ANÁLISIS. a) Derivabilidad de la función en los puntos x = -1, x = 1, x = 2. Calcular la derivada en cada uno de los puntos

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1 Matmáticas II Prubas d Accso a la Univrsidad ANÁLISIS Junio 9.. Dada la función cos f () a b si si si a) Calcular los valors d a y b para qu la función f() sa continua n [ punto] b) Es drivabl la función obtnida n =?. En =?. Razona la rspusta. [ punto] d. Calcular: a) ( ln ) d b) [,5 puntos] [,5 puntos] Junio 9.. a) Encontrar las asíntotas d la curva f () [ punto] b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas vrticals pud tnr una función racional cualquira?. Razónalo. [ punto]. Una cartulina rctangular d prímtro 6 cm y dimnsions, y gira n torno a un lado fijo d longitud y, gnrando un cilindro C. Para qué valors d, y tin C un volumn máimo? [,5 puntos] y Sptimbr 9.. Rsponda razonadamnt a las siguints prguntas rlativas a la función cuya gráfica s dibuja n la siguint figura (La rgión curva s part d la parábola y + y = ) a) Drivabilidad d la función n los puntos = -, =, =. Calcular la drivada n cada uno d los puntos citados, si ist. [,5 puntos] b) Puntos d discontinuidad n l intrvalo [-, ]. Tipo d discontinuidad. [,5 puntos]

2 . Calcular l ára d la rgión dl plano limitada por l j y la curva y = sn, ntr los valors d : y [,5 puntos] Sptimbr 9.. Sa f : [a, b] una función continua, cumplindo qu f() > n todos los puntos dl intrvalo [a, b]. a) Pruba qu F (y) f () d s una función crcint dfinida n l intrvalo [a, b] a [,5 puntos] b) Intrprta gométricamnt l rsultado. [,5 puntos]. Dado un sgmnto AC d longitud a, dividirlo n dos parts AB y BC d modo qu construyndo un cuadrado Q d bas AB y un triángulo quilátro T d lado BC, la suma d las áras d Q y T sa mínima. [,5 puntos] Junio 95.. Eplica razonadamnt la intrprtación gométrica d la drivada d una función n un punto. En qué puntos d la curva + la rcta tangnt s paralla al j OX? [,5 puntos]. La suma d todas las aristas (incluidas las d la tapa) d una pirámid rcta con bas cuadrada s. Calcular sus dimnsions para qu l ára latral sa máima. [,5 puntos] Junio 95.. Hallar dos númros naturals qu sumn y tal qu l producto d uno por l cuadrado dl otro sa máimo. [ puntos]. Hallar l ára dl triángulo curvilíno limitado por la curva f (), l j OY y l j OX [,5 puntos] Sptimbr 95.. La función f() = + p q tin un valor mínimo rlativo para =. Calcular las constants p y q. [,5 puntos]. Hallar l ára d la rgión limitada por la curva y l j OX. [,5 puntos] Sptimbr 95.. Hallar los máimos y mínimos d la función máimo? f (). Cómo s plica qu l mínimo sa mayor qu l 8 [ puntos]. La suma d todas las aristas (incluidas las d la tapa y la bas) d un prisma rcto con bas un triángulo quilátro s 6. Calcular sus dimnsions para qu l ára latral sa máima. [,5 puntos] Junio 96.. Hallar l dominio d dfinición, máimos y mínimos intrvalos d crciminto y dcrciminto d la función f () [,5 puntos]. Encontrar las asíntotas y posibls simtrías d la curva qu la rprsnta [,5 puntos].. Qurmos disñar un nvas cuya forma sa un prisma rgular d bas cuadrada y capacidad 8 cm. Para la tapa y la suprfici latral usamos un dtrminado matrial; pro para la bas dbmos mplar un matrial un 5% más caro. Hallar las dimnsions d st nvas (longitud dl lado d la bas y altura) para qu su prcio sa l mnor posibl. [,5 puntos]

3 Matmáticas II Prubas d Accso a la Univrsidad Junio 96.. Dada la función f() = + a + 5 hallar l valor d a para qu tnga un trmo rlativo (máimo o mínimo) cuando = [ punto]. Encontrar, n st caso, todos los trmos rlativos, intrvalos d crciminto y dcrciminto y puntos d inflión [,5 puntos].. Hallar l ára comprndida ntr las parábolas y = + y = + [ puntos] Sptimbr 96.. Hallar l punto P d la curva c d cuación y más próimo al punto Q = (, ) [,5 puntos]. Qué ángulo forma la rcta PQ con la tangnt a c n P? [ punto]. Hallar l ára d la rgión dl plano limitada por la parábola y = + y la rcta y = + [ puntos]. Sptimbr 96. si. Hallar a para qu la función f dfinida por f () a sa continua para todo valor d [,5 puntos]. si Una vz hallado st valor d a, hallar la cuación d la tangnt a la curva qu la rprsnta n l punto d abscisa [ punto]. Eist drivada d sta función cuando val? (razonar la rspusta) [ punto].. Disponmos d mtros d matrial para hacr una valla con la qu qurmos dlimitar un jardín d forma rctangular y con la mayor suprfici posibl. En uno d los lados dl rctángulo tnmos qu ponr dobl vallado. Encontrar las dimnsions d s jardín, indicando la dl lado doblmnt vallado [ puntos]. Junio 97.. Dada la función f () s pid a) Asíntotas y simtrías d la curva y = f() [,5 puntos]. b) Etrmos rlativos intrvalos d crciminto y dcrciminto [,5 puntos]. c) Dibujar la gráfica [,5 puntos].. Hallar l ára limitada n l primr cuadrant por las gráficas d las funcions y = sn, y = cos y l j d ordnadas [ puntos] Junio 97.. Estudiar la continuidad y drivabilidad d la función f dada por rspustas [ puntos]. si - f () si - - si razonando las. Hallar las dimnsions dl rctángulo d ára máima qu pud inscribirs n un triángulo isóscls cuya bas s l lado dsigual y mid 6 cm y la altura corrspondint mid cm. Suponr qu un lado dl rctángulo stá n la bas dl triángulo [,5 puntos]. Sptimbr 97.. Dada la función f (), s pid: a) Asíntotas d la curva y = f() [ punto] b) Etrmos rlativos intrvalos d crciminto y dcrciminto [ punto] c) Dibujar la gráfica [,5 puntos]

