3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA

Transcripción

1 Cap. La derivada. DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE.. VELOCIDAD INSTANTÁNEA. DEFINICIÓN DE DERIVADA. FORMA ALTERNATIVA.5 DIFERENCIABILIDAD.6 DERIVACIÓN.6. FÓRMULAS DE DERIVACIÓN.6. REGLAS DE DERIVACIÓN.6. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.6. DERIVACIÓN IMPLÍCITA.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA.6.6 DERIVACIÓN POLAR.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA.7 FUNCIONES HIPERBÓLICAS.7. FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO.7. FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO.7. FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA.7. DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS OBJETIVOS: Defiir derivada. Calcular ecuacioes de rectas tagetes rectas ormales a ua curva. Realizar demostracioes formales de derivada. Calcular derivadas. 8

2 Cap. La derivada Desde la atigüedad ( A.C. eistía el problema de la determiació de la ecuació de la recta tagete e u puto de ua curva; recié e el siglo XVII fue resuelto este problema. Tratado de dar solució a lo plateado es como se da iicio al Calculo Diferecial. Este iicio se le atribue a GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (66-76 juto co ISAAC NEWTON (6-77, preocupado por describir la velocidad istatáea que lleva u móvil cuado se desplaza siguiedo ua traectoria, después veremos que es el mismo problema. Empecemos primero estudiado el problema geométrico.. DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE. Supoga que se tega el problema de ecotrar la ecuació de la recta tagete a la gráfica de ua fució f, e u puto, Fig... f ( Fig.. La ecuació de la recta tagete estaría dada por: f( m ( tg Aora, abría que calcular la pediete de la recta tagete. Observe la Fig.. 8

3 Cap. La derivada f ( ( f f ( ( ( f f Fig.. La pediete de la recta secate etre los putos (, ( (, f( sería m sec f ( f( f La pediete de la recta tagete se obtedría aciedo que se aga cada vez más pequeña, porque e este caso la recta secate toma la posició de la recta tagete, resolveríamos uestro problema; es decir: m tg f f lím ( (. VELOCIDAD INSTANTÁNEA Supoga que se tega la ecuació del espacio e recorrido por u móvil, e f t. Supoga aora que se quiere que sea fució del tiempo; es decir ( v e u itervalo de tiempo [ t, t determiar la velocidad media m estaría dada por: v m ( ( Δe f t f t Δ t t t, esta La velocidad istatáea v sería la velocidad media calculada e itervalos de tiempo Δt cada vez más pequeño; es decir: 85

4 Cap. La derivada Δe v lim vm lim lim Δ t Δ t Δt ( ( f t f t Note que esta defiició para la velocidad istatáea tiee la misma forma que la de la pediete de la recta tagete, por tato el problema sería el mismo. De aquí se dará la defiició de la derivada.. DEFINICIÓN DE DERIVADA Sea f ua fució de variable real. Sea u puto del domiio de f. La derivada de f e " ", deotada como f (, se defie como: f ( f ( lím f ( Siempre que este límite eista. Cuado la derivada e " " eiste se dice que es f es difereciable e " ". Otras otacioes que se emplea para la derivada so: o d Leibiz utilizó la otació d. E cualquier caso, la derivada e " " sería: f ( lím f f ( ( D. 86

5 Cap. La derivada. FORMA ALTERNATIVA Presetaremos aora ua forma u tato diferete para la derivada, que para alguos casos resulta mu útil. E la epresió para la derivada, aciedo cambio de variable: f ( f ( f ( f ( f ( lím lím lím f( f( Lo aterior lo podemos observar de la pediete de la recta tagete, Fig... f ( f ( f ( f ( f ( Fig.. La pediete de la recta secate etre los putos (, f ( (, f ( f ( f( msec por: sería:. Etoces la pediete de la recta tagete estaría dada m tg lím f ( f( 87

6 Cap. La derivada Ejemplo Empleado la defiició, allar la derivada f ( f( f( f ( lím lím lím lím lím f ( ( [ Empleado la forma alterativa: f( f( f ( lím ( ( lím lím lím lím lím f ( ( ( Ejemplo. Empleado la defiició, allar la derivada f ( lím lím f ( f ( f ( ( lím ( lím lím ( f ( 88

7 Cap. La derivada Empleado la forma alterativa: f( f( f ( lím lím lím ( ( ( lím f ( Ejercicios propuestos. f.. Sea ( f(.5 f( a Calcule el valor de.5 f(. f( b Calcule el valor de. f (. f ( c Calcule el valor de. d Calcule el valor de f (. Eplique por qué los valores ateriores so aproimados a este resultado.. Hallar f (, cosiderado la gráfica: f(. Empleado la defiició, determie la derivada de: a f( d f b f ( e f ( c f( f ( f ( 89

8 Cap. La derivada.5 DIFERENCIABILIDAD Se tratará aora de especificar las codicioes para que la derivada de ua fució de ua variable real eista, lo cual dará paso a decir que la fució será derivable o difereciable e u puto. La difereciabilidad es equivalete a derivabilidad para fucioes de ua variable real..5. TEOREMA DE DERIVABILIDAD. Si f es difereciable e " ", es decir f eiste, etoces f es cotiua e ( " " Demostració. Epresemos lo siguiete: f ( f ( f ( f ( Agrupado los dos primeros térmios, dividiédolo multiplicádolo por (, supoga, teemos: f ( f ( f ( ( f ( Aora, tomado límite a todos los miembros de la ecuació, resulta: f ( f ( lím f ( lím lím ( lím f ( La epresió lím f ( f ( f ( es igual f (, debido a que de ipótesis se dice que f es derivable e. Etoces: cos ta te f ( f ( lím f ( lím lím ( lím f ( lím f ( f ( [ f ( f ( f ( Por tato, la última epresió idica que f es cotiua e " ". L.Q.Q.D. f ( 9

