán Jesús Rubio luna. Opción A

IES Francico Ayala Examen modelo 1 del Libro 1996_97 con soluciones Germán Jesús Rubio luna. Opción A Opción A Ejercicio n 1 de la opción A del modelo 1 del libro 96_97 De una función continua f : R R se sabe que si F : R R es una primitiva suya, entonces también lo es la función G dada por G(x) 3 - F(x).

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 00-0. MATEMÁTICAS II Opción A Ejercicio opción A,

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 del 011 [ 5 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular

Más detalles

-, se pide: b) Calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica, el eje horizontal y la vertical que pasa por el máximo relativo de la curva.

-, se pide: b) Calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica, el eje horizontal y la vertical que pasa por el máximo relativo de la curva. EJERCICIOS PARA PREPARAR EL EXAMEN GLOBAL DE ANÁLISIS ln ) Dada la función f ( ) = +, donde ln denota el logaritmo - 4 neperiano, se pide: a) Determinar el dominio de f y sus asíntotas b) Calcular la recta

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A xcos(x)+b sen(x) Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Sabiendo que lím x 0 x 3 es finito, calcula b y el valor del límite. Ejercicio 2.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas mediante f(x) = x(x

Más detalles

Bloque 2. Geometría. 3. La recta. 1. Definición de recta

Bloque 2. Geometría. 3. La recta. 1. Definición de recta Bloque 2. Geometría 3. La recta 1. Definición de recta Para representar puntos en un plano (superficie de dos dimensiones) utilizamos dos rectas graduadas y perpendiculares, cuyo corte es el punto 0 de

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2010 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2010 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 6 del 010 [ 5 puntos] Dada la función f : R R definida como f(x)= a.sen(x)+ bx + cx + d, determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- Sea f : R R definida por f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c. a) [1 75 puntos] Halla a,b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1 2 y que la recta tangente en

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Modelos del 2010 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Modelos del 2010 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A Opción A Ejercicio opción A, modelo de año 200 [2 5 puntos] Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Función a maximizar A (/2)(x)(y)

Más detalles

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 5 Septiembre Reserva_ tan(x) - sen(x) [2 5 puntos] Calcula lim

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 5 Septiembre Reserva_ tan(x) - sen(x) [2 5 puntos] Calcula lim IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 014 Reserva 1 (Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 5 Septiembre Reserva_1 014 tan(x) - sen(x) [ 5 puntos] Calcula lim

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2015 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2015 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 05 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio opción A, modelo del 05 [ 5 puntos] Sea f : R R la función dada por f(x) = ax 3 + bx + cx + d Halla

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Modelo 5 del Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 de la opción A del modelo 5 de 1999.

IES Fco Ayala de Granada Modelo 5 del Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 de la opción A del modelo 5 de 1999. IES Fco Ayala de Granada Modelo 5 del 999. Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio de la opción A del modelo 5 de 999. [ 5 puntos] Haciendo el cambio de variable t = e x, calcula Calculamos primero

Más detalles

EJERCICIOS DE REPASO DE MATEMÁTICAS I PENDIENTES

EJERCICIOS DE REPASO DE MATEMÁTICAS I PENDIENTES EJERCICIOS DE REPASO DE MATEMÁTICAS I PENDIENTES 1 er PARCIAL 1. Obtén los valores reales que cumplen las siguientes condiciones: x+ x 3 5 x 1/ =1. Opera y expresa el resultado en notación científic (5,

Más detalles

PROPUESTA A. 3A. a) Despeja X en la ecuación matricial X A B = 2X donde A, B y X son matrices cuadradas

PROPUESTA A. 3A. a) Despeja X en la ecuación matricial X A B = 2X donde A, B y X son matrices cuadradas PROPUESTA A 1A a) Calcula el valor de a R, a > 0, para que la función sea continua en x = 0. b) Calcula el límite 2A. Calcula las siguientes integrales (1 25 puntos por cada integral) Observación: El cambio

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 2011 específico1 [2'5 puntos] Un alambre de 100 m de longitud se divide

Más detalles

MATEMÁTICA - TERCERO - REVISIÓN INTEGRADORA. 1) Determinar k y h para que las rectas kx+2y-h=0, 4x+ky-2=0, se corten en un punto.

