Modelado Cinemático de la mano de Barrett

Transcripción

1 Modelado Cinemático de la mano de Barrett Informe Técnico Proyecto: DPI Autores: Juan Antonio Corrales Ramón Fernando Torres Medina Grupo de Automática, Robótica y Visión Artificial Departamento de Física, Ingeniería de Sistemas y Teoría de la Señal

2 Modelado Cinemático de la Mano de Barrett 1.- Introducción La mano de Barrett (serie BH-8) es un sistema de agarre robótico multi-dedo programable diseñado y desarrollado por la empresa Barrett Technology Inc [1]. Está formada por 3 dedos (F1, F2 y F3) y una palma o base (que integra la circuitería de control y los motores de los dedos). El tercer dedo, F3, se encuentra fijo a la palma mientras que los otros dos dedos (F1 y F2) se pueden rotar de manera simétrica y síncrona respecto a la palma de la mano para situarse a un determinado ángulo (denominado spread ) de F3. De este modo, dependiendo del tipo de agarre deseado, los tres dedos se podrán poner alineados (ángulo de spread de 180º), se podrán colocar los dedos F1 y F2 opuestos al dedo F3 (ángulo de spread de 0º) o en cualquier configuración intermedia entre estas dos. Por otra parte, cada dedo está compuesto por dos falanges (una interna y otra externa) que permiten cerrar cada dedo hacia la palma de la mano gracias a dos articulaciones rotacionales. Los movimientos de estas dos articulaciones de cada dedo no son independientes ya que se son producidos por un mismo motor (integrado en la palma de la mano) a través de transmisiones. Esta configuración de los grados de libertad de la mano de Barrett está concebida para realizar agarres envolventes de los objetos. En este informe se va a desarrollar un modelado cinemático completo de la mano que permitirá determinar de manera precisa su funcionamiento. En particular, se desarrollarán dos modelos distintos: Modelo cinemático directo: Permite determinar la posición del extremo de cada dedo dependiendo del ángulo de cada articulación. Modelo cinemático inverso: Permite determinar qué ángulos se deben aplicar a cada articulación para colocar cada dedo en una posición deseada. 1

3 AUROVA J. A. Corrales, F. Torres 2.- Modelado Cinemático Directo de la Mano de Barrett El modelo cinemático directo de la mano de Barrett nos permitirá obtener la posición del extremo de cada uno de sus dedos a partir de los ángulos de giro de sus articulaciones. Para obtener este modelo, estudiaremos cada uno de los dedos de la mano de manera independiente aplicando dos métodos distintos: el método clásico de Denavit-Hartenberg [2, 3] y el método modificado de Denavit-Hartenberg según Craig [4]. Se podrá utilizar uno u otro dependiendo de la convención que se desee utilizar a la hora de identificar los sistemas de coordenadas asociados a los eslabones de cada dedo Modelo cinemático según notación Denavit-Hartenberg estándar En primer lugar, tenemos que asignar los sistemas de referencia que se utilizarán para definir los parámetros de Denavit-Hartenberg. A cada dedo con n articulaciones le asignaremos n+1 sistemas de coordenadas siguiendo las siguientes reglas: El eje Z i del sistema de referencia i (dedo, eslabón i) se alineará con el eje de la articulación (i+1). El eje X i del sistema de referencia i se alineará con la normal común entre los ejes Z (i-1) y Z i. El eje Y i del sistema de referencia i se establece para que sea dextrógiro. Los ejes X e Y del sistema asociado a la base del dedo se podrán asignar arbitrariamente, siempre que se obtenga un sistema dextrógiro. En este caso, hemos hecho coincidir el eje X con el eje X 1 para simplificar los parámetros posteriores. El eje Z n situado en el extremo del dedo tendrá la misma dirección que el eje Z (n- 1). El eje X n será normal a los ejes Z (n-1) y Z n. En el dedo 3 hemos añadido un sistema 30 adicional, equivalente a los sistemas de las bases de los otros dos dedos. Este sistema no es necesario ya que este dedo tiene una articulación menos (no tiene extensión -spread-) pero es útil para poder generalizar las expresiones de la cinemática directa e inversa. 2

