SIMULACIÓN DE MOVIMIENTOS DE UN BRAZO ROBÓTICO CON 5 GRADOS DE LIBERTAD, (P4R) EN EL PROCEDIMIENTO DE VACUNACIÓN DE GANADO, UTILIZANDO MATLAB.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "SIMULACIÓN DE MOVIMIENTOS DE UN BRAZO ROBÓTICO CON 5 GRADOS DE LIBERTAD, (P4R) EN EL PROCEDIMIENTO DE VACUNACIÓN DE GANADO, UTILIZANDO MATLAB."

Transcripción

1 SIMULACIÓN DE MOVIMIENTOS DE UN BRAZO ROBÓTICO CON 5 GRADOS DE LIBERTAD, (P4R) EN EL PROCEDIMIENTO DE VACUNACIÓN DE GANADO, UTILIZANDO MATLAB. DAVID ANDRÉS LEGUIZAMÓN RODRÍGUEZ UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA BOGOTÁ D.C 216 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 1

2 SIMULACIÓN DE MOVIMIENTOS DE UN BRAZO ROBÓTICO CON 5 GRADOS DE LIBERTAD, (P4R) EN EL PROCEDIMIENTO DE VACUNACIÓN DE GANADO, UTILIZANDO MATLAB. NUMERO DEL PROYECTO DAVID ANDRÉS LEGUIZAMÓN RODRÍGUEZ Trabajo de grado presentado como requsto para obtener el título de Ingenero Mecánco Drector del Proyecto: MAURICIO VLADIMIR PEÑA GIRALDO Ingenero Mecánco UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA BOGOTÁ D.C 216 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 2

3 Nota de aceptacón: Frma del presdente del Jurado Jurado Jurado Bogotá D.C, Febrero de 216 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 3

4 DEDICATORIA. Este logro quero dedcárselo a Dos, porque sn él no hubera sdo posble culmnar esta gran etapa. A ms padres porque me brndaron su apoyo ncondconal, a mí famla por creer en mí y por brndarme su amor y sabduría en momentos crucales de la vda. A ms amgos y compañeros con los que compartí y dsfrute, gracas por ayudarme a ser mejor cada día. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 4

5 AGRADECIMIENTO Prmero quero darle gracas a Dos, porque sn él no hubera sdo posble culmnar esta gran etapa, segundo a ms padres porque desde nño han creído en mí, me han nculcado valores que me han servdo de apoyo en todas las metas y proyectos que me he propuesto en la vda, a m abuelta, hermanos y amgos por hacer que en mí, exsta un deseo de superacón y trunfo y a m drector de proyecto por la ayuda que me brndo en la realzacón de este proyecto. A todas estas personas y a las que no he menconado, muchas gracas por brndarme su amstad, su apoyo y su amor en momentos que para mí son muy mportantes. Gracas a todos por creer en mí. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 5

6 TABLA DE CONTENIDO. 1 INTRODUCCIÓN RESUMEN 17 3 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA JUSTIFICACIÓN. 2 5 OBJETIVOS DEL PROYECTO Objetvo General Objetvos Específcos DELIMITACIÓN DEL PROYECTO MARCO TEÓRICO FUNDAMENTOS DE LA ROBÓTICA INDUSTRIAL Orgen y desarrollo de la robótca Defncón de robot Defncón de robot ndustral manpulador Clasfcacón de los robots MORFOLOGÍA DEL ROBOT Estructura mecánca de un robot Transmsones, reductores y acconamento drecto ELEMENTOS TERMINALES. 4 8 MARCO CONCEPTUAL CINEMÁTICA DEL ROBOT Matrces de transformacón homogénea. 43 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 6

7 8.1.2 Problema cnemátco drecto Resolucón del problema cnemátco drecto medante matrces de transformacón homogénea Algortmo de Denavt Hartenberg para la obtencón del modelo cnemátco drecto Problema cnemátco nverso Resolucón del problema cnemátco nverso a partr de matrces de transformacón homogéneas DESARROLLO Y EVALUACIÓN DEL PROYECTO Dseño prelmnar. 6 Prototpo # 1. 6 Prototpo # 2. 6 Prototpo # Seleccón de actuadores Estructura prncpal del robot Base prototpo de brazo robótco Eslabones del prototpo de brazo robótco Resultados cnemátca drecta del prototpo de brazo robótco obtendos medante el algortmo de Denavt Hartenberg Resultados cnemátca nversa del prototpo de brazo robótco Trayectora para el prototpo de brazo robótco Polnomos cúbcos para una ruta con puntos vía Modulacón por ancho de pulso o PWM CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA. 98 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 7

8 11.1 De referenca De consulta ANEXOS. 12 Anexo A. 12 Anexo B. 15 Anexo C. 16 Anexo D. 17 Anexo E. 111 Anexo F. 113 Anexo G. 115 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 8

9 LISTA DE FIGURAS. Fgura 1. Robot PUMA Fgura 2. Confguracón robot cartesano Fgura 3. Confguracón robot clíndrco Fgura 4. Confguracón robot polar Fgura 5. Confguracón robot angular Fgura 6. Confguracón robot SCARA Fgura 7. Morfología de un robot Fgura 8. Tpos de artculacón y sus respectvos grados de lbertad Fgura 9. Aplcacones alternatvas de las matrces de transformacón homogénea Fgura 1. Defncón de la matrz noap de la localzacón del extremo del robot Fgura 11. Prmer dseño prototpo brazo robótco. 3 6 Fgura 12. Segundo dseño prototpo brazo robótco Fgura 13. Tercer dseño prototpo brazo robótco Fgura 14. Plano lateral del prototpo de brazo robótco con dstrbucón de fuerzas Fgura 15. Eslabón 4 y 5 con dstrbucón de fuerzas aplcadas Fgura 16. Dagrama de cuerpo lbre del prototpo Fgura 17. Componentes prototpo brazo robótco. 3 7 Fgura 18. Grafco resstenca Vs densdad del acrílco Fgura 19. Soportes y base del prototpo de brazo robótco Fgura 2. Chumacera con rodamento lneal tpo A Fgura 21. Construccón del prmer eslabón del prototpo de brazo robótco Fgura 22. Prmer eslabón del prototpo de brazo robótco fnalzado Fgura 23. Construccón del segundo eslabón del prototpo de brazo robótco, 3 74 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 9

10 Fgura 24. Prmer eslabón y segundo eslabón del prototpo de brazo robótco Fgura 25. Construccón del tercer eslabón del prototpo de brazo robótco Fgura 26. Tercer eslabón del prototpo de brazo robótco Fgura 27. Ensamble de los tres eslabones del prototpo de brazo robótco Fgura 28. Construccón de los eslabones cuarto y qunto del prototpo de brazo robótco Fgura 29. Eslabones cuarto y qunto y prototpo de brazo robótco Fgura 3. Obtencón de los parámetros Denavt Hartenberg, DH1, DH2 y DH Fgura 31. Obtencón de los parámetros Denavt Hartenberg, DH4, DH5 y DH Fgura 32. Obtencón de los parámetros Denavt Hartenberg, DH7, DH8 y DH Fgura 33. Resultados de poscón, velocdad y aceleracón de los prmeros 2 eslabones Fgura 34. Resultados de poscón, velocdad y aceleracón de los eslabones 3 y Fgura 35. Resultados de poscón, velocdad y aceleracón del eslabón Fgura 36. Grafca que muestra un cclo de trabajo del 5% Fgura 37. Grafca que muestra un cclo de trabajo de 1% Fgura 38. Grafca que muestra el cclo de trabajo del servomotor MG9S Fgura 39. Motor paso a paso selecconado para el prototpo de brazo robótco Fgura 4. Servomotor selecconado para el eslabon 1 del portotpo de brazo robótco Fgura 41. Servomotores selecconados para el portoto de brazo robótco Fgura 42. Coefcente de rozamento del acero sobre el acrílco sn utlzar nngún tpo de lubrcante Fgura 43. Coefcente de rozamento del acero sobre el acrílco utlzando lubrcante Fgura 44. Plano base del prototpo de brazo robótco Fgura 45. Plano chumaceras del prototpo de brazo robótco UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 1

11 Fgura 46. Plano eslabon 1 del prototpo de brazo robótco Fgura 47. Plano eslabon 2 del prototpo de brazo robótco Fgura 48. Plano eslabón 3 del prototpo de brazo robótco Fgura 49. Plano eslabón 4 del prototpo de brazo robótco Fgura 5. Plano eslabón 5 del prototpo de brazo robótco Fgura 51. Rodamentos lneales Tpo A del prototpo de brazo robótco Fgura 52. Rodamentos lneales Tpo A del prototpo de brazo robótco Fgura 53. Correa de tempo utlzada en el prototpo de brazo robótco Fgura 54. Dametros de poleas dentadas de tempo Fgura 55. Cnemátca drecta prototpo de brazo robótco Fgura 56. Cnemátca drecta prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) 116 Fgura 57. Cnemátca drecta prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) 117 Fgura 58. Cnemátca drecta prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) 117 Fgura 59. Cnemátca nversa prototpo de brazo robótco Fgura 6. Cnemátca nversa prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) 119 Fgura 61. Cnemátca nversa prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) 12 Fgura 62. Cnemátca nversa prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) 121 Fgura 63. Cnemátca nversa prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) 122 Fgura 64. Cnemátca nversa prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) 123 Fgura 65. Cnemátca nversa prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) 124 Fgura 66. Cnemátca nversa prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) 125 Fgura 67. Cnemátca nversa prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) 126 Fgura 68. Programacón de los movmentos prototpo de brazo robótco Fgura 69. Programacón de los movmentos prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) 128 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 11

12 Fgura 7. Programacón de los movmentos prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) 129 Fgura 71. Programacón de los movmentos prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) 13 Fgura 72. Programacón de los movmentos prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) 131 Fgura 73. Programacón de los movmentos prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) 132 Fgura 74. Programacón de los movmentos prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) 133 Fgura 75. Programacón de los movmentos prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) 134 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 12

13 LISTA DE TABLAS. Tabla 1. Clasfcacón de los robots según generacones Tabla 2. Mecansmos automátcos más relevantes de la hstora Tabla 3. Clasfcacón de los robots ndustrales manpuladores según el tpo de aplcacón Tabla 4. Clasfcacón de los robots de servco por áreas de aplcacón Tabla 5. Clasfcacón de los robots de servco profesonales. 2 3 Tabla 6. Clasfcacón de los robots de nvestgacón y desarrollo. 2 3 Tabla 7. Sstema de transmsón para robots Tabla 8. Sstemas de sujecón para robots Tabla 9. Herramentas termnales para robots Tabla 1. Pesos por eslabón de solo acrílco con los agujeros respectvos Tabla 11. Calculo de torques prototpo de brazo robótco Tabla 12. Seleccón de servomotores para el prototpo de brazo robótco Tabla 13. Pesos por eslabón y peso total del prototpo de brazo robótco Tabla 14. Referenca del motor para mover el prototpo de brazo robótco Tabla 15. Parámetros Denavt Hartenberg del prototpo de brazo robótco UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 13

14 1 INTRODUCCIÓN. Hoy en día la cenca y la tecnología han tendo un gran avance con el cuál se accede a nteractuar en varos campos del conocmento, como la ngenería, la educacón, entre otros, aplcando técncas enfocadas a la automatzacón y el mejoramento de procesos. Una de las técncas más vsta, y que se ha tendo en cuenta para lograr un desarrollo sgnfcatvo en otras áreas como son la agrcultura, la salud, y la ndustra es la robótca. La robótca puede ser utlzada en cualquer campo de la cenca, ya sea para nvestgacón, aprendzaje ddáctco, aplcacones pelgrosas que tengan cargas repettvas y en donde se vea comprometda la vda de algún ser vvente, gracas a que esta tecnología tene la capacdad de ser manpulada para dversas funcones a través de smples cambos en la programacón. El desarrollo de estos robots, se ncó con la aparcón del brazo artculado, dseñado por G.Devol, que posterormente y gracas al señor V.Schememan fue reformado y mejorado [1], para llegar al desarrollo del PUMA (fgura 1.1) (Programmable unversal manpulator arm), el cual es consderado el precursor de los actuales manpuladores robots. Fgura 1. Robot PUMA De la Hoz Naranjo Carlos. Puesta en marcha del sensor fuerza/par JR3. Unversdad Carlos III de Madrd. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 14

15 Tanto los robots como los sstemas que se emplean para manpularlos, han evoluconado de tal manera que exsten 3 generacones, donde esta últma generacón presenta robots cuyo manejo se sustenta en el uso de ordenadores y en algunos casos sensores que aportan nformacón sobre el medo de trabajo con lo que pueden varar las estrategas de control. Tabla 1. Clasfcacón de los robots según generacones. 2 Toda esta presente evolucón de la robótca responde a la gran necesdad del hombre por evtar tareas pelgrosas, pesadas, repettvas (cadenas de montaje), o que requeran de una gran precsón (ndustra nformátca o medcna qurúrgca). Es gracas a todos estos estudos realzados, que en este proyecto se pretende construr un juguete prototpo de brazo robótco que smule los movmentos que se deben realzar al momento de vacunar cualquer tpo de ganado. Para ello se debe tener en cuenta la cnemátca drecta y la cnemátca nversa del robot, estudada de los lbros Fundamentos De Robótca de Antono Barrentos y Robótca de John Crag. 2. Antono Barrentos. Fundamentos de Robótca UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 15

16 Para la programacón se utlzara el software Matlab, en donde se elaborara el programa y posterormente se correrá para que el juguete prototpo de brazo robótco realce las tareas programadas. Todo esto se hará en el software para estar seguros de que el programa cumplrá con los propóstos establecdos en este proyecto. Posteror a esto, se construrá el juguete prototpo de brazo robótco, y fnalmente se observaran los movmentos que se planearon desde el nco de este proyecto. Por medo de este trabajo se explcaran cada uno de los pasos que se sgueron en la elaboracón de este juguete prototpo, la evaluacón de los parámetros necesaros para funconamento y la smulacón. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 16

17 2 RESUMEN En este trabajo se desea construr un juguete prototpo de brazo robótco, que logre mostrar los movmentos que se deben realzar al momento de vacunar cualquer tpo de ganado. Se realzara el programa respectvo para que el brazo realce las tareas pertnentes a las que será sometdo. Como herramenta prncpal para la elaboracón de este proyecto, se utlzara el software Matlab que facltara la creacón del programa y por el que se mostrará la solucón deseada. Para lograr este propósto prmero se deberá hacer toda la respectva programacón y después la smulacón en el software, para encontrar posbles alternatvas y escoger la mejor solucón. El software hará que el juguete prototpo robótco pueda manobrar de acuerdo a la programacón y a las necesdades que se requeran. El ensamble de este juguete prototpo estará operando drectamente con el software creado, por lo cual es necesaro tener toda la atencón al momento de su operacón. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 17

18 3 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA. La vacunacón es una de las varables más mportantes en la práctca ganadera, ya que con esta se ayuda a controlar, prevenr y proteger de muchas nfeccones y enfermedades a los anmales, evtando que se transmtan entre ellos, ya sea por vía oral, (mal manejo de los almentos), o por vía cutánea, (pcaduras de nsectos), entre otros. [2] En la vacunacón exsten muchos resgos que serán enumerados a contnuacón: 1. S se realza la vacunacón a los bovnos de forma manual, la persona que los vacuna podría sufrr un golpe por parte éstos y causar graves lesones [3], además pueden convertrse en aerosoles de algún tpo de enfermedad presente [4]. 2. Al realzar la operacón manual, la persona puede llegar a contagarse de algún tpo de vrus o bactera, como la febre Q, ya que los ndvduos con mayor posbldad de contagarse son quenes trabajan con este tpo de anmales [4] 3. Las personas que vacunan los anmales, se someten a jornadas de trabajo pesado y se cansan fáclmente, ya que son bastantes los que se deben vacunar a nvel naconal ( bovnos al 213), y que en algunos casos los ganaderos superan los 18 anmales y una sola persona debe hacer esta operacón [5]. 4. Los nveles de estrés a los que son sometdos los anmales son muy elevados debdo al contacto con personas, alterándolos y posterormente evtando que no haga sus rutnas daras como lo son, comer, dormr, beber agua entre otros, lo cual repercute en el producto fnal para el consumo humano. Trabajos y estudos ndcan que el ganado que se pone agtado y UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 18

19 nervoso en la manga de compresón tene ganancas de peso sgnfcatvamente menores y carne más dura. [6] Ya que algunas de las vacunas que se aplcan a estos anmales tenen como frecuenca mínma 3 meses [7] y que en Colomba hay bastante terreno y personal que se dedca a estas labores exponéndose a cualquer tpo resgo, se ha querdo analzar un método el cual no expone a nnguna persona a este tpo de factores sn cambar las doss n la caldad de las vacunas y poder dedcar así, a este personal a otras labores como la almentacón y el cudado de las crías, entre otras. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 19

20 4 JUSTIFICACIÓN. La robótca está cada vez más nvolucrada en muchos procesos de produccón tanto en la ndustra, la salud y en otros campos de la nvestgacón. Todo esto es gracas a que el hombre sempre se ha motvado por tener un cambo notable en el modo de vda hacendo mejores productos, prestando mejores servcos y brndando un mejor benestar y comoddad. Esto se debe en gran parte a que las personas se exponen en la vda dara a trabajos en donde se ve muy comprometda la vda y en donde exsten muchos resgos para la salud. En la agrcultura exsten sstemas robótcos móvles que se utlzan para sembrar las semllas en la terra, otros que fueron dseñados para arar los campos facltando al hombre estas tareas tan pesadas y extenuantes. En la ndustra se ven todo tpo de sstemas robótcos ya sea para embalaje de productos, como para la manufactura pasando por vehículos transportadores de materal e nsumos, brazos manpuladores ndustrales para soldaduras y amplfcadores de fuerza. A grandes rasgos el aspecto prncpal y fundamental de este proyecto es el amplo alcance que tene la robótca, ya que como se ha menconado anterormente esta tecnología posee una gran versatldad al momento de aplcarse en dferentes campos y stuacones. Por lo tanto en este proyecto de grado, se desea construr un juguete prototpo de brazo robótco que srva para smular los movmentos que se deben realzar al momento de vacunar ganado, con la sngulardad de no tener en cuenta los tempos de operacón n el ambente de trabajo en el que operara el brazo. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 2

21 5 OBJETIVOS DEL PROYECTO. 5.1 Objetvo General. Realzar la smulacón de los movmentos de un brazo robótco con 5 grados de lbertad (P4R), en el procedmento de vacunacón de ganado utlzando Matlab y mostrarlos en un juguete prototpo. 5.2 Objetvos Específcos. Realzar un dseño prelmnar del brazo robótco, lo que ncluye, dbujo del brazo y dmensonamento de los eslabones, con el fn de mostrar paso a paso la obtencón de la cnemátca drecta. Realzar los cálculos de la cnemátca drecta y la cnemátca nversa del brazo robótco, utlzando como herramenta el software Matlab y un texto guía de robótca. Construr un juguete prototpo de brazo robótco con la confguracón prelmnar. Programar los movmentos, hacer una trayectora senclla y correr la programacón utlzando las herramentas Matlab, con el fn de vsualzar el proceso que realzara el brazo al vacunar ganado. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 21