4 . La drivada sgunda d una función f s f () = 6 ( ). Hallar la función si su gráfica pasa por l punto (, ) y n st punto s tangnt a la rcta y 5 =. [ puntos] Sptimbr 97. si. Hallar a y b para qu la función f dada por f () sa continua y drivabl para todo ral a b si [,5 puntos]. Encontrar los puntos n dond la rcta tangnt a la curva y = f() s paralla al j OX [ punto].. Un cono circular rcto tin una altura d cm y radio d la bas d 6 cm. S inscrib un cono d vértic l cntro d la bas dl cono dado y bas paralla a la dl cono dado. Hallar las dimnsions (altura y radio d la bas) dl cono d volumn máimo qu pud inscribirs así [ puntos]. Junio 98. si -. Dada la función f dfinida por f () a b si - s pid: 6 si a) Hallar a y b para qu la función sa continua n todo ral [,5 puntos] b) Analizar su drivabilidad [ punto] c) Rprsntación gráfica [ punto]. Un campo d atltismo d mtros d prímtro consist n un rctángulo con un smicírculo n cada uno d dos lados opustos. Hallar las dimnsions dl campo para qu l ára d la part rctangular sa lo mayor posibl [,5 puntos]. Junio 98.. Un jardinro dispon d mtros d valla y dsa dlimitar un trrno rctangular y dividirlo n cinco lots con vallas parallas a uno d los lados dl rctángulo. Qué dimnsions db tnr l trrno para qu l ára sa la mayor posibl? [,5 puntos]. Dibujar l rcinto limitado por la curva y =, l j OX y la rcta paralla al j OY qu pasa por l punto dond la curva tin su mínimo rlativo [ punto]. Hallar l ára d dicho rcinto [,5 puntos]. Sptimbr 98.. Comprobar qu todas las funcions f() = a + b tinn un único punto d inflión [ punto]. Hallar a y b para qu la tangnt a la gráfica d dicha función n l punto d inflión sa la rcta y = + [,5 puntos].. Hallar l ára dl rcinto limitado por las gráficas d las funcions f() = y f() = [,5 puntos] Sptimbr 98.. Dada la función f () s pid: ( ) a) Asíntotas d la curva y = f() [,5 puntos] b) Etrmos rlativos intrvalos d crciminto y dcrciminto [,5 puntos] c) Dibujar la gráfica [,5 puntos]. Hallar los puntos d la curva y = más próimos al punto d coordnadas (, ) [ puntos]. Cómo s llama dicha curva?, dibujarla [,5 puntos]

5 Matmáticas II Prubas d Accso a la Univrsidad Junio 99. ln si. S dfin la función f dl modo siguint: f () a b si Encontrar los valors d a y b para qu la función sa continua y su gráfica pas por l orign d coordnadas [ punto]. Estudiar su drivabilidad [ punto] y hallar los puntos d su gráfica n los qu la tangnt s paralla al j OX [,5 puntos]. (NOTA: ln significa logaritmo npriano).. Dibujar l rcinto limitado por las gráficas d las funcions st rcinto [,5 puntos]. y, y = y = 8 [ punto]. Hallar l ára d Junio 99.. D la función y nos pidn: ( ) i) Dominio d dfinición y asíntotas. [ punto] ii) Máimos y mínimos rlativos intrvalos d crciminto y dcrciminto. [ punto] iii) Rprsntación gráfica. [,5 puntos]. El barco A abandona un purto a las horas y navga dirctamnt hacia l nort a la vlocidad constant d 6 nudos. El barco B s ncuntra a las horas a millas marinas al st dl purto y navga n dircción a dicho purto a la vlocidad constant d 8 nudos. Cuándo s hallarán stos barcos lo más próimos l uno dl otro? (Dar l rsultado n horas y minutos). [,5 puntos] NOTA: un nudo s una milla marina por hora. Sptimbr 99.. Dada la función f (), s pid: i) Hallar su dominio d dfinición. [,5 puntos] ii) Hallar l punto o puntos n los qu la gráfica d la curva y = f() tin tangnt horizontal. [,5 puntos] iii) Dibujar sta curva n un pquño ntorno d cada uno d stos puntos. [,5 puntos]. Hallar l valor d m (qu supondrmos positivo) para qu l ára dlimitada por la parábola y = y la rcta y = m valga 6 (unidads d ára) [,5 puntos] Sptimbr 99.. Dada la función f (), s pid: i) Hallar su dominio d dfinición. [,5 puntos] ii) Hallar, si los tin, sus trmos rlativos. [ punto] iii) Hallar, si las tin, las asíntotas horizontals d la curva y = f(). [ punto] 9. Hallar l punto P d la curva y más próimo al punto Q, [,5 puntos]. Qué ángulo forman la rcta qu un P y Q y la tangnt a la curva n l punto P? [ punto] Junio.. Hallar los valors d las constants a, b y c para qu las gráficas d las funcions f() = + a + b y g() = + c pasn por l punto (, ) y n st punto tngan la misma tangnt. [,5 puntos] 5