4 Modelado Cinemático de la Mano de Barrett En la siguiente figura mostramos la asignación de estos sistemas de coordenadas en el caso de la mano de Barrett: Y 20 X 20 X 21 X 22 Z 33 Z 32 Z 31 X 33 X 32 X 31 Z 21 Z 22 A T X 30 Y 10 Y 30 X 10 A W X 12 X 33 Y 33 D T q 11 Z 11 X 11 Z 12 Y 13 X 13 X 32 Y 32 X 31 Y 31 Z 10 X 10 Y 11 Y 12 X 11 X 12 q33 q 32 q 12 q 13 A 3 D W A 1 A 2 Z W Y W Figura 1. Asignación de sistemas de referencia para parámetros Denavit-Hartenberg estándar. En la siguiente tabla mostramos las principales dimensiones de la mano de Barrett que se utilizarán posteriormente: Tabla 1. Valores las dimensiones de la mano de Barrett. Parámetro Valor A W 25 mm A 1 50 mm A 2 70 mm A 3 56 mm A T 6 mm D W 84 mm D T 9.5 mm Φ º Φ 3 50º A partir de cada uno de los sistemas de coordenadas anteriores definimos cuatros parámetros de Denavit-Hartenberg: θ i : Es el ángulo del eje X (i-1) al eje X i medido alrededor del eje Z (i-1). 3

5 AUROVA J. A. Corrales, F. Torres d i : Es la distancia medida a lo largo del eje Z (i-1) desde el origen del sistema (i-1) hasta la intersección de los ejes X i y Z (i-1). a i : Es la distancia medida a lo largo del eje X i desde la intersección de los ejes X i y Z (i-1) hasta el origen del sistema i. α i : Es el ángulo del eje Z (i-1) al eje Z i medido alrededor del eje X i. En la siguiente tabla mostramos de manera genérica los parámetros de Denavit-Hartenberg para cada dedo de la mano de Barrett: Tabla 2. Parámetros estándar de Denavit-Hartenberg del Dedo ( = 1; = 2; = 3). Sistema a i α i d i θ i 1 A 1 90º 0 mm r q (1) 1 2 A 2 0º 0 mm q 2 + Φ 2 A 3 0º 0 mm q + Φ 3 (1) Donde: r = [1, 1, 0] para = [1, 2, 3] respectivamente. Para obtener la matriz de transformación entre los sistemas de coordenadas i y (i-1) utilizaremos la siguiente fórmula:,,,, T Rot Z Tras Z d Tras X a Rot X (1) i ( 1) i i i i i Desarrollando la expresión anterior obtenemos: T i i i i i ai i a 0 sin cos d cos cos sin sin sin cos sin cos cos sin cos sin ( i1) i i i i i i i i i i i (2) Desarrollando la expresión anterior para los parámetros definidos en la Tabla 2, obtenemos las siguientes matrices de transformación entre los distintos sistemas de coordenadas de cada dedo: cos1 0 sin 1 A1 cos1 0 sin 1 0 cos1 A1 sin 1 T (3)

6 Modelado Cinemático de la Mano de Barrett 1 2 cos 2 sin 2 0 A2 cos 2 sin 2 cos 2 0 A2 sin 2 T (4) cos 3 sin 3 0 A3 cos 3 sin 3 cos 3 0 A3 sin 3 T (5) La matriz de transformación global entre el sistema de la base {} y el extremo de cada dedo {} se obtiene a partir del producto de las tres matrices anteriores y es la siguiente: T sin cos 0 cos cos sin cos sin cos sin sin sin cos A1 A3 2 A2 2 1 A1 A3 2 A2 2 A sin A sin cos cos cos sin cos cos (6) Cada uno de los dedos tiene un sistema de coordenadas independiente en su base (sistemas {}). Por ello, se ha definido un sistema adicional W estático asociado a la palma de la mano para poder representar todas las coordenadas respecto a un sistema común. Las matrices necesarias para transformar desde la base de cada dedo a este sistema común se pueden representar mediante la siguiente expresión genérica: W T 0 Tras z, DW Tras x, r AW Rot z, s 90º (7) Donde: r = [-1, 1, 0] y s = [-1, -1, 1] para = [1, 2,3], respectivamente. A la hora de realizar tareas de manipulación, los puntos de contacto con los objetos suelen coincidir con las yemas de los dedos de la mano. Por ello, es interesante definir también un sistema de coordenadas T situado en la yema de cada dedo. Para pasar desde este sistema de coordenadas T al sistema de coordenadas del extremo de cada dedo utilizaremos la siguiente transformación:, 90º,, 3 T Rot x Tras x A Tras z D (8) T T T 5