MATEMÁTICA - TERCERO - REVISIÓN INTEGRADORA. 1) Determinar k y h para que las rectas kx+2y-h=0, 4x+ky-2=0, se corten en un punto. MATEMÁTICA - TERCERO - REVISIÓN INTEGRADORA ) Determinar k y h para que las rectas kxy-h=0, 4xky-=0, se corten en un punto ) La recta r: 5 x y 9 = 0, corta a la recta y = x en el punto A Obtener la ecuación

Más detalles

Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León

Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León Selectividad Septiembre 011 Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger

Más detalles

GEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π

GEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MATERIA: MATEMÁTICAS II

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MATERIA: MATEMÁTICAS II UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El alumno contestará a

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio específico de 2010 (Modelo 4) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Junio específico de 2010 (Modelo 4) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala de Granada Junio específico de 010 (Modelo 4) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 Junio Específico 010 [ 5 puntos] La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto (, ) tiene como vector director el vector v i j A y x a + vt La ecuación paramétrica de una recta es

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre 015 ax + b [ 5 puntos] Halla los valores a, b y c sabiendo que

Más detalles

Tema 6. Apéndice: La esfera

Tema 6. Apéndice: La esfera Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: La esfera (Apéndice del TEMA 6) 141 Tema 6 Apéndice: La esfera La superficie esférica (la esfera) es el conjunto de puntos del espacio que

Más detalles

1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a la recta x + 7y + 1 = 0

1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a la recta x + 7y + 1 = 0 Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Campus Santiago Geometría Analítica 1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a

Más detalles

Observaciones del profesor:

Observaciones del profesor: INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 4 Especifico 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 4 Especifico 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 013 (Modelo 4 Especifico ) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 Septiembre 013 específico [ 5 puntos] Un rectángulo está inscrito en un

Más detalles

Bloque 2. Geometría. 4. Iniciación a las Cónicas

Bloque 2. Geometría. 4. Iniciación a las Cónicas Bloque 2. Geometría 4. Iniciación a las Cónicas 1. La circunferencia Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Elevando al cuadrado

Más detalles

Derivadas e integrales

Derivadas e integrales Derivadas e integrales Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M a M salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es ÍNDICE Matemáticas Cero Índice. Definiciones 3. Herramientas 4.. Reglas de derivación.......................

Más detalles

MATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 25 de enero de 2010 Geometría y Logaritmos

MATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 25 de enero de 2010 Geometría y Logaritmos MATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 5 de enero de 010 Geometría y Logaritmos x yz 1) Tomar logaritmos, y desarrollar, en la siguiente expresión: A 4 ab log x log b 4log a log y ) Quitar logaritmos: log A )

Más detalles

Integral definida. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Integral definida. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. Integral definida Integral definida Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x =

Más detalles

1 + r, y = y 1 + ry Si P es el punto medio del segmento P 1 P 2, entonces x = x 1 + x 2 2

1 + r, y = y 1 + ry Si P es el punto medio del segmento P 1 P 2, entonces x = x 1 + x 2 2 CAPÍTULO 5 Geometría analítica En el tema de Geometría Analítica se asume cierta familiaridad con el plano cartesiano. Se entregan básicamente los conceptos más básicos y los principales resultados (fórmulas)

Más detalles

Matemáticas II. Segundo de Bachillerato. Curso Exámenes

Matemáticas II. Segundo de Bachillerato. Curso Exámenes Matemáticas II. Segundo de Bachillerato. Curso 0-03. Exámenes LÍMITES Y CONTINUIDAD o F. Límites y continuidad o F Ejercicio. Calcular el dominio de definición de las siguientes funciones: f(x) = 4 x h(x)

Más detalles

Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado.

Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado. Tema 5 Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado. 5.0.1 Ecuaciones en dos variables. Una linea del plano es el conjunto de puntos (x, y), cuyas coordenadas satisfacen la ecuación F

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES

INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES COLEGIO SAN ALBERTO MAGNO MATEMÁTICAS II INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. 008 MODELO OPCIÓN A. Ejercicio. [ 5 puntos] Dadas las funciones f : [0,+ ) R y g : [0, + ) R definidas por y calcula el área del

Más detalles

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN OPCIÓN A

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN OPCIÓN A INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN Instrucciones: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una y sólo una de ellas, y resolver los cuatro ejercicios de que consta. No se permite

Más detalles

GEOMETRÍA. (x 1) 2 +(y 2) 2 =1. Razónalo. x y + z = 2. :3x 3z +1= 0 es doble de la distancia al plano π 2. : x + y 1= 0. Razónalo.

