Carlos A. Rivera-Morales. Precálculo I

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1 Carlos A. Rivera-Morales Precálculo I

2 Tabla de Contenido Contenido

3 : Contenido Discutiremos: función inversa

4 : Contenido Discutiremos: función inversa construcción de la función inversa

5 : Contenido Discutiremos: función inversa construcción de la función inversa dominio y rango de la función inversa

6 : Contenido Discutiremos: función inversa construcción de la función inversa dominio y rango de la función inversa gráfica de la función inversa

7 Definición 1: Sea f una función inyectiva o uno a uno.

8 Definición 1: Sea f una función inyectiva o uno a uno. Entonces f admite una función inversa que se denota como f 1 (léase f inversa ), donde el dominio de esta función es el rango o recorrido de f.

9 Definición 1: Sea f una función inyectiva o uno a uno. Entonces f admite una función inversa que se denota como f 1 (léase f inversa ), donde el dominio de esta función es el rango o recorrido de f. La función inversa de f (o, simplemente, inversa) se define como

10 Definición 1: Sea f una función inyectiva o uno a uno. Entonces f admite una función inversa que se denota como f 1 (léase f inversa ), donde el dominio de esta función es el rango o recorrido de f. La función inversa de f (o, simplemente, inversa) se define como f 1 (y) = x f(x) = y y R f

11 Definición 1: Sea f una función inyectiva o uno a uno. Entonces f admite una función inversa que se denota como f 1 (léase f inversa ), donde el dominio de esta función es el rango o recorrido de f. La función inversa de f (o, simplemente, inversa) se define como De otra forma, f 1 (y) = x f(x) = y y R f (y, x) f 1 (x, y) f

12 Definición 1: Sea f una función inyectiva o uno a uno. Entonces f admite una función inversa que se denota como f 1 (léase f inversa ), donde el dominio de esta función es el rango o recorrido de f. La función inversa de f (o, simplemente, inversa) se define como f 1 (y) = x f(x) = y y R f De otra forma, (y, x) f 1 (x, y) f Note que, Dominio de f 1 = Rango de f

13 Definición 1: Sea f una función inyectiva o uno a uno. Entonces f admite una función inversa que se denota como f 1 (léase f inversa ), donde el dominio de esta función es el rango o recorrido de f. La función inversa de f (o, simplemente, inversa) se define como De otra forma, Note que, f 1 (y) = x f(x) = y y R f (y, x) f 1 (x, y) f Dominio de f 1 = Rango de f Dominio de f = Rango de f 1

14 Definición 2: Sean f y g funciones tales que y f(g(x)) = x para toda x en el dominio de g g(f(x)) = x para toda x en el dominio de f. Si se cumplen ambas condiciones, entonces la función g es la función inversa de f y f es la función inversa de g. Se denota por f = g 1 y g = f 1. Por lo tanto, f(f 1 (x)) = x y f 1 (f(x)) = x

15 Note que, Dominio de f = Rango de g

16 Note que, Dominio de f = Rango de g Dominio de g = Rango de f

17 Ejemplo: Sea f(x) = x y g(x) = 4(x + 3 ). Determine si f 2 y g son funciones inversas mutuamente. Solución:

18 Ejemplo: Sea f(x) = x y g(x) = 4(x + 3 ). Determine si f 2 y g son funciones inversas mutuamente. Solución:

19 Ejemplo: Sea f(x) = x y g(x) = 4(x + 3 ). Determine si f 2 y g son funciones inversas mutuamente. Solución:

20 Ejemplo: Sea f(x) = x y g(x) = 4(x + 3 ). Determine si f 2 y g son funciones inversas mutuamente. Solución: Por lo tanto, las funciones f y g son funciones inversas mutuamente.

21 Nota: La gráfica de la función inversa f 1 es simétrica a la gráfica de f respecto de la recta y = x.

22 Nota: La gráfica de la función inversa f 1 es simétrica a la gráfica de f respecto de la recta y = x. Ejemplo: Gráficas de f y de f 1

23 Nota: La gráfica de la función inversa f 1 es simétrica a la gráfica de f respecto de la recta y = x. Ejemplo: Gráficas de f y de f 1

24 Observación: Nota: En la notación f 1 (x) el índice 1 no tiene el significado en álgebra como exponente. Esto es: f 1 (x) 1 f(x).