6 . Un triángulo isóscls tin cm d bas (qu s l lado dsigual) y cm d altura. S inscrib n st triángulo un rctángulo uno d cuyos lados s apoya n la bas dl triángulo. Hallar las dimnsions dl rctángulo así construido y qu tnga la mayor ára posibl. [,5 puntos] Junio.. S considra la función: f () ) Estudiar su continuidad y drivabilidad cuando =. [ punto] ) Alcanza para dicho valor d un máimo o mínimo rlativo? Razonar la rspusta. [ punto] ) Si la rspusta a la prgunta antrior s afirmativa, s prgunta si l trmo n custión s absoluto. [,5 puntos]. Hacindo l cambio d variabl u = calcular d [,5 puntos] Sptimbr.. D todos los prismas rctos d bas cuadrada y tals qu l prímtro d una cara latral s d cm, hallar las dimnsions (lado d la bas y altura) dl qu tin volumn máimo. [,5 puntos]. Tnmos la función f dfinida para todo númro ral no ngativo y dada por f () si si S pid su rprsntación gráfica [,5 puntos], hallar f () d [,5 puntos] intrprtar gométricamnt l rsultado [,5 puntos]. Sptimbr.. Hallar a, b y c para qu la función f dfinida n todo númro ral y dada por si f () a b c si sa continua y drivabl n todo ral y admás alcanc un trmo rlativo para = [,5 puntos]. Rprsntar gráficamnt la función f, analizando su continuidad y drivabilidad [ punto].. Calcular d [,5 puntos] Junio.. Hallar los valors d los coficints b, c y d para qu la gráfica d la función y = + b + c + d cort al j OY n l punto (, ), pas por l punto (, ) y n st punto tnga tangnt paralla al j OX [,5 puntos]. Una vz hallados sos valors hallar los máimos y mínimos rlativos y los intrvalos d crciminto y dcrciminto d la citada función [ punto]. Un rctángulo tin por vértics los puntos d coordnadas (, ), (a, ), (a, b) y (, b), d modo qu l punto (a, b) tin coordnadas positivas y stá situado n la curva d cuación y. D todos stos rctángulos hallar razonadamnt l d ára mínima [,5 puntos]. Junio.. Hallar l punto d la curva d cuación y 6 n l qu la tangnt a la misma tin pndint mínima. Escribir la cuación d dicha tangnt [,5 puntos]. 6

7 Matmáticas II Prubas d Accso a la Univrsidad. Hallar todas las funcions f cuya drivada s [,5 puntos] f '() indicando l dominio d dfinición d éstas Sptimbr.. Sa f la función dfinida para todo númro ral d modo qu para los valors d prtncints al intrvalo crrado [, ] s tin f () ( )( ) y para los valors d no prtncints a dicho intrvalo s tin f() =. S pid: a) Estudiar su continuidad y drivabilidad. [,5 puntos] b) Hallar razonadamnt su valor máimo, indicando l valor o valors d n dond s alcanza. [ punto]. Hallar la función f dfinida n todo númro ral qu vrifica las dos condicions siguints: a) f '() b) Su gráfica pasa por l punto (, ). [,5 puntos] Sptimbr.. Un pquño islot dista km d una costa rctilína. Qurmos instalar n dicho islot una sñal luminosa qu s ha d alimntar con un tndido léctrico. La funt d nrgía stá situada n la costa n un punto distant km dl punto d la costa más próimo al islot. El cost dl tndido submarino por unidad d longitud s 5 dl tndido n tirra. A qué distancia d la funt d nrgía db mpzar l tndido submarino para consguir un cost mínimo? [,5 puntos].. Hallar l ára dl rcinto limitado por las gráficas d las funcions y y [,5 puntos]. Junio.. S sab qu la función f() = + a + b corta a su función drivada n = y qu, admás, n dicho punto f tin un trmo. a) Dtrmina los valors d a y b. [ punto] b) Dtrmina la naturalza dl trmo qu f tin n =. [,5 puntos] c) Tin f algún otro trmo? [ punto]. San las funcions f () log b, g() a b. (Nota: l logaritmo s npriano) a) Dtrmina a y b para qu ambas funcions san tangnts ntr sí al pasar por =. [ punto] b) Dtrmina n qué puntos s anula cada una d stas funcions. [ punto] c) Dtrmina cuál s l dominio d la función producto h() = f() g(). [,5 puntos] Junio.. Sa la intgral sn d. Sa a) Intégrala mdiant l cambio t =. [,5 puntos] b) Calcula la constant d intgración para qu la función intgral pas por l orign d coordnadas. [ punto] f (). a) Halla los trmos y puntos d inflión d la función f. [ puntos] b) Calcula l límit d f n + y. [,5 puntos] 7