9 Cap. La derivada Al aalizar el teorema, se coclue que si ua fució es discotiua e " etoces o es difereciable e " ". " Tambié debe etederse que o toda fució cotiua es difereciable. Ejemplo Hallar f ( para f ( Empleado la forma alterativa de la derivada: f ( f ( f ( lím lím lím El último límite se lo obtiee aplicado límites laterales, es decir:. lím lím (. lím lím ( Como los límites laterales so diferetes, etoces f ( lím o eiste. Observado la gráfica de, Fig.. Fig.. Notamos que se pueda trazar rectas tagetes de diferetes pedietes a la dereca a la izquierda de, e este caso se dice que la gráfica de la fució o es suave e. Esta fució auque es cotiua e, si embargo o es difereciable e ese puto; por tato la cotiuidad o implica difereciabilidad. 9

10 Cap. La derivada.5. DERIVADAS LATERALES. Por lo aterior, como la derivada es u límite, podemos defiirla uilateralmete..5.. Derivada por dereca La derivada por dereca del puto " " de ua fució f se defie como: f ( f ( lím alterativa: f ( f ( lím f ( o por la forma f (.5.. Derivada por izquierda. La derivada por izquierda del puto " " de ua fució f se defie como: f ( f ( f ( lím f ( f ( lím alterativa: o por la forma f ( Por tato, para que f ( eista, se requiere que las derivadas laterales eista sea iguales. Es decir, si f ( f (, se dice que f o es derivable e " " su gráfica o será suave e ese puto. Ejemplo ; < Hallar f ( para f ( ; Primero veamos si que es cotiua e. Como lim ( lim ( etoces f si es cotiua e - Segudo. Para allar f ( debemos allar las derivadas laterales debido a que f tiee diferete defiició a la izquierda la dereca de. 9

11 Cap. La derivada f ( lim ( ( ( ( lim lim ( ( ( ( f ( lim lim lim Por tato, Como f ( f ( etoces f ( o eiste Veamos aora, u ejemplo de ua fució que auque es cotiua suave, e u puto, si embargo o es difereciable e ese puto. Ejemplo Sea f ( allar f ( Empleado la forma alterativa: f ( f ( f ( lím lím lím f ( o eiste ( Lo que ocurre es que la recta tagete, e, es vertical (pediete ifiita; observe su gráfica. Fig.5 Fig..5 Por tato, si ua fució es difereciable e u puto " " ocurre tres cosas:. Es cotiua e ese puto. Es suave e ese puto. La recta tagete o es vertical e ese puto 9

12 Cap. La derivada U problema de diseño Ejemplo m b ; < Sea: f ( Determie "m" "b" para que f sea difereciable e todo su domiio. ; Debemos cosiderar que para que la fució sea difereciable e todo su domiio tiee que ser cotiua e todo puto su gráfica debe ser suave. Observado la regla de correspodecia que defie a f, otamos que debemos cetraros e dos cosas:. f debe ser cotiua e, es decir: lím m b f lím ( ( ( m b. f debe ser suave e, es decir: f ( f ( ( ( lím lím ( ( m b ( m b m b m b m( f ( f ( f ( lím lím f ( f ( f ( lím lím lím lím Por tato m al reemplazar e la primera ecuació ( b teemos b m Ejercicios Propuestos.. ; < Hallar f ( para f( ;. ; < Hallar f ( para f ( 6 7;. Hallar f ( para ; f ( 7; < ;. Sea la fució f defiida por f (. a b ; > Determie, si es posible, los valores de a b para que f sea derivable e 5. Sea la fució f defiida por a b ; f ( a b ; > Determie los valores para " a " " b " para f que sea derivable e todo su domiio. a ( Determie " a ", " b " " c " para que ( 6. Sea la fució f defiida por b c ; f. f eista. ; > 9

13 Cap. La derivada.6 DERIVACIÓN El proceso de ecotrar la derivada de ua fució puede presetarse complicado si se lo ace aplicado la defiició. Para acer o ta egorroso este trabajo se dispoe de técicas reglas..6. FÓRMULAS DE DERIVACIÓN. Para ciertas fucioes defiidas de maera simple se puede emplear las fórmulas siguietes:. ( k ; k R D. ( D. D ( (. D ( e e 5. D ( a a l a D (l D (log a l 8. (se cos D 9. (cos se D. (ta sec D. (cot csc D. D (sec sec ta. D (csc csc cot a Demostracioes: Las Demostracioes de alguas de las fórmulas aotadas sería:. Sea f ( k. Hallaremos su derivada empleado la defiició: f ( lím k k D ( k lím lím (La derivada de ua costate es cero f f ( ( 95

14 Cap. La derivada. Sea f ( etoces:. Sea f ( etoces: ( D ( lím lím ( D ( lím. Cosideraremos. Desarrollado el biomio simplificado: ( (... D ( lím lím (... lím ( /... lím / ( lím... D (. Sea f ( e etoces: ( ( ( e e e D ( e lím lím lím e lím e e e e e e 6. Sea f ( l etoces: l D (l lím 8. Sea ( ( l lím D(l f se etoces: l l l lím lím lím l l e [ se cos se cos se( se se D(se lím lím se (cos se cos se (cos se cos lím lím lím (cos se se lím cos lím ( se ( ( cos ( D (se cos La demostració del resto de estas fórmulas se la dejamos para el lector. 96

