Contraste de hipótesis Tema Pasos del contraste de hipótesis. 1.1 Hipótesis estadísticas: nula y alternativa. 1.3 Estadístico de contraste

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1 1 Contraste de hipótesis Tema 3 1. Pasos del contraste de hipótesis 1.1 Hipótesis estadísticas: nula y alternativa 1.2 Supuestos 1.3 Estadístico de contraste 1.4 Regla de decisión: zona de aceptación y rechazo. Nivel de significación α (riesgo) y nivel de confianza 1-α 1.5 Decisión 2. Error de tipo I y tipo II. Potencia del contraste (1-β)

2 2 Ejemplo. En las últimas elecciones un partido obtuvo el 40% de los votos. Para comprobar si este porcentaje ha aumentado, un investigador toma una muestra de 30 personas y encuentra que 19 votarán al partido Qué puede concluirse? Z = X nπ nπ (1 π ) = 19 (30)0,4 30(0,4)0,6 = 2,6 Si π fuera 0,4 entonces P ( X 19) = P( Z 2,6) = 0,0047 (muy improbable) En conclusión π > 0,4

3 3 Se utiliza para comprobar si una afirmación sobre alguna propiedad poblacional puede ser sostenida utilizando los datos disponibles Ejemplos: 1) Queremos saber si la media en un examen es mayor que 4,8, 2) si la proporción de votantes de un partido difiere de 0, Hipótesis estadísticas Afirmación sobre una o más distribuciones de probabilidad. Sobre su forma o el valor de sus parámetros. Hipótesis nula: Es concreta. Lleva el signo = Hipótesis alternativa: Negación de la nula

4 4 Ejemplos: Unilateral Unilateral derecho izquierdo Bilateral H 0 : µ 4,8 H 0 : µ 25 H 0 : π = 0,18 H 1 : µ > 4,8 H 1 : µ < 25 H 1 : π 0,18 2. Supuestos Son las condiciones que deben cumplirse para poder tomar una decisión sobre H 0. Ejemplos: Normalidad, muestra aleatoria 3. Estadístico de contraste Resultado muestral que se utiliza para tomar una decisión: 1) Proporciona información sobre las hipótesis 2) Distribución muestral conocida bajo H 0 Ejemplos: 1) X, 2) P

5 5 4. Regla de decisión Criterio para tomar una decisión sobre H 0 utilizando el estadístico de contraste Consiste en dividir los posibles valores del estadístico en dos zonas: Zona de aceptación: Valores con los que se mantiene H 0 Zona de rechazo o crítica: Valores con los que se rechaza H 0 Ambas se establecen en función de: Nivel de significación o riesgo (α). Es la probabilidad de que el estadístico de contraste caiga en la zona crítica si H 0 es verdadera. Suele usarse α = 0,05 óα = 0,01 El nivel de confianza es 1- α

6 6 Ejemplos: 1) Zona de aceptación X 6 Zona de rechazo X > 6 2) Zona de aceptación 0,1 P 0,26 Zona de rechazo P < 0,1 y P > 0,26 5. Decisión Puede tomarse en función de: a) zona de aceptación y rechazo, b) nivel critico (p), que es la probabilidad asociada al estadístico de contraste. Mantener H 0 : a) Si el estadístico de contraste cae en la zona de aceptación. b) Mantener H 0 si p > α No se concluye que H 0 es cierta Rechazar H 0 : a) Si el estadístico de contraste cae en la zona crítica, b) si p α Se concluye que H 0 es falsa

7 7 Ejemplo: Se aplican tres métodos de enseñanza: A, B y C en tres clases. Se toman las notas de los alumnos. Formular las hipótesis para: a) Contrastar si la media con el método B es 5 b) Contrastar si son iguales las medias de los métodos A y B c) Comprobar si la media con el método A es menor que con el B d) Comprobar si la media con el método B es mayor que con el C e) Contrastar si son iguales las medias de los tres métodos

8 8 a) H 0 : µ B = 5 H 1 : µ B 5 b) H 0 : µ A = µ B H 1 : µ A µ B c) H 0 : µ A µ B H 1 : µ A < µ B d) H 0 : µ B µ C H 1 : µ B > µ C e) H 0 : µ A = µ B = µ C H 1 : Alguna µ es distinta Bilateral Bilateral Un. izquierdo Un. derecho

9 9 Ejemplo: El cociente intelectual se distribuye N(100, 15) en la población general. Un investigador toma una muestra de 6 niños autistas y desea comprobar si la media es mayor en esta población. Encuentra que la media es 116. a) Cuál es la probabilidad de encontrar una media igual o mayor que 116? b) Puede concluirse que la media de esta población es mayor que 112? c) Puede concluirse que la media de esta población es mayor que 115?