8 Sptimbr.. Sa la función f () cos. a) Tin límit n +? (justifica tu rspusta). [ punto] b) Calcula la intgral d f ntr = y l primr cro positivo qu tin la función. [,5 puntos] Nota: Llamamos cros d una función a aqullos puntos dond s anula.. En un concurso s da a cada participant un alambr d dos mtros d longitud para qu doblándolo convnintmnt hagan con l mismo un cuadrilátro con los cuatro ángulos rctos. Aqullos qu lo logrn rcibn como prmio tantos uros como dcímtros cuadrados tnga d suprfici l cuadrilátro construido. Calcula razonadamnt la cuantía dl máimo prmio qu s pud obtnr n st concurso. [,5 puntos] Sptimbr. si. Sa la función f dfinida para todo númro ral n la forma f () S pid: sn cos si a) Dtrminar l valor d para qu f sa drivabl n =. [, puntos] b) Calcular la intgral d f sobr l intrvalo,. [, puntos] Nota: S ntind qu la función f cuya intgral s pid n la part b) s la dtrminada prviamnt n la part a). No obstant, si alguin no ha sabido calcular l valor d, db intgrar f djando como parámtro.. Sa la función f () a) Dtrminar su dominio, s dcir, l conjunto d puntos dond stá dfinida. [,5 puntos] b) Estudiar sus máimos y mínimos (si los tin) n l intrvalo (, ), prcisando si son absolutos o rlativos rspcto al intrvalo indicado. [ puntos] Junio.. Dtrminar un polinomio d trcr grado sabindo qu pasa por los puntos, y, y qu los dos son trmos [,5 puntos], y analizar la naturalza d ambos trmos, s dcir si son máimos o mínimos [ punto].. San las parábolas y y 8 6. a) Rprsntar sus gráficas [,5 puntos] b) Calcular los puntos dond s cortan ntr sí ambas parábolas [,5 puntos] c) Hallar la suprfici ncrrada ntr las dos parábolas [,5 puntos] Junio.. Sa la parábola f ( ) a b c. Dtrminar sus coficints sabindo qu a) pasa por l orign d coordnadas tangncialmnt a la bisctriz dl primr cuadrant y b) tin un trmo n, 5 [,5 puntos] Dtrminar la naturalza dl trmo antrior [ punto]. Sa la función f ( ) a) Calcular la cuación d su tangnt n l orign d coordnadas [,5 puntos] b) Dtrminar los trmos d la función f [ punto] c) Hallar l ára ncrrada ntr la gráfica d sta curva, l j d abscisas y la rcta [ punto] Sptimbr.. Dtrminar l dominio [,5 puntos], cros [,5 puntos] y trmos [,5 puntos] d la función f ( ) ln. 8

9 Matmáticas II Prubas d Accso a la Univrsidad. Sa la parábola y. a) Dtrminar los puntos d cort d la parábola con los dos js coordnados [,5 puntos] b) Calcular l ára ncrrada ntr la parábola y l j d abscisas [ punto] c) Calcular l ára ncrrada ntr la parábola y l j d ordnadas [ punto] Sptimbr.. Sa la función f ( ) sn y sa T la rcta tangnt a su gráfica n. Dtrminar: a) La cuación d T [,5 puntos] b) El ára ncrrada ntr T y los js coordnados [ punto]. Sa la función f ( ) a) Dfinir su dominio [,5 puntos] b) Calcular su límit n l infinito [,5 puntos] c) Dtrminar sus trmos [,5 puntos] d) Calcular l ára ncrrada por la gráfica d f ntr las abscisas y [ punto] Junio.. Tnmos qu hacr dos chapas cuadradas d dos distintos matrials. Los dos matrials tinn prcios rspctivamnt d y uros por cntímtro cuadrado. Cómo hmos d lgir los lados d los cuadrados si qurmos qu l cost total sa mínimo y si admás nos pidn qu la suma d los prímtros d los dos cuadrados ha d sr d un mtro? [,5 puntos].. Calcular l ára ncrrada ntr la gráfica d la función ponncial puntos d abscisas = y = [,5 puntos] f ( ) y la curda a la misma qu un los Junio.. Sa la función f ( ) sn. Dtrminar: a) El ára ncrrada ntr su gráfica y l j d abscisas ntr los valors = y = [,5 puntos]. b) El ára ncrrada ntr la tangnt n = y los dos js coordnados [ punto]. Sa la función f ( ) sn. Dtrminar: a) El máimo d la función n l intrvalo, [,5 puntos] b) Ecuación d las tangnts a la gráfica n los trmos dl intrvalo antrior [ punto]. Sptimbr.. Dscomponr l númro n dos sumandos positivos d forma qu la suma d los logaritmos nprianos d los sumandos sa máima [,5 puntos]. Calcular dicha suma [ punto]. Calcular l ára ncrrada ntr las gráficas d la rcta y y la parábola y [,5 puntos] Sptimbr.. Sa l polinomio a b c. a) Dtrminar los coficints a, b y c sabindo qu tin trmos n y n y qu pasa por l orign d coordnadas [,5 puntos] b) Estudiar la naturalza d ambos trmos [ punto] 9

10 . Sa la parábola f ( ) 6 9. a) Probar qu s tangnt a uno d los js coordnados, indicando a cual [ punto]. b) Calcular l ára ncrrada ntr la gráfica d la parábola y los dos js coordnados [,5 puntos] Junio 5. sn. Sa la función f ( ). Dtrminar l dominio d f [ punto] indicar si f tin límit finito n algún sn punto qu no sa dl dominio. [,5 puntos]. Calcular los trmos y los puntos d inflión d la función f ) sn ( n l intrvalo,. [,5 puntos] Junio 5.. Qurmos construir un marco rctangular qu ncirr una suprfici d un mtro cuadrado. Sabmos qu l cost d cada cntímtro n los lados horizontals s d uros, mintras qu n los lados vrticals s d 8 uros. Dtrminar las dimnsions qu hmos d lgir para qu l marco nos rsult lo más barato posibl. [,5 puntos]. Sa la función f ( ) sn. Calcular la intgral d sta función ntr = y su primr cro positivo. (Nota: Llamamos cros d una función a aqullos puntos dond s anula). [,5 puntos] Sptimbr 5.. Sa la función f ( ) sn. Dtrminar sus trmos [,5 puntos] y sus puntos d inflión [ punto] n l intrvalo,.. Sa la rgión acotada ncrrada ntr las parábolas f ( ) y g ( ) 6. a) Hallar la suprfici d [,5 puntos]. b) Razonar (no valn comprobacions con la calculadora) cuál d las dos parábolas stá n la part infrior d la rgión [ punto]. Sptimbr 5.. Calcular razonadamnt l límit d la sucsión ( n ) n ( n ). Dtrminar l ára ncrrada por la gráfica d la función f ( ) sn y l j d abscisas ntr l orign y l primr punto positivo dond f s anula [,5 puntos]. Junio 6. b. Calcular los valors d a y b para qu la función f () tnga como asíntota vrtical la rcta y como a asíntota horizontal la rcta y. Razonar si para a y b la función f () tin algún mínimo rlativo. [,5 puntos]. a) Utilizando l cambio d variabl b) Calcular lím sn 7 t [ punto], calcular d [,5 puntos]

