Z := Z {0} a partir de este nuevo conjunto construimos el producto cartesiano

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1 Cpítulo 4 Números Rcionles. Luego de construir los Números Nturles, se presentron ciertos problems como Cuál es el resultdo de 3 menos 5?, pr poder encontrr un solución se creó prtir de N el conjunto de los Números Enteros que se representn con el símbolo de Z. Pero l vid cotidin siguió exigiendo l creción de nuevos conjuntos prtir de los y conocidos. Consideremos el conjunto Z como conjunto bse y definmos Z : Z {0} prtir de este nuevo conjunto construimos el producto crtesino Z Z {(,b) Z b Z } de donde Z Z se denominn frcciones Notción: Se (,b) Z Z un mejor notción pr los elementos de este nuevo conjunto es (,b) b Más ún el elemento se denominrá como numerdor y b el denomindor. Definición 39 Sen b y c d Z Z, definiremos l siguiente relción dd por b c d bc d Propiedd 29 L relción definid nteriormente, es un relción de equivlenci. Demostrción: (i) L relción es reflej: Sen b Z Z Como entonces luego l relción es reflej. b b b b 5

2 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONALES. 6 (ii) L relción es simétric: Sen b, c d Z Z tles que b c d cb d c d b. (iii) L relción es trnsitiv: Sen b, c d, e f Z Z tles que b c d c d e f Si b c d c d e f d cb cf ed df cbf cfb edb. Por lo tnto df edb, cncelndo obtenemos f eb, luego b e f. Observción: L relción de equivlenci definid nteriormente prticion el conjunto Z Z en ls clses de equivlenci, que se denotn por Z Z / : conjunto cuociente Definición 40 Ddo Z Z, se define el conjunto cuociente { Z Z / : b } b Z Z donde : b { c d Z Z c d b}. Notción: Pr un myor comodidd, denotmos Z Z / Q y Q se llm el conjunto de los números rcionles.

3 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONALES Sum y Producto en Q Propiedd 30 Sen, 2, c d, c 2 d 2 Z Z, tles que 2 y c d c 2 d 2 entonces d c d 2d 2 c 2 d 2 y c d 2c 2 d 2 Demostrción: Sen, 2, c d, c 2 d 2 Z Z, tles que Luego se tiene que Ahor formremos l Sum: 2 y c d c 2 d 2 2 y c d 2 c 2 d ( d c ) d 2 d d 2 c d 2 ( )d d 2 (c d 2 ) ( 2 )d d 2 (c 2 d ) ( 2 d 2 ( d )c 2 (d ) ( 2 d 2 c 2 )d Por lo tnto de lo cul obtenemos que ( d c ) d 2 ( 2 d 2 c 2 )d Ahor veremos l multiplicción d c d 2d 2 c 2 d 2 ( c )( d 2 ) ( )(c d 2 ) ( 2 )(c 2 d ) 2 c 2 d. De est mner tenemos que es decir, ( c )( d 2 ) 2 c 2 d. c d 2c 2 d 2 El teorem nos permite definir l sum y el producto

4 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONALES. 8 Definición 4 Sen b y cd Q Adición en Q: Se define l dición en Q por c dbc :. b d bd Producto Q: Se define l multiplicción en Q por: c : b d 4... Sum de Números Rcionles Propiedd 3 Los números rcionles con l sum formn un grupo belino Demostrción: Sen Asocitiv: Pr ellos, ( ( c bd. (Q,) es un grupo belino., Q. ) ) ( b ). ( ) 3 b 3 3 b b 3 ( 2 ) 3 b 3 2 b ( 2 ) 2 b ( 2 ) b 3 Por lo tnto l operción sum es socitiv. Neutro Aditivo: Sen 0 Q y cumple con 0

5 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONALES. 9 Lo cul se comprueb del siguiente modo 0 0 luego tenemos que el neutro ditivo existe y es 0 0 Inverso Aditivo: Ddo existe con b Z Q tl que 0 Justifiquemos lo nterior ( ) b 0 0 Lo nterior demuestr que existe el inverso ditivo, de est mner tenemos que el inverso ditivo de es Conmuttividd: Debemos probr que Pr ello b. Luego l sum es conmuttiv. Notción: Sen b y cd Q, entonces c b d b c d

6 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONALES Multiplicción de Números Rcionles Propiedd 32 Los números rcionles con ls propieddes de l multiplicción formn un grupo belino. (Q,) es un grupo belino, donde Q Q {0}. Demostrción: Sen Asocitiv: Pr ellos,, Q ) ( ( ) ( ) ( ) 3 b 3 3 b b 3 2 b ( ) 3 2 b ( ) 3. Luego l multiplicción es socitiv. Neutro multiplictivo: Existe Q que cumple Lo cul se comprueb del siguiente modo luego tenemos que el neutro ditivo existe y es con Z