22 6 DELIMITACIÓN DEL PROYECTO. El alcance de este proyecto se lmtará a realzar la smulacón de los movmentos que se deben tener en cuenta al momento de vacunar ganado y a su vez se realzara la construccón, de un juguete prototpo de brazo robótco con 5 grados de lbertad (P4R), en el cual se mostraran dchos movmentos. Se realzara una trayectora smple tenendo en cuenta la cnemátca drecta y la cnemátca nversa del brazo. Para esto se utlzarán herramentas computaconales como el software Matlab en el cual se realzará el programa con el cual el brazo se moverá, un texto guía de robótca y algunos documentos y tess que ayudarán a determnar varables y otros parámetros necesaros para el funconamento del manpulador. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 22

23 7 MARCO TEÓRICO. 7.1 FUNDAMENTOS DE LA ROBÓTICA INDUSTRIAL Orgen y desarrollo de la robótca. La hstora de los robots es muy extensa, por este motvo se realzara un breve resumen: A lo largo de toda la hstora, el hombre se ha sentdo fascnado y atraído por las máqunas y algunos dspostvos capaces de mtar algunas funcones y movmentos de los seres vvos. En Greca tenían una palabra para denomnar a estas máqunas: automatos. De esta palabra se derva la actual, autómata, que tene por sgnfcado máquna o dspostvo que mta la fgura y movmentos de un ser anmado [1]. En la sguente tabla se muestran algunos mecansmos y dspostvos automátcos más relevantes creados por el hombre a lo largo de la hstora, prncpalmente al occdente, y de los cuales se conocen notcas certas de su creacón y aplcacón. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 23

24 Tabla 2. Mecansmos automátcos más relevantes de la hstora. 2 La palabra robot fue creada en 1921 por el escrtor checo Karel Capek fallecdo en 1938, en una de sus obras de teatro ( R.U.R, ROSSUM`S UNIVERSAL ROBOT), a partr del térmno checo robota, que quere decr trabajo y se utlzó para menconar a un androde capaz de llevar a cabo los trabajos ejecutados por un hombre [1]. El termno robot posblemente hubera desaparecdo s los escrtores de la época del género lteraro de la cenca fccón, no lo huberan utlzado en sus novelas, hacendo énfass en la domnacón de la espece humana por seres hechos a su propa magen y fue entonces cuando el escrtor Isaac Asmov de orgen ruso mpulso la palabra robot. 2. Antono Barrentos. Fundamentos de Robótca UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 24

25 El msmo escrtor Isaac Asmov, con la ayuda de la revsta Galaxy Scence Fcton y su artículo publcado en ella The Caves of Steel expreso por prmera vez sus tres leyes de la robótca: 1. Un robot no puede perjudcar a un ser humano, n con su nactvdad permtr que un ser humano sufra daño. 2. Un robot ha de obedecer las órdenes recbdas de un ser humano, excepto s tales órdenes entran en conflcto con la prmera ley. 3. Un robot debe proteger su propa exstenca mentras tal proteccón no entre en conflcto con la prmera o segunda ley [1]. Los prmeros mecansmos y dspostvos que responden a lo que hoy se conoce como robot, no tenían ese nombre ya que la palabra robot en las novelas de estas épocas hacía referenca a humanodes. Lo que hoy se conoce como robot ndustral son los progentores drectos de los humanodes y se comenzó por los manpuladores teleoperados que naceron (en 1948 Argonne Natonal Laboratory desarrollado por R. C. Goertz) con el objetvo de manejar elementos radoactvos sn resgos para el operador. Estos manpuladores tenían 2 dspostvos uno maestro y uno esclavo. El maestro lo maneja el operador mentras el esclavo manpula los radoactvos. En 1954 George Devol concbó la dea de un dspostvo de transferenca de artículos programada que se patento en Estados Undos y que con la ayuda de Jhoseph F. Engelberger, trabajan en la utlzacón ndustral de sus máqunas, y así fue como nacó Unmaton [1]. Más tarde y por motvos comercales a este tpo de máqunas destnadas a transferr pezas se les empeza a llamar robots. Con las nvestgacones realzadas por Devol y Engelberger, es que Víctor Schenman, reformo y mejoro el manpulador para dar paso a lo que hoy se UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 25

26 conoce como robot PUMA (Programmable unversal manpulator arm), uno de los robots ndustrales más famosos y utlzados tanto en ambentes ndustrales como en nvestgacón Defncón de robot. El gran dnamsmo que hay hoy en día en la robótca y las cencas afnes, orgnan que el concepto de robot deba ser revsado y amplado con frecuenca, ya que esta defncón varía depende del país o entorno socal. En este sentdo es váldo revsar algunas defncones no muy técncas contendas en encclopedas: Encclopeda Brtánca: Máquna operada automátcamente que susttuye el esfuerzo de los humanos aunque no tene por qué tener aparenca humana o desarrollar sus actvdades a la manera de los humanos [1]. Dcconaro Merram Webster: Máquna que se asemeja a los humanos y desarrolla como ellos tareas complejas como andar o hablar. Un dspostvo que desarrolla de manera automátca tareas complcadas, a menudo de manera repettva. Mecansmo guado por control automátco [1]. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 26

27 7.1.3 Defncón de robot ndustral manpulador. Exsten dversas defncones que descrben este tpo de robot, ya que dependen de su aplcacón, algunas de ellas son: Defncón RIA (Robot Insttute of Amerca): Un robot ndustral es un manpulador multfunconal reprogramable, capaz de mover materas, pezas, herramentas o dspostvos especales, según trayectoras varables, programadas para realzar tareas dversas [1]. Defncón ISO (Internatonal Organzaton for Standardzaton): Manpulador multfunconal reprogramable con varos grados de lbertad, capaz de manpular pezas, herramentas o dspostvos especales según trayectoras varables programadas para realzar tareas dversas [1]. Menconado todo esto, un robot manpulador ndustral es un dspostvo mecánco controlado por elementos electróncos capaz de desarrollar tareas ndustrales o de nvestgacón, prevamente programadas por el hombre en un lenguaje de computadora. En la actualdad la robótca abarca, en algunos casos, sstemas muy dversos que nvolucran: control automátco, sensores y actuadores entre muchas otras cosas. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 27

28 7.1.4 Clasfcacón de los robots. Un robot puede ser clasfcado tenendo en cuenta dferentes característcas, como el área de aplcacón o ncluso su propa esenca. A contnuacón se presentan algunas de estos crteros: Clasfcacón atendendo a la generacón. Esta clasfcacón hace referenca al momento tecnológco en el cual aparece el robot. De este modo se puede consderar que se pasa de una generacón a otra cuando se hace un avance tecnológco sgnfcatvo en las capacdades del robot. La sguente descrpcón permte hacerse una dea del avance de un robot ya que recoge una posble clasfcacón en generacones [1]. 1 era generacón Se extende desde el comenzo de la robótca hasta los años ochenta. Esta generacón repte la tarea programada secuencalmente. No toma en cuenta las posbles alteracones de su entorno [1]. 2 da generacón Se desarrolla en los años ochenta y es la que mayormente se puede encontrar hoy en día en las ndustras. Adquere nformacón lmtada de su entorno y actúa en consecuenca. Puede localzar, clasfcar, detectar esfuerzos y adaptar sus movmentos en consecuenca [1]. 3 era generacón Esta generacón está desarrollándose en estos días, sendo objeto del futuro de la robótca. Su programacón se realza medante el empleo de un lenguaje natural. Posee la capacdad para la planfcacón automátca de tareas [1]. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 28

29 Clasfcacón atendendo el área de aplcacón. Desde el punto de vsta del uso que se le da al robot es posble clasfcarlos en base al sector económco en el que se encuentra trabajando o ben en base al tpo de aplcacón o tarea que desarrollan [1]. ROBOTS INDUSTRIALES MANIPULADORES. Tabla 3. Clasfcacón de los robots ndustrales manpuladores según el tpo de aplcacón. 2 ROBOTS DE SERVICIOS Tabla 4. Clasfcacón de los robots de servco por áreas de aplcacón Antono Barrentos. Fundamentos de Robótca UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 29

30 Tabla 5. Clasfcacón de los robots de servco profesonales. 2 Tabla 6. Clasfcacón de los robots de nvestgacón y desarrollo. 2 Clasfcacón atendendo a la confguracón. Esta clasfcacón es solo aplcable a robots que contenen una cadena cnemátca defnda [1]. Estos robots pueden presentar cuatro confguracones cláscas: la cartesana, la clíndrca, la polar y la angular [1]. Confguracón cartesana: Posee 3 movmentos lneales, es decr, tene tres grados de lbertad, los cuales corresponden a los movmentos en los ejes X, Y y Z. los movmentos UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 3

31 que realza este robot entre un punto y otro son con base en nterpolacones lneales (Interpolacón, en este caso, sgnfca el tpo de trayectora que realza el manpulador cuando se desplaza entre un punto y otro) [1]. Fgura 2. Confguracón robot cartesano. 2 Confguracón clíndrca: Puede realzar dos movmentos, uno de ellos es rotaconal, y los otros lneales. Este tpo de robot está dseñado para ejecutar movmentos conocdos como nterpolacón lneal e nterpolacón por artculacón [1]. 2. Antono Barrentos. Fundamentos de Robótca Fgura 3. Confguracón robot clíndrco. 2 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 31

32 Confguracón polar: Tene varas artculacones, cada una de ellas puede realzar un movmento dstnto ya sea lneal, rotaconal o angular. Este robot utlza la nterpolacón por artculacón para moverse en sus dos prmeras artculacones y la nterpolacón lneal para la extensón y retraccón [1]. Fgura 4. Confguracón robot polar. 2 Confguracón angular: Esta confguracón presenta una artculacón con movmento rotaconal y dos angulares. El movmento natural es el de nterpolacón por artculacón, tanto rotaconal como rotaconal [1]. Fgura 5. Confguracón robot angular. 2 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 32

33 Además de las cuatro confguracones cláscas menconadas, exsten otras llamadas no cláscas. El ejemplo más común es el del robot tpo SCARA, (Selectve Aplance Arm Robot For Assembly, Brazo Robótco Artculado De Respuesta Selectva). Este brazo puede realzar movmentos horzontales de mayor alcance debdo a sus dos artculacones rotaconales y tambén puede hacer movmento lneal por medo de su tercera artculacón [1]. Fgura 6. Confguracón robot SCARA MORFOLOGÍA DEL ROBOT. Un robot es armado o formado, por elementos como son: estructura mecánca, transmsones, sstema de acconamento, sstema sensoral, sstema de potenca y control y elementos termnales. En este orden de deas se estudaran cada uno de los elementos menconados Estructura mecánca de un robot. Un robot está formado por una sere de elementos o eslabones undos medante artculacones que permten un movmento relatvo entre cada dos eslabones consecutvos. La consttucón físca de la gran mayoría de los robots guarda certa smltud con la anatomía del brazo humano, por lo que en ocasones a los dstntos elementos del robot se les suele llamar cuerpo, brazo, codo o muñeca [1]. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 33

34 Fgura 7. Morfología de un robot. 2 Cada uno de los movmentos ndependentes que puede realzar cada artculacón con respecto a la anteror, se denomna grado de lbertad (GDL) [1]. El movmento de cada artculacón puede ser de deslazamento, de gro o una combnacón de ambos. Dcho de este modo exsten ses tpos dferentes de artculacones: Esférca o rótula (3 GDL). Planar (2 GDL). Tornllo (1 GDL). Prsmátca (1 GDL). Rotacón (1 GDL). Clíndrca (2 GDL). Aunque en la práctca, en la mayor parte de los robots, solo se emplean los movmentos de rotacón y los prsmátcos. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 34

35 Fgura 8. Tpos de artculacón y sus respectvos grados de lbertad. 2 El empleo de estos tpos de artculacones da lugar a dferentes confguracones con certas característcas tanto en el dseño como en la aplcacón, dando lugar a la creacón de las cadenas cnemátcas para nvolucrar más grados de lbertad. Una cadena cnemátca, es una sere de eslabones o barras undas por artculacones. Cuando en una cadena cnemátca se puede llegar desde cualquer eslabón a cualquer otro eslabón, medante al menos dos camnos, se dce que se trata de una cadena cnemátca cerrada. En caso de que solo se pueda llegar por un camno se drá que se trata de una cadena cnemátca aberta [1]. El número de grados de lbertad de una cadena cnemátca puede ser obtendo medante la fórmula de Grübler, según la cual: NDGL = λ (n j 1) + f Ec1 2. Antono Barrentos. Fundamentos de Robótca UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 35

36 Dónde: λ: GDL del espaco de trabajo (Típcamente tres en el plano, ses en el espaco). n: Número de eslabones (debe nclurse el eslabón fjo o base). j: Número de artculacones. f: Sumatora de los grados de lbertad permtdos en las artculacones del robot. Los robots manpuladores son, en la mayor parte de los casos, cadenas cnemátcas abertas con las artculacones de tpo rotacón o prsmátca (con un solo grado de lbertad cada una), sendo por lo general sencllo encontrar el número de grado de lbertad del robot, pues llega a concdr con el número de artculacones que se compone, mentras que en los robot de cadena cnemátca cerrada, que pueden llegar a utlzar otro tpo de artculacones, como las esfércas, es usual evaluar con mayor rgor los GDL [1]. Para el caso de los robots con cadena cnemátca aberta, las combnacones más frecuentes son las representadas en las fguras 2 a la 6, donde se atende úncamente a las tres prmeras artculacones del robot, que son las más mportantes a la hora de posconar el extremo en punto en el espaco. Los robots con cadena cnemátca cerrada son poco frecuentes ya que su composcón, modelado y control son dferentes y más complejos que los de cadena aberta. Se sabe que para posconar y orentar un cuerpo de cualquer manera en el espaco son necesaros ses parámetros, tres para defnr la poscón y tres para defnr la orentacón, es decr que para que un robot se poscone en el espaco (con la peza o la herramenta manpulada) se necestan al menos ses grados de lbertad. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 36

37 7.2.2 Transmsones, reductores y acconamento drecto. Las transmsones son los elementos encargados de transmtr el movmento desde los actuadores hasta las artculacones. Se nclurán las transmsones con los reductores, y serán los encargados de adaptar el par y la velocdad de la salda del actuador a los valores adecuados para el movmento de los elementos del robot. Transmsones. Dado que un robot mueve su extremo con aceleracones muy elevadas, es muy mportante reducr al máxmo su momento de nerca. Para un cuerpo con una masa total dada, cuanto mayor sea la dstanca del eje a las partículas que consttuyen el cuerpo, mayor será el momento de nerca [8], esto quere decr que la nerca, es la resstenca que un cuerpo tene, y con la cual se opone a que lo saquen de su estado de reposo). Del msmo modo, los pares estátcos que deben vencer los actuadores dependen drectamente de la dstanca de las masas al actuador. Es por este motvo que se procura que los actuadores estén en la base del robot. Estas crcunstancas oblgan a utlzar sstemas de transmsón que trasladen los movmentos hasta las artculacones especalmente las que se encuentran al fnal de la cadena cnemátca. Así msmo, en algunos casos, las transmsones son utlzadas para convertr movmento crcular en lneal o vceversa, según sea necesaro de acuerdo al trabajo. Un buen sstema de transmsón debe cumplr una sere de característcas báscas: Debe tener un tamaño reducdo. Se debe evtar que presente juegos u holguras consderables. Se deben buscar transmsones con gran rendmento [1]. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 37

38 Aunque no exste un sstema de transmsón defndo para los robots, ya que estos en algunos casos dependen del trabajo o la aplcacón deseada, s exsten unos que son utlzados en la mayor parte de estas máqunas. Tabla 7. Sstema de transmsón para robots. 2 Esta clasfcacón se ha realzado en base al tpo de movmento posble en la entrada y la salda, ya sea lnear o crcular. En la tabla tambén se ven algunas ventajas e nconvenentes propos de algunos sstemas de transmsón. Las transmsones más habtuales son aquellas que cuentan con movmento crcular tanto en la entrada como a la salda. Includas en éstas se encuentran los engranajes, las correas dentadas, y las cadenas. Reductores. Al contraro que con las transmsones, exsten determnados sstemas usados de una manera preferente en los robots ndustrales. Esto se debe a que a los reductores en robótca se les exge unas condcones de funconamento restrctvas. La exgenca de estas es motvada por las altas prestacones que se le pden al robot en cuanto a precsón y velocdad de posconamento [1]. 2. Antono Barrentos. Fundamentos de Robótca UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 38

39 Lo que se busca en un reductor es: Bajo peso. Tamaño reducdo. Bajo rozamento. Que sean capaces de reducr una velocdad elevada en un solo paso. Se tende tambén a mnmzar el momento de nerca, de negatva nfluenca en el funconamento del motor ya que puede ser muy crítco en motores de baja nerca. Por motvos de dseño, los reductores tenen una velocdad máxma de entrada admsble, que aumenta a medda que dsmnuye su capacdad de transmtr par. Puesto que los robots trabajan en cclos cortos que mplcan contnuos arranques y paradas, es de gran mportanca que el reductor sea capaz de soportar pares elevados puntuales. Por últmo es mportante que los reductores para robótca posean una alta rgdez torsonal, ésta es defnda como el par que hay que aplcar sobre el eje de salda para que, mantenendo bloqueado el eje de entrada, el eje de salda gre un ángulo untaro. Acconamento drecto. El acconamento drecto es aquel en el que el eje del actuador se conecta drectamente a la carga o a la artculacón, sn la utlzacón de un reductor ntermedo. Este tpo de acconamento aparece a raíz de la necesdad de utlzar robots en aplcacones que exgen combnar gran precsón con alta velocdad, sn tener en cuenta efectos negatvos, como son juego angular, rozamento o UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 39

40 dsmnucón de la rgdez del acconador, que pueden mpedr alcanzar los valores de precsón y velocdad requerdos para el tpo de proceso que se desea [1]. Las prncpales ventajas que tene este tpo de acondconamento son las sguentes: Posconamento rápdo y precso, pues se evtan los rozamentos y juegos de las transmsones y reductores. Aumento de las posbldades de controlabldad del sstema a costa de una mayor complejdad. Smplfcacón del sstema mecánco al elmnarse el reductor. El prncpal problema que tene esta aplcacón radca en el motor a emplear, porque estos deben tratarse de motores que proporconen un par elevado (unas 5 a 1 veces mayor que con reductor) a bajas revolucones (las del movmento de la artculacón) mantenendo la máxma rgdez posble. Un argumento mportante a tener en cuenta a la hora de utlzar el acconamento drecto es la propa cnemátca del robot. Colocar motores, generalmente pesados y volumnosos, junto a las artculacones no es factble para todas las confguracones del robot debdo a los pares que se generan [1], es por esto que s se desea mplementar esta confguracón se debe tener en cuenta en los cálculos. 7.3 ELEMENTOS TERMINALES. Los elementos termnales, son tambén llamados efectores fnales son los encargados de nteracconar drectamente con el entorno del robot y pueden ser elementos de aprehensón o herramentas. Estos efectores fnales son dseñados para una sola funcón y es por esto que no pueden ser utlzados en otras UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 4

