Ayudantía N 9. Problema 1. Considere la siguiente matriz de transición. 1/2 1/2 0 1/3 1/3 1/3

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1 Universidad Diego Portales. Escuela de Industrias, Facultad de Ingeniería. Modelos Estocásticos; 2do semestre de Profesor: Franco Basso Ayudantes: Diego Espinoza Ayudantía N 9 Problema 1 Considere la siguiente matriz de transición. 1/2 1/2 0 P = [ 0 1/3 2/3 ] 1/3 1/3 1/3 a) Clasifique los estados del sistema en clases y encuentre las propiedades de estos. C1 {1,2,3}; Recurrente positiva y Aperiódica. b) Justifique la existencia de distribución estacionaria. Para que existan probabilidades estacionarias deben tener propiedades tales como, ser recurrentes, aperiódicas, finitas, irreducibles y de una única clase; estas propiedades están presentes en la única clase que denota esta cadena. c) Encuentre las probabilidades en el largo plazo. π 1 = 1 2 π π 3 π 3 = 3 2 π 1 π 2 = 1 2 π π π 3 π 3 = 2 3 π π 3 π 2 = π 3 π 1 + π 2 + π 3 = 1

2 Reemplazamos π 2 y π 3 en función de π 1 π π π 1 = 1 4π 1 = 1 π 1 = 1 4 π 2 = π 3 = 3 8 d) En el largo plazo Cuál es el porcentaje de tiempo que estará en el estado 1? En el largo plazo estará en el estado 1 un π 1 del tiempo total, o sea ¼ o un 25%. e) En el largo plazo Cuál es el tiempo esperado que se demora el sistema en regresar al estado 1, 2 y 3? E{Ti} = 1 π 1 E{T 1 } = 1 = 1 = 4 π Problema 2 E{T 3 } = E{T 2 } = 1 = Suponga que en la ciudad de Cancún el clima de un día cualquiera puede ser clasificado de despejado, nublado o lloviendo. Suponga que el clima del día siguiente depende del clima actual de la siguiente manera: si hoy está despejado, mañana estará nublado con una probabilidad de 0.3 y lloviendo con una probabilidad 0.2; si hoy está nublado, mañana estará despejado con una probabilidad de 0.5 y lloviendo con probabilidad 0.3; finalmente, si está lloviendo hoy día, mañana estará despejado con probabilidad 0.4 y nublado con 0.5. Suponga ahora que el señor y la señora Pérez han planeado sus 25 años de matrimonio en Cancún. Si se cuenta el día de hoy como el primer día, ellos estarán en Cancún el séptimo y octavo día. Ellos están pensando en contratar un seguro de vacaciones que promete devolverles el costo total de su estadía, que es de US$2.500 si llueve los dos días, y que no les devuelve nada en caso contrario. El costo del seguro es de US$200. Analice si le conviene al matrimonio Pérez contratar el seguro, asuma que hoy está despejado en Cancún. Solución: Hay que analizar el valor esperado de lo que pueda devolver el seguro y comprarlo con el costo que éste tiene. El seguro sólo devolverá dinero en caso de que el séptimo y octavo día estén lloviendo, luego

3 E(devolución seguro) = 2500 Pr{días 7 y 8 estén lloviendo} Dependiendo de este valor convendrá contratar el seguro, ya que si este es mayor que 200 quiere decir que la devolución esperada será mayor a su costo por lo que beneficio será positivo. Por lo que hay que determinar la probabilidad de que llueva los días 7 y 8. La matriz de probabilidades de transición viene dada por S C R S C R Y se sabe que hoy día está despejado, es decir, f 1 = (1,0,0). Además, sabemos que f i = P T f i 1, luego, f 7 = (P T ) 6 f 1 Donde Pr {Xi = S} f i = [ Pr {Xi = C} ] Pr {Xi = R} Evaluando P 6, se tiene que: f 7 = [ ] [ 0] = [ ] Luego, la probabilidad de que el 7 día este lloviendo es de Entonces, Pr{7 y 8 día lloviendo} = Pr{7 día esté lloviendo y 8 día lloviendo} = Pr{7 día esté lloviendo} Pr {8 día lloviendo 7 día llovió} = = Luego, la devolución esperada del seguro es de E(devolución seguro) = = Entonces, dado que el seguro cuesta US$200 y se esperan recibir sólo US$ dólares no es conveniente comprar el seguro. Problema 3 Considere una empresa automovilística que se dedica a arrendar autos para viajes desde la ciudad de Santiago a Viña del Mar y viceversa. Suponga que la empresa dispone de N=3 autos en total. Las funciones de probabilidad de la demanda por autos, en un día cualquiera, en Santiago y en Viña del Mar aparecen en la siguiente tabla:

4 Cantidad Demandada: Santiago Viña Las demandas en Santiago y en Viña son v.a independientes entre sí, y lo mismo respecto a la demanda en días sucesivos. Los autos arrendados viajan a la otra ciudad durante el mismo día, de modo de estar disponibles en esa ciudad al final de ese día. Asuma, además, que la demanda que no puede ser satisfecha, se pierde. Sean Xn el número de autos en Santiago al comienzo del día n. a) Obtenga la matriz de probabilidades de transición en una etapa para este proceso. b) Suponga que X1=2 (asuma que el horizonte de tiempo comienza en el día 1). Obtenga el valor esperado de la demanda insatisfecha por la empresa durante el primer día. (Indicación: note que la demanda insatisfecha de la empresa es la demanda insatisfecha en Santiago más la demanda insatisfecha en Viña). Solución: a) Sea Xn es el número de autos en Santiago al comienzo del día n. Entonces: X n+1 = Max[X n ds, 0] + Min[dv, N Xn] En que, ds: Cantidad de autos demandada en Santiago dv: Cantidad de autos demandad en Viña Así,

5 b) Si X1=2, entonces

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