10 a) X µ Z = = = 2,61 σ 15 n 6 P( X 116) = P( Z 2,61) = 1 0,9955 = 10 0,0045 Luego µ no debe ser 100 b) X µ Z = = = 0,65 σ 15 n 6 P( X 116) = P( Z 0,65) = 1 0,7422 = 0,2578 Luego µ podría ser 112 c) X µ Z = = = 0,16 σ 15 n 6 P( X 116) = P( Z 0,16) = 1 0,5636 = 0,4364 Entonces, µ es 112 ó 115?

11 11 Errores de tipo I y tipo II Error de tipo I. Rechazar H 0 siendo verdadera. Su probabilidad es α Error de tipo II. Mantener H 0 siendo falsa. Su probabilidad es β Decisión Mantener H 0 Rechazar H 0 Realidad H 0 es cierta Decisión correcta P = 1-α Nivel de confianza Error de tipo I P = α Nivel de significación o riesgo H 0 es falsa Error de tipo II P = β Decisión correcta P = 1 - β Potencia del contraste

12 12 Ejemplo Un investigador desea contrastar si el porcentaje de votantes de un determinado partido es mayor de 0,5. Para ello toma una muestra de n=5 personas y les pregunta si votarán a este partido. a) Obtener la zona crítica y la potencia (α = 0,05) b) Decisión si 4 personas votarán al partido (Nota: la verdadera proporción de votantes es 0,6, aunque este investigador no lo sabe) a) Solución: 1. Hipótesis H 0 : π 0,5 H 1 : π > 0,5

13 13 2. Supuestos: Muestra aleatoria 3. Estadístico de contraste La variable X (número de votantes) tiene distribución Binomial (n=5, π=0,5) bajo H 0 Mirando en las tablas: Zona de Aceptación Z.R π=0,5 0,031 0,157 0,312 0,312 0,157 0,031 π= 0,6 0,010 0,077 0,230 0, , Regla de decisión Zona de aceptación: X 4 Zona de rechazo: X = 5 Potencia: 1 - β = 0,078 Prob. Error tipo II: β = 1-0,078 = 0,922 b) Mantener H 0

14 14 Ejemplo Un estadístico de contraste X tiene la siguiente función de distribución bajo H 0 y H 1 X F(x) H 0 0,05 0,16 0,39 0,65 0,90 0,95 1,00 F(x) H 1 0,35 0,45 0,63 0,77 0,85 0,94 1,00 En un contraste unilateral izquierdo con α = 0,05. a) Qué valores de X forman la zona de rechazo? y la de aceptación? b) Cuál es la regla de decisión en términos de probabilidad? c) Cuál sería la probabilidad de rechazar H 0 si fuera verdadera? d) Cuál sería la probabilidad de mantener H 0 si fuera falsa? e) Si X = 2 Qué decisión tomará sobre H 0? Por qué? f) Cuál será el valor del nivel crítico? g) Cuál es la potencia del contraste? h) A partir de qué nivel de significación puede rechazarse H 0?

15 15 Solución: α X F(x) H 0 0,05 0,16 0,39 0,65 0,90 0,95 1,00 F(x) H 1 0,35 0,45 0,63 0,77 0,85 0,94 1,00 a) Rechazo 1. Aceptación: 2, 3, 4, 5, 6 y 7 b) Rechazar H 0 si p = P (X x i ) 0,05 c) Error tipo I: α = 0,05 d) Error tipo II: β = 1-0,35 = 0,65 e) Mantener H 0 pues X cae dentro de la zona de aceptación f) p = P(X 2) = 0,16 g) 1 - β = 0,35 h) α = 0,16

16 16 Ejemplo Un estadístico de contraste Y tiene las funciones de probabilidad bajo H 0 y bajo H 1 que aparecen en la tabla inferior. Y f (y) H 0 0,025 0,025 0,25 0,45 0,20 0,05 f (y) H 1 0,10 0,05 0,15 0,05 0,25 0,40 En un contraste unilateral derecho con Y = 3 y α = 0,05. a) Qué decidirá sobre H 0? b) Cuál es el valor del nivel crítico? c) Cuál es la probabilidad de rechazar H 0 y equivocarnos? d) Cuál es la potencia del contraste? e) Cuál es la probabilidad de mantener H 0 y equivocarnos?

17 17 Solución: α Y F (y) H 0 0,025 0,025 0,25 0,45 0,20 0,05 F (y) H 1 0,10 0,05 0,15 0,05 0,25 0,40 a) Mantener H 0 pues Y = 3 cae dentro de la zona de aceptación b) p = P(X 3) = 1 - P(X 2) = 1-0,05 = 0,95 c) Error tipo I: α = 0,05 d) 1 - β = 0,40 e) Error tipo II: β = 0,60

18 18 Ejercicios recomendados del libro