15 Cap. La derivada Ejemplo Si f ( etoces ( f (FORMULA Ejemplo Si f ( etoces ( f (FORMULA Ejemplo Si ( ( f etoces ( ( f Ejemplo (FORMULA Hallar la ecuació de la recta tagete a f ( e Observe la Fig..6 f ( Recta tagete Fig..6 La ecuació de ua recta defiida por u puto su pediete está dada por: m( El puto sería: ( f( La pediete sería: ( ( m f f tg Por tato, la ecuació de la recta tagete sería: ( Obviamete las reglas de correspodecia de las fucioes o aparece comúmete e forma simple, por tato abrá que cosiderar reglas para estos casos. 97

16 Cap. La derivada.6. REGLAS DE DERIVACIÓN Sea f g fucioes difereciables k ua costate, etoces: d. ( kf ( d kf ( d. ( f ( d g( f ( g ( d. ( f ( d g( f ( g ( d. ( f ( g ( d f ( g ( f( g ( d f( f ( g( f( g ( 5. d g( g ( Demostració (Múltiplo costate (Suma (Resta (Producto [ (Cociete La justificació de las dos primeras de estas reglas sería:. d kf( kf( ( kf ( lím d k[ f( f( lím f( f( k lím kf (. d [ f( g( [ f( g( ( f( g( lím d [ f( f( [ g( g( lím f ( f( g( g( lím lím f ( g (. d [ f ( g( [ f( g( ( f( g( lím d [ [ Al umerador le sumamos restamos f ( g( ( ( ( ( f ( g( f( g( f g f g lím Agrupado aplicado propiedades de los límites: 98

17 Cap. La derivada ( ( ( ( ( ( ( ( lím f g f g f g f g ( ( ( ( ( ( lím f f g g g f ( ( ( ( lím f f g g g ( lim f( f( f ( g( g( lím lim g ( f( lim f ( g( f ( g ( La demostració del resto de estas reglas se la dejamos para el lector. Co lo aterior a podemos obteer derivadas de fucioes co reglas de correspodecias u tato más complejas e su forma. Ejemplo (derivada del múltiplo costate Si ( d etoces f ( ( ( f d Ejemplo (Derivada de suma resta f etoces Si ( d d d f ( ( ( ( d d d Ejemplo (Derivada del producto f e Si ( d d d d etoces f ( ( e ( e e e e ( Ejemplo (Derivada del producto Si f ( ( ( etoces: d d f ( ( ( ( ( d d ( ( ( (

18 Cap. La derivada Para el caso del producto de tres fucioes, la regla sería: d [ f ( g ( ( f ( g ( ( f ( g ( ( f ( g ( ( d Geeralícela! Ejemplo 5 (Derivada del producto f e se etoces Si ( l d d d f ( e se l e se l e se l d d d esel e cos l ese Ejemplo 6 (Derivada de cociete Si f ( etoces d d ( ( ( ( d d f ( ( 6 6 ( ( ( ( ( ( ( Co lo aterior, podemos resolver otros tipos problemas. Ejemplo 7 Determie f (, si f ( ( (...(. La derivada de f sería ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f... Aor a evaluamos la derivada e cero: f ( ( ( ( ( ( ( ( ( (...( ( ( ( ( f!

19 Cap. La derivada Ejemplo 8 Ecuetre las ecuacioes de las rectas que cotiee al puto (, 5 que so tagetes a la curva defiida por la ecuació. Primeramete grafiquemos la curva el puto. Fig..7 ( f (, (, (, 5 Fig..7 Note que el puto (, 5 o perteece a la curva. Buscaremos aora el puto de tagecia (observe que a dos. La pediete de la recta tagete es la derivada f evaluada e, es decir mtg f ( La pediete de esta recta tambié se la puede calcular por los putos (, 5 (, El puto (, m tg ( ( 5 5 perteece a la curva, por tato debe satisfacer su ecuació; es decir: reemplazar e la ecuació aterior, se obtiee: 5 5 mtg Aora igualamos las pedietes ecotramos : ( ( , es decir:. Al

20 Cap. La derivada Estos valores los reemplazamos e, obteemos los respectivos : ( ( 9 ( ( Por tato, los putos de tagecia so (, (, Las respectivas pedietes sería: mtg ( m tg ( Fialmete las ecuacioes de las rectas tagetes sería: ( ( ( ( 9. ( ( ( ( Ejemplo 9 Si f, g so fucioes tales que f (, g (. Determie (. Solució: La derivada de sería: f( g( ( f ( g(, f (, g (, f( g( ( D f( g( Aora evaluado e : ( 6 9 ( D[ f( g( [ f( g( f( g( D[ f( g( [ f( g( [ f ( g( f( g ( [ f( g( f( g( [ f ( g ( [ f( g( [ f ( g( f( g ( [ f( g( f( g( [ f ( g ( [ f( g( [( ( (( [ ( ( (( [ ( ( [ ( ( [ 6 [ 6 9 9[ [ 6 9 [ 9[ 9[ [

21 Cap. La derivada Ejemplo Demuestre que las gráficas de f ( se g ( cos recto e cierto puto tal que π La itersecció se obtiee igualado las ecuacioes, es decir: tg, lo cual quiere decir que π se iterseca e águlo se cos, de aquí se obtiee Fig..8 Si las curvas se iterseca e águlo recto quiere decir que las rectas tagetes e el puto de itersecció so perpediculares, es decir m m. Fig..8 Si f ( se, etoces ( m f cos que e el puto teemos: cos π Si g ( cos, etoces g ( m Por tato: m (( se que e el puto teemos: se π m L.Q.Q.D. Ejercicios Propuestos.. Calcular las derivadas de las fucioes cuas reglas de correspodecia so: f l e a ( b f ( ( ( c f ( ( se( cos d f ( se e f ( e se f e l f (. Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la curva defiida por la ecuació ( puto (, 5. f e el. Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució co regla de correspodecia f que sea paralela a la recta. (