41 aplcacones. Se puede establecer una clasfcacón de los elementos termnales ya sea un elemento de sujecón o de una herramenta. Elementos de sujecón. Los elementos de sujecón más comunes son denomnados pnzas o garras. Habtualmente utlzan acconamento neumátco para sujetar las pezas por presón. En el cálculo de la fuerza de agarre, debe consderarse no solo el peso de la peza a transportar s no tambén su forma y el materal del que está hecha, ya que afectara el valor de la fuerza de rozamento de la superfce con los dedos de la pnza y las aceleracones con las que se pretende mover la peza [1]. En la sguente tabla se muestran algunas opcones y sus usos más frecuentes. Tabla 8. Sstemas de sujecón para robots. 2 Herramentas termnales. En muchas aplcacones el robot ha de realzar operacones que no conssten en manpular objetos, sno que mplcan el uso de una herramenta. En general, esta herramenta debe ser construda o adaptada de manera específca para el robot, pero dado que hay aplcacones amplamente robotzadas, se UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 41

42 comercalzan herramentas específcas para su uso en robots [1]. Entre estas aplcacones se encuentran la soldadura por puntos, por arco o la pntura en vehículos o ncluso atornllando muebles para decoracón, son algunas de ellas. Normalmente, la herramenta está fjada rígdamente al extremo del robot aunque en ocasones se dota a éste con un dspostvo que medante certo grado de flexbldad, permte la modfcacón de su poscón ante la presenca de esfuerzos exterores facltando así tareas de contacto, como el ensamblado o el desbaste de materal. La sguente tabla muestra algunas de las herramentas utlzadas frecuentemente: Tabla 9. Herramentas termnales para robots. 2 8 MARCO CONCEPTUAL. 8.1 CINEMÁTICA DEL ROBOT. Para la elaboracón de este juguete prototpo de brazo robótco es necesaro calcular la cnemátca del robot. Esta cnemátca estuda el movmento del msmo con respecto a un sstema de referenca sn consderar las fuerzas que ntervenen. La cnemátca se nteresa un poco más por la descrpcón analítca del movmento espacal del robot como una funcón del tempo y en partcular por las relacones UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 42

43 entre la poscón y la orentacón del efector fnal del robot con los valores que toman sus coordenadas artculares [1]. Exsten dos problemas fundamentales para resolver en la cnemátca de un robot; el prmero es el problema cnemátco drecto y el segundo es el problema cnemátco nverso Matrces de transformacón homogénea. Las matrces de transformacón homogéneas, permten una representacón conjunta de la poscón y la orentacón, (localzacón), facltando su uso medante el álgebra matrcal. En pocas palabras una matrz de transformacón homogénea, es una matrz de 4 x 4 que representa la transformacón de un vector en un sstema, a otro sstema. P 3x1 T = [ R 3x3 Rotacón Traslacón ] = [ f 1x3 w 1x1 1 ] Ec2 La matrz homogénea está compuesta por cuatro submatrces de dstntto tamaño; una submatrz R 3x3 que corresponde a una matrz de rotacón; una submatrz P 3x1 que corresponde a un vector de traslacón; una submatrz f 1x3 que representa una transformacón de perspectva y una submatrz w 1x1 que representa un escalado global. En robótca generalmente nteresa conocer el valor de R 3x3 y de P 3x1 consderándose f 1x3 nulo y w 1x1 como una undad [1]. En resumen una matrz de transformacón homogénea se puede aplcar para: a) Representar la poscón y la orentacón de un sstema grado y trasladado A con respecto a un sstema fjo de referenca B. b) Transformar un vector r expresado en coordenadas con respecto a un sstema A, a su expresón en coordenadas del sstema de referenca B. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 43

44 c) Rotar (R) y trasladar (p) un vector r con respecto a un sstema de referenca fjo B para transformarlo en el r. Fgura 9. Aplcacones alternatvas de las matrces de transformacón homogénea. 2 La matrz T de transformacón se suele escrbr de la sguente forma: T nx n y nz o o o x y z a a a x y z Px P y n P z 1 o a p 1 Ec3 Donde n, o, a, es una terna ortonormal que representa la orentacón y p, es un vector que representa la poscón del efector fnal del robot. Aplcando todo lo dcho anterormente, la matrz de transformacón homogénea permte descrbr la localzacón (poscón y orentacón) de su extremo con respecto a su base. Así, asocando a la base del robot un sstema de referenca fjo y al extremo un sstema de referenca que se mueva con él, cuyo orgen se encuentre en el punto p y los vectores drectores sean n, o, a, escogdos de modo que: a: sea un vector en la dreccón de aproxmacón del extremo del robot a su destno. 2. Antono Barrentos. Fundamentos de Robótca UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 44

45 o: sea un vector perpendcular a a en el plano defndo por la pnza del robot. n: sea un vector que forme terna ortogonal con los dos anterores. Se tendrá que el extremo del robot quede perfectamente localzado por la matrz de transformacón homogénea dada por la ecuacón 3. Fgura 1. Defncón de la matrz noap de la localzacón del extremo del robot. 2 Traslacón. Supóngase que el sstema A úncamente se encuentra trasladado un vector X, (Px + Pyj + Pzk), con respecto al sstema B. la matrz T entonces corresponderá a una matrz homogénea de traslacón, llamada tambén matrz básca de traslacón. 1 ( p) 1 1 Px P y P z 1 T Ec4 2. Antono Barrentos. Fundamentos de Robótca UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 45

46 Rotacón. Ahora supóngase que el sstema A sólo se encuentra rotado con respecto al sstema B. la submatrz de rotacón R 3x3 será la que defna este movmento. De la rotacón se pueden defnr tres matrces homogéneas báscas de rotacón, esto es dado, según el eje coordenado X, Y, o Z en el cual realce el movmento. 1 cos sen Rotx ( ) Ec5 sen cos 1 cos sen 1 Roty ( ) Ec6 sen cos 1 cos sen sen cos Rotz ( ) Ec7 1 1 De esta forma, se logra encontrar una transformacón más compleja que nos ayuda a determnar consecutvamente gros báscos y traslacones. Un ejemplo es que s se tene un gro de un ángulo θ en Z, segudo de un gro de ángulo en Y, y de un gro de ángulo α sobre X con respecto a un sstema fjo puede obtenerse una matrz a partr de una composcón de matrces báscas de rotacón como la que se observa en la ecuacón 8: UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 46

47 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna C S S C C S S C C S S C Rotx Roty Rotz T Ec8 En donde: C = cos, S = sen. Al realzar las multplcacones respectvas entre estas matrces se obtene la sguente ecuacón 9: 1 C C S C S C S S S C S S S C C C S C S C S S S S C C S S C T Ec9 En la ecuacón 9 se obtene como resultado la rotacón de un sstema con respecto a otro en los ejes coordenados Z, Y, y X respectvamente. Debdo a que el producto de matrces no es conmutatvo, tampoco lo es la composcón de transformacones. S se nverte el orden de la aplcacón de las transformacones, el resultado es dferente. Con esta representacón lo únco que se puede obtener es la orentacón de un sstema de referenca por lo tanto se pueden utlzar solo las matrces de rotacón. A este método se le conoce como Ángulos de Euler Problema cnemátco drecto. La solucón del problema cnemátco drecto permte conocer cuál es la poscón y la orentacón que adopta el extremo del robot cuando cada una de las varables que posconan al robot toma valores determnados. La cnemátca drecta es utlzada entre otros fnes para presentar nformacón al usuaro sobre la localzacón del efector fnal del robot.

48 La obtencón del modelo cnemátco drecto puede ser determnado medante dos métodos dferentes, el método geométrco y métodos basados en cambos de sstemas de referenca. Los métodos geométrcos son adecuados para casos smples, pero al no ser sstemátcos su aplcacón queda lmtada a robots con pocos grados de lbertad. Los métodos basados en cambos de sstemas de referencas permten abordar la obtencón de la cnemátca drecta para n grados de lbertad sendo este método el más usado frecuentemente, y aún más para los sstemas que usan matrces de transformacón homogéneas [1] Resolucón del problema cnemátco drecto medante matrces de transformacón homogénea. Este método es uno de los más utlzados en la robótca y utlza fundamentalmente, el álgebra vectoral y matrcal para representar y descrbr la localzacón de un objeto en el espaco trdmensonal con respecto a un sstema de referenca fjo. Dado que un robot es consderado una cadena cnemátca formada por eslabones undos entre sí, se puede establecer un sstema de referenca fjo ubcado en la base del robot y descrbr la localzacón de los eslabones con respecto al sstema fjo en la base del robot. De esta forma la cnemátca drecta se reduce a encontrar una matrz de transformacón homogénea T, que relacone la poscón y orentacón del extremo del robot con respecto al sstema de referenca fjo. Esta matrz será funcón de las coordenadas artculares [1]. En general un robot está formado por n eslabones undos por n artculacones, de forma que cada artculacón-eslabón consttuye un grado de lbertad. Esto se hace con el fn de que a cada eslabón se le asoce un sstema de referenca, y utlzando las transformacones homogéneas sea posble representar las rotacones y traslacones relatvas entre los dstntos eslabones que componen el robot. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 48

49 Normalmente, la matrz de transformacón homogénea que representa la poscón y la orentacón relatva entre los sstemas asocados a dos eslabones consecutvos del robot se le suele denomnar 1 A [1]. Así entonces A 1 descrbe la poscón y la orentacón del sstema de referenca soldaro al prmer eslabón con respecto al sstema de referenca soldaro a la base, 1 A 2 descrbrá entonces la poscón y la orentacón del segundo eslabón con respecto al prmero, etc. [1]. De esta msma manera, denomnando Ak a las matrces resultantes del producto de matrces 1 A con desde 1 hasta k, se puede representar de forma total o parcal la cadena cnemátca que forma al robot. Dcho de este modo entonces, la poscón y orentacón del sstema soldaro con el segundo eslabón del robot con respecto al sstema de coordenadas base se puede expresar medante la matrz A. 2 A 2 1 A A 1 2 Ec1 De manera análoga la matrz A 3 representara la localzacón del sstema del tercer eslabón: A A1 A2 A3 Ec11 Cuando se consderan todos los grados de lbertad, a la matrz An se le suele denomnar T. Así, dado un robot de ses grados de lbertad, se tene que la poscón y orentacón del eslabón fnal vendrá dadas por la matrz T [1]: T A1 A2 A3 A4 A5 A6 Ec12 Cada una de las matrces 1 A representa el cambo de base que permte pasar del sstema asocado al eslabón 1 al asocado al eslabón. Esta matrz UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 49

50 dependerá de constantes geométrcas propas del eslabón y del grado de lbertad q. Por lo tanto la matrz T podrá escrbrse como: T 1 n1 q q A q A q A q 1 n n n Ec13 Resultando que la relacón entre el sstema de coordenadas de la base y del extremo del robot queda defnda por una matrz de transformacón homogénea T funcón de las coordenadas artculares, que debe hacerse concdr con la matrz de transformacón (noap) correspondente a la localzacón en la que se desea posconar el robot. De esta gualdad se obtene la solucón al problema cnemátco drecto. Ya se conoce como relaconar a un robot, ncando por la base y llegando al efector fnal. Lo que es necesaro ahora es encontrar las matrces correspondentes a cada eslabón del robot. Para encontrar estas matrces es necesaro conocer su geometría, pero no solo con la geometría será posble establecer estas matrces. A contnuacón se presentará un algortmo para defnr estas matrces correctamente Algortmo de Denavt Hartenberg para la obtencón del modelo cnemátco drecto. Denavt y Hartenberg propuseron en 1955 un modelo matrcal que establece la localzacón que debe tomar cada sstema de coordenadas lgado a cada eslabón de una cadena artculada, para poder sstematzar la obtencón de las ecuacones cnemátcas de la cadena completa. Escogendo los sstemas de coordenadas asocados cada eslabón según la representacón propuesta por D-H, será posble pasar de uno al sguente medante cuatro transformacones báscas que dependen exclusvamente de las característcas geométrcas del eslabón [1]. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 5

51 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 51 Hay que hacer notar que s ben en general una matrz de transformacón homogénea queda defnda por ses grados de lbertad, el método Denavt- Hartenberg, permte en eslabones rígdos, reducr este a cuatro con la correcta eleccón de los sstemas de coordenadas. Estas cuatro transformacones báscas conssten en una sucesón de rotacones y traslacones que permten relaconar al sstema de referenca del elemento 1 con el sstema del elemento. Las trasformacones en cuestón son las sguentes: 1. Rotacón alrededor del eje 1 Z un ángulo. 2. Traslacón a lo largo del eje 1 Z una dstanca d ; vector d d,,. 3. Traslacón a lo largo del eje X una dstanca a ; vector,, a a. 4. Rotacón alrededor del eje X un ángulo. Donde las transformacones se referen al sstema móvl. Dado que el producto de las matrces no es conmutatvo, las transformacones se han de realzar en el orden ndcado. De este modo se tene que: Rotx a T d T Rotz A,,,, 1 Ec14 Y realzando el producto el producto de las matrces se obtene que [1]: C S S C a d C S S C A 1 1 d C S S a C S C C S C a S S S C C A Ec15

52 Donde, d, a, son los parámetros D-H del eslabón. De este modo, basta con dentfcar estos parámetros para obtener las matrces todos y cada uno de los eslabones del robot. 1 A y relaconar así Como se ha dcho anterormente para que la matrz 1 A, relacones los sstemas coordenados 1 con, es necesaro que los sstemas se hallan escogdo a unas determnadas normas. Estas normas junto con la defncón de los cuatro parámetros de Denavt Hartenberg, conforman el sguente algortmo para la resolucón del problema cnemátco drecto: DH1. Numerar los eslabones comenzando con 1 (prmer eslabón móvl de la cadena) y acabando con n (últmo eslabón móvl). Se debe enumerar como eslabón a la base fja del robot. La base fja del robot será y el últmo eslabón móvl será el 6. DH2. Numerar cada artculacón comenzando por 1 (la correspondente al prmer grado de lbertad) y acabando en n. Utlzar q s la artculacón es rotaconal y d s es prsmátca. DH3. Localzar el eje de cada artculacón. S esta es rotatva el eje será su propo eje de gro. S es prsmátca será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamento. DH4. Para de a n 1 stuar el eje Z sobre el eje de artculacón + 1. DH5. Stuar el orgen de sstema de la base S en cualquer punto del eje Z. Los ejes X y Y se stuaran de modo que formen un sstema dextrógro con Z. DH6. Para de 1 a n 1, stuar el orgen del sstema S (soldaro al eslabón ) en la nterseccón del eje Z con la línea normal común a 1 Z y Z. S ambos ejes UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 52

53 se cortasen se stuaría en la artculacón + 1. S en el punto de corte. S fuesen paralelos S se stuaría DH7. Stuar X en la línea normal común a 1 Z y Z. DH8. Stuar Y de modo que se forme un sstema dextrógro con X y DH9. Stuar el sstema S n en el extremo del robot de modo que Z n concda con la dreccón de Z n1 y X n sea normal a Z n1 y Z n. DH1. Obtener como el ángulo que hay que grar en torno a Z 1 para que X 1 Z. y X queden paralelos. DH11. Obtener d como la dstanca, medda a lo largo de Z 1 desplazar S 1 para que X y X 1 quedasen alneados. DH12. Obtener a como la dstanca medda a lo largo de con 1 con S. X ) que habría que desplazar al nuevo 1, que habría que X (que ahora concdrá S para que su orgen concda DH13. Obtener como el ángulo que habría que grar en torno a nuevo S 1 concdese totalmente con S. X, para que el DH14. Obtener las matrces de transformacón 1 A (defndas en Ec 15 ). DH15. Obtener la matrz de transformacón que relacona el sstema de la base con el del extremo del robot T A A A. 1 n1 1 2 n UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 53

54 DH16. La matrz T defne la orentacón (submatrz de rotacón) y poscón (submatrz de traslacón) del extremo referdo a la base, en funcón de las n coordenadas artculares. Los cuatro parámetros de D-H (, d, a, ) dependen úncamente de las característcas geométrcas de cada eslabón y de las artculacones que le unen con el anteror y el sguente. En concreto estos representan [1]: : Es el ángulo que forman los ejes 1 X y X, meddo en un plano perpendcular al eje Z 1, utlzando la regla de la mano derecha. Se trata de un parámetro varable en artculacones gratoras. d : Es la dstanca a lo largo del eje Z 1 desde el orgen del sstema de 1 coordenadas ( 1)-ésmo hasta la ntercesón del eje Z 1 con el eje X. Se trata de un parámetro varable en artculacones prsmátcas. a : Es la dstanca a lo largo del eje X que va desde la nterseccón del eje Z 1 con el eje X hasta el orgen del sstema -ésmo, en el caso de artculacones gratoras. En el caso de artculacones prsmátcas, se calcula como la dstanca más corta entre los ejes Z 1 y Z. : Es el ángulo de separacón del eje 1 Z y el eje Z, meddo en un plano perpendcular al eje X, utlzando la regla de la mano derecha. Una vez obtendos los parámetros D-H, el cálculo de las relacones entre los eslabones consecutvos del robot es nmedato, ya que venen dadas por las matrces 1 A, que se calculan según la expresón general de la Ec 15. Las relacones entre varos eslabones consecutvos dos a dos venen dadas por las matrces T que, como ya se comentó anterormente, se obtenen como el producto UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 54

55 de un conjunto de matrces [1]. Obtenda la matrz T, ésta expresara la orentacón (submatrz (3X3) de rotacón) y poscón (submatrz (3X1) de traslacón) del extremo del robot en funcón de sus coordenadas artculares, con lo que quedara resuelto el problema cnemátco drecto [1] Problema cnemátco nverso. El objetvo del problema cnemátco nverso consste en encontrar los valores que deben adoptar las coordenadas artculares del robot para que su extremo se poscone y se orente según una determnada localzacón espacal. Así cómo es posble abordar el problema cnemátco drecto de una manera sstemátca a partr de la utlzacón de matrces de transformacón homogénea, e ndependentemente de la confguracón del robot, no ocurre lo msmo con el problema cnemátco nverso, sendo el procedmento de obtencón de las ecuacones fuertemente dependente de la confguracón del robot [1]. Se han desarrollado algunos procedmentos genércos susceptbles; (capas de recbr modfcacón) de ser programados, de modo que un computador pueda, a partr del conocmento de la cnemátca del robot (con sus parámetros D-H) obtener la n-upla de valores artculares que posconan y orentan su extremo. El nconvenente de estos procedmentos es que se trata de métodos numércos teratvos, cuya velocdad de convergenca no está sempre garantzada. A la hora de resolver este problema cnemátco nverso es mucho más adecuado encontrar una solucón cerrada. Esto quere decr, encontrar una relacón matemátca explcta de la forma: q k f k x, y, z,,, Ec16 k 1...n (GDL) Ec17 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 55

