Tema 3: Cálculo de Probabilidades. Métodos Estadísticos

Transcripción

1 Tema 3: Cálculo de Probabilidades Métodos Estadísticos

2 2 INTRODUCCIÓN Qué es la probabilidad? Es la creencia en la ocurrencia de un evento o suceso. Ejemplos de sucesos probables: Sacar cara en una moneda. Que una determinada pieza se rompa tras unas determinadas horas de trabajo. La longitud de un tornillo en una línea de producción.

3 3 EXPERIMENTOS Experimento determinístico Es un experimento del que se conocen todos sus posibles resultados y que repetido en las mismas condiciones siempre da el mismo resultado. Ejemplo: volumen de un litro de agua a 25º C Experimento aleatorio Es un experimento del que se conocen todos sus posibles resultados y que repetido en las mismas condiciones no siempre proporciona los mismos resultados. Ejemplo: el lanzamiento de un dado.

4 4 ALGEBRA DE CONJUNTOS Definición: Un conjunto es una colección de elementos. Definición: Se dice que B es un subconjunto de A si todos sus elementos lo son también de A, y se nota con B A. ( A A Ω) Lema: Propiedad transitiva. Si C B y B A, entonces C A

5 5 ALGEBRA DE CONJUNTOS (Unión e intersección) Definición: La unión de A y B es un conjunto con los elementos de A y B, se nota A B. Lema: Si A B, entonces, A B=B. Definición: La intersección de A y B es un conjunto con los elementos comunes de A y B, y se nota AB o A B.

6 6 ALGEBRA DE CONJUNTOS (Disjuntos) Definición: Dos conjuntos A y B, se dicen mutuamente excluyentes, disjuntos o incompatibles si A B=. Definición: Los conjuntos A 1,,A n se dicen mutuamente excluyentes si A i A j = para todo i j. Definición: Una partición es una colección de conjuntos A 1,,A n tal que: 1. A 1 A n= Ω 2. A i A j = para todo i j.

7 7 ALGEBRA DE CONJUNTOS (Complementario) Definición: El conjunto complemetario de un conjunto A, Ā ó A c, está formado por todos los elementos de Ω que no pertenecen a A. Consecuencias: 1. A Ā = Ω 2. A Ā = 3. (A c ) c =A 4. Ω c = 5. Si B A, entonces, A c B c 6. Si A=B, entonces, A c =B c

8 8 ALGEBRA DE CONJUNTOS (Leyes de Morgan) Leyes de Morgan: 1. (A B) c = Ac B c 2. (A B) c = Ac B c

9 9 ESPACIO MUESTRAL Definición: Llamaremos suceso o evento elemental a cualquier resultado del experimento que no se pueda descomponer. Definición: El conjunto formado por todos los sucesos elementales del experimento aleatorio recibe el nombre de espacio muestral, Ω. Definición: Llamaremos suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral. Definición: Un espacio muestral Ω se dice discreto si está formado por un conjunto finito o infinito numerable de sucesos elementales, y continuo si lo está por un conjunto no numerable de sucesos elementales.

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11 1 Definición axiomática de probabilidad Propiedades de la definición de probabilidad: 1. P[ ]=0 2. P[ Ā]=1-P[A] 3. P[A Ā]= 1 = P[A]+P[ Ā] 4. P[A B]= P[A] + P[B] P[A B]

12 2 Probabilidad condicionada. Definición: La probabilidad condicionada de un suceso A, conocido otro suceso B, denotada por P[A B], se define como el cociente: P[A B]=P[A B]/P[B] siempre que P[B] 0. Nota: Una función de probabilidad condicionada P[ B] es una función de probabilidad en toda regla, por tanto tiene las mismas propiedades.

13 3 Sucesos independientes. Definición: Dos sucesos A y B se dicen independientes si la P[A B]=P[A] ó P[B A]=P[B], ó P[A B]=P[A]* P[B]. Definición: Se dice que A 1,,A n son independientes si P[A i A j ]=P[A i ]*P[A j ] P[A i A j A k ]=P[A i ]*P[A j ]*P[A k ]. P[A i A n ]=P[A i ]*.*P[A n ] para cualquier combinación de índices tal que 1 i < j < k n

14 4 Teorema de la probabilidad total. Teorema: Sea P una función de probabilidad en un espacio muestral. Se {A 1,,A n } Ω una partición del espacio muestral Ω y sea B un suceso cualquiera, entonces, P[B]=P[B A 1 ]*P[A 1 ]+ P[B A n ]*P[A n ]

15 5 Teorema de Bayes. Teorema: Sea P una función de probabilidad en un espacio muestral. Se {A 1,,A n } Ωuna partición del espacio muestral Ω y sea B un suceso cualquiera tal que P[B] 0, entonces, P[A i B] = P[B P[B A i]p[a i] A ]P[A ] P[B 1 1 A n ]P[A n ]

16 6 FIN