22 Cap. La derivada. Ecuetre las ecuacioes de las rectas que cotiee al puto (,5 que so tagetes a la curva defiida por la ecuació. 5. Determie las ecuacioes de las rectas tagetes a la fució f defiida por que so paralelas a la recta cua ecuació es 7. f ( 6. Ua partícula se desplaza de izquierda a dereca siguiedo ua traectoria defiida por la ecuació. Determie el puto de la traectoria para que la partícula se desplace aora por la tagete de la traectoria e ese puto logre alcazar el puto (,5. 7. Ua partícula se desplaza de izquierda a dereca siguiedo ua traectoria defiida por la ecuació 7. U observador se ecuetra el puto (,. Ecuetre la distacia cuado la persoa observa la partícula por primera vez. 8. Determie f (, si f ( ( (...( 5 9. Si f, g so fucioes tales que g (. Determie (. f ( g( (, f (, g (, f (, f ( g( Para fucioes compuestas dispoemos de la regla de la cadea..6.. Regla de la Cadea Sea f( u u g(. Si g es difereciable e " " f difereciable e " g( " etoces la fució compuesta ( f g( f g( es difereciable e " " d ( ( f ( g ( f ( g( [ g ( d O lo que es lo mismo d d du d du d ( u g Ejemplo etoces aciedo g( d 9 du u. du d Si ( u teemos f ( u u de dode

23 Cap. La derivada d d du que al reemplazar " u " resulta d du d d 9 ( ( ( ( 9 d Por tato ( u 9 ( El ejemplo aterior fue resuelto co u efoque de cambio de variable para observar la regla de cadea. Pero e la práctica esto o es ecesario, la regla de la cadea puede ser aplicada de maera rápida. Ejemplo Si se( etoces D ( seu D ( [ cos( [ u u Ejemplo Si etoces u 9 D ( 6 ( ( ( ( 9 v Para el caso de fucioes de la forma f ( g( ( ( teemos f ( g( v u ( f u ; etoces aciedo que aora aciedo que g( v d d du dv. d du dv d O más simplemete f ( g( ( [ g ( ( [ ( teemos Ejemplo Si cos ( cos( etoces: v u 5

24 Cap. La derivada cos [ ( D [ cos( [ ( [ se( D ( [ ( [ se( [ 6 cos cos Aora aalicemos los siguietes ejercicios resueltos: Ejercicio Resuelto Si f (, f ( 6, ( d d f ( a [ d f allar: e b ( f ( f a [ f ( [ f ( f ( que e d [ f ( f ( ( ( 96 sería: b ( f f ( [ f ( f ( f ( f ( [ f ( [ f ( [ f ( (6( Ejercicio Resuelto Si H f g además: ( ; g( ; f ( ; ( ; f ( 5; g ( H (. f g Como H ( etoces: H ( D que e sería: f ( g( ( [ ( [ f ( ( ( [ f ( ( (5( ( (( H ( 9 D [ f ( g( ( [ ( [ f ( g( g ( ( [ ( f ( g( g ( ( f ( g( ( H ( ( f ( g( ( f ( g( ( ; determie 6

25 Cap. La derivada Ejercicio Resuelto Demuestre que la derivada de ua fució par es ua fució impar Sea f ua fució par, etoces se cumple que f ( f (. Aora tomado derivada a ambos miembros de la igualdad teemos: D [ f ( D [ f ( [ f ( ( f ( f ( f ( f ( f ( La última igualdad os idica que f es ua fució impar. L.Q.Q.D Fialmete las fórmulas de derivadas para fucioes compuestas quedaría: Sea u u(, etoces:. D ( u ( u u u u. D ( e e u u u. D ( a a ( l a u u. D (lu u u l a 5. D (log u u a 6. D (seu ( cosu u 7. (cosu ( se u u D 8. D u ( u u 9. ( (ta sec D (cot csc u u u. D u ( u u u. ( (sec sec ta D (csc csc cot u u u u 7

26 Cap. La derivada Ejercicios Propuestos.. Calcular las derivadas de las fucioes cuas reglas de correspodecia so: f a ( b f ( c f ( d f ( e e e e e f ( se cos f f ( l l ( g f ( l. Si V { f / f es ua fució derivable e u it ervalo I} f V [ f ( f ( f '( f '(. Demuestre que:. Hallar ( f g (, si ( u (La derivada de ua fució impar es ua fució par u f e u g( cos (. Sea f, g fucioes difereciales para todo IR, tales que: ( a, g ( a, (, (, f (, f ( 5, f ( a a, f ( a g. ( a a, ( a E a determie el valor de: a ( g f b ( g c ( g f g d ( f g e g f g 5. Sea f ( f '(, ecuetre la derivada de f ( f ( f ( f ( e. 6. Supoga que f es derivable que eiste putos tales que f ( f (. Sea g f f f f pruebe que g ( g'( ( ( ( ( ( 7. Pruebe que si u poliomio ( ' p es divisible etre ( b a etoces '( p c a b derívelo. Sugerecia: Escriba el poliomio de la forma ( ( ( p es divisible etre ( b a. 8

27 Cap. La derivada.6. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR La derivada es ua fució por tato se podría obteer tambié la derivada de esta fució así sucesivamete. Es decir: Sea f( ua fució " " veces derivable, etoces: La primera derivada es: f ( d d D lím La seguda derivada es: D ( d f ( d La tercera derivada es: D ( E fi, La Ejemplo f d f ( d D lím f ( D lím f ( f ( f ( ésima derivada es: d f ( D lím d ( f f ( f ( ( Hallar D Aquí teemos: (. Obteiedo derivadas asta poder geeralizarla, resulta: IV ( ( (! ( ( ( ( ( (!( ( ( ( ( ( (!( ( ( ( ( ( ( (! ( 5! 6 Directamete la quita derivada sería ( ( 5 Por tato la "-ésima" derivada sería: ( ( ( V! 9