56 Este tpo de solucón presenta, entre otras, las sguentes ventajas: 1. En muchas aplcacones, el problema cnemátco nverso ha de resolverse en tempo real (por ejemplo, en el segumento de una determnada trayectora). Una solucón de tpo teratvo no garantza tener la solucón en el momento adecuado [1]. 2. Al contraro de lo que ocurrría en el problema cnemátco drecto, con certa frecuenca la solucón del problema cnemátco no es únca; exstendo dferentes n-uplas q,...q T 1 n que posconan y orentan el extremo del robot del msmo modo. En estos casos una solucón cerrada permte nclur determnadas reglas o restrccones que aseguren que la solucón obtenda sea las más adecuada de entre las posbles (por ejemplo, lmtes en los recorrdos artculares) [1]. No obstante a pesar de las dfcultades comentadas, la mayor parte de los robots poseen cnemátcas relatvamente smples que facltan en certa medda la resolucón de su problema cnemátco nverso. Por ejemplo s se consderan solo los tres prmeros grados de lbertad de muchos robots, estos tenen una estructura planar, esto es, los tres prmeros elementos quedan contendos en un plano. Estas crcunstancas facltan la resolucón del problema. Así msmo, en muchos robots la crcunstanca de que los tres últmos grados de lbertad, dedcados a orentar el extremo del robot, corresponden a gros sobre ejes que se cortan en un punto. Nuevamente esta stuacón faclta el cálculo de la n-upla correspondente a la poscón y orentacón deseadas. Los métodos geométrcos permten, normalmente, obtener los valores de las prmeras varables artculares que son la que consguen posconar el robot. Para ello se utlzan relacones trgonométrcas y geométrcas sobre los elementos del robot [1]. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 56

57 Como alternatva para resolver el msmo problema se puede recurrr a manpular drectamente las ecuacones correspondentes al problema cnemátco drecto. Es decr, puesto que este establece la relacón: n o a p 1 t j Ec18 Donde los elementos t j son funcón de las coordenadas artculares q,...,q T 1 n, es posble pensar que medante certas combnacones de las 12 ecuacones planteadas en la Ec3 se puedan despejar las n varables artculares q en funcón de las componentes de los vectores n, o, a y p. debe consderarse que en general las 12 ecuacones responden a ecuacones trgonométrcas acopladas cuya resolucón no es trval. Para facltar esta solucón se puede proceder de manera ordenada, despejando sucesvamente los grados de lbertad Resolucón del problema cnemátco nverso a partr de matrces de transformacón homogéneas. En prncpo es posble tratar de obtener el modelo cnemátco nverso de un robot a partr del conocmento de su modelo drecto. Es decr, suponendo conocdas las relacones que expresan el valor de la poscón y orentacón del extremo del robot en funcón de sus coordenadas artculares, obtener por manpulacón de aquellas las relacones nversas [1]. Sn embargo, en la práctca esta tarea no es trval sendo en muchas ocasones tan compleja que oblga a desecharla. El problema cnemátco drecto contene en el caso de un robot de 6 GDL 12 ecuacones, y se buscan solo 6 relacones (una por cada GDL). El prmer paso a dar para resolver el problema cnemátco nverso es obtener la matrz T que relacona a la base del robot con el efector fnal. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 57

58 nx n y nz o o x z x z p x p y p z 1 y y T Ec19 o a a a Obtenda la expresón de T en funcón de las coordenadas artculares q q,... 1, 2 y supuesta una localzacón de destno para el extremo del robot defnda por los vectores n, o, a, y p se podría ntentar manpular drectamente las 12 ecuacones resultantes de T a fn de desparejar q 1, q2,... q n en funcón de n, o, a, y p. Es adecuado aplcar el sguente procedmento: q n (Para 3 GDL) 1 2 Puesto que T A1 A2 A3 A3 se tendrá entonces: A1 T A2 A A1 A2 T A3 Ec2 Ec21 Puesto que n o a p T es conocda, los membros a la zquerda en las 1 expresones Ec2 y Ec21 son funcones de las varables artculares q 1,...,q k mentras que los membros de la derecha son de las varable artculares q k 1,..., q n. De este modo, la expresón de Ec2 se tendrá q1 aslado del resto de las varables artculares y tal vez sea posble obtener su valor sn nnguna complejdad. A su vez, una vez obtenda q 1, la segunda expresón Ec21 permtrá obtener el valor de q 2 aslado con respecto a q 3. Por últmo, conocdos q 1 y q 2 se podrá obtener q 3 de la expresón Ec 18 sn excesva dfcultad [1]. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 58

59 Para poder aplcar este procedmento, es necesaro, obtener las nversas de las matrces 1 A. nx n y nz o o o x y z a a a x y z p x p y p z 1 1 nx ox ax n o a y y y n o a z z z T n p T o p T a p 1 Ec22 1 A Matrz nversa que relacona el prmer eslabón del robot con la base fja A Matrz nversa que relacona el segundo eslabón del robot con la base fja A Matrz nversa que relacón el tercer eslabón del robot con la base fja. 3 Establecdas estas relacones se encuentran las 12 ecuacones para cada artculacón e nteresan aquellas que expresan los ángulos de artculacón en funcones constantes. 9 DESARROLLO Y EVALUACIÓN DEL PROYECTO Este capítulo será dedcado a la descrpcón del dseño y de la construccón de todos elementos que conforman el prototpo de brazo robótco, con el fn de mostrar paso a paso como se logró obtener el prototpo funconal del brazo. La construccón del prototpo de brazo robótco fue realzada y fnancada por el estudante tessta con recursos propos. El dseño de este prototpo se realzó para cumplr los objetvos propuestos en este trabajo de grado. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 59

60 9.1 Dseño prelmnar. Prototpo # 1. Este modelo se dseñó en el software Sold Edge V18, con el fn de cumplr con las necesdades del proyecto pero que a su vez fuera económco y versátl a la hora de su operacón. Con este dseño se buscaba vacunar al anmal sn nnguna dfcultad n complejdad, aunque no se tuveron en cuenta los actuadores, srvó como un punto de partda para realzar el dseño funconal. Con este dseño se logró defnr el materal, el cual sería acrílco. Con esta decsón se procede a realzar un dseño nuevo con menos complejdad al momento de su fabrcacón. Prototpo # 2. Fgura 11. Prmer dseño prototpo brazo robótco. 3 El cambo que se realzó en este dseño fue la base, ya que el en prototpo # 1 era muy complejo al momento de fabrcarlo y se podrían producr movmentos no deseados como rotacones en la base del robot. Con este dseño nuevo, además de tener el materal que se defnó como acrílco, se logró defnr el movmento prncpal del prmer eslabón hacéndolo con una correa de tempo y con sus respectvas poleas, hacendo una construccón más smple y más efcente. 3. Fuente autor del proyecto UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 6

61 En este paso del dseño se buscaron los actuadores, los cuales se defneron como servomotores hacendo que el prototpo # 2 cambara al prototpo # 3. Fgura 12. Segundo dseño prototpo brazo robótco. 3 Prototpo # 3. Para este dseño se utlzó el software SoldWorks y se tuveron en cuenta los servomotores que se utlzaron, con sus respectvos acondconadores y poleas. Este dseño se realzó partendo del prmer prototpo pero se dseñó todo completamente por el tessta, se colocaron rodamentos lneales tpo A y para estos se dseñaron las chumaceras y se construyeron en alumno 663 con tratamento térmco T5. 3. Fuente autor del proyecto UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 61

62 Fgura 13. Tercer dseño prototpo brazo robótco Seleccón de actuadores. Para la seleccón de los servomotores lo prmero que se debe tener en cuenta es, que un brazo robótco se comporta gual que uno humano, por este motvo las artculacones del msmo están lmtadas, es decr, que nnguna tene una rotacón completa. Esta crcunstanca hace que lo prmero que se seleccona sean los actuadores y para esta ocasón se utlzan servomotores estándar, ya que estos solo poseen una rotacón de 18 grados hacendo que la búsqueda sea más lmtada. El segundo parámetro que se debe tener en cuenta es el peso de cada artculacón. Para esto los fabrcantes de acrílco utlzan una senclla ecuacón: Peso(gr) = Ancho(cm) Largo(cm) Espesor(mm),1312 Ec23 Esta ecuacón solo srve para acrílco sn nngún tpo de agujero, es decr la peza cortada en forma rectangular. Este prototpo se pesó una vez realzados los agujeros respectvos obtenendo los sguentes pesos por eslabón (solo el acrílco): 3. Fuente autor del proyecto UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 62

63 Numero de Eslabón Masa calculada con ecuacón sn agujeros (Kg) Masa calculada con agujeros (Kg) Base del prototpo,86242,7867 Eslabón 1,165,943 Eslabón 2,8397,725 Eslabón 3,8242,713 Eslabón 4,116,9474 Eslabón 5,115,883 Tabla 1. Pesos por eslabón de solo acrílco con los agujeros respectvos. 3 Con estos pesos ya conocdos, se procede a calcular los torques necesaros para cada artculacón, con el fn de tener un punto de partda para la seleccón de los actuadores que serán los óptmos para su funconamento. Para calcular los torques se debe posconar el prototpo de brazo robótco de una forma muy crítca, esta se consgue estrando el brazo y dejando que actué la fuerza de gravedad sobre él, posterormente se ubcan las fuerzas que actúan, como se observa en la fgura 14 donde: Fgura 14. Plano lateral del prototpo de brazo robótco con dstrbucón de fuerzas. 3 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 63

64 Wesl1, es el peso del eslabón 1, Wesl2, es el peso del eslabón 2, Wesl3, es el peso del eslabon3, Wesl4, es el peso del eslabón 4 y Wesl5, es el peso del eslabón 5. Torque = (Fuerza Dstanca Perpendcular al eje del motor) T2 = W esl2 dstanca de la fuerza 2 al punto de referenca orgen T3 = W esl3 dstanca de la fuerza 3 al punto de referenca orgen T4 = W esl4 dstanca de la fuerza 4 al punto de referenca orgen T5 = W esl5 dstanca de la fuerza 5 al punto de referenca orgen Ec24 Ec25 Ec26 Ec27 Ec28 Para ser un poco más acertado en el cálculo de los torques se nclurán los momentos de nerca que provocan los pesos de cada eslabón con respecto a un eje de referenca u orgen. Para encontrar los momentos de nerca se aplca el teorema de ejes paralelos para cuerpos delgados [8], tenendo en cuenta que el prototpo de brazo robótco está formado por placas delgadas de acrílco. Se toma como punto de partda una placa de las ya menconadas, en donde el punto de referenca se fja en un extremo y se hace concdr con el eje del motor. Tenendo en cuenta lo dcho anterormente se tene que: I P2 = I cm2 + M esl2 (d 2 ) I P3 = I cm3 + M esl3 (d 2 ) I P4 = I c4m + M esl4 (d 2 ) I P5 = I cm5 + M esl5 (d 2 ) Ec29 Ec3 Ec31 Ec32 Donde I p es el momento de nerca en el punto de orgen, I cm es el momento de nerca en el centro de masa del eslabón, M es la masa del eslabón y d es la dstanca entre ejes del punto de análss y el centro de masa del eslabón. 3. Fuente autor del proyecto UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 64

65 ToqueMotor2 = (T2 + I p2 ) + (T3 + I p3 ) + (T4 + I p4 ) + (T5 + I p5 ) = T 2 Ec33 Para el torque3 se aplca la Ec33 pero tenendo en cuenta la dstanca correspondente del centro de masa del eslabón a su punto de orgen analzado. ToqueMotor3 = (T3 + I p3 ) + (T4 + I p4 ) + (T5 + I p5 ) Ec34 Para el torque del motor 4 las fuerzas que actúan en la fgura 27, están flexonando los ejes de los motores, por lo tanto para encontrar los torque se debe hacer un análss perpendcular a cada eje de motor de la muñeca del prototpo de brazo robótco como se muestra en la fgura 15. Fgura 15. Eslabón 4 y 5 con dstrbucón de fuerzas aplcadas. 3 ToqueMotor4 = ( Peso pared 1 dstanca al centro de masa) (masa pared 1 dstanca al centro de masa 2 ) (Peso eslabón 5 dstanca al centro de masa) (masa eslabón 5 2 dstanca al centro de masa 2 + Peso pared 2 dstanca al centro de masa) + (masa pared 2 dstanca al centro de masa 2 ) Ec35 3. Fuente autor del proyecto UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 65

66 ToqueMotor5 = (T5 + I P5 ) Ec36 Para tener la certeza de que los actuadores que se selecconaran soporten el peso total del prototpo de brazo robótco se tene en cuenta un factor de segurdad de 2, obtenendo los sguentes valores calculados de torques ncluyendo los pesos de los motores en su respectvo eslabón. Calculo de torques prototpo de brazo robótco tenendo en cuenta los actuadores en las artculacones Nm Kgf-Cm Torque Motor 1,41,4182 Torque Motor 2, ,391 Torque Motor 3,191 1,948 Torque Motor 4,873,9 Torque Motor 5,2138,22 Tabla 11. Calculo de torques prototpo de brazo robótco. 3 Con estos valores se procede a selecconar los actuadores que formaran parte del prototpo. Los servomotores selecconados son TowerPro, una marca muy comercal y económca aunque no de mucha varedad (Anexo A). 3. Fuente autor del proyecto UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 66

67 Referenca servomotor SG-51 (Motor 2) Servomotores selecconados y sus especfcacones Masa (Kg) Torque Mn (Kgfcm) Torque Max (Kgf-cm),47 5,5 6,5 MG-9S (Motor3),134 1,8 2,2 SG-9 (Motor 4),9 1,8 SG-9 (Motor 4),9 1,8 Tabla 12. Seleccón de servomotores para el prototpo de brazo robótco. 3 El últmo torque que se calculó es el del prmer eslabón, ya que para éste es necesaro conocer el peso total del prototpo; entre otras varables, para realzar el análss correspondente. Fgura 16. Dagrama de cuerpo lbre del prototpo. 3 El prmer eslabón está conectado al motor por medo de una correa de tempo que es la encargada de transmtr el movmento haca el prototpo de brazo robótco. En la fgura 16 se observan la fuerzas que actúan sobre el prototpo, las cuales serán calculadas a contnuacón. 3. Fuente autor del proyecto UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 67

68 F = F R Ec37 F R = μ F n F n = W Ec38 Ec39 Donde, F es la fuerza necesara para mover el prototpo, F R es la fuerza de rozamento, μ es el coefcente de rozamento del acero sobre el acrílco sn lubrcar, F n es la fuerza normal y W es el peso del prototpo. Numero de Eslabón Masa calculada con agujeros (Kg) Peso (N) Rodamentos (4),16 1,57 Chumaceras (4),2394 2,349 Eslabón 1,943,887 Eslabón 2,725,711 Eslabón 3,713,699 Eslabón 4,9474,93 Eslabón 5,883,87 Motores,784,769 Peso Total, ,165 Tabla 13. Pesos por eslabón y peso total del prototpo de brazo robótco. 3 F n = 7,165 N μ =,45 Coefcente de rozamento del acero sobre el acrílco sn utlzar nngún tpo de lubrcante (Tablas en el Anexo B). F R =,45 7,165 N = 3, 2242 N UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 68

69 F = 3,2242 N Torque Motor 1 = F Rado Polea Motrz Torque Motor 1 = 3,2242 N (,127 m) =, 41 Nm =, 4182 Kg. Cm Este torque dsmnuye notablemente al lubrcar las superfces en contacto esto hace que el coefcente de rozamento sea mucho más bajo. μ =,1 y,25 Coefcente de rozamento del acero sobre el acrílco utlzando lubrcante (Tablas en el Anexo C). Recalculando el torque, utlzando el nuevo coefcente de rozamento se tene como resultado: F R =,25 7,165 N =, 179 N F =, 179 N Torque Motor 1 =,179 N (,127 m) =, 2273 Nm =, 2319 Kg. Cm Motor selecconado para el prmer eslabón y su especfcacones Referenca del motor Stepper Motor 17HS441 Masa (Kg) Torque (N.Cm) Torque (Kg.Cm),28 2,2,2244 Tabla 14. Referenca del motor para mover el prototpo de brazo robótco Fuente autor del proyecto UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 69

70 9.2 Estructura prncpal del robot. Todos los componentes que forman parte del prototpo de brazo robótco se pueden observar en la fgura 17. Cada uno de ellos será descrto en este capítulo. S se desean conocer meddas exactas del prototpo y su construccón, se pueden observar en el Anexo D, donde se encontraran los planos. Fgura 17. Componentes prototpo brazo robótco Base prototpo de brazo robótco. La base del prototpo de brazo robótco, al gual que la gran parte del msmo robot, se elaboró en acrílco comercal pensando prmero en su costo, y tambén en sus propedades al momento de trabajar con él. Este materal es nerte a muchas sustancas y su resstenca a la ntempere es muy buena, lo que lo hace dóneo para usarlo en aplcacones al are lbre. Se quso que fuera de fácl fabrcacón de bajo costo y lgero, y con el acrílco se logra obtener lo necesaro, gracas a que sus propedades lo permten (Densdad = 12 Kg/m 3, Resstenca a la flexón: 93 Mpa) como se puede aprecar en la fgura Fuente autor del proyecto UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 7

71 Fgura 18. Grafco resstenca Vs densdad del acrílco. 3 La base del prototpo posee 3 soportes acondconados, para darle un poco de altura a la base, y que el motor utlzado para mover el prmer eslabón quedara ben posconado. La base fue pegada con cloruro de metleno y con una jernga para dosfcar la solucón y utlzando prensas para madera de 9 pulgadas en su abertura. Los planos estarán en el Anexo D. Fgura 19. Soportes y base del prototpo de brazo robótco. 3 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 71

72 9.2.2 Eslabones del prototpo de brazo robótco. El prmer eslabón se dseñó completamente en el software Sold Works v213 al gual que todo el robot, una vez hecho esto se pasaron los planos a un software llamado Corel Draw, en el cual solo fue necesaro tener los planos en 2D, para posterormente realzar su dvsón en una máquna de corte láser. Para realzar este eslabón se tuveron en cuenta todas sus partes, como son los rodamentos lneales tpo A (catalogo en el Anexo E), y el dseño respectvo de los soportes para rodamentos, dseñados y elaborados en alumno 663 T5. Este eslabón fue dseñado para cumplr con los requermentos del prototpo de brazo robótco. Fgura 2. Chumacera con rodamento lneal tpo A. 3 Las chumaceras fueron maqunadas en su totaldad a mano en una fresadora unversal y se dspuso de un agujero en el medo para ubcar un prsonero de 5/32 x 1/4 de pulgada. Las demás partes que conforman este eslabón son de acrílco y por lo tanto son pegadas con cloruro de metleno, además se dspone de una correa de tempo 77 XL 37 (catalogo en el Anexo F), que es sujetada a 2 pestañas creadas en la parte de abajo de la base de este eslabón, como se ve en la fgura Fuente autor del proyecto UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 72

73 Fgura 21. Construccón del prmer eslabón del prototpo de brazo robótco. 3 Fgura 22. Prmer eslabón del prototpo de brazo robótco fnalzado. 3 El segundo eslabón se dseñó para que las poleas que venen en con el servomotor se puderan utlzar, fjándolas a él y así proporconarle el movmento necesaro a éste eslabón. 3. Fuente autor del proyecto UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 73

