4 E.M. Curso: Unidad: Estadísticas Inferencial. Colegio SSCC Concepción. Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Unidad de Aprendizaje: FUNCIONES

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1 Colegio SSCC Concepción Depto. de Matemáticas Unidad de Aprendizaje: FUNCIONES Capacidades/Destreza/Habilidad: Racionamiento Matemático/Calcular/ Resolver Valores/ Actitudes: Curso: E.M. 10 Respeto, Solidaridad, Responsabilidad / Trabajo en equipo, Cumplimiento Aprendizajes Esperados: Calcular intervalos con determinado intervalo de confianza que contengan la media de una población Recursos TICs: Resolución de las problemáticas a través de un POWERPOINT en la pizarra Evaluación de proceso: Corrección de tareas, interrogaciones, trabajo en clase Tiempo: Profesor Responsable: Miguel Fernández Riquelme Unidad: Estadísticas Inferencial Nombre: CURSO: 1

2 Funciones Dados dos conjuntos A y B, una función entre ellos es una asociación f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B. Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial) de f y que B es su codominio(también conjunto de llegada o conjunto final). Función Inyectiva Una función f : X Y es Inyectiva si a elementos distintos del conjunto X (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto Y (codominio) de f. Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una preimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen. Definición formal De manera más precisa, la función f : X alguna de las dos afirmaciones equivalentes: Y es Inyectiva cuando se cumple * Si a y b son elementos de X tales que f(a) = f(b), necesariamente se cumple a= b. Si a= b son elementos diferentes de X, necesariamente se cumple f(a) f(b) Simbólicamente, para todo a, b X, f(a) = f(b) a = b Función Sobreyectiva Una función f : X Y es una función Sobreyectiva si el Recorrido de la función es igual al Codominio.

3 Función biyectiva Una función f : X Y es biyectiva si es simultáneamente Inyectiva y Sobreyectiva Función Inversa Se llama función inversa de f : X Y a otra función Si f(a) = b, entonces f 1 (b) = a. f : Y X No todas las funciones tienen una inversa asociada a ella Una función para que admita inversa debe ser biyectiva Veamos un ejemplo a partir de la función f() = + 3 que cumple que: Podemos observar que: El dominio de f 1 es el recorrido de f. El recorrido de f 1 es el dominio de f. Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa. Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad. (f o f 1 ) () = (f 1 o f) () = Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada: 1. Intercambiar la por la y, y la y por la.. Despejar la variable independiente. 3. La función así obtenida es la inversa de la función dada. Obs. Las gráficas de dos funciones, f y f -1 son simétricas respecto de la recta y = 3

4 Ejemplo 1 Hallar la función inversa de y = 5 -, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes. Resolución: 1. Se intercambian las variables = 5y. Se despeja y y 5 3. Se obtiene la función inversa f () 5 Ejemplo Hallar la función inversa de f(), Resolución: El Dom. de f es [0, +[ luego el Recorrido de f -1 debe ser [0, +[ El Rec. de f es [0, +[ luego el Dom. de f -1 debe ser [0, +[ 1. En y se intercambian las variables y. Se despeja y y = 3. Se obtiene la función inversa f (). y queda definida así ; f () f : 0, 0, Luego lo importante en la búsqueda de la función inversa es asegurarse que la función es Biyectiva y luego identificar el dominio y recorrido de la función dada. Ejemplo Dada la función f() considerando el mayor Dom. subconjunto de los números 5 Reales, encontrar la función inversa El dominio de f() 5 es IR { 5 } El Recorrido de f() 5 se obtiene de la misma forma que la función inversa f() y y(5 ) (5y y) 5y y 5 5 5y (1 y) 5y 5 5 y f () Dom (f -1 )= IR {-1 } 1 y 1 1 Rec (f)= IR {-1 }

5 Finalmente la función f queda definida: f : IR 5 IR 1 ; f() 5 Y la función f -1 queda definida: f : IR 1 IR 5 ; 5 f () 1 n Las funciones cuadráticas y de la forma f()= llamadas funciones potencias pares (por tener eponentes pares) no son biyectivas, pero se puede restringir el dominio para poder redefinirlas y dejarlas Inyectivas y Sobreyectivas. Obs. Gráficamente toda función en que una recta de pendiente = 0 (horizontal) corten en ó más puntos a la curva, no es una función Inyectiva. Obs. Son funciones Inyectivas en todo su Dominio las siguientes: Función Lineal, Función eponencial, Función raíz cuadrada, Función logarítmica, Ejemplo Dada la función f() = (-1) +1 no biyectiva restringir su dominio y codominio para definirla biyectiva y encontrar su función inversa. Solución: Consideraremos como dominio de f() = ( - 1) + al intervalo, y como Codominio al intervalo, con esto la gráfica de la función quedaría como una media parábola (la rama de la derecha) Ahora identificaremos la aplicación de la función inversa f() = ( - 1) + y = ( - 1) + = (y - 1) + Debemos despejar y 8 y (1) 8 f () (1) 0 y y 3 (1)(3 ) y (1) f :, 1, ; 8 f () 5

6 Grafica de f() redefinida y f -1 () ambas simétricas a la recta y = Ejercicios Dada las siguientes funciones redefinir el dominio y codominio si es necesario para definir a la función biyectiva y deduzca la función inversa. 1. f() = 5. f() = f() = - -. f() = f() 3 f() 7 f() 3 8. f() 9. f() X f() 11. f() log3 6

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