28 Cap. La derivada Ejemplo Hallar D Obteiedo derivadas: Aquí teemos: ( ( ( ( ( ( ( ( IV. ( 5 ( ( V 6 5 Directamete la quita derivada sería ( 5! ( ( Por tato la "-ésima" derivada sería: ( ( ( (! ( Ejemplo D ; Demuestre que (! Como etoces: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (! Ejercicio Propuesto.5. Calcular las derivadas de orde superior idicadas. d a. [ cos ( b. d d d se d c. [ e d ( π d. D 5 e. D 5 d 5 d f. [ se

29 Cap. La derivada. d d Determie d d. Usado el símbolo factorial, ecuetre ua fórmula para: ( a a a D... a,. Determie u poliomio P de grado tal que P (, P (, P ( 6, P (. Hasta aquí emos tratado co fucioes cuas reglas de correspodecia estaba dadas por ua ecuació de la forma f (, esta forma la llamaremos e adelate EXPLÍCITA; supoga aora que la ecuació de ua fució esté dada e la forma F(,, forma que le llamaremos IMPLÍCITA, supoga que se desea obteer la derivada de esta ecuació si ecesidad de despejar ; de aí la ecesidad de mecioar mecaismo de derivació para este tipo de problema..6. DERIVACIÓN IMPLÍCITA Para obteer e ua fució implícita F(, si ecesidad de despejar ; es más, supoga que o se pueda despejar, a que cosiderarla como F (, f ( derivado cada miembro de la ecuació tomado e cueta las reglas mecioadas lograríamos lo deseado. Ejemplo Sea 5 la ecuació de ua fució (asegúrese que e verdad represeta ua fució la derivada la podemos obteer por ua de las siguietes formas:. Despejado (forma eplícita: 5 etoces:. Si despejar (forma implícita: f. Aora derivamos cada miembro de la ecuació: 5 D f ( D[ 5 f ( f ( La cosideraremos como ( 5 Aora despejamos f ( : f ( 5 f ( Por aora podemos comprobar que los resultados so los mismos, simplemete abría que reemplazar f ( 5 :

30 Cap. La derivada f ( 6 5 f 5 ( Ejemplo Sea co (semicircuferecia, allar PRIMER MÉTODO. Como es posible despejar, teemos Etoces: ( ( SEGUNDO MÉTODO. Implícitamete cosiste e observar la ecuació dada como [ ( D [ f ( D ( ( miembros de la igualdad: f ( f ( que es lo mismo que: despajado resulta: f tomar derivada a ambos Ua dificultad puede ser que la ecuació dada o represete lugar geométrico. Ejemplo Supoga que la ecuació fuese Esta ecuació o represeta lugar geométrico, si embargo obteer sería de la misma forma que el ejemplo aterior. E los ejemplos ateriores se demuestra que la derivació implícita es válida, la comprobació o siempre va a ser posible. Pero lo que se requiere es obteer la derivada es lo que emos dejado eplicado. Observe además que las ecuacioes implícitas podría represetar o sólo fucioes sio ua relació cualquiera, etoces estaríamos e capacidad de obteer la derivada e cualquier puto de esa relació. Aora aalicemos los siguietes ejercicios resueltos.

31 Cap. La derivada Ejercicio Resuelto Hallar para 7 Obteiedo derivada a ambos miembros resolviedo teemos: Despejado resulta: 6 ( 7 D ( ( D Ejercicio Resuelto Hallar para l( Obteiedo derivada a ambos miembros, teemos: ( ( ( D l D [ 6 Despejado resulta: 6 6 Ejercicio Resuelto Hallar para cos ( Obteiedo derivada a ambos miembros, teemos: Despejado resulta: D( cos( D( ( [ [ ( ( ( se( se se se ( se (

32 Cap. La derivada Ejercicio Resuelto Determiar la ecuació de la recta ormal a la curva cua ecuació es cos se( P(,. La recta ormal es la perpedicular a la recta tagete, por tato m ormal m tg ( ( ( e D cos D se Aora m tg (,. Obteiedo resulta: cos ( se cos( [ E la última epresió se puede reemplazar las coordeadas del puto, es decir: luego cos despejar : ( se cos( [ Esto quiere decir que la recta tagete es orizotal por tato la recta ormal será vertical co pediete m ormal ( Y su ecuació será: (el eje.. Ejercicio Resuelto 5 Sea. Ecuetre '' e (,. Primero se ecuetra ' : D ( D ( 6 E (, sería: Aora ecotramos (( ( E (, sería: 6( ' ' volviedo a derivar implícitamete: D ( 6 D ( ( 6 ( (( (( ( ((( 6(

33 Cap. La derivada Ejercicios Propuestos.6 d. Ecotrar para: d a. b. ( l c. e l d. sec ta e. ( l 5. Demuestre que la rectas tagete a las curvas defiidas por las ecuacioes e el puto (, so perpediculares etre sí.. Hallar la ecuació de la recta tagete a la curva defiida por la ecuació 5 e el puto (, 8. Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la grafica de ( e el puto (, 5. Determie la ecuació de la recta tagete a la curva defiida por la ecuació se π ( e el puto (, [ 6. Determie la ecuació de la recta tagete a la curva defiida por la ecuació que es paralela a la recta 6 7. Determie las ecuacioes de la recta ormal a la curva que tiee por ecuació ( ( el puto (,. 8. Determie la ecuació de la recta ormal a la curva defiida por la ecuació ( se( puto (,. e cos e el 9. Determie todos los putos de la fució f que defie la ecuació dode la recta tagete a f sea orizotal.. Ecuetre '' si d. Calcula: para d. Para la fució f ( dada e forma implícita por la ecuació tg π d e determie e el puto (, π. d.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA Las ecuacioes de ciertas traectorias so dadas e la forma: ( t C : ( t Tato como está epresadas e térmios del parámetro t, el objetivo d será allar directamete. d 5