GEOMETRÍA. (x 1) 2 +(y 2) 2 =1. Razónalo. x y + z = 2. :3x 3z +1= 0 es doble de la distancia al plano π 2. : x + y 1= 0. Razónalo. GEOMETRÍA 1. (Junio, 1994) Sin resolver el sistema, determina si la recta x +3y +1= 0 es exterior, secante o tangente a la circunferencia (x 1) +(y ) =1. Razónalo.. (Junio, 1994) Dadas las ecuaciones de

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

Propiedad importante: Si una recta pasa por los puntos ( a, UNIDAD 7.- Funciones polinómicas (tema 7 del libro)

Propiedad importante: Si una recta pasa por los puntos ( a, UNIDAD 7.- Funciones polinómicas (tema 7 del libro) (tema 7 del libro) 1. FUNCIÓNES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO Son funciones de la forma mx n ó y mx n donde: m : se llama pendiente de la recta n : se llama ordenada en el origen. La recta pasa por el punto

Más detalles

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid Resueltos Isaac Musat Hervás 22 de mayo de 213 Capítulo 11 Año 21 11.1. Modelo 21 - Opción A Problema 11.1.1 3 puntos Dada la función: fx

Más detalles

TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES

TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES Recordamos que una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto de los números reales A en el conjunto de los números reales de forma que a cada elemento

Más detalles

Lugares geométricos y cónicas

Lugares geométricos y cónicas Lugares geométricos y cónicas E S Q U E M A D E L A U N I D A D. Lugar geométrico página 6.. Definición página 6. Circunferencia página 6.. Ecuación página 6.. Casos particulares página 67. Elipse página

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad

Más detalles

P. A. U. LAS PALMAS 2005

P. A. U. LAS PALMAS 2005 P. A. U. LAS PALMAS 2005 OPCIÓN A: J U N I O 2005 1. Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 4x 2 + 5x 2 y la rectas y = 0, x = 1 y x = 3. x 3 4x 2 + 5x 2 es una función polinómica

Más detalles

Lugar Geométrico. Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. Mediatriz

Lugar Geométrico. Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. Mediatriz 1 Lugar Geométrico Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. Mediatriz Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan

Más detalles

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES: TIPOS DE FUNCIONES Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción,

Más detalles

2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN

2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN 2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN 1.) Resuelve las siguientes derivadas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) f(x) = arcsen 2.) Resuelve la siguiente derivada, simplificando

Más detalles

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Principales conceptos que se tendrán en cuenta en la elaboración de las pruebas de Acceso a la Universidad para los estudiantes provenientes del Bachillerato LOGSE de la materia "Matemáticas II" ÁLGEBRA

Más detalles

Proyecto. Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas. Geometría Analítica. Isidro Huesca Zavaleta

Proyecto. Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas. Geometría Analítica. Isidro Huesca Zavaleta Geometría Analítica Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas Isidro Huesca Zavaleta La Integración de dos Ciencias La Geometría Analítica nació de la integración de dos ciencias

Más detalles

Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas

Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene

Más detalles

LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS

LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS Página PARA EMPEZAR, RELEXIONA Y RESUELVE Cónicas abiertas: parábolas e hipérbolas Completa la siguiente tabla, en la que α es el ángulo que forman las generatrices con el

Más detalles

Modelo 4 de Sobrantes de 2004

Modelo 4 de Sobrantes de 2004 Ejercicio n de la opción A del modelo 4 de 24 9 Considera la integral definida I d + [ 5 puntos] Epresa la anterior integral definida aplicando el cambio de variables + t. [ punto] Calcula I. I d + Cambio

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2014 (Colisiones. Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A = 0/0

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2014 (Colisiones. Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A = 0/0 IES Fco Ayala de Granada Junio de 04 (Colisiones Modelo ) Soluciones GermánJesús Rubio Luna Opción A Ejercicio opción A, modelo Junio Colisiones 04 a [ 5 puntos] Sabiendo que lim es finito, calcula a y