7 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONALES. 2 Inverso multiplictivo: Sen Q b luego existe b Q que cumple b Justifiquemos lo nterior b b Lo nterior demuestr que existe el inverso multiplictivo, de est mner tenemos que el inverso de es b Conmuttividd: Debemos probr que Pr ello 2 b 2 b. Luego el producto es conmuttivo Notción: Sen b y cd Q, entonces c : b d b d. c Teorem 33 El conjunto de los números rcionles, con l sum y producto definidos nteriores (Q,,), es un cuerpo. Demostrción: Se h demostrdo nteriormente que (Q,) y (Q,) son grupos belinos, luego flt ver l distributividd Distributividd: Sen,, Q, entonces se cumple ( ) ( ) ( )

8 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONALES. 22 Vemos ( ) ( ) 3 b 3 3 b b ( 3 ) 2 3 b ( ) 3 ( ) Observción: Luego de hber definido el conjunto de los números rcionles o Q, el no contiene todos los números que necesitmos por ejemplo l ecución x 2 5 no tiene solución en Q, es decir, el número que en form hbitul se denotdo por 5 / Q. Propiedd 34 Se p Z un número primo entonces el número p / Q. Demostrción: Pr este cso l demostrción l relizremos por el método del bsurdo que consiste en suponer como cierto l negción de l proposición como sigue: Supongmos que l ecución x 2 p tiene solución en Q, entonces l solución se puede representr como un frcción p ( b ) 2 donde (,b) Luego, p p 2 Luego p 2, es decir p. Por lo tnto pk con k Z reemplzndo p p 2 k 2 pk 2 Por l justificción similr l nterior p es decir p b, lo cul es un contrdicción y que (,b). Por lo tnto p / Q Notción: A cd número rcionl { x b y x y } b

9 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONALES. 23 lo denotremos simplemente b. Debemos tener clridd en l diferenci entre frcción y número rcionl y que en este cso nos refiriendo l clse. Por ejemplo lsfrcciones 5 5, 3 no son igules, pero como númerosrcionl si sonigules ls clses, y que Expresión deciml en Q. Ddo un número rcionl, luego plicmos el lgoritmo de l división y obtenemos b bq r, con 0 r < b si volvemos plicr el lgoritmo de l división obtenemos 0r bq r, con 0 r < b 0r bq 2 r 2, con 0 r 2 < b. 0r t bq t r t, con 0 r t < b como los posibles resto r i son finito, luego en lgún momento es 0 o se repite, de lo cul obtenemos que los números rcionles se representn por números decimles finito o los números decimles infinitos periódicos, es decir, b q,q 2 q 3...q t o bien b b q,q 2 q 3...q s...q t Ejemplo de ello tenemos 4 0,25 3 0,3 Existe otros números que no pertenecen Q, estos son los llmdos números decimles infinitos no periódico o irrcionles I, y que no se puede encontrr un representción en números rcionles. Los Números Reles Con los conjuntos de los números rcionles e irrcionles que denotmos como Q e I respectivmente, podemos construir un nuevo conjunto que se puede crer prtir de estos dos. Estos nuevos elementos los llmremos números reles y lgunos elementos que pertenecen este conjunto son π; 3; 0,; 5,6; En este conjunto existe un producto y un sum comptible con de Q, que entreg l siguiente propiedd Teorem 35 (R,,) es un cuerpo.

10 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONALES Extensiones Cudrátics de los Rcionles Q p. Como justificmos nteriormente los números 2, 3, / Q, pero si Q le gregmos estos números lo que tenemos como resultdo son cuerpos intermedios llmdos extensiones cudrátics debido que vienen ddos por ríces cudrátics. Observción: De los números nterior existe lgunos de ellos que pueden ser representdos por el llmdo espirl pitgóric, que se inici con un triángulo isosceles, con ldos de longitud, y el siguiente triángulo rectángulo de ltur y bse l hipotenus del nterior, como en l figur Definición 42 Se p Z, tl que p / Q Se define Q p por Q p : {b p,b Q} Observción: Notemos que ddo un número x Q p, existe únicos elementos,b Q, tl que x b p. Si suponemos que existe dos expresiones distints b p c d p, obtenemos un contrdicciónconque p / Q.Estobservciónnospermitedefinirlssiguientesoperciones binris Sum y Producto en Q p. Sen p, p Q p. Se define ls siguientes operciones: Sum: Producto: ( p)( p) : ( 2 )( ) p ( p)( p) : ( 2 p )( 2 ) p