7 AUROVA J. A. Corrales, F. Torres Modelo cinemático según notación Denavit-Hartenberg modificada (según Craig) Esta notación consiste en una modificación de las convenciones a la hora de definir los sistemas de coordenadas y los parámetros del algoritmo de Denavit-Hartenberg original. A cada dedo con n articulaciones le asignaremos n+1 sistemas de coordenadas siguiendo las siguientes reglas: El eje Z i del sistema de referencia i (dedo, eslabón i) se alineará con el eje de la articulación i. El eje X i del sistema de referencia i se alineará con la normal común entre los ejes Z i y Z (i+1). El eje Y i del sistema de referencia i se establece para que sea dextrógiro. El sistema asociado a la base del dedo se podrá establecer de manera arbitraria. En nuestro caso, haremos coincidir este sistema con el sistema W. Este hecho nos obliga a añadir el sistema intermedio 31 para el dedo 3 ya que no es posible pasar directamente del sistema W al sistema 32 con una única transformación DH. El eje X n se podrá situar de manera arbitraria. En nuestro caso, lo hemos hecho coincidir con la dirección principal del eslabón n sobre el que está situado. Y 21 X 22 X 23 Z 33 Z 32 X 21 X 33 X 32 X 31 Z 22 Z 23 Y 31 Y 11 X 11 X 13 X 12 X 3T Z 3T Z 12 Z 13 Z 1T X 1T X 33 Y 33 X 32 Y 32 Z 11 X 11 Y 12 Y 13 X 13 X 12 Y W Z W Figura 2. Asignación de sistemas de referencia para parámetros Denavit-Hartenberg modificados. 6

8 Modelado Cinemático de la Mano de Barrett A partir de cada uno de los sistemas de coordenadas anteriores definimos cuatros parámetros de Denavit-Hartenberg modificados: θ i : Es el ángulo del eje X (i-1) al eje X i medido alrededor del eje Z i. d i : Es la distancia medida a lo largo del eje Z i desde X (i-1) hasta X i. a i : Es la distancia medida a lo largo del eje X i desde Z i hasta Z (i+1). α i : Es el ángulo del eje Z i al eje Z (i+1) medido alrededor del eje X i. En la siguiente tabla mostramos de forma genérica los parámetros de Denavit-Hartenberg modificados de los dedos de la mano de Barrett. Se han utilizado las dimensiones descritas en la Tabla 1: Tabla 3. Parámetros modificados de Denavit-Hartenberg del dedo, ( = 1; = 2; = 3). Sistema a (i-1) α (i-1) d i θ i 1 r A (1) W 0º D w r q 1 + s 90º (1) 2 A 1 90º 0 q 2 + Φ 2 A 2 0º 0 q + Φ 3 (1) Donde: r = [1, 1, 0] y s = [-1, -1, 1] para = [1, 2, 3] respectivamente. Para obtener la matriz de transformación entre los sistemas de coordenadas i y (i-1) utilizaremos la siguiente fórmula:,, ( 1) ( 1),, T Rot X Tras X a Rot Z Tras Z d (9) i ( 1) i i i i i Desarrollando la expresión anterior obtenemos: T i ( 1) i cos sin 0 a sin cos cos cos sin sin sin sin cos sin cos cos i i ( i1) i ( i1) i ( i1) ( i1) di ( i1) i ( i1) i ( i1) ( i1) di ( i1) (10) A la hora de realizar tareas de manipulación, los puntos de contacto con los objetos suelen coincidir con las yemas de los dedos de la mano. Por ello, es interesante definir también un sistema de coordenadas T situado en la yema de cada dedo. Para pasar desde este sistema de coordenadas T al sistema de coordenadas situado en la última articulación de cada dedo utilizaremos la siguiente transformación:, 90º,, 3 T Rot x Tras x A A Tras z D (11) T 3 T T 7