25 Ejemplo: Si la función f tiene función inversa y f(1) = 4, f(3) = 8, f(5) = 11, determinar f 1 (4), f 1 (8),f 1 (11).

26 Ejemplo: Si la función f tiene función inversa y f(1) = 4, f(3) = 8, f(5) = 11, determinar f 1 (4), f 1 (8),f 1 (11). Solución: A partir de la definición de función inversa, tenemos que: f 1 (4) = 1; Razón: f(1) = 4

27 Ejemplo: Si la función f tiene función inversa y f(1) = 4, f(3) = 8, f(5) = 11, determinar f 1 (4), f 1 (8),f 1 (11). Solución: A partir de la definición de función inversa, tenemos que: f 1 (4) = 1; Razón: f(1) = 4 f 1 (8) = 3; Razón: f(3) = 8

28 Ejemplo: Si la función f tiene función inversa y f(1) = 4, f(3) = 8, f(5) = 11, determinar f 1 (4), f 1 (8),f 1 (11). Solución: A partir de la definición de función inversa, tenemos que: f 1 (4) = 1; Razón: f(1) = 4 f 1 (8) = 3; Razón: f(3) = 8 f 1 ( 11) = 5; Razón: f(5) = 11

29 Ejemplo: Si la función f tiene función inversa y f(1) = 4, f(3) = 8, f(5) = 11, determinar f 1 (4), f 1 (8),f 1 (11). Solución: A partir de la definición de función inversa, tenemos que: f 1 (4) = 1; Razón: f(1) = 4 f 1 (8) = 3; Razón: f(3) = 8 f 1 ( 11) = 5; Razón: f(5) = 11 Recuerde: En la función inversa se intercambian cada una de las parejas ordenadas que constituyen a la función original:

30 Ejemplo: Si la función f tiene función inversa y f(1) = 4, f(3) = 8, f(5) = 11, determinar f 1 (4), f 1 (8),f 1 (11). Solución: A partir de la definición de función inversa, tenemos que: f 1 (4) = 1; Razón: f(1) = 4 f 1 (8) = 3; Razón: f(3) = 8 f 1 ( 11) = 5; Razón: f(5) = 11 Recuerde: En la función inversa se intercambian cada una de las parejas ordenadas que constituyen a la función original: (x, y) f (y, x) f 1.

31 El siguiente diagrama muestra las correspondencias:

32 Nota: No toda función tiene función inversa.

33 Nota: No toda función tiene función inversa. En la siguiente figura se aprecia que f sí tiene inversa y g no tiene función inversa, ya que no cumple con la condición de ser función inyectiva.

34 Nota: La prueba de la línea horizontal es un criterio gráfico que se puede utilizar para determinar si una función f tiene función inversa. Prueba de Línea Horizontal: Una función f tiene función inversa f 1 si toda línea horizontal corta la gráfica de f, como máximo, en un punto.

35 Fórmula de la : Pasos: Para obtener la fórmula algebraica de la función inversa de una función inyectiva:

36 Fórmula de la : Pasos: Para obtener la fórmula algebraica de la función inversa de una función inyectiva: 1 Se escribe y = f(x).

37 Fórmula de la : Pasos: Para obtener la fórmula algebraica de la función inversa de una función inyectiva: 1 Se escribe y = f(x). 2 Se intercambia x por y.

38 Fórmula de la : Pasos: Para obtener la fórmula algebraica de la función inversa de una función inyectiva: 1 Se escribe y = f(x). 2 Se intercambia x por y. 3 Se despeja y para determinar f 1 (x).

39 Ejemplo 1: Determinar la función inversa de f(x) = x 2 5.

40 Ejemplo 1: Determinar la función inversa de f(x) = x 2 5. Solución:

41 Gráfica de f 1 :

42 Ejemplo 1: Determinar la función inversa de f(x) = 3x 5.

43 Ejemplo 1: Determinar la función inversa de f(x) = 3x 5.

44 Ejemplo 1: Determinar la función inversa de f(x) = 3x 5. Por lo tanto, f 1 (x) = x + 5 3

45 Gráfica de f 1 :

46 Ejemplo 1: Determinar la función inversa de f(x) = x

47 Ejemplo 1: Determinar la función inversa de f(x) = x Solución: f(x) = x y = x x = y x 2 = y 3 3 x 2 = y

48 Ejemplo 1: Determinar la función inversa de f(x) = x Solución: f(x) = x y = x x = y x 2 = y 3 3 x 2 = y y = 3 x 2 = f 1 (x) = 3 x 2

49 Gráfica de f 1 :

50 Consideremos la función f(x) = x 2. Existe por lo menos una línea horizontal que corta a su gráfica en más de un punto. Por lo tanto, no tiene función inversa.

51 Si restringimos el dominio de la función f(x) = x 2 se manera tal que x 0, entonces la nueva función es inyectiva. Por lo tanto, tiene función inversa.

52 Construcción de la fórmula de f 1 :

53 Construcción de la fórmula de f 1 : f(x) = x 2 y = x 2 x = y 2 x = y f 1 (x) = x

54

55 Como otro ejemplo, consideremos la función h(x) = 4 x 2. Existe por lo menos una línea horizontal que corta a su gráfica en más de un punto.

56 Si restringimos el dominio de la función h(x) = 4 x 2 se manera tal que x 0, entonces la nueva función es inyectiva. Por lo tanto, tiene función inversa.

57 Construcción de la fórmula de h 1 : h(x) = 4 x 2 y = 4 x 2 x = 4 y 2 y 2 = 4 x y = 4 x h 1 (x) = 4 x

58 Gráfica de la función h y de su inversa h 1 :

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