34 Cap. La derivada.6.5. Teorema de la derivada de fucioes defiidas por ecuacioes paramétricas. Supoga que (t (t so fucioes cotiuamete difereciables, que ( t para cualquier "t " de cierto itervalo. Etoces las ecuacioes paramétricas defie a " " como ua fució difereciable de " " su derivada es: d d d dt dt d dt d d dt Ejemplo Sea la circuferecia co ecuació cartesiaa, la derivada tambié puede ser allada partiedo d cos t d de su ecuació paramétrica C :, es decir: dt cost se t d d set dt Esta maera represetaría u tercer método para allar la derivada, tal como se puede observar. Ejemplo e t cost Sea t e set allar d d d d d dt d dt t t e set e cost set cost t t e cost e set cost set Para allar derivadas de orde superior, observe que la primera derivada es fució de " t ", es decir que d (t ; por tato: d d[ ( t d d d Seguda derivada: [ [ ( t dt ( t dt ( t d d dt d d dt 6

35 Cap. La derivada Tercera Derivada: [ ( t Y así sucesivamete. d d d d d [ ( t dt dt d d [ ( t dt d dt ( t Ejemplo cos t d Sea C : allar se t d. d d cost Ya ecotramos la primera derivada: dt cot ( t d d set dt d d ( ( cott d ( csc t La seguda derivada sería: dt dt csc t d d d set dt dt d d ( ( csc t d csc t ( csc t cot gt La tercera derivada sería: dt dt csc t cot gt d d d set dt dt Ejemplo e t cost d Sea allar t e set d La primera derivada a la ecotramos: d t t d dt e set e cost set cost d d t t e cost e set cost set dt La seguda derivada sería: d d set cost ( d dt dt cost set d d d dt dt ( cost set( cost set ( set cost( set cost ( cost set t t e cost e set ( cost set ( set cost ( cost set t t e cost e set cos t costset se t se t costset cos t t e ( cost set d t d e ( cost set 7

36 Cap. La derivada Ejemplo d l t Calcular para: d m t ; m R Hallado las primeras derivadas, suficietes asta poder geeralizar, teemos: d m m d mt mt t m Primera derivada: dt mt d d t dt t d[ ( t m d dt m t m Seguda derivada: m t d d t dt d[ ( t m d dt m t m Tercera derivada: m t d d t dt Directamete, la cuarta derivada sería: Por tato: d m d t m d m d t m Ejercicios Propuestos.7 d. Hallar para: d a ( cost tset t a. b. a ( set t cost t t a( t set π. Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la curva e t a( cost t t. Hallar la ecuació de la recta tagete a la curva e el puto (, t t se t cost. Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la curva e t set cost t 5. Sea C la curva co ecuacioes paramétricas ; t IR. Ecotrar las ecuacioes de las t t rectas tagetes a C que pase por el orige. cost d d 6. Sea C la curva co ecuacioes paramétricas. Calcule a b l ( cost d d 8

37 Cap. La derivada.6.6 DERIVACIÓN POLAR Si ua curva tiee sus ecuacioes e coordeadas polares, para ecotrar la derivada procedemos del mismo modo que para ecuacioes paramétricas. r cos( Si teemos r f ( como r se ( Al reemplazar queda f ( cos( f ( se ( Etoces d d d d d d f ( se f ( cos f ( cos f ( se Para ecotrar la ecuació de la recta tagete: r ( f Fig.. ( r, r Cosidere que la ecuació cartesiaa de ua recta, defiida por u puto su pediete, es de la forma: m( Etoces: 9

38 Cap. La derivada ( ( ( cos ( cos ( ( cos se f f f se f d d d d d d m se f f Ejemplo Ecuetre la ecuació de la recta tagete a se ( f r e π Observa la gráfica: E este caso [ cos se cos( ( cos( ( π π π π f f [ se se se( ( se( ( π π π π f f Para la pediete, teemos: cos ( f Etoces: [ [ [ [ 6 6 cos cos cos cos ( cos ( cos ( ( m se se se se se f f f se f m π π π π π π π π Por lo tato, la ecuació de la recta tagete estaría dada por: ( ( m Fig..

39 Cap. La derivada Ejercicios propuestos.8. Hallar la ecuació de la recta tagete a cos r e π π 6 π 6 r se e π. Hallar la ecuació de la recta tagete a r se e. Hallar la ecuació de la recta tagete a r se e. Hallar la ecuació de la recta tagete a.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS.6.7. Teorema de eistecia de la fució iversa. Si f es ua fució estrictamete moótoa e su domiio etoces f tiee ua iversa. El teorema os idica que es suficiete defiir que ua fució es estrictamete creciete o estrictamete decreciete para saber que es ua fució que tiee iversa. Aora os vamos a preocupar de la derivada de la fució iversa Teorema de la derivada de la fució iversa. Sea f ua fució derivable estrictamete moótoa e u itervalo I. Si f ( e cierto " " e I, etoces f es derivable e el puto correspodiete " ", d f d ( f (