9 AUROVA J. A. Corrales, F. Torres Modelo del ángulo de giro de los motores En los modelos cinemáticos obtenidos en los dos apartados anteriores se utilizan ocho valores articulares q i distintos. Sin embargo, la mano de Barret sólo dispone de 4 motores internos. Esto se debe a que muchos de estos valores articulares están acoplados entre sí y son generados a partir del mismo motor. Así, cada dedo sólo dispone de un motor M cuyo ángulo de giro q M controla tanto la articulación 2 (q 2 ) como la articulación (q ) mediante sistemas de transmisión. El último motor M4 controla el movimiento de spread de la primera articulación de los dedos 1 (q 11 ) y 2 (q 21 ). En la siguiente matriz se representan las relaciones numéricas entre los ángulos de giro de los motores y los valores articulares de cada dedo: q12 1 / q13 1 / q / qm1 q / qm 2 q /125 0 qm 3 q /375 0 qm 4 q /35 q /35 (12) Estas relaciones se producen cuando los dedos se mueven con total libertad. Sin embargo, cuando el eslabón interno de un dedo colisiona con un objeto, el eslabón externo seguirá moviéndose mientras que el eslabón interno permanece quieto. Este funcionamiento se denomina TorqueSwitch (o breaaway) y permite que la mano encierre objetos en su interior realizando agarres envolventes. Cuando se activa el TorqueSwitch, las relaciones numéricas entres los ángulos de giro de los motores y los valores articulares de cada dedo cambian a los siguientes valores: 8

10 Modelado Cinemático de la Mano de Barrett q q13 4 / q qm1 q / qm 2 q qm 3 q /375 0 qm 4 q /35 q /35 (13) Otro aspecto que se debe tener en cuenta son los rangos de funcionamiento de cada una de las articulaciones que determinan sus restricciones de movimiento. En la siguiente tabla resumimos los valores mínimos y máximos de todas las variables articulares: Tabla 4. Rangos de las variables articulares de la mano de Barrett. Variables Articulares Mínimo Máximo q 11 (extensión-spread) -180º 0º q 21 (extensión-spread) 0º 180º q 12, q 22, q 32 (falanges internas) 0º 140º q 13, q 23, q 33 (falanges externas) 0º 48º 3.- Modelado Cinemático Inverso de la Mano de Barrett Mediante la cinemática inversa se pretende resolver el problema opuesto al planteado en el apartado anterior: descubrir los valores articulares de un dedo que permiten que su extremo se encuentre en una posición deseada. Para resolver este problema utilizaremos un método geométrico basado en relaciones trigonométricas. Supongamos que deseamos calcular los valores articulares (q 1, q 2, q ) del dedo que hacen que el extremo del dedo se encuentre en el punto p = ( p x, p y, p z ), representado en el sistema de coordenadas de la base del dedo. Si el punto original estuviera representado en el sistema común W, entonces habría que transformarlo al sistema de la base con la inversa de la matriz obtenida en la cinemática directa: T T. W 1 W 9

11 AUROVA J. A. Corrales, F. Torres El valor q 1 de la primera articulación lo podemos determinar teniendo en cuenta que el giro del dedo sobre esta articulación se lleva a cabo alrededor del eje Z ˆ 0 eslabones del dedo dentro de un mismo plano Π (véase la Figura 3):, manteniendo los Z Π Y q 1 X Figura 3. Giro de la primera articulación del dedo. Por lo tanto, el valor q 1 se puede calcular directamente a partir de las coordenadas x e y: q p y arctan px 1 0 (14) Para obtener los ángulos correspondientes del motor 4, utilizaremos las relaciones inversas de la expresión (12): 35 qm4 q 11 2 (15) 35 qm4 q 21 2 (16) Para obtener los dos valores articulares restantes tendremos que centrarnos en estudiar las relaciones trigonométricas de los ángulos entre los eslabones dentro del plano Π. En la siguiente figura mostramos las relaciones entre los distintos ángulos que forman los dos últimos eslabones de cada dedo con el sistema de coordenadas del plano Π: 10