74 Fgura 23. Construccón del segundo eslabón del prototpo de brazo robótco, 3 Además se crearon unos separadores tambén en acrílco de 8 x 8 mm y de 5 mm de largo, con el fn de que el servomotor quedara ajustado y que el espaco necesaro fuera el óptmo para no entrar en conflctos al momento de su operacón. Fgura 24. Prmer eslabón y segundo eslabón del prototpo de brazo robótco. 3 El tercer eslabón es muy parecdo al segundo en cuanto a su construccón. En cuanto a su estructura tene una lgera modfcacón en la parte fnal del eslabón en donde se acondcono otro servomotor. Esta parte acondconada, se pegó con cloruro de metleno, ya que es un poco más delgada y es más complcado ajustarla con tornllos. 3. Fuente autor del proyecto UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 74

75 Fgura 25. Construccón del tercer eslabón del prototpo de brazo robótco. 3 Fgura 26. Tercer eslabón del prototpo de brazo robótco. 3 Fgura 27. Ensamble de los tres eslabones del prototpo de brazo robótco Fuente autor del proyecto UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 75

76 Los eslabones cuarto y qunto, se pegaron con cloruro de metleno, y para hacerlo de forma correcta se utlzó una peza sobrante de alumno (utlzado para fabrcar la chumaceras), para asegurar que las pezas pegadas quedaran rectas, ya que esta peza de alumno posee las esqunas de esta forma, con ángulos rectos a 9 grados. Fgura 28. Construccón de los eslabones cuarto y qunto del prototpo de brazo robótco. 3 De esta forma se lograron ensamblar el cuarto y qunto eslabón con sus respectvos actuadores y a su vez estos dos eslabones se ensamblaron con el tercer eslabón, formando así el prototpo de brazo robótco. 3. Fuente autor del proyecto Fgura 29. Eslabones cuarto y qunto y prototpo de brazo robótco. 3 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 76

77 9.3 Resultados cnemátca drecta del prototpo de brazo robótco obtendos medante el algortmo de Denavt Hartenberg. Para la obtencón de la cnemátca drecta se sgueron los pasos denotados en el apartado , realzándolos uno por uno y obtenendo unas grafcas que se mostraran a contnuacón que facltaran el análss y la explcacón de cada uno de estos pasos. Fgura 3. Obtencón de los parámetros Denavt Hartenberg, DH1, DH2 y DH3. 3 La fgura 3 muestra gráfcamente los 3 prmeros parámetros de Denavt Hartenberg. De gual forma se hará una breve observacón para cada paso. DH1: numerar los eslabones de 1 a n donde n es el últmo eslabón y la base del robot será el eslabón. DH2: numerar cada artculacón de 1 a n. se utlzara la letra q para denotar la artculacón rotaconal y la letra d para la prsmátca. 3. Fuente autor del proyecto UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 77

78 DH3: localzar el eje de cada artculacón, s es rotaconal será su propo eje de gro s es prsmátca será el eje de desplazamento. DH4: stuar Z sobre el eje de artculacón + 1. El eje Z será el eje Z para cada eslabón y se comenza por el eslabón. El eje de artculacón será el sguente del cual estamos analzando. Esto quere decr que se ubcara El eje Z en el eje de la artculacón 1. DH5: stuar el orgen S en cualquer punto de Z, X y Y se deben stuar cumplendo con la regla de la mano derecha. Esto quere decr que el orgen de, estará ubcado en el eje de la artculacón 1. DH6: stuar S en la nterseccón de Z con la línea normal común a Z 1. S se cortan se coloca en el punto de corte, s son paralelas se stúa en la artculacón I + 1. S Será el orgen de los ejes de cada eslabón y se debe stuar en la nterseccón del Z con el Z 1 que se está analzando. S se está analzando el prmer eslabón, se debe ubcar el orgen del eje coordenado 1, en donde una línea normal común con el eje Z se corte. Fgura 31. Obtencón de los parámetros Denavt Hartenberg, DH4, DH5 y DH6. 3 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 78

79 DH7: stuar X en la línea normal común a Z 1 y Z. S se desea ubcar el X 1, se debe ubcar sobre una línea que sea normal común entre Z y Z 1. DH8: stuar Y de modo que se cumpla la regla de la mano derecha. DH9: stuar el sstema S n en el extremo del robot de modo que Z n concda con la dreccón de Z n 1 y que X n sea normal a Z n 1 y Z n. Para el caso de este prototpo de brazo robótco, lo que quere ndcar este parámetro es que se debe stuar el sstema coordenado 6 en el extremo o punta del robot, hacendo que el eje Z 6 concda con la dreccón del eje Z 5 y que X 6 sea normal a Z 5 y Z 6. Fgura 32. Obtencón de los parámetros Denavt Hartenberg, DH7, DH8 y DH9. 3 Realzados los 9 parámetros Denavt Hartenberg correctamente, se abre paso a los 7 restantes que permtrán encontrar los ángulos de artculacón por medo de matrces de transformacón y posterormente resolverlos con ecuacones matemátcas complejas como se verá a contnuacón. 3. Fuente autor del proyecto UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 79

80 DH1: Obtener como el ángulo que hay que grar en torno a Z 1 para que X 1 y X queden paralelos. Para saber s exste un ángulo θ 2 se debe hacer grar la artculacón 2 entorno al eje Z 1 para que X 1 y X 2 queden paralelos. DH11. Obtener d como la dstanca, medda a lo largo de Z 1, que habría que desplazar S 1 para que X y X 1 quedasen alneados. d 1 Se obtene mdendo la dstanca a lo largo del eje Z hacendo que X 1 y X queden alneados. DH12. Obtener a como la dstanca medda a lo largo de con 1 con X ) que habría que desplazar al nuevo 1 X (que ahora concdrá S para que su orgen concda S.a 1 Se obtene mdendo la dstanca a lo largo de X 1 que habría que mover al sstema coordenado 1 para que concda con el eje coordenado 2. DH13. Obtener como el ángulo que habría que grar en torno a X, para que el nuevo S 1 concdese totalmente con S. α 1 Será el ángulo que debe grar la artculacón 1 entorno al eje X 1 para que el sstema coordenado quede concdendo con el sstema coordenado 1. DH14. Obtener las matrces de transformacón 1 A (defndas en Ec 15 ). DH15. Obtener la matrz de transformacón que relacona el sstema de la base con el del extremo del robot T A A A. 1 n1 1 2 n DH16. La matrz T defne la orentacón (submatrz de rotacón) y poscón (submatrz de traslacón) del extremo referdo a la base, en funcón de las n coordenadas artculares. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 8

81 Obtendos los parámetros Denavt Hartenberg, se procede a calcular las matrces de transformacón homogénea con la expresón de la Ec 15 para cada artculacón. Para realzar estos cálculos de forma rápda y para tener certeza de que no habrá fallos al momento de operarlos, se utlzó el software Matlab, en éste se ha creado un programa con el cual se facltara el cálculo. Se selecconaron los valores ncales para cada artculacón, que son los que deberá tener el prototpo para vacunar el ganado y estos se muestran en la tabla 15. Artculacón. d a 1 θ 1 = d 1 = 5 cm a 1 = α 1 = 2 θ 2 = 45 d 2 = a 2 = 12 cm α 2 = 3 θ 2 = 3 d 3 = a 3 = 4 θ 2 = 9 d 4 = 12 cm a 4 = 3 = 2 4 = 2 5 θ 2 = 3 d 5 = a 5 = 5 = 6 θ 6 = d 6 = a 6 = α 6 = Tabla 15. Parámetros Denavt Hartenberg del prototpo de brazo robótco. 3 Una vez obtendos los valores de la tabla 15, se debe aplcar la Ec 15 para encontrar las matrces de transformacón de cada artculacón. 2 1 A Matrz que defne la poscón y orentacón del prmer eslabón 5 1 con respecto a la base del prototpo de brazo robótco. 3. Fuente autor del proyecto UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 81

82 1,771,771 8,4853,771,771 8,4853 A 2 Matrz que defne la poscón y orentacón del 1 1 segundo eslabón con respecto al prmero del prototpo de brazo robótco.,866,5,5,866 A 3 Matrz que defne la poscón y orentacón del tercer eslabón con respecto al segundo del prototpo de brazo robótco A 4 Matrz que defne la poscón y orentacón del cuarto eslabón con respecto al tercero del prototpo de brazo robótco.,866,5 4,5,866 A 5 Matrz que defne la poscón y orentacón del qunto 1 1 eslabón con respecto al cuarto del prototpo de brazo robótco A 6 Matrz que defne la poscón y orentacón del sexto eslabón con 1 1 respecto al qunto del prototpo de brazo robótco. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 82

83 ,483,1294,9659,2241 5,3795 T A6 Matrz que defne la poscón y,866,5 5,2588,8365 2,764 1 orentacón del sexto eslabón con respecto a la base del prototpo de brazo robótco. La poscón del efector fnal del prototpo será entonces: P x = 2,764 P y = 5,3795 y P z = 5 Y la orentacón del prototpo será: 1 R 3x3 = R 6 =,866,5,5,866 Con estas relacones matemátcas, queda defnda la poscón y orentacón del juguete prototpo de brazo robótco y resuelto a su vez el problema cnemátco drecto. 9.4 Resultados cnemátca nversa del prototpo de brazo robótco. Para la obtencón de la cnemátca nversa, se parte desde la cnemátca drecta, con un cambo en las matrces de transformacón y es, no colocar los valores a las varables y dejarlas en forma smbólca, pero además se deben obtener las nversas de estas matrces como se muestra a contnuacón. A A d 1 1 Matrz nversa del prmer eslabón. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 83

84 Cos 2 Sn 2 Cos 1 1 Sn A2 A1 1 a 1 2 Matrz nversa del segundo eslabón. 2 A A 2 Cos Sn Sn 3 Cos Matrz nversa del tercer eslabón. 3 A A 3 Cos Sn Sn 4 Cos d 1 4 Matrz nversa del cuarto eslabón. 4 A A 4 Cos Sn Sn 5 Cos Matrz nversa del qunto eslabón. Cos 6 Sn 6 Cos 5 1 Sn A6 A5 1 1 Matrz nversa del sexto eslabón. En la matrz A6 se remplazaran los térmnos A (1,4 6 ), A (2,4 6 ) y A (3,4 6 ) por P x, P y y P z respectvamente. T A 6 a d g j b e h k c f l P P P x y z m Donde las letras de la a hasta la l son los valores respectvos de la matrz T. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 84

85 Una vez obtendas las matrces nversas, se procede a aplcar la Ec 2 para encontrar las ecuacones, que permtrán defnr las varables de los tres prmeros eslabones del prototpo, como se muestra a contnuacón. Como la prmera artculacón del prototpo es prsmátca, no se calculará nngún ángulo, pero s se debe encontrar la ecuacón que permtrá defnr el movmento del prmer eslabón sobre su eje de artculacón. Tenendo la matrz nversa de la prmera artculacón, esta se debe multplcar por la matrz T. El resultado se debe gualar a la matrz 1 A 6 térmno a térmno para encontrar la relacón buscada. 1 1 Al tomar los valores (3,4) de ( T* A ) A6 se encuentra lo sguente: 1 ( T* A )(3,4) P z d1 1 A (3,4) T* A )(3,4) A (3,4) P d z 1 P z = d 1 = 5cm ( 6 Resolvendo de la msma manera para las demás artculacones, se obtenen los resultados mostrados a contnuacón: Igualando los térmnos (1,4) de cada matrz, T* A * A )(1,4) A (1,4 ), y los (2,4) ( 1 6 ( T* A * A )(2,4) A (2,4), se obtenen las relacones para encontrar el ángulo de la artculacón 2. P 2 x + P 2 y + a d 4 = P 2 2 a 2 x Cos(θ 2 ) + P 2 y Sn(θ 2 ) a A esta ecuacón se le aplca el teorema del ángulo doble [9], y se resuelve respectvamente para la artculacón 2. C = A Cos(θ) + B Cos(θ) Ecuacón que defne el teorema del ángulo doble. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 85

86 Entonces: A = P x, B = P y, C = P x 2 +P y 2 +a 2 2 d a 2 θ 2 = atan2(b, A) ± atan2( A 2 + B 2 C 2, C La respuesta está dada en radanes por lo que es necesaro realzar la conversón a grados. S se ntroducen los valores tomados en la cnemátca drecta para esta ecuacón, se obtene el valor de θ 2. θ 2 = atan2(5.3795,2.764) ± atan2( , 18 θ 2 =,7854 radanes θ 2 = 45 El ángulo θ 3 se calcula de la msma manera obtenendo los sguentes resultados: θ 3 = atan2(d, E) D = P x Cos(θ 2 ) + P y Sn(θ 2 ) a 2 E = P y Cos(θ 2 ) P x Sn(θ 2 ) θ 3 = atan2(6, ) θ 3 =,5236 Radanes θ 3 = 3 Para los eslabones 4, 5 y 6 del prototpo se aplca una regla matemátca llamada el desacoplo cnemátco la cual utlza los ángulos de Euler y las matrces de orentacón del prototpo. La forma de encontrar las ecuacones es la msma, y que dan como resultado: UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 86

87 5 a R 3 cos( (3,3)) 6 θ 5 =,2619 Radanes θ 5 = 3 4 a tan2( F, G) F 3 R 6 (2,3) Sn( ) 5 G 3 R 6 (1,3) Sn( ) 5 4 a tan 2(.9996,) θ 4 = 1,578 Radanes θ 4 = 9 6 a tan 2( H, I) H 3 R 6 (3,2) Sn( ) 5 3 R6 (3,1) I θ 6 = Sn( ) 5 Con este procedmento queda soluconado el problema cnemátco nverso del prototpo de brazo robótco. 9.5 Trayectora para el prototpo de brazo robótco. La trayectora se refere a un hstoral en el tempo de la poscón la velocdad y la aceleracón por cada grado de lbertad [9]. El problema básco es mover el manpulador desde una poscón ncal hasta una poscón fnal deseada. En algunas ocasones es necesaro especfcar un movmento más detallado que el que se necesta, para sólo ubcar el brazo robótco en la pocón fnal deseada. Una manera de nclur más detalle en una trayectora o descrpcón de ruta, es proporconar una secuenca de puntos vía deseados (puntos ntermedos entre la poscón ncal y fnal). Por lo tanto, al realzar el movmento cada eslabón debe UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 87

88 pasar a través de un conjunto de poscones ntermedas, según lo descrto por los puntos vías. A todo este movmento o trayectora se le conoce como puntos ruta y es la que ncluye a los puntos vía y a los puntos ncal y fnal del manpulador. Cada punto de ruta se especfca en térmnos de una poscón y una orentacón del efector fnal en un brazo robótco relatvo a la base fja del msmo y cada punto vía se converte en un conjunto de ángulos de artculacón deseados, por medo de la cnemátca nversa [9]. Después se encuentra una funcón unforme para cada una de las artculacones que pasan a través de los puntos vía y que termnan en el punto de destno. El tempo requerdo es el msmo para cada artculacón, de manera que todas las artculacones llegaran al punto vía al msmo tempo producendo una poscón cartesana del efector fnal. Exsten métodos de generacón de rutas en los que las formas de éstas se descrben en térmnos de funcones de ángulos de artculacón Polnomos cúbcos para una ruta con puntos vía. Se consdera mover un brazo robótco desde una poscón ncal a una poscón fnal en un tempo determnado. La cnemátca nversa permte calcular el conjunto de ángulos que corresponden a la poscón y orentacón de destno. La poscón ncal tambén se conoce en forma de un conjunto de ángulos de artculacón. Lo que se requere es una funcón para cada artculacón, cuyo valor en t sea la poscón ncal de la artculacón y el valor en t f sea la poscón deseada en la artculacón [9]. Para crear un solo movmento unforme son evdentes cuando menos 4 restrccones sobre θ t. Dos de esas restrccones se deben a la seleccón de valores ncal y fnal. θ() = θ θ(t f ) = θ f Ec4 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 88

89 Las otras dos restrccones son que la funcón debe ser contnua en velocdad. S se conocen las velocdades de las artculacones en los puntos vía entonces: θ () = θ θ (t f ) = θ f Ec41 Estas cuatro restrccones pueden satsfacerse medante un polnomo de por lo menos tercer grado. (Un polnomo cúbco tene cuatro coefcentes, por lo que puede usarcé para satsfacer las cuatro restrccones dadas por las ecuacones anterores). Este tpo de ecuacón tene la forma: θ t = a + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 Ec42 De manera que la velocdad y la aceleracón de la artculacón a lo largo de esta ruta son: θ t = a 1 + 2a 2 t + 3a 3 t 2 Ec43 θ t = 2a 2 + 6a 3 t Ec44 S se combnan las ecuacones 42, 43 y 44 con las restrccones 4 y 41 se producen cuatro ecuacones con cuatro ncógntas: θ = a θ f = a + a 1 t f + a 2 t 2 f + a 3 t 3 f θ = a 1 Ec45 θ f = a 1 + 2a 2 t f + 3a 3 t 2 f Resolvendo estas ecuacones entre sí, se obtenen: a = θ a 1 = θ UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 89

90 a 2 = 3 (θ t 2 f θ ) 2 θ f t f 1 θ t f f Ec46 a 3 = 2 t 3 (θ f θ ) + 1 f t 2 (θ f + θ ) f Utlzando la ecuacón 46 podemos calcular el polnomo cúbco que conecta las poscones ncal y fnal con las velocdades ncal y fnal. S tenemos la velocdad de artculacón deseadas en cada punto vía, entonces aplcamos la ecuacón en cada segmento para encontrar los polnomos requerdos [9]. Exsten varas formas en las que en las que podría especfcarse la velocdad deseada en los puntos vía. 1. El usuaro especfca la velocdad deseada en cada punto vía en térmnos de velocdades cartesanas lneal y angular en ese nstante. 2. El sstema seleccona automátcamente las velocdades en los punto vía medante una aplcacón adecuada, ya sea en espaco cartesano o de artculacón. 3. El sstema seleccona de manera automátca las velocdades en los puntos vía de tal forma que la aceleracón en estos puntos sea contnua. Para la prmera artculacón, la dstanca máxma que puede recorrer el prototpo son 5 cm. Se desea realzar el recorrdo del eslabón en 3 partes guales, por lo cual se dvde en tramos. Prmer tramo de a 16,66 cm, segundo tramo de 16,67 a 33,32 cm, tercer tramo de 33,32 a 5 cm. Los puntos vía para el prmer eslabón son 2 cm, 4 cm y 6 cm. Aplcando lo menconado anterormente se obtenen los sguentes resultados: d = cm Dstanca ncal del prmer tramo. d f = 16,66 cm Dstanca fnal del prmer tramo. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 9