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2001 (Modelo 5) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2001 (Modelo 5) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del (Modelo 5) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD. CURSO -. MATEMÁTICAS II OPCIÓN A Ejercicio de la Opción A de sobrantes

Más detalles

GUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

GUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL No. 268 GUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Profra: Citlalli Artemisa García García 1) Qué es la pendiente? 2) Cómo es la pendiente de rectas

Más detalles

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Examen-Modelo para el curso 2014-2015 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES

Más detalles

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT LÁZARO CÁRDENAS DEL RÍO ÁREA BÁSICA ACADÉMIA DE MATEMÁTICAS TURNO MATUTINO

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT LÁZARO CÁRDENAS DEL RÍO ÁREA BÁSICA ACADÉMIA DE MATEMÁTICAS TURNO MATUTINO PRIMER EXAMEN PARCIAL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT LÁZARO CÁRDENAS DEL RÍO ÁREA BÁSICA ACADÉMIA DE MATEMÁTICAS TURNO MATUTINO GUÍA DE GEOMETRÍA ANALÍTICA 2016-2017A SISTEMA DE COORDENADAS, LUGARES

Más detalles

Formulas Matemáticas

Formulas Matemáticas B A C a TRIGONOMETRÍA Radian Grados sen a cos a tag a 0 2π 0 0 1 0 π/6 30º 1 / 2 3 / 2 3 / 3 π/4 45º 2 / 2 2 / 2 1 π/3 60º 3 / 2 1 / 2 3 π/2 90º 1 0 π 180º 0-1 0 3π/2 270º -1 0 sen a = B / C cos a = A

Más detalles

Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas

Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas 1º) Interpreta geométricamente el área que define la integral y obtenla. Geométricamente, la integral representa el área de la región del plano

Más detalles

101 EJERCICIOS de RECTAS

101 EJERCICIOS de RECTAS 101 EJERCICIOS de RECTAS Forma paramétrica: 1. Dado el punto A(5,3) y el vector director ur = (1, ), se pide: a) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que determinan. b) Obtener otros tres puntos

Más detalles

GEOMETRÍA EN EL PLANO. Dos rectas perpendiculares tienen las pendientes inversas y de signo contrario. Calculamos la pendiente de la recta dada:

GEOMETRÍA EN EL PLANO. Dos rectas perpendiculares tienen las pendientes inversas y de signo contrario. Calculamos la pendiente de la recta dada: GEOMETRÍA EN EL PLANO. La ecuación de la recta que pasa por el punto A(4, 6) y es perpendicular a la recta 4x y + = 0 es: A) x + y + 8 = 0 B) 6x 4y 48 = 0 C) x + y = 0 (Convocatoria junio 00. Examen tipo

Más detalles

Examen de Selectividad Matemáticas JUNIO Andalucía OPCIÓN A

Examen de Selectividad Matemáticas JUNIO Andalucía OPCIÓN A Eámenes de Matemáticas de Selectividad ndalucía resueltos http://qui-mi.com/ Eamen de Selectividad Matemáticas JUNIO - ndalucía OPCIÓN. Sea f : R R definida por: f ( a b c. a [7 puntos] Halla a b y c para

Más detalles

PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS Integración por partes. Mediante la integración por partes, hallar una primitiva de la función y = Ln (1 + x) Calcular una primitiva de una función, es hallar su

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción A Reserva, Ejercicio

Más detalles

Sistema de coordenadas cartesianas. Ecuación de la recta y de la circunferencia.

Sistema de coordenadas cartesianas. Ecuación de la recta y de la circunferencia. Clase 4 Sistema de coordenadas cartesianas. Ecuación de la recta y de la circunferencia. Clase 4... 1 1. Sistema de Coordenadas Cartesianas... 2 1.a. Punto medio... 3 1.b. Distancia entre dos puntos...

Más detalles

95 EJERCICIOS de RECTAS

95 EJERCICIOS de RECTAS 9 EJERCICIOS de RECTAS Forma paramétrica: 1. Dado el punto A(,3) y el vector director ur = (1, ), se pide: a) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que determinan. b) Obtener otros tres puntos

Más detalles

NOTA: Todos los problemas se suponen planteados en el plano afín euclídeo dotado de un sistema cartesiano rectangular.

