Unidad I Triángulos rectángulos

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1 Unidad I Triángulos rectángulos Última revisión: 07-Enero-2010 Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 1

2 Tema 1. Teorema de Pitágoras Matemáticas II El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros, pero no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones Pitágoras de Samos fue un filósofo griego que vivió alrededor del año 530 a.c., residiendo la mayor parte de su vida en la colonia griega de Crotona, en el sur de Italia. De acuerdo con la tradición fue el primero en probar la afirmación (teorema) que hoy lleva su nombre: Si un triángulo tiene lados de longitud (a,b,c), con los lados (a,b) formando un ángulo de 90 grados ("ángulo recto"), tenemos que a 2 + b 2 = c 2 o bien: y 2 + x 2 = h 2 Un ángulo recto se puede definir como el ángulo formado cuando dos líneas rectas se cruzan de tal forma que los cuatro ángulos que forman son iguales. El teorema también se puede definir de otra forma: si las longitudes de los tres lados (a,b,c) de un triángulo satisfacen la relación anterior, el ángulo entre los lados a y b debe ser de 90 grados. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 2

3 Por ejemplo, un triángulo con los lados a = 3, b = 4, c = 5 (pulgadas, pies, metros,... lo que sea) es rectángulo porque a 2 + b 2 = = = 25 = c 2 Los maestros de obras del antiguo Egipto pudieron conocer el triángulo (3,4,5) y usarlo (mediante cañas o cuerdas calibradas) para construir ángulos rectos; aún hoy en día los albañiles usan tableros con clavos con esas longitudes que les ayudan a alinear una esquina. Tema 2. Funciones trigonométricas. Ahora nos concentraremos en otros problemas que tienen que ver con triángulos rectángulos. El propósito será hallar todas las desconocidas de un triángulo rectángulo, dadas las unidades de los lados o la unidad de un ángulo agudo y la de un lado. Las funciones trigonométricas juegan un papel importante en este proceso. La trigonometría en sus inicios, se concreto al estudio de los triángulos. Por varios siglos se empleo en topografía, navegación y astronomía. Para establecer las razones trigonométricas en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Por ejemplo: Los ángulos A y B son agudos, y el ángulo C es recto. Puede notarse que los lados de los ángulos agudos son la hipotenusa y un cateto y los del ángulo recto son catetos. Considerando uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo e identificada previamente la hipotenusa, es necesario diferenciar los catetos. Cateto adyacente. Es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia. Cateto opuesto. Es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra en frente de este. Obsérvense los siguientes triángulos: Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 3

4 Nótese que los lados de los triángulos se representan con las dos letras mayúsculas que corresponden a sus puntos extremos, colocando sobre ellas una línea horizontal, o bien con una sola letra minúscula. Las razones trigonométricas se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con uno de sus ángulos agudos. En el siguiente cuadro se observan las seis razones trigonométricas que se pueden establecer, para cualquiera de los ángulos agudos, en un triángulo rectángulo. Para nuestros fines solo analizaremos las funciones trigonométricas fundamentales, que son seno, coseno y tangente: Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 4

5 Recuerda que un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo de 90 grados. Tema 3. Resolución de problemas trigonométricos En este tema se resolverán algunos ejercicios prácticos que pueden encontrarse cotidianamente y que corresponden a los temas precedentes. Ejercicio 1. Calcular la altura de una torre si al situarnos a 25 m de su pie, observamos la parte más alta bajo un ángulo de 45º. Tan 45 = A 25 m A = 25 m Tan 45 A A = 25 m (1) A = 25 m 25 m 45º Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 5

6 Ejercicio 2. Halla la longitud desconocida c de acuerdo al siguiente diagrama. Solución: Conoces la longitud del lado opuesto al ángulo de 25 y deseas hallar la longitud de la hipotenusa. Por consiguiente, puedes usar la razón seno. Ejercicio 3. Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60 o con respecto al piso. Solución: Trazar el triángulo rectángulo anotando los datos e indicando, con una letra, el lado que se desea calcular. Seleccionar una razón trigonométrica que relacione al ángulo y lado conocidos con el lado que se desea calcular. Despejar algebraicamente la letra que representa el lado que se desea calcular. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 6

7 Sustituir las literales por sus valores numéricos de acuerdo con los datos. Obtener el valor natural del ángulo por medio de las tablas trigonométricas o de la calculadora y efectuar las operaciones. Dar solución al problema. c = longitud de la escalera Por lo tanto, la escalera mide 5 m. Ejercicio 4. Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de m Ahora se tienen únicamente los valores de dos lados, con los cuales se debe obtener e! valor del ángulo. Solución: Trazar un triángulo rectángulo anotando en él los datos, tal como se ve en el dibujo anterior. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 7