91 V = Velocdad ncal del prmer tramo. V f = 1 Cm Velocdad fnal del Prmer tramo. Seg t f = 16,66 Seg Tempo para el prmer tramo. a = cm a 1 = d = a 2 = 3 t 2 (d f d ) 2 d f t 1 d f t f =,1 f a 3 = 2 t 3 (θ f θ ) + 1 f t 2 (θ f + θ ) =,25 f d = a + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 Desplazamento del prmer tramo del prmer eslabón. d = a 1 + 2a 2 t + 3a 3 t 2 Velocdad del prmer tramo del prmer eslabón. d = 2a 2 + 6a 3 t Aceleracón del prmer tramo del prmer eslabón. S se evalúan las ecuacones d, d y d entre la dstanca ncal y la fnal se obtene la trayectora, la velocdad y la aceleracón respectvamente. Ahora para los demás tramos se realza la msma operacón y se obtene el comportamento total de la prmera artculacón. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 91

92 Fgura 33. Resultados de poscón, velocdad y aceleracón de los prmeros 2 eslabones. 3 S no se realza la trayectora de este modo, puede que en algún tramo del movmento se ncremente la velocdad y cuando se llegue al punto fnal y se detenga, se sufra un cambo muy brusco lo que puede ocasonar daños en el actuador. 3. Fuente autor del proyecto UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 92

93 Fgura 34. Resultados de poscón, velocdad y aceleracón de los eslabones 3 y 4. 3 Fgura 35. Resultados de poscón, velocdad y aceleracón del eslabón 5. 3 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 93

94 9.5.2 Modulacón por ancho de pulso o PWM. La técnca de PWM consste en producr un pulso rectangular para un cclo de trabajo determnado, este cclo puede varar entre y 1%. Fgura 36. Grafca que muestra un cclo de trabajo del 5%. 3 En la fgura 36 se muestra un pulso con un cclo de trabajo del 5%, es decr T on T =,5 Fgura 37. Grafca que muestra un cclo de trabajo de 1%. 3 En la fgura 37 se muestra un pulso con un cclo de trabajo del 1%, es decr T on T =,1. Un cclo de trabajo de % sgnfca que la señal sempre está en nvel bajo; y un cclo de 1% sgnfca que la señal está en nvel alto. 3. Fuente autor del proyecto UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 94

95 Con la modulacón por ancho de pulsos se logra regular la velocdad de gro de los motores eléctrcos y se mantene estable el torque que se requera para el proceso modfcando el voltaje que entrada y mantenendo el cclo de trabajo. Para este proyecto se utlzó el PWM para controlar los servomotores, a los cuales se les modfca la poscón varando el ancho de pulso en cada perodo de tempo y depende del datasheet de cada servomotor. Con el comando for en Matlab, se logra mantener la velocdad constante para cada servomotor, hacendo que las varables que se utlzan en el polnomo cubco con puntos vías se cumplan como se establecó al comenzo del punto de este trabajo. Fgura 38. Grafca que muestra el cclo de trabajo del servomotor MG9S. 3 En la fgura 38 se muestra el cclo de trabajo del servomotor MG9S. En donde el pulso de 1 ms ndca la poscón de 9 (todo a la zquerda), 1,5 ms ndca la poscón (en el medo) y 2 ms es 9 (todo a la derecha). El msmo comportamento lo tenen los demás servomotores utlzados en el prototpo. Toda la parte de programacón en Matlab estará puesta en el Anexo G del trabajo. Con este procedmento queda soluconado el problema de la trayectora del prototpo de brazo robótco. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 95

96 1 CONCLUSIONES Los objetvos que se han propuesto en este proyecto, se han logrado cumplr a cabaldad aunque no con los tempos que se estmaron en la propuesta. Se hará una breve descrpcón de todos los nconvenentes que se presentaron al momento de elaborar el proyecto. Uno de los nconvenentes al momento de abordar el proyecto fue el software Matlab; aunque fue sencllo aprenderlo a manejar en su forma básca; fue un lmtante en cuanto a la manpulacón de ecuacones y de funcones que srveron para dentfcar los ángulos de artculacón. Otro lmtante fue el conocmento tan lmtado sobre robótca, ya que en la etapa de la unversdad nunca se tuvo contacto alguno con este tema n con todo lo conlleva. Se necestó mucho tempo para adqurr este conocmento y para famlarzarse con los térmnos como cnemátca drecta, cnemátca nversa, matrces de transformacón entre otros. El lmtante prncpal fue al momento de abordar la smulacón de los movmentos que se requerían para poder mover el manpulador, ya que la parte de programacón lmtó el avance del proyecto hacendo que éste se retrasara notablemente. En cuanto a la parte de construccón del prototpo, fue complejo hacer las unones de las varllas redondas de acrílco con las varllas cuadradas y pegarlas para que quedaran lo más rectas posbles y no entraran en conflcto con los rodamentos lneales. Las demás unones no presentaron nconvenente alguno, ya que estas debían formar un ángulo recto al momento de ser pegadas. Al conectar los servomotores a una sola fuente de poder esta fallo y se apagó, se ntentó corregr esta falla elaborando un regulador de voltaje con un crcuto ntegrado LM317T, regulando desde los 12 voltos de entrada máxmo hasta el UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 96

97 voltaje necesaro en la salda que fueron 5 voltos, sn embrago los servomotores más pequeños tuveron un comportamento extraño y comenzaban a vbrar y a hacer movmentos nvoluntaros (osclatoros), por lo que se decdó conectar cada servo a una fuente ndependente corrgendo así la falla presentada. Otro problema que se presentó fue al momento de la seleccón de los actuadores, ya que no hay una ampla gama para realzar esta seleccón. Había servomotores que se adaptaban mejor según los cálculos realzados, pero a la hora de consegurlos no se logró el propósto. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 97

98 11.1 De referenca. 11 BIBLIOGRAFÍA. [1] BARRIENTOS Antono, PEÑÍN Lus Felpe, BALAGUER Carlos, ARACIL Rafael. Fundamentos de robótca España. McGraw-Hll P. [2] GUTIÉRREZ PABELLO José Ángel. Inmunología veternara: Vacunacones en bovnos. Méxco: Edtoral El Manual Moderno P. [3] OLAYA SUÁREZ Gjón. Muere un qurosano de 84 años por golpes de su ganado. {En línea}. {25 de marzo de 212}. Dsponble en: ( html) [4] DUICA AMAYA Arturo. Febre Q, de la granja al humano. {En línea}. {25 de marzo de 212}. Dsponble en: ( [5] ICA Insttuto Colombano Agropecuaro. Tomado en febrero de 213. Internet en: Veternara/Censos-21/Especes-Consoldado-Naconal.aspx [6] TEMPLE Grandn. Marzo de LA REDUCCIÓN DEL ESTRÉS DEL MANEJO MEJORA LA PRODUCTIVIDAD Y EL BIENESTAR ANIMAL. Vol. 14. Fort CoLLns, Colorado. GIMÉNEZ ZAPIOLA Marcos, [Traduccón]. Dsponble nternet en: ( [7] MAIRENA Carlos, GUILLEN Bruno. Curso de ganadería bovna. Ncaragua. : EDISA. 22. P 79. Dsponble nternet en: UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 98

99 ( bovna.pdf) [8] SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN. Físca Unverstara volumen 1. Méxco. Pearson Educacón P. [9] CRAIG. John J. Robótca Tercera Edcón. Méxco. : Pearson Educacón P De consulta. OLLERO BATURONE Aníbal. Robótca Manpuladores y robots móvles Méxco D.F. Alfaomega grupo edtor P. ROMANÍ LABANDA Gerardo. Desarrollo de un sstema nteractvo de gestón ntegral de parámetros de nfluenca en procedmentos de soldadura robotzada para procesos de soldeo por arco electco con proteccón de Gas, MIG/MAG y TIG. Tess Doctoral. Madrd-España. Unversdad poltécnca de Madrd P. RAMÍREZ GIRALDO José Davd, GRAJALES VALENCIA Carlos Andrés. La robótca en la medcna. En: Ventana Informátca Nº 11, 23. Unversdad de Manzales. a/html/ventana11/robotcaenmedcna.pdf NULLVALLUE. Se extende raba bovna. {En línea}. {25 de marzo de 212}. Dsponble en: ( UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 99

100 NULLVALLUE. No consuma leche n carne crudas. {En línea}. {25 de marzo de 212}. Dsponble en: ( Insttuto Colombano Agropecuaro ICA. Funcones del ICA. Decreto 4765 del 18 de dcembre de 28. Dsponble en nternet: ICA/Funcones.aspx SENASA. Febre Aftosa nternet: eces/18-aftosa.pdf The center for food securty & publc health. Estomatts vescular nternet: BLANCO María Sol, MALAVER Mguel, PEZO Sona. Manual práctco de ganadería: almentacón anmal, sandad anmal y mejoramento ganadero. Lma. Ed: ITDG, P. Dsponble nternet en: LÓPEZ APOSTOLOVICH Lus Felpe. Modelacón y smulacón dnámca de un brazo robótco de 4 grados de lbertad para tareas sobre un plano horzontal. Trabajo de grado ngenero mecánco. PERU. : Pontfca Unversdad Católca del Perú. Facultad de Cencas e Ingenería P. MOYA PINTA Dego Armando. Modelo y Análss Cnemátco de un Robot Manpulador Esférco Industral Aplcando Matlab. Trabajo de grado ngenero mecánco. QUITO. : Escuela Poltécnca Naconal. Facultad de Ingenería Mecánca P. LIZCANO LÓPEZ Rcardo, PUENTES GÓMEZ Juan Carlos, VALENZUELA SABOGAL Camlo Andrés. Control para un robot artculado con tres grados de lbertad que smule el movmento de pata. Trabajo de grado ngenero Electrónco. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 1

101 Bogotá. : Pontfca Unversdad Javerana. Facultad de Ingenería. Ingenería Electrónca P. D. Bravo, D. Revelo, D. Usama. Ubcacón De Coordenadas 3D Para Un Brazo Robótco De 3 Grados De Lbertad Medante Técncas De Vsón Por Computador Y Control Dgtal. En: Revsta Colombana de Físca. Vol. 43, Nº 1, 21. OTERO YUGAT Jesús, RODRÍGUEZ Sagd Enrque, GUTIÉRREZ José Javer. Dseño y construccón de un brazo mecánco de tres grados de lbertad. En: Scenta Et Technca, vol. XIV, núm. 39, septembre, 28, pp Internet: GIRALDO Lus Felpe, DELGADO Edlson, CASTELLANOS Germán. Cnemátca Inversa de un Brazo Robot Utlzando Algortmos Genétcos. En: Avances en Sstemas e Informátca, vol. 3, núm. 1, juno, 26, pp Internet: UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 11

102 Anexo A. 12 ANEXOS. Actuadores del prototpo de brazo robótco. Fgura 39. Motor paso a paso selecconado para el prototpo de brazo robótco Catalogo MotonKng de motores paso a paso. {En línea}. {2 de marzo de 216}. Dsponble en: ( UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 12

103 Fgura 4. Servomotor selecconado para el eslabon 1 del portotpo de brazo robótco Catalogo servomotores TowerPro. {En línea}. {2 de marzo de 216}. Dsponble en: ( UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 13

104 Fgura 41. Servomotores selecconados para el portoto de brazo robótco Catalogo servomotores TowerPro. {En línea}. {2 de marzo de 216}. Dsponble en: ( UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 14

105 Anexo B. Coefcente de rozamento del acero sobre el acrílco sn utlzar nngún tpo de lubrcante. Fgura 42. Coefcente de rozamento del acero sobre el acrílco sn utlzar nngún tpo de lubrcante Coefcente de rozamento del acero sobre el acrílco sn utlzar nngún tpo de lubrcante. {En línea}. {2 de marzo de 216}. Dsponble en: ( UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 15

106 Anexo C. Coefcente de rozamento del acero sobre el acrílco utlzando lubrcante. Fgura 43. Coefcente de rozamento del acero sobre el acrílco utlzando lubrcante Coefcente de rozamento del acero sobre el acrílco utlzando lubrcante. {En línea}. {2 de marzo de 216}. Dsponble en: ( UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 16

107 Anexo D. Planos del prototpo de brazo robótco. Fgura 44. Plano base del prototpo de brazo robótco. 3 Fgura 45. Plano chumaceras del prototpo de brazo robótco. 3 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 17

108 Fgura 46. Plano eslabon 1 del prototpo de brazo robótco. 3 Fgura 47. Plano eslabon 2 del prototpo de brazo robótco. 3 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 18

109 Fgura 48. Plano eslabón 3 del prototpo de brazo robótco. 3 Fgura 49. Plano eslabón 4 del prototpo de brazo robótco. 3 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 19

110 Fgura 5. Plano eslabón 5 del prototpo de brazo robótco Fuente autor del proyecto. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 11

111 Anexo E. Rodamentos lneales tpo A Fgura 51. Rodamentos lneales Tpo A del prototpo de brazo robótco Rodamentos lneales Tpo A, IKO KBO. {En línea}. {2 de marzo de 216}. Dsponble en: ( UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 111

112 Fgura 52. Rodamentos lneales Tpo A del prototpo de brazo robótco Rodamentos lneales Tpo A, IKO KBO. {En línea}. {2 de marzo de 216}. Dsponble en: ( UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 112

113 Anexo F. Correas y poleas de tempo. Fgura 53. Correa de tempo utlzada en el prototpo de brazo robótco Catálogo de Correas de tempo Intermec. {En línea}. {2 de marzo de 216}. Dsponble en: ( UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 113

114 Fgura 54. Dametros de poleas dentadas de tempo Catálogo de poleas dentadas de tempo Intermec. {En línea}. {2 de marzo de 216}. Dsponble en: ( UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 114

115 Anexo G. Programacón en Matlab, (Cnemátca drecta, cnemátca nversa, y programacón de los movmentos para el prototpo de brazo robótco). Cnemátca Drecta. Fgura 55. Cnemátca drecta prototpo de brazo robótco. 3 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 115

116 Fgura 56. Cnemátca drecta prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 116

117 Fgura 57. Cnemátca drecta prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) Fgura 58. Cnemátca drecta prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) 3. Fuente autor del proyecto. UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 117

118 Cnemátca Inversa. Fgura 59. Cnemátca nversa prototpo de brazo robótco. 3 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 118

119 Fgura 6. Cnemátca nversa prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 119

120 Fgura 61. Cnemátca nversa prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 12

121 Fgura 62. Cnemátca nversa prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 121

122 Fgura 63. Cnemátca nversa prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 122

123 Fgura 64. Cnemátca nversa prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 123

124 Fgura 65. Cnemátca nversa prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 124

125 Fgura 66. Cnemátca nversa prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 125

126 Fgura 67. Cnemátca nversa prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 126

127 Programacón de los movmentos para el prototpo de brazo robótco. Fgura 68. Programacón de los movmentos prototpo de brazo robótco. 3 UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 127

128 Fgura 69. Programacón de los movmentos prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 128

129 Fgura 7. Programacón de los movmentos prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 129

130 Fgura 71. Programacón de los movmentos prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 13

131 Fgura 72. Programacón de los movmentos prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 131

132 Fgura 73. Programacón de los movmentos prototpo de brazo robótco. 3 (Contnuacón) UNIVERSIDAD LIBRE DE COLOMBIA Págna 132

Robótica Tema 4. Modelo Cinemático Directo

Robótica Tema 4. Modelo Cinemático Directo UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID E.U.I.T. Industral ASIGNATURA: Robótca TEMA: Modelo Cnemátco Ttulacón: Grado en Ingenería Electrónca y Automátca Área: Ingenería de Sstemas y Automátca Departamento de

Más detalles

Modelado de un Robot Industrial KR-5

Modelado de un Robot Industrial KR-5 RESUMEN Modelado de un Robot Industral KR-5 (1) Eduardo Hernández 1, Samuel Campos 1, Jorge Gudno 1, Janeth A. Alcalá 1 (1) Facultad de Ingenería Electromecánca, Unversdad de Colma, km 2 Carretera Manzanllo-Barra

Más detalles

Herramientas Matemáticas para la localización espacial. Prof. Cecilia García

Herramientas Matemáticas para la localización espacial. Prof. Cecilia García Herramentas Matemátcas para la localzacón espacal Contendo I. Justfcacón 2. Representacón de la poscón 2. Coord. Cartesanas 2.2 Coord. Polares y Clíndrcas 2.3 Coord. Esfércas 3. Representacón de la orentacón

Más detalles

Cinemática del Brazo articulado PUMA

Cinemática del Brazo articulado PUMA Cnemátca del Brazo artculado PUMA José Cortés Parejo. Enero 8. Estructura del brazo robótco El robot PUMA de la sere es un brazo artculado con artculacones rotatoras que le proporconan grados de lbertad

Más detalles

La representación Denavit-Hartenberg

La representación Denavit-Hartenberg La representacón Denavt-Hartenberg José Cortés Parejo. Marzo 8 Se trata de un procedmeto sstemátco para descrbr la estructura cnemátca de una cadena artculada consttuda por artculacones con. un solo grado

Más detalles

PROYECTO DE TEORIA DE MECANISMOS. Análisis cinemático y dinámico de un mecanismo plano articulado con un grado de libertad.

PROYECTO DE TEORIA DE MECANISMOS. Análisis cinemático y dinámico de un mecanismo plano articulado con un grado de libertad. Nombre: Mecansmo: PROYECTO DE TEORIA DE MECANISMOS. Análss cnemátco y dnámco de un mecansmo plano artculado con un grado de lbertad. 10. Análss dnámco del mecansmo medante el método de las tensones en

Más detalles

Capítulo 11. Movimiento de Rodamiento y Momentum Angular

Capítulo 11. Movimiento de Rodamiento y Momentum Angular Capítulo 11 Movmento de Rodamento y Momentum Angular 1 Contendos: Movmento de rodamento de un cuerpo rígdo. Momentum Angular de una partícula. Momentum Angular de un sstema de partículas. Momentum Angular

Más detalles

Capítulo 11. Movimiento de Rodamiento y Momentum Angular

Capítulo 11. Movimiento de Rodamiento y Momentum Angular Capítulo 11 Movmento de Rodamento y Momentum Angular 1 Contendos: Movmento de rodamento de un cuerpo rígdo. Momentum Angular de una partícula. Momentum Angular de un sstema de partículas. Momentum Angular

Más detalles

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA. TEMA: Modelo Cinemático. E.U.I.T. Industrial FECHA: Titulación: Grado en Ingeniería Electrónica y Automática

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA. TEMA: Modelo Cinemático. E.U.I.T. Industrial FECHA: Titulación: Grado en Ingeniería Electrónica y Automática 7//5 IGNTUR: Robótca UNIVERIDD POLITÉNI DE MDRID TEM: Moelo nemátco E.U.I.T. Inustral Ttulacón: Grao en Ingenería Electrónca y utomátca Área: Ingenería e stemas y utomátca Departamento e Electrónca utomátca

Más detalles

CAPÍTULO 4. CINEMÁTICA DE LOCALIZACIÓN DEL ROBOT PARALELO

CAPÍTULO 4. CINEMÁTICA DE LOCALIZACIÓN DEL ROBOT PARALELO 8 CAPÍTULO 4. CINEMÁTICA DE LOCALIZACIÓN DEL ROBOT PARALELO En esta seccón se descrbe el análss de posconamento y orentacón del robot paralelo: Se resuelve el problema cnemátco nverso en base a métodos

Más detalles

TEMA 2 Revisión de mecánica del sólido rígido

TEMA 2 Revisión de mecánica del sólido rígido TEMA 2 Revsón de mecánca del sóldo rígdo 2.. ntroduccón SÓLDO RÍGDO SÓLDO: consderar orentacón y rotacón RÍGDO: CONDCÓN DE RGÍDEZ: - movmento: no se alteran dstancas entre puntos - se gnoran las deformacones

Más detalles

3 LEYES DE DESPLAZAMIENTO

3 LEYES DE DESPLAZAMIENTO eyes de desplazamento EYES DE DESPAZAMIENTO En el capítulo dos se expone el método de obtencón de las leyes de desplazamento dseñadas por curvas de Bézer para mecansmos leva palpador según el planteamento

Más detalles

Determinar el momento de inercia para un cuerpo rígido (de forma arbitraria).