11 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONALES. 25 Propieddes de l Sum en Q p. Propiedd 36 L extensión cudrátic con l operción sum es un grupo belino, es decir, (Q p,) es un grupo belino Demostrción: Recuerde que (Q, ) es un grupo belino. Sen p, p, p Q p Asocitiv: ( p)( p)( p) ( p)( p)( p) Pr ello, ( p)( p)( p) ( p)( 3 )( ) p Por lo tnto, l operción sum es socitiv Neutro Aditivo: Existe 00 p Q p Que cumple con: ( 2 3 )( ) p ( 2 )( ) p( 3 p). ( ) p)( 2 p)( p). ( p)(00 p) ( 0)( 0) p p luego el neutro ditivo existe y es 0 00 p. Inverso Aditivo: Se p, existe ( )( ) p Q p que cumple con Comprobemos lo nterior ( p)(( )( ) p) 00 p ( p)(( )( ) p) ( ( ))( ( )) p 00 p Lo nterior demuestr que existe el inverso ditivo de p es ( )( ) p. Conmuttividd: Debemos probr Pr ello ( p)( p) ( p)( p) ( p)( p) ( 2 )( ) p ( 2 )( ) p ( 2 p)( p).

12 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONALES. 26 Propiedd del Producto en Q p. Propiedd 37 El conjunto Q p con l multiplicción formn un grupo belino donde Q p es Q p {0}. (Q p,) es un grupo belino Demostrción: Sen p, p, p Q p Asocitiv: ( p)( p)( p) ( p)( p)( p) Pr ello ( p)( p)( p) ( p)( 3 p )( 3 2 ) p ( 2 3 p )p ( 3 2 ) ( 3 2 )( 2 3 p ) p ( 2 3 p 3 p 2 p)( p ) p ( 2 p) 3 ( 2 ) p( 2 p ) 3 ( 2 ) p ( 2 p)( 2 ) p( 3 p) ( p)( p)( p) Por lo tnto el producto es socitivo. Neutro Multiplictivo: Existe 0 p Q p, tl que Lo cul se comprueb del siguiente modo ( p)(0 p) p ( p)(0 p) ( p0 )( 0 ) p p luego tenemos que el neutro multiplictivo existe y es 0 p. Inverso Multiplictivo: Sen b p Q p, en primer lugr notemos que 2 p 0, propiedd 34, luego existe b 2 p 2 b p p Q p que cumple con 2 (b p)( 2 p b p) 0 p 2 p L prueb de lo nterior est dd por

13 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONALES. 27 (b p)( 2 p b p) 2 p ( ) ( ) 2 p pb b b 2 p 2 p p 2 p b p 2 p bb p 2 p 0 p Por lo tnto el inverso multiplictivo de b p es Conmuttividd: Debemos probr Pr ello 2 p b p. 2 p ( p)( p) ( p)( p) ( p)( p) ( 2 p )( 2 ) p ( 2 p )( 2 ) p ( 2 p)( p). Por lo tnto l multiplicción en Q p es conmuttiv. Notción: b p Q p, cd p Q p entonces Teorem 38 (Q p,,) es un cuerpo. (b p) : (cd p) (b p)(cd p) Demostrción: Se h demostrdo nteriormente que (Q p,) y (Q p,) son grupos belinos, luego flt ver l distributividd es decir, debemos demostrr p, p, p Q p tenemos ( p)( p)( p) ( p)( p)( p)( p). Vemos ( p)( p)( p) ( p)( 3 )( ) p lo que es igul ( ( 2 3 )p ( ))( ( ) ( 2 3 ) p ( 2 3 p p )( 2 3 ) p ( 2 p 3 p )( 2 3 ) p (( 2 p )( 2 ) p)(( 3 p )( 3 ) p) ( p)( p)( p)( p).