NOTA: Todos los problemas se suponen planteados en el plano afín euclídeo dotado de un sistema cartesiano rectangular. ÁLGEBRA Práctica 15 Cónicas (Curso 2008 2009) NOTA: Todos los problemas se suponen planteados en el plano afín euclídeo dotado de un sistema cartesiano rectangular. 1. Para las siguientes cónicas (1) 5x

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 004 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

CÁLCULO ELEMENTAL PROBLEMAS. Valor absoluto. Funciones y sus gráficas

CÁLCULO ELEMENTAL PROBLEMAS. Valor absoluto. Funciones y sus gráficas CÁLCULO ELEMENTAL PROBLEMAS Valor absoluto - Resolver las ecuaciones siguientes: (i) 2x 6 = x (ii) x + 8 = 3x 4 2- Resolver la inecuación 2x 3 4 Funciones y sus gráficas 3- Dada f(x) = 2x 2 x, hallar f(

Más detalles

Se pide: estudiar su compatibilidad según los valores del parámetro a, y resolverlo cuando sea compatible.(3 puntos).

Se pide: estudiar su compatibilidad según los valores del parámetro a, y resolverlo cuando sea compatible.(3 puntos). PAU. CASTILLA Y LEON - 1998 a x + y z = z PR-1. Dado el sistema x + ay + z = x 3x + 3y + z = y Se pide: estudiar su compatibilidad según los valores del parámetro a, y resolverlo cuando sea compatible.(3

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2016 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. a g(x)

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2016 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. a g(x) IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna germanjss@gmailcom Opción A Ejercicio opción A, modelo Junio 06 ln( + ) - a sen() + cos(3) ['5 puntos] Sabiendo que lim

Más detalles

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones Apuntes Tema 5 Estudio de funciones 5.1 Dominio Hay que determinar para qué intervalos de números reales, o puntos aislados, la función existe o está definida. Para ello tenemos que prestar atención a

Más detalles

Tema 3. GEOMETRIA ANALITICA.

Tema 3. GEOMETRIA ANALITICA. Álgebra lineal. Curso 087-009. Tema. Hoja 1 Tema. GEOMETRIA ANALITICA. 1. Hallar la ecuación de la recta: a) que pase por ( 4, ) y tenga pendiente 1. b) que pase por (0, 5) y tenga pendiente. c) que pase

Más detalles

COLEGIO NUESTRA SEÑORA DEL BUEN CONSEJO. Melilla LUGARES GEOMÉTRICOS Y CÓNICAS

COLEGIO NUESTRA SEÑORA DEL BUEN CONSEJO. Melilla LUGARES GEOMÉTRICOS Y CÓNICAS LUGARES GEOMÉTRICOS Y CÓNICAS 01. Halla la ecuación de la circunferencia de centro ( 5, 12) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (0, 0). 02. Halla las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos:

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 (Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 01 ['5 puntos] Un alambre de 10 metros de longitud se divide en dos trozos.

Más detalles

Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices.

Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices. Tema 2 Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices. 2.1. Definiciones y propiedades Nota 2.1.1. En este tema trabajaremos con los Espacios Vectoriales R n y R m definidos sobre el cuerpo R. Definición

Más detalles

REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL CORRESPONDENCIA. Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Se

Más detalles

IES Francisco Ayala Modelo 1 (Septiembre) de 2007 Solución Germán Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Francisco Ayala Modelo 1 (Septiembre) de 2007 Solución Germán Jesús Rubio Luna. Opción A IES Francisco Ayala Modelo (Septiembre) de 7 Germán Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio n de la opción A de septiembre, modelo de 7 3x+ Sea f: (,+ ) R la función definida por f(x)= x. [ 5 puntos] Determina

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS EJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS 1.- Dada la recta r: 4x + 3y -6 = 0, escribir la ecuación de la recta perpendicular a ella en el punto de corte con el eje de ordenadas. : - Hallamos el punto de corte

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 3 Especifico) Solucíon Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 3 Especifico) Solucíon Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A Opción A Ejercicio opción A, modelo 3 Septiembre 03 específico x Sea f la función definida por f(x) = para x > 0, x (donde ln denota el logaritmo neperiano) ln(x) [ 5 puntos] Estudia y determina las asíntotas

Más detalles

ECUACIÓN DE LA RECTA. 6. Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto A ( 1, 2) y que determina en el eje X un segmento de longitud 6.