12 Modelado Cinemático de la Mano de Barrett Z Π D A 3 A 2 θ F β C A 1 B α θ 2 E X Π r Figura 4. Relaciones angulares de los dos últimos eslabones del dedo. En primer lugar, obtendremos la longitud r, teniendo en cuenta que se encuentra en el plano XY del sistema {} (véase la Figura 3): 2 2 r p p (17) A continuación, aplicaremos el teorema del coseno sobre el triángulo BCD, teniendo en cuenta que el lado BD coincide con la hipotenusa del triángulo BDE: x y cos 180º r A p A A A A (18) 1 z Despejando en la expresión anterior podemos obtener el valor del ángulo 3 : arccos z 2 3 r A p A A 2AA 2 3 (19) La variable articular q, correspondiente a 3, se obtendrá mediante la siguiente relación: q (20) 3 11

13 AUROVA J. A. Corrales, F. Torres El ángulo de giro del motor q M que permite obtener la variable articular q se obtendrá a partir de las relaciones inversas de la expresión (12): 375 qm q (21) 3 El último ángulo a calcular 2 se obtiene teniendo en cuenta la siguiente relación: 2 (22) El ángulo se obtiene mediante relaciones trigonométricas sobre el triángulo BDE: p arctan z r A1 (23) El ángulo se obtiene mediante relaciones trigonométricas sobre el triángulo BDF: A 3sin 3 arctan A2 A3 cos (24) La variable articular q 2 se obtendrá a partir del ángulo 2 (calculado en la ecuación (22)) haciendo uso de la siguiente relación: q (25) El ángulo de giro del motor q M que permite obtener la variable articular q 2 se obtendrá a partir de las relaciones inversas de la expresión (12): qm 125q 2 (26) Para que la posición p sea realmente alcanzable por el extremo del dedo, los valores articulares obtenidos en las ecuaciones (14), (20) y (25) deberán encontrarse dentro del rango de funcionamiento correspondiente según lo indicado en la Tabla 4. Además, los 12

14 Modelado Cinemático de la Mano de Barrett ángulos de giro del motor q M obtenidos en las ecuaciones (21) y (26) deberán ser iguales ya que las dos últimas articulaciones de cada dedo se mueven a partir del mismo motor. 4.- Modelado Cinemático Diferencial y estático de la Mano de Barrett: Matriz Jacobiana de cada dedo. Mediante la cinemática directa e inversa relacionamos los ángulos de giro de las articulaciones de los cada uno de los dedos de la mano de Barrett con la posición tridimensional de su extremo. A continuación, vamos a desarrollar el modelo cinemático diferencial que permite relacionar velocidades articulares de cada dedo 1, 2, con las velocidades lineales y angulares v, de su extremo. Esta relación se puede 0 0 representar mediante una matriz: la Jacobiana J de cada dedo. En la literatura se puede encontrar dos tipos de Jacobiana: la Jacobiana analítica y la Jacobiana geométrica. La Jacobiana analítica se obtiene a partir de la diferenciación de las expresiones de la cinemática directa y permite relacionar las velocidades articulares con las variaciones de la posición y la orientación del extremo de cada dedo. Sin embargo, ya que estamos interesados en obtener las velocidades lineales y articulares en el extremo de cada dedo, tendremos que calcular la Jacobiana geométrica (matriz 6x3) que tendrá la siguiente expresión general [5] para cada dedo : J J J P1 P2 P J JO1 JO2 JO (27) Cada una de las tres columnas (correspondiente a cada articulación i de cada dedo ) que compone la Jacobiana geométrica será de la siguiente manera, teniendo en cuenta que se utiliza la notación de Denavit-Hartemberg estándar y que todas las articulaciones son rotacionales: J Pi ( i1) ( i1) J ˆ Oi Zi ( 1) Zˆ p p (28) 13