11 Matmáticas II Prubas d Accso a la Univrsidad Junio 6.. La función f :, dfinida por a si 8 () si 8 a) Hallar l valor d a qu hac qu sta afirmación s cirta. [,75 puntos] b) Calcular f () d [,75 puntos] f s continua n,.. Dscomponr l númro 8 n dos sumandos positivos d manra qu la suma dl cubo dl primr sumando más l cuadrado dl sgundo sa mínima. [,5 puntos] Sptimbr 6.. Dadas las funcions f () y ntr las rctas: a) y. [,5 puntos] b) y. [,5 puntos] g(), dtrminar l ára ncrrada por las gráficas d ambas funcions. a) Comprobar si 5 b) Calcular lím sn f () tin un máimo rlativo n [,5 puntos] [,5 puntos] Sptimbr 6.. a) La función f () no stá dfinida para. Dfinir f () d modo qu f () sa una función continua n s punto. [,5 puntos] ln (ln ) b) Utilizando l cambio d variabl t ln, calcular d [,5 puntos] ln. Sa : máimo rlativo n,. Calcular la prsión d dicha función. [,5 puntos] f una función polinómica d grado mnor o igual a trs qu tin un mínimo rlativo n, y un Junio 7.. Calcular: a) lím 5 [,5 puntos] b) lím [,5 puntos]. Sa F() ln t dt, con. Calcular F (). Es F () una función constant? Justificar la rspusta. [,5 puntos] Junio 7.. Sa la función f: dfinida por f () a) Calcular su dominio. [,5 puntos] b) Estudiar sus intrvalos d crciminto y dcrciminto. [ punto] c) Analizar sus asíntotas vrticals, horizontals y oblicuas y dtrminar las qu istan. [ punto].

12 . Calcular ln d. [,5 puntos] / Sptimbr 7. si. Sa f () a cos() si a b si a) Estudiar los valors d a y b para los qu la función f() s continua para todo valor d. [ punto] b) Dtrminar la drivada d f() n l intrvalo, [,5 puntos] c) Calcular f () d [ punto]. Calcular un polinomio d trcr grado p() a b c d qu satisfac: i) p() ii) Tin un máimo rlativo n y un punto d inflión n 9 iii) p() d [,5 puntos] Sptimbr 7.. Obtnr las dimnsions d trs campos cuadrados d modo qu: i) El prímtro dl primro d llos s l tripl dl prímtro dl trcro. ii) S ncsitan actamnt 66 mtros d valla para vallar los trs campos. iii) La suma d las áras d los trs campos sa la mínima posibl. [,5 puntos]. a) Utilizando l cambio d variabl t ln calcular b) Calcular sn () sn (5) lím [ punto] d ln [,5 puntos] Junio 8. Opción A.. Sa f: log (a) (,75 puntos) Calcular l dominio d f (). (b) (,75 puntos) Estudiar si f () s una función par. (c) ( punto) Calcular las asíntotas d f ().. (a) (,5 puntos) Dada F() t sn(t) dt, studiar si s una raíz d F' (). (b) (,5 puntos) Calcular l valor d para l cual n n n n lím n n Opción B.. San las funcions f:, g:, h: sn() (a) (,75 puntos) Estudiar los intrvalos d crciminto y dcrciminto y los puntos d inflión d f () (b) (,75 puntos) Calcular la drivada d f h (). (c) ( punto) Obtnr l ára dl rcinto limitado por f y g ntr y.

13 Matmáticas II Prubas d Accso a la Univrsidad 6,. (,5 puntos) Encontrar l valor d k para l cual la función f () k, su drivada s una función continua. s continua. Estudiar si Sptimbr 8. Opción A.. Sa f () (a) ( punto) Calcular l máimo y l mínimo absolutos d f (). (b) (,5 puntos) Estudiar si f () s una función simétrica rspcto al j OY. (c) ( punto) Calcular f () d.. (a) (,5 puntos) Razonar si para F() (b) ( punto) Calcular lím t dt s satisfac qu lím F() lím F'() Opción B.. Sa f () (a) (,75 puntos) Estudiar su dominio, los intrvalos d crciminto y dcrciminto y sus asíntotas. (b) (,75 puntos) Calcular lím f ( ) f (). (,5 puntos) Una mprsa ha dcidido mjorar su sguridad instalando 9 alarmas. Un spcialista n l tma sñala qu, dada la structura d la mprsa, sólo pud optar por alarmas d dos tipos, A ó B; admás, afirma qu la sguridad d la mprsa s pud prsar como la décima part dl producto ntr l númro d alarmas dl tipo A instaladas y l cuadrado dl númro d alarmas instaladas d tipo B. Estudiar cuántas alarmas d cada tipo dbn instalar n la mprsa para maimizar la sguridad. Junio 9. Opción A.. a) [,5 puntos] Calcular los siguints límits: b) [,5 puntos] Obtnr cos( )d lím , lím cos sn.. Sa f () sn() a) [,75 puntos] Dtrminar si tin asíntotas d algún tipo. b) [,5 puntos] Estudiar sus intrvalos d crciminto y dcrciminto y la istncia d trmos rlativos. c) [,5 puntos] Son los puntos k con k, puntos d inflión d f ()? Opción B.. Sa f () a) [,5 puntos] Dtrminar su dominio. b) [,75 puntos] Estudiar si f () s una función simétrica rspcto al orign d coordnadas. c) [,5 puntos] Obtnr l ára ncrrada por f () y l j OX ntr y.