14 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONALES. 28 Ejemplo 06 Resolver en Q 5, l ecución (23 5)x 3 5 Solución: Como sbemos, el inverso se obtiene del siguiente modo (23 5) luego se tiene que x (3 5)( Por lo tnto, El conjunto solución es 5) ( ( ) 3 4 )( ( )) 5 x { S 2 4 } 5 4 Ejemplo 07 Resolver en Q 7, el sistem ecuciones (2 7)xy 3 7 (3 7)x 7y Solución: Amplifiquemos l primer ecución Obtenemos Sumndo obtenemos (2 7)xy 3 7 / 7 (3 7)x 7y ( 7 2 7)x 7y (3 7)x 7y ( 4 7)x x ( 6 3 7)( 4 7) x ( 6 3 7)( 4 9 7) 9 x Reemplzndo en l primer ecución obtenemos y 3 7 (2 7)( ) y 3 7 ( ) 3 y Luego, el conjunto solución del sistem es {( S , )} 7 3

15 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONALES Conjugción de Qp. Definición 43 Se b p Q p. Se define el conjugción de b p por b p y se denot de l siguiente form: b p : b p. Observción: L conjugción es un función dd por Cumple ls siguientes propieddes Teorem 39 Sen b p,cd p Q p : Q p Q p b p b p b p. (i) (ii) (iii) (b p)(cd p) (b p)(cd p). (b p)(cd p) (b p)(cd p). b p b p si y sólo si b 0. Demostrción: (i) Sen b p,cd p Q p, luego (b p)(cd p) (c)(bd) p (c) (bd) p (c)(( b)( d)) p ( b p)(c d p) b pcd p. (ii) Sen b p,cd p Q p, tenemos (b p)(cd p) (cpbd)(dbc) p ((cbd) (dbc) p (c( b)( d))(( d)( b)c) p ( b p)(c d p) b pcd p. (iii) Se b p Q p, luego pero, b son únicos luego Por lo tnto, b 0 b p b p b b

16 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONALES L Norm de Q p. Definición 44 Se b p Q p, se define l norm de b p por 2 p y se denot por b p : 2 p. Observción: L norm es un función dd por : Q p Q b p b p 2 p. Teorem 40 Sen b p,cd p Q p i) ii) iii) (b p) b p (b p) (b p)(b p) (b p)(cd p) b p cd p Demostrción: Sen b p,cd p Q p, luego ( b p)(cd p) (cpbd)(dbd) p (cpbd) 2 (dbd) 2 p 2 c 2 2cpbdp 2 d 2 ( 2 d 2 2dcbc 2 )p 2 c 2 2cpbdp 2 d 2 2 d 2 p 2dcbp c 2 p 2 c 2 p 2 d 2 2 d 2 p c 2 p ( 2 p )(c 2 pd 2 ) b p cd p Anillo de Enteros de Z p. Definición 45 Se define Z p igul Z p : {b p,b Z} Observción: Dds ls contenciones nteriores se tiene que Z p Q p Luego el conjugdo y norm están definids, más ún : Z p Z b p b p : 2 p. Teorem 4 (Z p,,) es un nillo conmuttivo.

17 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONALES. 3 Definición 46 Se u Z p, se dice que u es un unidd de Z p, si y sólo si existe un elemento v Z p, tl que uv. Notción: Denotremos el conjunto unidd de Z p por U(Z p) Ejemplo 08 Determine en cd cso si el elemento es es un unidd Z es un unidd Z 3 Solución:. Supongmos 32 2 es un unidd, luego existe xy 2 tl que De lo cul obtenemos, el siguiente sistem (32 2)(xy 2) 0 2 (3x4y)(3y 2x) x4y /2 2x3y 0 / 3 Sumndo ls ecuciones obtenemos y 2, es decir y 2. reemplzndo obtenemos x 3, (32 2) Z 2 luego tenemos 32 2 U(Z 2). 2. Supongmos hor que 32 3 es un unidd, luego existe xy 3 Z 3 tl que De lo cul obtenemos (32 3)(xy 3) 0 3 (3x6y)(3y 2x) x6y 2x3y 0 Pero l primer ecución nos entreg que 3, lo que es un contrdicción. Por tnto tenemos 32 3 / U(Z 3). Propiedd 42 b p U(Z p) si y sólo si b p {. } Demostrción: Supongmos que b p es un unidd, luego existe xy p tl que (b p)(xy p) 0 p / (b p)(xy p) 0 p b p xy p Por lo tnto, b p) es unidd en Z, por ende b p {. }. En el otro sentido, supongmos que b p, podemos comprobr que (b p)( b p) ( 2 bp 2 )( bb) p 0 p

18 CAPÍTULO 4. NÚMEROS RACIONALES. 32 Propiedd 43 (U(Z p),) es un grupo belino. Observción: Note que los conjuntos nteriores incluido ls operciones, tmbién es posible construirlos del siguiente modo, en Z Z o en Q Q, se define ls siguientes operciones (,b)(c,d) (c,bd) (,b)(c,d) (cbdp,dbc) y con ellos tenemos l mism estructur, sin incorporr el símbolo p explícitmente.

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