Determinar el momento de inercia para un cuerpo rígido (de forma arbitraria). Unversdad de Sonora Dvsón de Cencas Exactas y Naturales Departamento de Físca Laboratoro de Mecánca II Práctca #3: Cálculo del momento de nerca de un cuerpo rígdo I. Objetvos. Determnar el momento de nerca

Más detalles

ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO DSR-1 ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO DSR-2 ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO La estátca estuda las condcones bajo las cuales los sstemas mecáncos están en equlbro. Nos referremos úncamente a equlbro de tpo mecánco,

Más detalles

Dpto. Física y Mecánica

Dpto. Física y Mecánica Dpto. Físca y Mecánca Mecánca analítca Introduccón Notacón Desplazamento y fuerza vrtual Fuerza de lgadura Trabao vrtual Energía cnétca. Ecuacones de Lagrange Prncpode los trabaos vrtuales Prncpo de D

Más detalles

CAPÍTULO III ACCIONES. Artículo 9º Clasificación de las acciones. Artículo 10º Valores característicos de las acciones. 10.

CAPÍTULO III ACCIONES. Artículo 9º Clasificación de las acciones. Artículo 10º Valores característicos de las acciones. 10. CAÍTULO III ACCIONES Artículo 9º Clasfcacón de las accones Las accones a consderar en el proyecto de una estructura o elemento estructural serán las establecdas por la reglamentacón específca vgente o

Más detalles

Capitalización y descuento simple

Capitalización y descuento simple Undad 2 Captalzacón y descuento smple 2.1. Captalzacón smple o nterés smple 2.1.1. Magntudes dervadas 2.2. Intereses antcpados 2.3. Cálculo de los ntereses smples. Métodos abrevados 2.3.1. Método de los

Más detalles

10. VIBRACIONES EN SISTEMAS CON N GRADOS DE LIBERTAD

10. VIBRACIONES EN SISTEMAS CON N GRADOS DE LIBERTAD 10. VIBRACIONES EN SISEMAS CON N GRADOS DE LIBERAD 10.1. Matrces de rgdez, nerca y amortguamento Se puede demostrar que las ecuacones lneales del movmento de un sstema dscreto de N grados de lbertad sometdo

Más detalles

Universidad Simón Bolívar Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller

Universidad Simón Bolívar Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller Unversdad Smón Bolívar Conversón de Energía Eléctrca Prof José anuel Aller 41 Defncones báscas En este capítulo se estuda el comportamento de los crcutos acoplados magnétcamente, fjos en el espaco El medo

Más detalles

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA UNIDAD IZTAPALAPA DIVISION CBI. Licenciatura en Ingeniería Electrónica y Comunicaciones.

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA UNIDAD IZTAPALAPA DIVISION CBI. Licenciatura en Ingeniería Electrónica y Comunicaciones. UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA UNIDAD IZTAPALAPA DIVISION CBI Lcencatura en Ingenería Electrónca y Comuncacones Proyecto Termnal ROBOT PARA OBTENSION DE IMÁGENES DE OBJETOS EN MOVIMIENTO Alumnos: Lus

Más detalles

ANEXO A: Método de Interpolación de Cokriging Colocado

ANEXO A: Método de Interpolación de Cokriging Colocado ANEXO A: Método de Interpolacón de Corgng Colocado A. Conceptos Báscos de Geoestadístca Multvarada La estmacón conunta de varables aleatoras regonalzadas, más comúnmente conocda como Corgng (Krgng Conunto),

Más detalles

Interacción de Métodos Teóricos, Numéricos y Experimentales en el Rediseño y Análisis de un Elemento Estructural Hecho de Materiales Compuestos.

Interacción de Métodos Teóricos, Numéricos y Experimentales en el Rediseño y Análisis de un Elemento Estructural Hecho de Materiales Compuestos. Interaccón de Métodoeórcos, Numércos y Expermentales en el Redseño y Análss de un Elemento Estructural Hecho de Materales ompuestos. Juan arlos Valdés alazar McME Gerente de Ingenería y Desarrollo PADA

Más detalles

CAPÍTULO 4 MARCO TEÓRICO

CAPÍTULO 4 MARCO TEÓRICO CAPÍTULO 4 MARCO TEÓRICO Cabe menconar que durante el proceso de medcón, la precsón y la exacttud de cualquer magntud físca está lmtada. Esta lmtacón se debe a que las medcones físcas sempre contenen errores.

Más detalles

2. EL TENSOR DE TENSIONES. Supongamos un cuerpo sometido a fuerzas externas en equilibrio y un punto P en su interior.

2. EL TENSOR DE TENSIONES. Supongamos un cuerpo sometido a fuerzas externas en equilibrio y un punto P en su interior. . EL TENSOR DE TENSIONES Como se explcó prevamente, el estado tensonal en un punto nteror de un cuerpo queda defndo por 9 componentes, correspondentes a componentes por cada una de las tensones nternas

Más detalles

Relaciones entre las tablas

Relaciones entre las tablas Relacones entre las tablas Relacones entre las tablas Access 2013 Establecer una relacón entre dos tablas Los dstntos tpos de relacones entre tablas Establecer una relacón entre las tablas de la base de

Más detalles

Enlaces de las Series de Salarios. Metodología

Enlaces de las Series de Salarios. Metodología Enlaces de las eres de alaros Metodología ntroduccón La Encuesta de alaros en la ndustra y los ervcos (E, cuyo últmo cambo de base se produjo en 996) ha sufrdo certas modfcacones metodológcas y de cobertura,

Más detalles

Circuitos eléctricos en corriente continúa. Subcircuitos equivalentes Equivalentes en Serie Equivalentes en Paralelo Equivalentes de Thevenin y Norton

Circuitos eléctricos en corriente continúa. Subcircuitos equivalentes Equivalentes en Serie Equivalentes en Paralelo Equivalentes de Thevenin y Norton ema II Crcutos eléctrcos en corrente contnúa Indce Introduccón a los crcutos resstvos Ley de Ohm Leyes de Krchhoff Ley de correntes (LCK) Ley de voltajes (LVK) Defncones adconales Subcrcutos equvalentes

Más detalles

Ciencia e Ingeniería Neogranadina No CONTROL DE UN MANIPULADOR ANTROPOMÓRFICO POR MEDIO DE UN DISPOSITIVO DE INMERSIÓN

Ciencia e Ingeniería Neogranadina No CONTROL DE UN MANIPULADOR ANTROPOMÓRFICO POR MEDIO DE UN DISPOSITIVO DE INMERSIÓN Cenca e Ingenería Neogranadna No. 14 76-84 CONTROL DE UN MANIPULADOR ANTROPOMÓRFICO POR MEDIO DE UN DISPOSITIVO DE INMERSIÓN Rcardo A. Castllo 1, Carlos D. Velásquez 1, Óscar F. Avlés 2, Iván A. Oler 3

Más detalles

Vectores VECTORES 1.- Magnitudes Escalares y Magnitudes Vectoriales. Las Magnitudes Escalares: Las Magnitudes Vectoriales:

Vectores VECTORES 1.- Magnitudes Escalares y Magnitudes Vectoriales. Las Magnitudes Escalares: Las Magnitudes Vectoriales: VECTOES 1.- Magntudes Escalares y Magntudes Vectorales. Las Magntudes Escalares: son aquellas que quedan defndas úncamente por su valor numérco (escalar) y su undad correspondente, Eemplo de magntudes

Más detalles

IES Menéndez Tolosa (La Línea) Física y Química - 1º Bach - Gráficas

IES Menéndez Tolosa (La Línea) Física y Química - 1º Bach - Gráficas IES Menéndez Tolosa (La Línea) Físca y Químca - 1º Bach - Gráfcas 1 Indca qué tpo de relacón exste entre las magntudes representadas en la sguente gráfca: La gráfca es una línea recta que no pasa por el

Más detalles

OPENCOURSEWARE REDES DE NEURONAS ARTIFICIALES Inés M. Galván José M. Valls

OPENCOURSEWARE REDES DE NEURONAS ARTIFICIALES Inés M. Galván José M. Valls OPENCOURSEWARE REDES DE NEURONAS ARTIFICIALES Inés M. Galván José M. Valls Redes de Neuronas: Preparacón de datos para el aprendzaje y meddas de evaluacón 1. Preparacón de datos Característcas de los datos

Más detalles

El diodo Semiconductor

El diodo Semiconductor El dodo Semconductor J.I. Hurcán Unversdad de La Frontera Aprl 9, 2012 Abstract Se plantean procedmentos para analzar crcutos con dodos. Para smpl car el trabajo, el dodo semconductor es reemplazado por

Más detalles

Generación de e Modelos 3D a Partir de e Datos de e Rango de e Vistas Parciales.

Generación de e Modelos 3D a Partir de e Datos de e Rango de e Vistas Parciales. Generacón de e Modelos 3D a Partr de e Datos de e Rango de e Vstas Parcales. Santago Salamanca Mño Escuela de Ingenerías Industrales Unversdad de Extremadura (UNED, UCLM, UEX) Introduccón (I) Qué es un

Más detalles

TEORÍA DE ESTRUCTURAS

TEORÍA DE ESTRUCTURAS TEORÍA DE ESTRUCTURAS TEA 4: CÁCUO DE ESTRUCTURAS POR E ÉTODO DE A DEFORACIÓN ANGUAR DEPARTAENTO DE INGENIERÍA ECÁNICA - EKANIKA INGENIERITZA SAIA ESCUEA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DE BIBAO UNIVERSIDAD

Más detalles

PROCESOS DE SEPARACION UTILIZANDO EQUIPOS DE ETAPAS DE EQUILIBRIO

PROCESOS DE SEPARACION UTILIZANDO EQUIPOS DE ETAPAS DE EQUILIBRIO PROCESOS DE SEPARACION UTILIZANDO EQUIPOS DE ETAPAS DE EQUILIBRIO Concepto de equlbro físco Sstema Fase Componente Solubldad Transferenca Equlbro Composcón 2 Varables de mportanca en el equlbro de fases:

Más detalles

Desarrollo de sistema de control para un manipulador de seis grados de libertad

Desarrollo de sistema de control para un manipulador de seis grados de libertad Memora del Trabajo Fn de Máster realzado por Fdel Pérez Menéndez para la obtencón del título de Máster en Ingenería de Automatzacón e Informátca Industral Desarrollo de sstema de control para un manpulador

Más detalles

FORMA TRADICIONAL DE CÁLCULO DE DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS EN ESTRUCTURAS SIN MAMPOSTERÍA RESUMEN

FORMA TRADICIONAL DE CÁLCULO DE DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS EN ESTRUCTURAS SIN MAMPOSTERÍA RESUMEN CAPITULO 1 FORMA TRADICIONAL DE CÁLCULO DE DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS EN ESTRUCTURAS SIN MAMPOSTERÍA RESUMEN En la actualdad los métodos de dseño estructural y las consderacones que se realzan prevas al

Más detalles

FE DE ERRATAS Y AÑADIDOS AL LIBRO FUNDAMENTOS DE LAS TÉCNICAS MULTIVARIANTES (Ximénez & San Martín, 2004)

FE DE ERRATAS Y AÑADIDOS AL LIBRO FUNDAMENTOS DE LAS TÉCNICAS MULTIVARIANTES (Ximénez & San Martín, 2004) FE DE ERRATAS Y AÑADIDOS AL LIBRO FUNDAMENTOS DE LAS TÉCNICAS MULTIVARIANTES (Xménez & San Martín, 004) Capítulo. Nocones báscas de álgebra de matrces Fe de erratas.. Cálculo de la transpuesta de una matrz

Más detalles

TERMODINÁMICA DEL EQUILIBRIO CAPÍTULO V. EQUILIBRIO DE REACCIÓN QUÍMICA

TERMODINÁMICA DEL EQUILIBRIO CAPÍTULO V. EQUILIBRIO DE REACCIÓN QUÍMICA Ing. Federco G. Salazar Termodnámca del Equlbro TERMODINÁMICA DEL EQUILIBRIO CAPÍTULO V. EQUILIBRIO DE REACCIÓN QUÍMICA Contendo 1. Conversón y Coordenada de Reaccón. 2. Ecuacones Independentes y Regla

Más detalles

6 Minimización del riesgo empírico

6 Minimización del riesgo empírico 6 Mnmzacón del resgo empírco Los algortmos de vectores soporte consttuyen una de las nnovacones crucales en la nvestgacón sobre Aprendzaje Computaconal en la década de los 990. Consttuyen la crstalzacón

Más detalles

Para dos variables x1 y x2, se tiene el espacio B 2 el que puede considerarse definido por: {0, 1}X{0, 1} = {(00), (01), (10), (11)}

Para dos variables x1 y x2, se tiene el espacio B 2 el que puede considerarse definido por: {0, 1}X{0, 1} = {(00), (01), (10), (11)} Capítulo 4 1 N-cubos 4.1. Representacón de una funcón booleana en el espaco B n. Los n-cubos representan a las funcones booleanas, en espacos n-dmensonales dscretos, como un subconjunto de los vértces

Más detalles

CURSO INTERNACIONAL: CONSTRUCCIÓN DE ESCENARIOS ECONÓMICOS Y ECONOMETRÍA AVANZADA. Instructor: Horacio Catalán Alonso

CURSO INTERNACIONAL: CONSTRUCCIÓN DE ESCENARIOS ECONÓMICOS Y ECONOMETRÍA AVANZADA. Instructor: Horacio Catalán Alonso CURSO ITERACIOAL: COSTRUCCIÓ DE ESCEARIOS ECOÓMICOS ECOOMETRÍA AVAZADA Instructor: Horaco Catalán Alonso Modelo de Regresón Lneal Smple El modelo de regresón lneal representa un marco metodológco, que

Más detalles

PRÁCTICA 4. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. A. Observación de la fuerza electromotriz inducida por la variación de flujo magnético

PRÁCTICA 4. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. A. Observación de la fuerza electromotriz inducida por la variación de flujo magnético A. Observacón de la fuerza electromotrz nducda por la varacón de flujo magnétco Objetvo: Observacón de la presenca de fuerza electromotrz en un crcuto que sufre varacones del flujo magnétco y su relacón

Más detalles

CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR CORRIENTES RECTILÍNEAS INDEFINIDAS

CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR CORRIENTES RECTILÍNEAS INDEFINIDAS Departamento de Físca - UBU enero de 2017 1 CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR CORRIENTES RECTILÍNEAS INDEFINIDAS En esta hoja podrán vsualzar el campo magnétco creado por una, dos tres o cuatro correntes rectlíneas

Más detalles

Gráficos de flujo de señal

Gráficos de flujo de señal Gráfcos de flujo de señal l dagrama de bloques es útl para la representacón gráfca de sstemas de control dnámco y se utlza extensamente en el análss y dseño de sstemas de control. Otro procedmento alternatvo

Más detalles

Resumen TEMA 1: Teoremas fundamentales de la dinámica y ecuaciones de Lagrange

Resumen TEMA 1: Teoremas fundamentales de la dinámica y ecuaciones de Lagrange TEMA : Teoremas fundamentales de la dnámca y ecuacones de Lagrange Mecánca 2 Resumen TEMA : Teoremas fundamentales de la dnámca y ecuacones de Lagrange. Prncpos de dnámca clásca.. Leyes de ewton a) Ley

Más detalles

Clase 19: Estado Estacionario y Flujo de Potencia. EL Conversión de la Energía y Sistemas Eléctricos Eduardo Zamora D.

Clase 19: Estado Estacionario y Flujo de Potencia. EL Conversión de la Energía y Sistemas Eléctricos Eduardo Zamora D. Clase 9: Estado Estaconaro y Flujo de Potenca EL400 - Conversón de la Energía y Sstemas Eléctrcos Eduardo Zamora D. Temas - Líneas de Transmsón - El Sstema Eléctrco - Matrz de Admtanca - Flujo de Potenca

Más detalles

IDENTIFICACIÓN Y MODELADO DE PLANTAS DE ENERGÍA SOLAR

IDENTIFICACIÓN Y MODELADO DE PLANTAS DE ENERGÍA SOLAR IDENTIFICACIÓN Y MODELADO DE PLANTAS DE ENERGÍA SOLAR En esta práctca se llevará a cabo un estudo de modelado y smulacón tomando como base el ntercambador de calor que se ha analzado en el módulo de teoría.

Más detalles

Clase 19: Estado Estacionario y Flujo de Potencia. EL Conversión de la Energía y Sistemas Eléctricos Eduardo Zamora D.

Clase 19: Estado Estacionario y Flujo de Potencia. EL Conversión de la Energía y Sistemas Eléctricos Eduardo Zamora D. Clase 9: Estado Estaconaro y Flujo de Potenca EL400 - Conversón de la Energía y Sstemas Eléctrcos Eduardo Zamora D. Temas - Líneas de Transmsón - El Sstema Eléctrco - Matrz de Admtanca - Flujo de Potenca

Más detalles

TEMA 5. INTERPOLACION

TEMA 5. INTERPOLACION TEMA 5.. Introduccón. Nomenclatura. Interpolacón lneal 4. Interpolacón cuadrátca 5. Interpolacón por splnes cúbcos 6. RESUMEN 7. Programacón en Matlab INTERPOLACION . Introduccón En el Tema 4, se ha descrto

Más detalles

FUNCION DE BASE RADIAL Radial Basis Function (RBF)

FUNCION DE BASE RADIAL Radial Basis Function (RBF) FUNCION DE BASE RADIAL Radal Bass Functon () Característcas generales y dferencas resaltantes con los modelos neuronales multcapas (Bakpropagaton): Broomhead y Lowe, 988, ntroducen un método alternatvo

Más detalles

Tema 9: Otros temas de aplicación

Tema 9: Otros temas de aplicación Tema 9: Otros temas de aplcacón. Introduccón Exsten muchos elementos nteresantes y aplcacones del Matlab que no se han comentado a lo largo de los temas. Se nvta al lector a que nvestgue sobre ellos según

Más detalles

PRACTICA 3: ESTUDIO DEL EQUILIBRADO ESTÁTICO Y DINÁMICO. ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO.