8 Seleccionar la función trigonométrica que relacione a los lados conocidos con el ángulo. Sustituir las literales por sus valores numéricos. Efectuar la división indicada. Cos B = Obtener, en las tablas de funciones trigonométricas o con la calculadora, el valor del ángulo. Dar respuesta al problema. El ángulo formado por el poste y el cable tirante es de 56 o 57'. Tema 4. Resolución de problemas de triángulos oblicuángulos Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados determinado por tres segmentos de tres rectas que se cortan, denominados lados (Euclides); o tres puntos no alineados llamados vértices. También puede determinarse un triángulo por cualesquiera otros tres elementos relativos a él, como por ejemplo un ángulo y dos medianas; o un lado, una altura y una mediana. Se llama triángulo oblicuángulo cuando no tiene un ángulo interior recto (90 ). Los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 8

9 Para resolver problemas de este tipo de triángulos se tendrá que conocer las siguientes tres leyes: Ley de senos Ley de cosenos Ley de tangente Ley de senos. Ya hemos visto como resolver triángulos rectángulos ahora veremos todas las técnicas para resolver triángulos generales. El siguiente es un triángulo donde el ángulo A se escribe en el vértice de A, el ángulo B se escribe en el vértice de B y el ángulo C se escribe en el vértice de C. Los lados que están opuestos a los vértices ABC y los escribimos con una letra minúscula abc. La fórmula para la ley de senos es: sena a senb b senc c Ley de cosenos. Otro de los resultados comúnmente utilizado es el caso de la ley de cosenos, dicha relación es útil cuando el análisis a realizar no es para el caso de los triángulos que no son rectángulos, mediante dicho teorema se puede obtener un lado, dado el conocimiento de los otros lados y estrictamente el ángulo formado por los lados conocidos, o bien conocer cualquiera de las variables que intervienen en dicha ley. Dado dos lados y el ángulo entre estos dos lados tendremos la siguiente relación Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 9

10 C 2 = A 2 + B 2 2AB Cos[θ] Nota. Desde luego, si el ángulo es precisamente el de un ángulo recto correspondiente al del triángulo rectángulo tenemos el teorema de Pitágoras ya que Cos [90º] = 0. Ley de tangentes. Dado un triángulo plano ABC de lados a, b, c opuestos a los ángulos A, B, C, se cumple que: Estas expresiones, conocidas como leyes de las tangentes, tienen numerosas aplicaciones en cálculo numérico, en particular en el uso de logaritmos. Para resolver problemas de este tipo de triángulos vamos a utilizar 3 enfoques principalmente, los cuales veremos a continuación. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 10

11 Resolución de triángulos oblicuángulos (dados los tres lados), ley de los senos, ley del coseno, ley de las tangentes. En esta clase de ejercicios, cuando nos dan los tres lados y, por consiguiente, debemos hallar los tres ángulos, utilizamos la "Ley del coseno". Y, procedemos de la siguiente manera: 1. Utilizamos la "Ley del coseno" a 2 = b 2 + c 2 2bc Cos[A] 2. Despejamos Cos[A], y luego A: Cos A = b2 + c 2 a 2 2bc A = Cos 1 b2 + c 2 a 2 2bc 3. Sustituimos los valores numéricos de a, b y c en la fórmula anterior, realizamos las operaciones indicadas; y, hallamos el valor del ángulo A 4. Mediante Ley de los senos" hallamos el valor del ángulo B: Sen[B] b = Sen[A] a b sen[a] sen B = a b sen[a] 1 B = sen a 5. Como la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180, el ángulo C lo hayamos mediante la fórmula: C = 180 (A + B) A continuación veremos algunos ejemplos de resolución. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 11

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14 Solución de triángulos oblicuángulos (dados dos lados y el ángulo comprendido), ley de los senos, ley del coseno, ley de las tangentes En esta clase de ejercicios, cuando nos dan dos lados y el ángulo comprendido, utilizamos la "Ley del coseno". Y, procedemos de la siguiente manera: 1. Utilizamos la "Ley del coseno" a 2 = b 2 + c 2 2bc Cos[A] 2. Despejamos, por ejemplo, a: a = b 2 + c 2 2bc Cos[A] 3. Sustituimos los valores numéricos de a, b y c en la fórmula anterior, realizamos las operaciones indicadas; y, hallamos el valor de a. 4. Mediante Ley de los senos" hallamos, por ejemplo, el valor del ángulo B: Sen[B] b = Sen[A] a b sen[a] sen B = a b sen[a] 1 B = sen a 5. Como la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180, el ángulo, por ejemplo, C lo hayamos mediante la fórmula: C = 180 (A + B) Veamos algunos ejemplos. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 14

16 Resolución de triángulos oblicuángulos (dados un lado y dos ángulos), ley de los senos, ley del coseno, ley de las tangente En esta clase de ejercicios, cuando nos dan un lado y dos ángulos, utilizamos la "Ley del seno". Y, procedemos de la siguiente manera: 1. Como la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180, el ángulo, por ejemplo, C lo hayamos mediante la fórmula: C = 180 (A + B) 2. Mediante Ley de los senos" hallamos, por ejemplo, el valor del lado b: Sen[B] b = Sen[A] a b = a sen[b] sen[a] 3. De igual manera utilizando la "Ley de los senos", hallamos el valor del tercer lado Veamos algunos ejemplos. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 16