40 Cap. La derivada Lo que e esecia os maifiesta el teorema es que la pediete de la recta tagete a f ( m la pediete de la recta tagete a f ( m se relacioa de la forma m m. Y que se puede ecotrar la derivada de la iversa f, trabajado co f e el puto correspodiete. Es decir, si ecesidad de coocer la regla de correspodecia de f. Fig..5 Ejemplo 5 Sea ( d d f ua fució estrictamete moótoa. Hallar f ( E este caso "" es rago para f por tato abrá que ecotrar el correspodiete para reemplazarlo e: d d f ( f ( 5 Etoces, teiedo por ispecció deducimos que la satisface. Por lo tato, d d f ( f 5 ( ( 7 No olvide que este resultado sigifica que la recta tagete a f e el puto (, por tato su ecuació sería: 7( E cambio, la recta tagete a 7 ecuació: ( f e el puto correspodiete (, tiee pediete m 7 tiee pediete m por 7

41 Cap. La derivada Ejemplo Obtega la derivada para la fució iversa de ( e empleado el teorema de la derivada de la fució iversa. d De acuerdo al Teorema de la Derivada de la Fució Iversa f ( d f ( Como f ( e teemos que f ( e f ( e además al cambiar la variable resulta e, lo cual os permite decir que: f ( d Bie, reemplazado f d ( f ( (No olvide la iversa de la fució epoecial es la logarítmica, es decir: f ( l, cua derivada la determiamos co su defiició f.6.7. Derivadas de las Fucioes Trigoométricas Iversas D ( arcse ; < < D ( arccos ; < < D ( arctg D ( arccotg D ( sec arc ; > Demostració: Demostraremos la primera. Plateemos el problema de la siguiete maera: Sea D f ( se allar [ f ( D [ arcse Aplicado el teorema de la Derivada de la fució iversa teemos: D [ f ( D [ arcse f ( Etoces, f ( cos. Aora abrá que ecotrar cos, sabiedo que se (cambiado la variable e la fució dada. Por trigoometría, decir que se sigifica que cos (observe la figura.6

42 Cap. La derivada Por lo tato, [ cos arcse D L.Q.Q.D. Las fórmulas ateriores puede ser geeralizadas para ua fució u( u ( ; arcse < < u u u u D ( ; arccos < < u u u u D ( arctg u u u D ( ; sec > u u u u u arc D Ejemplo Hallar para l tg arc Derivado implícitamete, teemos: ( [ ( ( [ ( ( ( ( D D D arc tg D / / ( l Fig..6

43 Cap. La derivada Ejercicios Propuestos.9 d d. Si ( 7 f allar f ( 6 f para. Si ( dg. Hallar ( π d > d f d ; allar ( 5, si g es la fució iversa de f tal que: f ( l arc tg. Si f es ua fució iversible difereciable. Si e el puto (, f, la recta tagete es paralela a la determie el valor de f ( recta d d 5. Hallar la ecuació de la recta tagete a la iversa de la fució f ( e el puto (, f ( 6. Determie la ecuació de la recta tagete a la fució f ( f (, IR.. e el puto (, f ( 7. Hallar la ecuació de la recta ormal a la iversa de f e ( a, f ( a dode si se cooce que f ( a f ( a a. d 8. Hallar f ( coociedo que la ecuació cos ( defie ua fució ivertible d ( f ( e u itervalo que cotiee el puto f ( d 9. Calcular, para : d a. arcse l b. arctg l( se c. arctg 5cos arctg( se d. e.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Cuado las reglas de correspodecia de los lugares geométricos so u tato g ( complicadas o cuado so fucioes poteciales de la forma f (, lo mejor será aplicar logaritmo derivar implícitamete. Ejemplo d Hallar para d Primero, aplicado logaritmo, teemos: l l l l Aora derivado implícitamete, resulta: 5

44 Cap. La derivada ( l D ( l D (l [ l [ l Ejemplo Hallar d d para [ arctg se Primero, aplicado logaritmo, teemos: l l l arctg ( arctg [ se l( se Aora derivado implícitamete, resulta: D l D[ arctg l( se l se arctg se [ se ( se l arctg ( ( cos( arctg cos se l ( se arctg cos se Ejemplo d Hallar para d Aora, a que aplicar dos veces logaritmo. Primero, aplicado logaritmo teemos: l l ( l l Luego, volvemos a aplicar logaritmo: l ( l l( l l(l l l(l l(l l l(l Y aora sí, derivamos implícitamete: 6

45 Cap. La derivada 7 [ [ D D l l l l l l l l l l ( l l l(l l l(l Eiste situacioes e que es recomedable emplear la derivació logarítmica Ejemplo Hallar d d para arctg e Primero, aplicado logaritmo, teemos: [ ( ( ( e e l arctg l l l arctg l l Aora derivado implícitamete, resulta: ( ( ( ( ( ( ( ( ( e e arctg e e arctg e arctg D D l l l l Fialmete, reemplazado resulta: ( ( e e arctg e arctg Ejercicios Propuestos.. Calcular d d, para : a. csc sec 5 tg b. ( 5 cos e. f. ( ( arctg se arcse cos arccos

46 Cap. La derivada c. d. ( ( arcse( e sec g. ( arcse ( e ( arctg cos. ( ( ( ( l se i. ( j. (. Determie la ecuació de la recta tagete a la curva defiida por la ecuació ( l( puto (, e e el. Determie la ecuació de la recta tagete a la curva defiida por la ecuació. e el puto (,. d d. Determie (,, si eiste, para.7 FUNCIONES HIPERBÓLICAS. Eiste fucioes especiales, deomiadas Hiperbólicas, que se defie a partir de la fució epoecial..7. FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO Su regla de correspodecia es Por tato su gráfica sería: f ( se e e Fig FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO Su regla de correspodecia es: f ( cos e e 8

47 Cap. La derivada Por tato su gráfica sería: Fig FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA Su regla de correspodecia es: f ( tg se cos e e e e Por tato, su gráfica sería: Fig..9 Se puede demostrar que cos se 9