14 . a) [,5 puntos] Qurmos vallar un campo rctangular qu stá junto a un camino. La valla dl lado dl camino custa 5 uros/m y la d los otros trs lados,,65 uros/m. Hallar l ára dl campo d mayor suprfici qu podmos crcar con 8 uros. b) [,5 puntos] Calcular para qué valors d a y b la función a s continua. b Sptimbr 9. Opción A.. San f () cos y h () a) [,5 puntos] Calcular g() sn (). h f (). b) [,5 puntos] Comprobar si g() s una función par. c) [,5 puntos] Obtnr g '() y studiar si s cirto qu g'.. Sa f () Opción B. a) [,5 puntos] Calcular su dominio. b) [,75 puntos] Encontrar los puntos d cort d f () con l j OX y studiar si la función s crcint n l intrvalo,. c) [,5 puntos] Obtnr d) [,75 puntos] Hallar. a) [,5 puntos] Calcular b) [,5 puntos] Sa ésima d f (). lím f () f () f () d cos () d a, con a. Calcular (n) n f () a f (), sindo (n) f () la drivada n-. a) [,5 puntos] Sa f (). Estudiar para qué valors dl parámtro a sta función s a continua n. b) [,5 puntos] Entr los númros cuya suma s 6, ncontrar aqullos númros positivos cuya suma d cuadrados sa mínima. Junio.. Sa la función f ( ) sn ( a) π ( π) π a) Calcular los valors d a para los cuals f ( ) s una función continua. b) Estudiar la drivabilidad d f ( ) para cada uno d sos valors. c) Obtnr f ( ) d. (,5 puntos) ( punto) ( punto). Encontrar l polinomio d grado dos p() a b c sabindo qu satisfac: n l polinomio val, su primra drivada val para y su sgunda drivada val n. Estudiar si l polinomio obtnido s una función par. Tin n un punto d inflión? (,5 puntos)

15 Matmáticas II Prubas d Accso a la Univrsidad Junio.. Sa f ( ) a) Calcular l dominio d f( ). (,5 puntos) b) Estudiar l crciminto y dcrciminto d f( ). c) Analizar las asíntotas d f( ) y calcular las qu istan.. a) Hallar l ára ncrrada ntr la curva b) Calcular Sptimbr. lím ln n ln (7 n ) ln n y. (,5 puntos) ( punto) ( punto) y la rcta y. (,5 puntos). a) Utilizar l cambio d variabl b) Estudiar la continuidad d f () t para calcular l siguint límit: y obtnr lím f () d. (,5 puntos) ( punto). Sa la función f () ln ln con,. a) Calcular sus trmos rlativos. (,5 puntos) b) Estudiar su crciminto y dcrciminto y razonar si pos algún punto d inflión. ( punto) Sptimbr.. El númro d socios d una ONG vin dado por la función n() 5 6 dond indica l númro d años dsd su fundación. a) Calcular l númro d socios inicials n l momnto fundacional y n l quinto año. (,5 puntos) b) En qué año ha habido l mnor númro d socios? Cuántos furon?. ( punto) c) El cuarto año s produjo un cambio n la junta dirctiva, influyó n l ascnso o dscnso dl númro d socios?. ( punto). Sa f () una función dfinida n,. a) Cuánto db valr f () para asgurar qu f () s continua n su dominio? Calcular f (t) b) Para G () dt t calcular G '(). ( punto) f () d. (,5 puntos) Junio.. a) (,75 puntos) Utilizar l cambio d variabl t b) (,75 puntos) Para la corrcta: f ( ) 6 para calcular d calcular sus drivadas sucsivas y concluir cuál d las siguints opcions s ( n) n i) f ( ) ( n) ( n) ii) f ( ) ( ) iii) f ( ) ( ) ( n ) n 5

16 . Sa la función f ( ) a) (,5 puntos) Calcular su dominio. b) ( punto) Obtnr sus asíntotas. c) ( punto) Estudiar sus puntos d cort con los js y analizar si s función par. Junio.. a) (,5 puntos) S considra la función f y b qu hacn qu f sa continua. ln a b b) (,5 puntos) Calcular lím log 9 y lím log 9. Sa f. a) (,5 puntos) Dtrminar su dominio b) ( punto) Calcular sus intrvalos d crciminto y dcrciminto c) ( punto) Analizar sus puntos d inflión. Si f, obtnr los valors d a Sptimbr.. Para la función f () a) ( punto) Estudiar su continuidad. b) (,75 puntos) Razonar si c) (,75 puntos) Calcular g() f () s una función drivabl. f () d. (,5 puntos) En un campo hay plantados 5 manzanos. En st momnto cada manzano produc 8 manzanas. Está studiado qu por cada manzano qu s añad al campo, los manzanos producn manzanas mnos cada uno. Dtrminar l númro d manzanos qu s dbn añadir para maimizar la producción d manzanas d dicho campo. Sptimbr.. Sa la función f (). Dtrminar: a) (,5 puntos) Su dominio d dfinición. b) (,5 puntos) Sus asíntotas. c) (,75 puntos) Máimos y mínimos. d) (,75 puntos) Intrvalos d crciminto y dcrciminto.. a) (,5 puntos) Calcular: lím cos, lím sin cos b) ( punto) Utilizar l cambio d variabl t para calcular, lím d., lím Junio.. (,5 puntos) Calcul la siguint intgral indfinida. a) (,75 puntos) Dscomponr l númro n dos sumandos positivos d forma qu l producto dl primro por l cuadrado dl sgundo sa máimo. k b) ( punto) Hallar l valor d k para qu lím sn d 6

