PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción B Reserva 3, Ejercicio 4, Opción A Reserva 3, Ejercicio 4, Opción B Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A Reserva 4, Ejercicio 4, Opción B Septiembre, Ejercicio 4, Opción A Septiembre, Ejercicio 4, Opción B

2 De un paralelogramo ABCD conocemos tres vértices consecutivos: A(, 1, 0), B(,1,0) y C (0,1, ). a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene. b) Halla el área de dicho paralelogramo. c) Calcula el vértice D. MATEMÁTICAS II. 01. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A A C a) Calculamos las coordenadas del centro del paralelogramo: M (1,0,1). Calculamos el vector normal al plano: i j k BA (4,, 0) n 4 0 ( 4, 8, 4) BC (,0,) 0 x 1 y z 1 Luego, la recta que nos piden tiene de ecuación: b) El área del paralelogramo es: Área módulo BA BC ( 4) ( 8) (4) 96 u c) Calculamos las coordenadas del vértice D M D B ( a, b, c) (,1,0) (1, 0,1) D (4, 1, )

3 x y z 6 x 1 y 1 z Sean r y s las rectas dadas por: r y s x z a) Determina el punto de intersección de ambas rectas. b) Calcula la ecuación general del plano que las contiene. MATEMÁTICAS II. 01. JUNIO. EJERCICIO 4.OPCIÓN B. Calculamos un punto y vector director de cada recta. x3t x y z 6 r y 3 t A(3,3, 0) ; u( 1,,1) xz 3 z t x 1 y 1 z s B (1, 1,0) ; v ( 1,6,) 1 6 a) Para determinar el punto de corte de las dos rectas resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de las rectas. 3 t 1 3 t 1 t t el punto de corte es: ( 1,11,4) b) El plano viene definido por el punto A y los vectores u y v, luego, su ecuación será: x y x y 4z 3 0 z 1

4 El punto M(1, 1, 0) es el centro de un paralelogramo y A(,1, 1) y B(0,,3) son dos vértices consecutivos del mismo. a) Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo. b) Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo. MATEMÁTICAS II. 01. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN A a) Con el punto M y los vectores MA (1,, 1) y MB ( 1, 1,3) calculamos la ecuación del plano: x y 1 1 5x y z 7 0 z 1 3 b) Calculamos las coordenadas del vértice C A C (,1, 1) ( a, b, c) M (1, 1, 0) C (0, 3,1) Calculamos las coordenadas del vértice D M B D (0,,3) ( a, b, c) (1, 1, 0) D (, 0, 3) Calculamos los vectores AB (, 3, 4) y AD (0, 1, ) y el área del paralelogramo es: i j k AB AD 3 4 (10, 4, ) 0 1 Área módulo AB AD (10) ( 4) () 10 u

5 Calcula de manera razonada la distancia del eje OX a la recta r de ecuaciones MATEMÁTICAS II. 01. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. x3 y4 x 3 y z 0 Calculamos un punto y el vector director de cada recta: 3 x y B (,0,4) A (0,0,0) x4 3y Eje OX ; r y y 3 u (1,0,0) x z 3 y u,1,0 z 4 Aplicamos la fórmula que nos da la distancia entre dos rectas: d( r, s) 3 AB ( u v) u u v 1 i j k módulo

6 x 3 y 9 z 8 x 3 y 9 z 8 Dadas las rectas r y s a) Determina la posición relativa de las recta r y s. b) Calcula la distancia entre r y s. MATEMÁTICAS II. 01. RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) Los vectores de la rectas son paralelos, luego las rectas son paralelas. b) Calculamos el plano perpendicular a s: 3x y z D 0, y queremos que pase por el punto A ( 3,9,8) de la recta r. 3x y z D 0 3 ( 3) (9) (8) D 0 D 43 Luego, el plano es: 3x y z Calculamos el punto de corte de la recta s con el plano: x33t x 3 y 9 z8 s y 9 t 3 z 8 t 18 3x y z (3 3 t) (9 t) (8 t) 43 0 t 17 Luego, el punto de corte es: M ,9,8,, La distancia entre las dos rectas viene dada por el módulo del vector AM ,, Cualquier punto C tendrá de coordenadas. Calculamos el módulo del vector y lo igualamos a AM u

7 Los puntos A (1,1, 5) y B (1,1, ) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. El vértice C, y6 z1 consecutivo a B, está en la recta x. Determina los vértices C y D. MATEMÁTICAS II. 01. RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. Pasamos la recta a paramétricas: coordenadas C ( t,6 t, 1 t). x t y6 z1 x y 6 t, luego, el vértice C tiene de z 1 t Los vectores AB (0, 0, 3) y BC (1 t, 5 t,3 t) tienen que ser perpendiculares, luego, su producto escalar vale 0. 3 ABBC (0,0, 3) (1 t, 5 t,3 t) 9 6t 0 t El vértice C tiene de coordenadas: 3 C ( t,6 t, 1 t),3, Como los vectores AB (0,0, 3) y son: D 3,3,5 3 DC a,3 b, c son iguales, las coordenadas del vértice D