15 AUROVA J. A. Corrales, F. Torres Donde Z ˆ representa las coordenadas del eje Z del sistema de coordenadas (i-1) con i ( 1) respecto al sistema. Este vector se corresponde con la tercera columna de la matriz 0 T. p representa las coordenadas del extremo del dedo con respecto al sistema. i1 Este vector se corresponde con la cuarta columna de la matriz 0 T. Finalmente, pi ( 1) representa las coordenadas del origen del sistema (i-1) respecto al sistema. Este vector 0 se corresponde con la cuarta columna de la matriz Ti 1. Si desarrollamos la expresión (28) teniendo en cuenta las matrices de transformación de la cinemática directa (3), (4), (5) y (6), obtenemos la expresión final de los componentes de la Jacobiana geométrica 0 J de cada dedo : J P1 JO1 1 A1 A3 2 A2 2 1 A1 A3 2 A2 2 sin cos cos cos cos cos A3 2 A2 2 1 A3 2 A2 2 cos cos sin cos cos sin sin sin sin sin J P2 A3 2 A2 2 JO cos sin cos sin 1 cos A sin A sin J P A JO (29) (30) (31) Mediante la Jacobiana geométrica definida en las expresiones anteriores se puede obtener la relación entre las velocidades articulares de un dedo 1, 2, y las velocidades lineales/angulares de su extremo 0 v, 0 aplicando la siguiente relación: 14

16 Modelado Cinemático de la Mano de Barrett 1 v J 0 2 (32) La matriz Jacobiana también se puede utilizar para calcular el par que se tiene que aplicar en cada articulación,, de cada dedo para que se genere una determinada fuerza f R y un determinado par n R estáticos en el extremo del dedo (sistema de coordenadas ), expresados en el sistema de coordenadas de la base : 1 T f 2 J n (33) Por lo tanto, la Jacobiana no sólo permite obtener una relación de la cinemática diferencial (velocidades lineales/articulares) sino que su traspuesta también permite obtener una relación de la estática (fuerzas/pares estáticos). En la sección siguiente se utiliza esta relación para modelar la activación del breaaway de la articulación de la falange intermedia de cada dedo. 5.- Conclusiones En el presente informe hemos desarrollado varios modelos que nos permiten determinar el comportamiento cinemático de la mano de Barrett. Con el modelo cinemático directo podemos determinar la posición tridimensional de cada dedo a partir de sus valores articulares. Con el modelo cinemática inverso calculamos los valores articulares necesarios para que un determinado dedo se sitúe en una posición deseada. Todos estos modelos han sido calculados de dos formas, dependiendo de la convención utilizada a la hora de asignar los sistemas de coordenadas asociados a cada eslabón de cada dedo: convención de Denavit-Hartenberg estándar y convención de Denavit-Hartenberg modificada según Craig. En informes posteriores se describirá el modelo dinámico de la mano de Barrett que amplía estos modelos para no sólo tener en cuenta las fuerzas estáticas sino también las dinámicas. 15

17 AUROVA J. A. Corrales, F. Torres Este modelado presenta una generalización de la cinemática diferencial que no sólo permite obtener las velocidades del extremo de cada dedo sino las velocidades de cada uno de sus eslabones. Estos modelos nos permitirán prever el comportamiento de la mano dependiendo de los parámetros de control que le apliquemos. Además, podrán ser utilizados para desarrollar simulaciones precisas (con Matlab o EJS) para probar el funcionamiento de la mano en situaciones determinadas sin tener que usar ningún componente hardware. Después de obtener una configuración óptima de la mano con el simulador, podremos trasladarla a la mano real para llevarla a cabo sin ningún riesgo. 6.- Referencias 1. Barrett Technology Inc. (May), 2. Torres, F.; Pomares, J.; Gil, P.; Puente, S. T.; Aracil, R., Robots y Sistemas Sensoriales. Prentice Hall: Madrid, Spain, Barrientos, A.; Peñín, L. F.; Balaguer, C.; Aracil, R., Fundamentos de Robótica. McGraw-Hill/Interamericana de España: Aravaca, Madrid, Spain, Craig, J. J., Introduction to Robotics: Mechanics and Control. Pearson Education: Upper Saddle River, NJ, USA, Sciavicco, L.; Siciliano, B., Modelling and Control of Robot Manipulators. Springer-Verlag: London,