17 Matmáticas II Prubas d Accso a la Univrsidad c) (,75 puntos) Sa f: una función ral d variabl ral, continua y drivabl n la rcta ral. Supongamos qu f () y f ( y) f ()f (y) para todo númro ral, y. Dmostrar qu f () ; Junio. f () ; f () y f '() f '()f () para todo númro ral.. a) (,5 puntos) Calcul la siguint intgral indfinida cos ln d (Ayuda: ralic un cambio d variabl adcuado para sta intgral) 5 b) ( punto) Calcul l límit siguint lím ln. Sa f la función d variabl ral dfinida mdiant la prsión f () a) (,5 puntos) Dtrmin l dominio d continuidad, simtrías, cort con los js y asíntotas d la función. b) ( punto) Calcul, si istn, los trmos rlativos y absolutos, intrvalos d crciminto y dcrciminto d f. c) (,5 puntos) Calcul, si istn, los puntos d inflión d f. d) (,5 puntos) Dibuj la gráfica d f. Sptimbr.. Considr las funcions f () y g() 5. a) (,5 puntos) Dtrmin los posibls puntos d cort d sas dos funcions. b) ( puntos) Calcul l ára ncrrada ntr sas dos funcions y las rctas y.. (,5 puntos) S dispon d una cartulina cuadrada como la dl dibujo, cuyo lado mid 5 cm. En cada una d las squinas s corta un cuadrado d lado con l fin d podr doblar la cartulina y formar una caja, sin tapa. Cuál db sr l lado dl cuadrado a cortar para qu l volumn d la caja sa máimo? 5 cm 5 cm Sptimbr.. a) ( punto) Calcul l límit: b) (,5 puntos) Calcul la intgral. Sa la función f () 6 6 lím sn sn cos d usando l cambio d variabl sn t a) (,5 puntos) Dtrmin l dominio d f () b) (,5 puntos) Estudi si la función f () s continua. Si no lo s, dtrmin los puntos d discontinuidad. c) (,5 puntos) Dtrmin los posibls máimos y mínimos, así como las asíntotas d f (). 7

18 SOLUCIONES Junio 9.. a) a =, b =. b) Sí, no.. a) C ( ln ) b) ln Junio 9.. a) Vrtical: = ; Oblicua: y b) Oblicuas: sólo una; vrticals: varias.. = cm, y = 6 cm. Sptimbr 9.. a) f (-) = ; f () = ; f () 8 b) Discontinuidad invitabl (salto finito) n. 8 u Sptimbr 9.. Torma fundamntal dl cálculo. ( ). AB a BC a Junio 95.. En = y n =. Arista bas: ; arista latral: Junio y ln. Sptimbr 95.. p =, q = 7. u u Sptimbr 95.. Mínimo: (,), máimo: (6, ) Porqu n = 8 hay una discontinuidad (as. vrt.).. u Junio 96.. Dom (f) = {, } ; Máimo rlativo n = ; Crcint n (,) y dcrcint n (, ). Asínt. vrt.: = y =. Asínt. horiz.: y = La curva s simétrica rspcto al j OY.. Arista d la bas: cm ; arista latral: 5 cm. Junio 96.. a =. = (má.), = (mín.), = (pto. inf.) Crc.: (,) (, ), Dcrc.: (,). u Sptimbr 96.. P(, ). 9º.. u Sptimbr 96.. a =. Ec. tangnt: + 9y =. No.. Lado dobl: m, l otro lado: 6 m. Junio 97.. a) Asínt. vrt.: =, asínt. oblicua: y = Simtría rspcto a O. b) Crc.: (-,), dcrc.: (, ) (, ) c). u Junio 97.. La función s continua. No s drivabl n =.. Bas: 8 cm. Altura: 6 cm Sptimbr 97.. a) Asínt. vrtical: = ; asínt. oblicua: y = b) Mínimo rlativo n = c). f() = + Sptimbr 97.. a =, b =. Ptos. d tang. horiz.: =, =. Radio bas = cm. Altura = cm. Junio 98.. a) a =, b =. b) No drivabl n = c). Largo: m., ancho: m. Junio 98.. Largo: m., ancho: m.. /,6 u

19 Matmáticas II Prubas d Accso a la Univrsidad Sptimbr 98.. La cuación f () = tin una única solución. a =, b =.. u Sptimbr 98.. a) Asínt. vrt.: =, asínt. horiz.: y = b) Mínimo: (,). Crcint: (,), dcrcint: (,) (, ) c). A las horas y minutos. Sptimbr 99.. i) Dominio:, ii) En = : (,,8) (máimo) y n = : (,,5) (mínimo) iii).,,, Junio 99.. Hipérbola.. a =, b =. Drivabl. En. A. u. m = 6 Sptimbr 99.. i) Dominio: (, ) ii) No tin trmos rlativos. iii) Asíntota horizontal: y = (cuando + ). P (9, ). 9º. Junio.. a =, b =, c =.. Bas:,5 cm., altura: cm. Junio.. ) Es continua y no drivabl n = ) En = la función tin un mínimo rlativo. ) No pud sr absoluto pus n = la función tin una asíntota vrtical (la función crc indfinidamnt cuando + y dcrc indfinidamnt cuando ).. ln Sptimbr.. Bas: cm., altura: 5 cm.. Junio 99.. i) Dom. = {}. As. vrt.: =, as. obl.: y = ii) Mínimo: (, ). Crcint: (,) (, ), dcrcint: (,) iii) 5 f () d Ára dl rcinto limitado por la función, l j OX y las rctas = y =. Sptimbr.. a, b =, c = Continua No drivabl n = 9