48 Cap. La derivada.7. DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS Demuéstrelas! D ( se cos ( cos se ( tg sec ( c tg csc ( sec sec tg ( csc csc c tg D D D D D Misceláeos. Determie si las siguietes proposicioes so verdaderas o falsas. Justifique formalmete su respuesta. ( f g d a Si f ( g ( g( etoces d b La fució f ( se o es derivable e ( c Si f g so derivables e c f ( c g( c ( f ( g( etoces ( c. d La ecuació de la recta tagete a la curva e el puto (, es (. e La epresió se lim π π es la derivada de f ( se cuado π. f La fució f ( 6 5 o tiee rectas tagetes co pediete. g Si ( etoces Si ( f ( ( f e ( l l g tal que f ( l, f ( f ( etoces g ( i Si f es ua fució cotiua e el itervalo cerrado [ a, b ( a f ( b del itervalo abierto ( a, b, la fució f tiee ua recta tagete que es paralela al eje. j Si f es ua fució ivertible etoces d d f (. f ( k Si f, g so fucioes tales que ( f g ( ( ( etoces f ( f etoces e algú puto, g ( g ( l Si f es ua fució iversible derivable tal que f ( f ( etoces d d f (.

49 Cap. La derivada m Si ( f ( f ( f (, f (, f (, f ( 5, f ( f ( etoces ( La fució de variable real f co regla de correspodecia e todo su domiio. o Eiste fucioes g tales que la fució todo. ; f ( ; < es derivable ; < g( ; f ( 5 ; < < es derivable e ( ; p Si teemos las curvas f ( a b g ( c. Etoces o eiste valores abc,,, tales que ellas posea ua recta tagete comú e el puto (,. q Si la ecuació defie ua fució f ( etoces la ecuació de la recta tagete a f es. e el puto (, r Si g es la fució iversa de f ( l etoces g (. 5 s Si f es ua fució de variable real tal que ; f ( etoces f ( eiste. ; > f etoces ( g ( t ( g ( g( f. u Si f ( c g( c ( f ( g( etoces ( c v Si C es u lugar geométrico e el plao cuos putos satisface la ecuació: ; ab, {}, etoces la recta tagete a C e cualquier puto a b P(, C, tiee por ecuació a b w Si f g so fucioes de e tales que f g etoces f g d. Ecuetre para d cos a. e ( cos b. ( l ( c. ( ( ( se l cos e d. e. arctg e ( e f. ( cos g. ( l arctg. ( e arctg i. ( ( ( se arctg j. ( ( arcse l e k. ( l arctg tg l. ( ( e tg e m. (

50 Cap. La derivada d d [. Hallar [ f (. Determie los valores para " a ", " b " " c " de modo que la fució se f ( a b c d ; < ; ; > Sea cotiua e derivable e. Además determie, de ser posible, [ f (. [ f ( f ( π sect 5. Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la curva defiida por las ecuacioes paramétricas tat π e t 6 6. Si f ( e, ( f g ( ( determie el valor de ( f ( g. 7. Determie las ecuacioes de las rectas tagetes a la curva defiida por las ecuacioes paramétricas cost e el puto (,. set cost 8. Determie la ecuació de la recta tagete a la fució f e dode f, g so fucioes difereciables e todo IR. f tiee como regla de correspodecia a ( f ( g( se cooce que g (, g (, ( ( 9. Determie los putos del itervalo [, dode la fució ( [ f sea derivable.. Determie los valores reales que puede tomar " k " para que f ( f (.. Para la fució f ( cuas ecuacioes paramétricas so d. d d d f (. Cosidere que k 5k arccost, t (, determie arcset t t. Para la fució f ( cuas ecuacioes paramétricas so t lt puto (,, t > determie d d e el. Determie a, b c coociedo que las curvas a b comú e el puto (,. c tiee ua recta tagete l e el puto. Determie la ecuació de la recta tagete a la curva cua ecuació es ( tg (,. 5. Ecuetre la ecuació de la recta ormal a la curva C e el puto (,. Dode C está defiida por las t ecuacioes paramétricas t t t, t IR {,}

51 Cap. La derivada 6. Hallar d d t e cos t para, t IR t e set d e el puto (,π dode e satisface la ecuació se( 7. Hallar. d 8. Sea f ( fució tal que f. Sea si ( calcular f ( 9. Determie la ecuació de la recta tagete ormal a la curva defiida por las ecuacioes paramétricas acos t ; t [, π ; a > e el puto a,a. ase t. Determie los valores de a, b, c para que las fucioes f f sea cotiuas e todo su domiio; dode f se a ; es ua fució tal que f (. be c ; <. Determie la ecuació de la recta tagete a la curva defiida por las ecuacioes paramétricas ( cost cost e t π. ( cost set. Hallar la ecuació de la recta tagete a la curva defiida por la ecuació cos( puto (,.. Hallar le ecuació de la recta tagete a la curva defiida por la ecuació l ; e el puto (,. ; e el t t. Determie la ecuació de la recta tagete a la curva defiida por las ecuacioes paramétricas t t e el puto (,. 5. Demuestre que la derivada de ( se [ f (cos F es ua fució Par. 6. Determie el valor de k de maera que la recta defiida por k sea tagete a la parábola defiida por 5. 5 d 7. Hallar 5 d 8. Determie la ecuació de la recta tagete a la curva defiida por las ecuacioes paramétricas t e cuado t t e 9. Determie la ecuació de la recta tagete a la fució f cua regla de correspodecia es f ( 6 6, además dica recta es paralela a la recta que cotiee al orige al vértice de la parábola.. Si f es ua fució de e iversible co regla de correspodecia f ( d etoces determie f ( d