PRACTICA 3: ESTUDIO DEL EQUILIBRADO ESTÁTICO Y DINÁMICO. ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO. PRACTCA 3: ESTUDO DEL EQULBRADO ESTÁTCO Y DNÁMCO. ROTACÓN DE UN CUERPO RÍGDO ALREDEDOR DE UN EJE FJO. 1. -NTRODUCCÓN TEÓRCA El objeto de la eperenca será el equlbrar estátca dnámcamente un sstema de masas

Más detalles

Facultad de Ciencias Básicas

Facultad de Ciencias Básicas Facultad de Cencas Báscas ANÁLISIS GRÁFICO DE DATOS EXPERIMENTALES OBJETIVO: Representar gráfcamente datos expermentales. Ajustar curvas a datos expermentales. Establecer un crtero para el análss de grafcas

Más detalles

Estructura de tabla. Crear una tabla de base de datos. Paso previo a la creación i

Estructura de tabla. Crear una tabla de base de datos. Paso previo a la creación i Estructura de una tabla Estructura de tabla Access 2016 Crear una tabla de base de datos Paso prevo a la creacón Una tabla es un conjunto de datos estructurados. Esta estructura se basa en un elemento

Más detalles

CONTROL PARA UN BRAZO ROBOT COLOCADO SOBRE LA PLATAFORMA MÓVIL ÚRSULA

CONTROL PARA UN BRAZO ROBOT COLOCADO SOBRE LA PLATAFORMA MÓVIL ÚRSULA CONTROL PARA UN BRAZO ROBOT COLOCADO SOBRE LA PLATAFORMA MÓVIL ÚRSULA MARCELA APARICIO GONZÁLEZ JOHANNA CAROLINA ORJUELA PARRA PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE INGENIERIA CARRERA INGENIERIA

Más detalles

Control de un Manipulador Antropomórfico por Medio de un Dispositivo de Inmersión

Control de un Manipulador Antropomórfico por Medio de un Dispositivo de Inmersión Control de un Manpulador Antropomórfco por Medo de un Dspostvo de Inmersón Rcardo Castllo 1, Carlos D Velasquez 1*, Oscar Avlés 2, Ivan Oler 3 (1) Ingenero en Mecatrónca Unversdad Mltar Nueva Granada rcard333@hotmal.com

Más detalles

Examen de Física-1, 1 del Grado en Ingeniería Química Examen final. Septiembre de 2014 Cuestiones (Un punto por cuestión).

Examen de Física-1, 1 del Grado en Ingeniería Química Examen final. Septiembre de 2014 Cuestiones (Un punto por cuestión). Examen de Físca-, del Grado en Ingenería Químca Examen fnal. Septembre de 204 Cuestones (Un punto por cuestón. Cuestón (Prmer parcal: Un satélte de telecomuncacones se mueve con celerdad constante en una

Más detalles

Análisis de Resultados con Errores

Análisis de Resultados con Errores Análss de Resultados con Errores Exsten dos tpos de errores en los expermentos Errores sstemátcos errores aleatoros. Los errores sstemátcos son, desde lejos, los más mportantes. Errores Sstemátcos: Exsten

Más detalles

DESEMPEÑO DEL CONTROL DE FRECUENCIA PROCEDIMIENTO DO

DESEMPEÑO DEL CONTROL DE FRECUENCIA PROCEDIMIENTO DO Clascacón: Emtdo para Observacones de los Coordnados Versón: 1.0 DESEMPEÑO DEL CONTROL DE FRECUENCIA PROCEDIMIENTO DO Autor Dreccón de Operacón Fecha Creacón 06-04-2010 Últma Impresón 06-04-2010 Correlatvo

Más detalles

ESTADÍSTICA. Definiciones

ESTADÍSTICA. Definiciones ESTADÍSTICA Defncones - La Estadístca es la cenca que se ocupa de recoger, contar, organzar, representar y estudar datos referdos a una muestra para después generalzar y sacar conclusones acerca de una

Más detalles

Cinemática del movimiento rotacional

Cinemática del movimiento rotacional Cnemátca del movmento rotaconal Poscón angular, θ Para un movmento crcular, la dstanca (longtud del arco) s, el rado r, y el ángulo están relaconados por: 180 s r > 0 para rotacón en el sentdo anthoraro

Más detalles

EJEMPLO DE APLICACIÓN

EJEMPLO DE APLICACIÓN Aprendzaje Automátco y Data Mnng Bloque VI EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 Índce Problema a resolver. Propuesta de uso de aprendzaje. Algortmo desarrollado. Seleccón del clasfcador. Resultados expermentales. Entorno

Más detalles

Capitalización y descuento simple

Capitalización y descuento simple Undad 2 Captalzacón y descuento smple 2.1. Captalzacón smple o nterés smple 2.1.1. Magntudes dervadas 2.2. Intereses antcpados 2.3. Cálculo de los ntereses smples. Métodos abrevados 2.3.1. Método de los

Más detalles

3.- Programación por metas.

3.- Programación por metas. Programacón Matemátca para Economstas 1 3.- Programacón por metas. Una vez menconados algunos de los nconvenentes de las técncas generadoras, la ncorporacón de nformacón se va a traducr en una accón del

Más detalles

Tipología de nudos y extremos de barra

Tipología de nudos y extremos de barra Tpología de nudos y extremos de barra Apelldos, nombre Basset Salom, Lusa (lbasset@mes.upv.es) Departamento Centro ecánca de edos Contnuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnca Superor de Arqutectura

Más detalles

TRABAJO Y ENERGÍA INTRODUCCIÓN. requiere como varia la fuerza durante el movimiento. entre los conceptos de fuerza y energía mecánica.

TRABAJO Y ENERGÍA INTRODUCCIÓN. requiere como varia la fuerza durante el movimiento. entre los conceptos de fuerza y energía mecánica. TRABAJO Y ENERGÍA INTRODUCCIÓN La aplcacón de las leyes de Newton a problemas en que ntervenen fuerzas varables requere de nuevas herramentas de análss. Estas herramentas conssten en los conceptos de trabajo

Más detalles

LECTURA 03: DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS (PARTE II)

LECTURA 03: DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS (PARTE II) LECTURA 03 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS (PARTE II) DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS EN INTERVALOS DE CLASE Y DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS POR ATRIBUTOS O CATEGORÍAS TEMA 6 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS EN

Más detalles

PRACTICA 4: ESTUDIO DEL EQUILIBRADO ESTÁTICO Y DINÁMICO. ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO.

PRACTICA 4: ESTUDIO DEL EQUILIBRADO ESTÁTICO Y DINÁMICO. ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO. RACTICA 4: ESTUDIO DEL EQUILIBRADO ESTÁTICO Y DINÁMICO. ROTACIÓN DE UN CUERO RÍGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO. 1. -INTRODUCCIÓN TEÓRICA El objeto de la eperenca será el equlbrar estátca y dnámcamente un

Más detalles

Apéndice A: Metodología para la evaluación del modelo de pronóstico meteorológico

Apéndice A: Metodología para la evaluación del modelo de pronóstico meteorológico Apéndce A: Metodología para la evaluacón del modelo de pronóstco meteorológco Apéndce A: Metodología para la evaluacón del modelo de pronóstco meteorológco Tabla de contendos Ap.A Apéndce A: Metodología

Más detalles

CAPITULO 3º SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO- 01. Ing. Diego A. Patiño G. M.Sc, Ph.D.

CAPITULO 3º SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO- 01. Ing. Diego A. Patiño G. M.Sc, Ph.D. CAPITULO 3º SOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO- 0 Ing. Dego A. Patño G. M.Sc, Ph.D. Solucón de la Ecuacón de Estado Solucón de Ecuacones de Estado Estaconaras: Para el caso estaconaro (nvarante en el tempo),

Más detalles

FISICOQUÍMICA FARMACÉUTICA (0108) UNIDAD 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE CINÉTICA QUÍMICA

FISICOQUÍMICA FARMACÉUTICA (0108) UNIDAD 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE CINÉTICA QUÍMICA FISICOQUÍMICA FARMACÉUTICA (008) UNIDAD. CONCEPTOS BÁSICOS DE CINÉTICA QUÍMICA Mtra. Josefna Vades Trejo 06 de agosto de 0 Revsón de térmnos Cnétca Químca Estuda la rapdez de reaccón, los factores que

Más detalles

GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJO PRACTICO Nº 22

GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJO PRACTICO Nº 22 DOCENTE: LIC.GUSTO DOLFO JUEZ GUI DE TJO PCTICO Nº 22 CES: POFESODO Y LICENCITU EN IOLOGI PGIN Nº 132 GUIS DE CTIIDDES Y TJO PCTICO Nº 22 OJETIOS: Lograr que el lumno: Interprete la nformacón de un vector.

Más detalles

Apellidos y nombre: i. El valor anual de la amortización de la construcción es fijo y vale A. 2. Cada punto de venta tiene una demanda anual dem

Apellidos y nombre: i. El valor anual de la amortización de la construcción es fijo y vale A. 2. Cada punto de venta tiene una demanda anual dem 4º IIND Métodos Matemátcos 5 de septembre de 00 Apelldos y nombre: PROBLEMA (4 puntos) Una empresa tene puntos de venta stuados sobre una ruta que, a efectos de planfcacón, puede ser consderada como una

Más detalles

Matemáticas II. Segundo Curso, Grado en Ingeniería Electrónica Industrial y Automática Grado en Ingeniería Eléctrica. 17 de febrero de

Matemáticas II. Segundo Curso, Grado en Ingeniería Electrónica Industrial y Automática Grado en Ingeniería Eléctrica. 17 de febrero de Matemátcas II Segundo Curso, Grado en Ingenería Electrónca Industral y Automátca Grado en Ingenería Eléctrca 7 de febrero de 0. Conteste las sguentes cuestones: Ã! 0 (a) (0.5 ptos.) Escrba en forma bnómca

Más detalles

Práctica 12 - Programación en C++ Pág. 1. Practica Nº 12. Prof. Dr. Paul Bustamante. Informática II Fundamentos de Programación - Tecnun

Práctica 12 - Programación en C++ Pág. 1. Practica Nº 12. Prof. Dr. Paul Bustamante. Informática II Fundamentos de Programación - Tecnun Práctca 1 - Programacón en C++ Pág. 1 Práctcas de C++ Practca Nº 1 Informátca II Fundamentos de Programacón Prof. Dr. Paul Bustamante Práctca 1 - Programacón en C++ Pág. 1 INDICE ÍNDICE... 1 1.1 Ejercco

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS. Métodos multivariantes en control estadístico de la calidad

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS. Métodos multivariantes en control estadístico de la calidad UNIVERSIDAD NAIONAL MAYOR DE SAN MAROS FAULTAD DE IENIAS MATEMÁTIAS E.A.P. DE ESTADÍSTIA Métodos multvarantes en control estadístco de la caldad apítulo IV. Gráfcos de control MUSUM TRABAJO MONOGRÁFIO

Más detalles

ROBÓTICOS, SU CINEMÁTICA Y DINÁMICA

ROBÓTICOS, SU CINEMÁTICA Y DINÁMICA Insttuto Poltécnco Naconal ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN METODOLOGÍA PARA GENERACIÓN DE TRAYECTORIAS DE MANIPULADORES ROBÓTICOS, SU

Más detalles

Tallerine: Energías Renovables. Fundamento teórico

Tallerine: Energías Renovables. Fundamento teórico Tallerne: Energías Renovables Fundamento teórco Tallerne Energías Renovables 2 Índce 1. Introduccón 3 2. Conceptos Báscos 3 2.1. Intensdad de corrente................................. 3 2.2. Voltaje..........................................

Más detalles

Pista curva, soporte vertical, cinta métrica, esferas metálicas, plomada, dispositivo óptico digital, varilla corta, nuez, computador.

Pista curva, soporte vertical, cinta métrica, esferas metálicas, plomada, dispositivo óptico digital, varilla corta, nuez, computador. ITM, Insttucón unverstara Guía de Laboratoro de Físca Mecánca Práctca : Colsones en una dmensón Implementos Psta curva, soporte vertcal, cnta métrca, eseras metálcas, plomada, dspostvo óptco dgtal, varlla

Más detalles

SEGUNDA PARTE RENTAS FINANCIERAS

SEGUNDA PARTE RENTAS FINANCIERAS SEGUNDA PARTE RENTAS FINANCIERAS 5 INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE RENTAS 5.1 CONCEPTO: Renta fnancera: conjunto de captales fnanceros cuyos vencmentos regulares están dstrbudos sucesvamente a lo largo de

Más detalles

Operadores por Regiones

Operadores por Regiones Operadores por Regones Fltros por Regones Los fltros por regones ntentan determnar el cambo de valor de un píxel consderando los valores de sus vecnos I[-1,-1] I[-1] I[+1,-1] I[-1, I[ I[+1, I[-1,+1] I[+1]

Más detalles

TÍTULO I Aspectos Generales TÍTULO II Alcance TÍTULO III Metodología de Cálculo de FECF... 3

TÍTULO I Aspectos Generales TÍTULO II Alcance TÍTULO III Metodología de Cálculo de FECF... 3 PROCEDIMIENTO DO DESEMPEÑO DEL CONTROL DE FRECUENCIA EN EL SIC DIRECCIÓN DE OPERACIÓN ÍNDICE TÍTULO I Aspectos Generales... 3 TÍTULO II Alcance... 3 TÍTULO III Metodología de Cálculo de FECF... 3 TÍTULO

Más detalles

5. PROGRAMAS BASADOS EN RELACIONES DE RECURRENCIA.

5. PROGRAMAS BASADOS EN RELACIONES DE RECURRENCIA. Programacón en Pascal 5. PROGRAMAS BASADOS EN RELACIONES DE RECURRENCIA. Exsten numerosas stuacones que pueden representarse medante relacones de recurrenca; entre ellas menconamos las secuencas y las

Más detalles

Práctica 5: Obtención de los parámetros Z e Y de un cuadripolo

Práctica 5: Obtención de los parámetros Z e Y de un cuadripolo Práctca 5: Obtencón de los parámetros Z e Y de un cuadrpolo MÓDULO MATERIA CURSO CUATRIME STRE CRÉDITOS - - 1º 1º 6 Oblgatora TIPO PROFESORES de PRÁCTICAS DIRECCIÓN COMPLETA DE CONTACTO PARA TUTORÍAS (Dreccón

Más detalles

Física I Apuntes de Clase 2, Turno D Prof. Pedro Mendoza Zélis

Física I Apuntes de Clase 2, Turno D Prof. Pedro Mendoza Zélis Físca I Apuntes de Clase 2, 2018 Turno D Prof. Pedro Mendoza Zéls Isaac Newton 1643-1727 y y 1 y 2 j O Desplazamento Magntudes cnemátcas: v m r Velocdad meda r r 1 r 2 r velocdad s x1 2 r1 x1 + r2 x2 +

Más detalles

Sistemas Lineales de Masas-Resortes 2D

Sistemas Lineales de Masas-Resortes 2D Sstemas neales de Masas-Resortes D José Cortés Pareo. Novembre 7 Un Sstema neal de Masas-Resortes está consttudo por una sucesón de puntos (de ahí lo de lneal undos cada uno con el sguente por un resorte

Más detalles

Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Básicas Física para ciencias de la vida y la salud

Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Básicas Física para ciencias de la vida y la salud Unversdad de Pamplona Facultad de Cencas Báscas Físca para cencas de la vda y la salud AÁLISIS GRÁFICO DE DATOS EXPERIMETALES OBJETIVO: Representar gráfcamente datos expermentales. Ajustar curvas a datos

Más detalles

PRÁCTICA 10 CINÉTICA QUÍMICA I: DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE REACCIÓN Y DE LA CONSTANTE DE VELOCIDAD

PRÁCTICA 10 CINÉTICA QUÍMICA I: DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE REACCIÓN Y DE LA CONSTANTE DE VELOCIDAD PRÁCTICA 10 CINÉTICA QUÍMICA I: DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE REACCIÓN Y DE LA CONSTANTE DE VELOCIDAD OBJETIVOS. Estudar la cnétca de una reaccón químca por el método de las velocdades ncales. Determnar los

Más detalles

Hidrología superficial

Hidrología superficial Laboratoro de Hdráulca Ing. Davd Hernández Huéramo Manual de práctcas Hdrología superfcal 7o semestre Autores: Héctor Rvas Hernández Juan Pablo Molna Agular Rukmn Espnosa Díaz alatel Castllo Contreras

Más detalles

Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los sucesos A y A c se les ha asociado los sucesos B y B c.

Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los sucesos A y A c se les ha asociado los sucesos B y B c. Estadístca robablístca 6. Tablas de contngenca y dagramas de árbol. En los problemas de probabldad y en especal en los de probabldad condconada, resulta nteresante y práctco organzar la nformacón en una

Más detalles

Tema 4: Variables aleatorias

Tema 4: Variables aleatorias Estadístca 46 Tema 4: Varables aleatoras El concepto de varable aleatora surge de la necesdad de hacer más manejables matemátcamente los resultados de los expermentos aleatoros, que en muchos casos son

Más detalles

CAPÍTULO 5 MÉTODO DE LA FUNCIÓN ELÍPTICA DE JACOBI

CAPÍTULO 5 MÉTODO DE LA FUNCIÓN ELÍPTICA DE JACOBI CAPÍTULO 5: MÉTODO DE LA FUNCIÓN ELÍPTICA DE JACOBI 57 CAPÍTULO 5 MÉTODO DE LA FUNCIÓN ELÍPTICA DE JACOBI 5. Resumen Se busca solucón a las ecuacones acopladas que descrben los perfles de onda medante

Más detalles

Unidad Nº III Unidad Aritmética-Lógica

Unidad Nº III Unidad Aritmética-Lógica Insttuto Unverstaro Poltécnco Santago Marño Undad Nº III Undad Artmétca-Lógca Undad Artmétca-Lógca Es la parte del computador que realza realmente las operacones artmétcas y lógcas con los datos. El resto

Más detalles

Problemas donde intervienen dos o más variables numéricas

Problemas donde intervienen dos o más variables numéricas Análss de Regresón y Correlacón Lneal Problemas donde ntervenen dos o más varables numércas Estudaremos el tpo de relacones que exsten entre ellas, y de que forma se asocan Ejemplos: La presón de una masa

Más detalles

Pronósticos. Humberto R. Álvarez A., Ph. D.

Pronósticos. Humberto R. Álvarez A., Ph. D. Pronóstcos Humberto R. Álvarez A., Ph. D. Predccón, Pronóstco y Prospectva Predccón: estmacón de un acontecmento futuro que se basa en consderacones subjetvas, en la habldad, experenca y buen juco de las

Más detalles

Electricidad y calor

Electricidad y calor Electrcdad y calor Webpage: http://pagnas.sca.uson.mx/qb 2007 Departamento de Físca Unversdad de Sonora Temas 4. Prmera ley de la Termodnámca.. Concepto de Trabajo aplcado a gases.. Trabajo hecho por un

Más detalles

EL ANÁLISIS DE LA VARIANZA (ANOVA) 2. Estimación de componentes de varianza

EL ANÁLISIS DE LA VARIANZA (ANOVA) 2. Estimación de componentes de varianza EL ANÁLSS DE LA VARANZA (ANOVA). Estmacón de componentes de varanza Alca Maroto, Rcard Boqué Grupo de Qumometría y Cualmetría Unverstat Rovra Vrgl C/ Marcel.lí Domngo, s/n (Campus Sescelades) 43007-Tarragona

Más detalles