ECUACIÓN DE LA RECTA. 6. Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto A ( 1, 2) y que determina en el eje X un segmento de longitud 6. ECUACIÓN DE LA RECTA 1. El ángulo de inclinación de una recta mide 53º y pasa por los puntos ( 3, n) y ( 5, 4). Hallar el valor de n. A) 1 /5 B) 8 /5 C) 1 /5 D) 8 /5 E) 7 /3. Qué tipo de triángulo es el

Más detalles

01. Dados varios números, los clasifica en los distintos campos numéricos. 02. Interpreta raíces y las relaciona con su notación exponencial.

01. Dados varios números, los clasifica en los distintos campos numéricos. 02. Interpreta raíces y las relaciona con su notación exponencial. 2.6 Criterios específicos de evaluación. 01. Dados varios números, los clasifica en los distintos campos numéricos. 02. Interpreta raíces y las relaciona con su notación exponencial. 03. Conoce la definición

Más detalles

1. Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguientes funciones:

1. Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguientes funciones: APLICACIONES DE DERIVADAS 1. Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguientes funciones: a. 6 9 b. c. 2 d. 2 e. f. 1 2. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2014 Reserva 2 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2014 Reserva 2 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 Reserva (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 6 Septiembre 01 ['5 puntos] De entre todos los triángulos rectángulos

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 7 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS. 9.1 LUGARES GEOMÉTRICOS Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. Llamando X(,) a las coordenadas del punto genérico aplicando analíticamente

Más detalles

PROFR.: JULIO C. JIMÉNEZ RAMÍREZ GRUPOS: TODOS LOS ALUMNOS IRREGULARES EPOEM No.16 TRUNO: VESPETINO

PROFR.: JULIO C. JIMÉNEZ RAMÍREZ GRUPOS: TODOS LOS ALUMNOS IRREGULARES EPOEM No.16 TRUNO: VESPETINO Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta Ecuación continua de la recta Pendiente Ecuación punto-pendiente de la recta Ecuación general de la recta Ecuación explícita de la recta

Más detalles

RESUMEN TEÓRICO LUGARES GEÓMETRICOS. CÓNICAS (circunferencia y elipse)

RESUMEN TEÓRICO LUGARES GEÓMETRICOS. CÓNICAS (circunferencia y elipse) RESUMEN TEÓRICO LUGARES GEÓMETRICOS. CÓNICAS (circunferencia y elipse) 1. LUGARES GEOMÉTRICOS Definición: Se llama lugar geométrico a la figura que forman un conjunto de puntos que cumplen una determinada

Más detalles

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad en Andalucía Junio de 2005

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad en Andalucía Junio de 2005 Resolución del eamen de Matemáticas II de Selectividad en Andalucía Junio de 5 Antonio Francisco Roldán López de Hierro * # de junio de 5 Opción A Ejercicio [ 5 puntos] De la función f : R R de nida por

Más detalles

UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados los puntos: P(x1, y1) y Q(x2, y2), del plano, hallemos la distancia entre P y Q. Sin pérdida de generalidad, tomemos los puntos P y Q, en el primer cuadrante

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 04 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

Matemáticas II Bachillerato Ciencias y Tecnología 2º Curso ESPACIO AFÍN Introducción Ecuaciones de la recta...

Matemáticas II Bachillerato Ciencias y Tecnología 2º Curso ESPACIO AFÍN Introducción Ecuaciones de la recta... Unidad 5 ESPACIO AFÍN 5.. Introducción.... - - 5.. Ecuaciones de la recta.... - - 5.3. Ecuaciones del plano.... - 4-5.4. Posiciones relativas (Incidencia y paralelismo).... - 6 - Anexo I.- EJERCICIOS...

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de

Más detalles

Ejercicio 2 opción A, modelo 5 Septiembre 2010

Ejercicio 2 opción A, modelo 5 Septiembre 2010 Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 5 Septiembre 2010 [2 5 puntos] Una hoja de papel tiene que contener 18 cm 2 de texto Los márgenes superior e inferior han de ser de 2 cm cada uno y los laterales 1

Más detalles