8 Se consideran los vectores u ( k,1,1), v (,1, ) y w (1,1, k), donde k es un número real. a) Determina los valores de k para los que u, v y w son linealmente dependientes. b) Determina los valores de k para los que u v y v w son ortogonales. c) Para k 1, determina aquellos vectores que son ortogonales a v y w y tienen módulo 1. MATEMÁTICAS II. 01. RESERVA 3. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) Los vectores son linealmente dependientes si su determinante vale cero. k k 1 0 k k b) Calculamos los vectores u v ( k,, 1) y v w (1,0, k), y como son ortogonales, su producto escalar vale cero. ( u v) ( v w) ( k,, 1) (1,0, k) k k 4 k 0 k c) El vector perpendicular a v y w, es su producto vectorial. i j k v w 1 (1, 0,1) y como tiene que ser unitario, lo dividimos por su módulo. Luego el vector que nos piden es: 1 1,0, o, también el 1 1,0,

9 x1 y Encuentra los puntos de la recta r z 3 cuya distancia al plano x y z 1 4 vale cuatro unidades. MATEMÁTICAS II. 01. RESERVA 3. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. Pasamos la recta a paramétricas: x14t x1 y z 3 y t 4 z 3 t Luego, cualquier punto de la recta tendrá de coordenadas: (1 4 t, t,3 t) Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano. (1 4 t) ( t) (3 t) 1 1 4t 4 4t 6 t 1 10t t 1 t 1 ; t Luego, los puntos son: si t 1 A (5,0,4) ; t ,, 10 B 5 5 5

10 x 3 y 5 z 4 Determina un punto P de la recta r que equidista del origen de coordenadas 3 3 y del punto A (3,,1). MATEMÁTICAS II. 01. RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. Pasamos la recta a paramétricas: x 3 t x 3 y 5 z 4 y 5 3t 3 3 z 4 3t Luego, cualquier punto de la recta tiene de coordenadas P ( 3 t, 5 3 t, 4 3 t). Como este punto equidista de O y de A, se cumple que: OP AP. OP t t t OP t t t t t ( 3, 5 3, 4 3 ) ( 3 ) ( 5 3 ) ( 4 3 ) AP t t t AP t t t t t ( 6, 7 3, 5 3 ) ( 6 ) ( 7 3 ) ( 5 3 ) Igualando, nos queda: t 66t 50 t 96t t 60 t Luego, el punto que nos piden es: P (1,1, ).

11 Considera el punto P (1,0, ) y la recta r dada por las ecuaciones a) Calcula la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r. b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r. MATEMÁTICAS II. 01. RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. x y 4 0. y z 8 0 x6 t a) Pasamos la recta a paramétricas: r y 8 t. El vector director de la recta( 1,,1), es el z t vector normal del plano, luego, los planos perpendiculares a la recta tienen de ecuación: Como queremos que pase por el punto (1,0,). x y z D 0 x y z D D 0 D 1 Luego, el plano que nos piden es: x y z 1 0. b) Calculamos el punto de corte de la recta con el plano: 3 x y z 1 0 (6 t) (8 t) t 1 0 t 6 Luego, el punto de corte es: M ,8,,, Si llamamos al punto simétrico P' a, b, c, se cumple que: (1,0, ) ( abc,, ) ,, P ',,

12 Sean los puntos (0, 0,1), (1, 0, 1), (0,1, ) (1,, 0) A B C y D. a) Halla la ecuación del plano determinado por los puntos A, B y C. b) Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios. c) Calcula la distancia del punto D al plano. MATEMÁTICAS II. 01. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) El plano viene definido por el punto A y los vectores AB (1,0, ) ; AC (0,1, 3). Su ecuación es: x 1 0 y 0 1 x 3y z 1 0 z 1 3 b) Si los cuatro puntos son coplanarios, el punto D debe satisfacer la ecuación del plano que hemos calculado en el apartado anterior. c) Calculamos la distancia No son coplanarios. Ax 0 By 0 Cz 0 D d A B C u

13 Halla el punto simétrico de P (,1, 5) respecto de la recta r definida por MATEMÁTICAS II. 01. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. xz0. x y 0 P M P Calculamos la ecuación del plano que pasando por el punto P es perpendicular a la recta. Como la recta es perpendicular al plano, el vector director de dicha recta y el vector normal del plano son paralelos, luego: i j k Vector normal del plano = vector director de la recta = (1, 1,1) La ecuación de todos los planos perpendiculares a dicha recta es: x y z D 0. Como nos interesa el que pasa por el punto P (,1, 5) ( 5) D 0 D 4 x y z 4 0 Calculamos las coordenadas del punto de intersección de la recta con el plano (M); para ello pasamos la recta a paramétricas y sustituimos la ecuación de la recta en la del plano: x t xz 0 y t x y 0 z t t t t 4 0 3t 6 t luego las coordenadas del punto M son: M (, 0, ) Como el punto M es el punto medio del segmento P P', si llamamos (a, b, c) a las coordenadas del punto P', se debe verificar que: a 1 b 5 c ; a 6 ; 0 b 1 ; ; c 1 P' 6, 1,1 Luego el simétrico es:

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