20 . ln Junio.. b = 5, c = 8, d =. 85 Má.:,, mín.: (,). 7. Crcint: (, a, b = 8 ) (,+ ), dcrcint:, Junio.. P(, ). y =. f () ln C Dominio: (, ) (, + ) Sptimbr.. a) f() s continua. No s drivabl n =. b) El máimo s alcanza n. f() = ( + ) Sptimbr.. 5 m.. u 5 Junio.. a) a =, b = b) Es un mínimo. c) Tin un máimo n =.. a) a =, b = b) f() s anula n. g() s anula n c) Dom (h) = +. Junio.. a) sn cos C b) C = cos sn,. a) (, ) mínimo rl.,, 7, punto d inflión 7 b) lím f (), lím f (). máimo rl. Sptimbr.. a) No, pus la función y = cos oscila ntr y. b). 5 cos d Sptimbr.. a) = b). a) Dom (f) = {, } b) Tin un mínimo rlativo n 9, qu s l mínimo absoluto n l intrvalo, Junio.. y. a) b), y, c) u Junio.. f ( ). S trata d un mínimo rlativo.. a) y = b) Mínimo rlativo n, c) u Sptimbr.. Dom.: (, ) ; Cros: = ; mínimo n,. a) Con OX: (, ), (, ). Con OY: (, ) b) u c) u Sptimbr.. a) y b). a) Dom = b) lím f ( ) c) Mínimo n, ; máimo n, d) ln Junio.. 5 cm l d y cm l d. u S Junio.. a) S u b). a) máimo:, V(,8) u y = -8+6 y = -+ V (,9)

21 Matmáticas II Prubas d Accso a la Univrsidad b) y = (n = ) ; Sptimbr.. y. S ln 9. u Sptimbr.. a) a, b, c b) : máimo : mínimo y (n ). a) Es tangnt al j d abscisas n l punto, b) 9 u Junio 5. k. D( f ) con k =,,,... lím f ( ) 7. Máimo: ; mínimo: Puntos d inflión: y Junio 5.. mtros d ancho y,5 mtros d alto. Sptimbr 5.. Mínimo: ; máimo: Puntos d inflión: y. a) u 6 b) argumntar a partir dl signo d la intgral dfinida. Sptimbr u Junio 6.. a, b. f() no tin trmos rlativos.. a) C b) Junio 6.. a) a 8 b). y 6. Sptimbr 6.. a) u b) 6 6 ln 7 u. Comprobar qu f ' y f '' Sptimbr 6.. a) () I ln ln. f () f b) C Junio 7.. a) b). F' () F" () no s constant Junio 7. D (f ). a) b) Crcint:,,. Dcrcint:, c) Asíntota vrtical: Asíntota oblicua: y,6 Sptimbr 7.. a) a, b b) f '() sn() 8 c). p() Sptimbr m, 6 m y 6 m. a) ln b) Junio 8. Opción A. D(f),,. (a) (b) Sí, s par. (c) (por la dcha.) y (por la izda.). (a) Sí. (b) Opción B.. (a) Crcint. Punto d inflión:, f h '() sn cos (b) (c) S u. k. f '() s discontinua n. Sptimbr 8 Opción A.. (a) Máimo absoluto:, Mínimo absoluto:, (b) No s simétrica rspcto a OY

22 5 (c) ln 5. (a) Sí s vrifica. (b) Opción B. D(f ). (a) Crcint D(f ) asíntota vrt. y asíntota horizontal (b). alarmas tipo A y 6 alarmas tipo B. Junio 9. Opción A.. a) ; b) cos sn. a) No tin asíntotas b) Es crcint. No tin trmos rlativos. c) Sí. Opción B. D,. a) b) No lo s. c) ln9,97 u. a) m b) a, b Sptimbr 9. Opción A. g() sn cos. a) b) No s par c) g'() 6 sn cos cos cos sn g'. a) D b) Corta n,. Es crcint. c) d) Opción B.. a) b). a) a b) 8 y 8 Junio.. a) a k k,,,... b) Es drivabl n c). a, b, c. No s par. No. Junio. D( f),. a) b) La función s crcint. c) ; ; y. a) b) S 8 u ln 7 Sptimbr.. a) b) Discontinua n (no vitabl). Junio.. a) a) Mínimo rlativo n b) Dcrcint n, y crcint n, Sptimbr.. a) 6 socios y socios rspctivamnt b) El cuarto año. c) En l ascnso.. a) f ().. b) G'() b) 8 8ln k f ( ) ( ) ( n ) n. a) D f b) Asíntota vrtical: Asíntota oblicua: y c) Con OX: no tin. Con OY:, La función no s par. Junio.. a) a, b b) lím log 9 ; lím log 9. a) D f b) Crcint:,, Dcrcint:, c), s un punto d inflión Sptimbr.. a) Continua cpto n dond tin una discontinuidad no vitabl con asíntota vrtical. b) No s drivabl n. c) ln 8. 5 manzanos Sptimbr. D(f ). a) b) Asíntota vrtical: Asíntota oblicua: y c) Mínimo:,. Máimo: 8, 6 d) Crcint:,, 8 Dcrcint:, 8,

23 Matmáticas II Prubas d Accso a la Univrsidad. a) lím cos ; sin lím cos 8 lím ; lím K b) Junio ln arctg C. a) y 8 b) k c) Dmostracions Junio.. a) cos ln sn ln C 6 b),, y as. horizontal. a) D(f ), impar, b) Crcint:,. Dcrcint:,, Mínimo rlativo:, Máimo rlativo:, c) Punto d inflión n, d) Sptimbr.. a),. b),6 u (apro.) 5 cm Sptimbr.. a) b) D(f ),. a) b) Discontinua n y n c) Máimo rlativo n Asíntotas vrticals: y Asíntota horizontal: y

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