Tema VII: Plano afín y espacio afín

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Tema VII: Plano afín y espacio afín"

Transcripción

1 Tem VII: Plno fín y espcio fín Hst hor el contexto en el que hemos trbjdo h sido fundmentlmente el de los espcios IR n, y de estos espcios nos h interesdo su estructur vectoril, es decir, por decirlo con pocs plbrs, el hecho de que los elementos de IR n se pueden sumr entre sí y multiplicr por números reles de un form rzonble que demás result útil en multitud de plicciones. Cundo ess plicciones son de tipo geométrico, l mquinri de los vectores y ls mtrices sigue siendo de enorme utilidd pero result conveniente siturse en un contexto teórico un poco diferente: Por un prte podremos restringirnos fundmentlmente dimensiones 2 y 3, pr hcer geometrí pln y espcil, respectivmente, diferenci de lo que psb hst hor (en los problems reles que se resuelven con l yud del álgebr linel precen de form nturl mtrices rbitrrimente grndes). Pero conceptulmente, el cmbio fundmentl consiste en que el objeto básico ps ser el punto, más que el vector. En relidd, efectos prácticos podrímos prescindir de l distinción entre vectores y puntos. Formlmente ls propieddes de un punto del plno cuys coordends en lgún sistem de referenci son (1, 2) se pueden reducir ls propieddes del vector (1, 2) del espcio vectoril IR 2. Pero es conveniente mntener est diferenci, unque se por rzones psicológics: cundo pensmos en un subconjunto del plno (por ejemplo, un circunferenci, o un rectángulo con su interior) solemos imginrlo como formdo por puntos, no por vectores. L ide intuitiv que tenemos de lo que es un punto se diferenci mucho de l de vector. Un punto no señl un dirección (pero dos puntos sí pueden hcerlo). No tiene mucho sentido sumrle un punto otro. Un punto indic un posición, cos que no dirímos de un vector. A un vector podemos signrle un longitud o norm; un punto no tiene dimensiones... Sin embrgo, si nos situmos en el espcio de puntos donde queremos definir los objetos geométricos, tnto si este espcio es plno como si es tridimensionl, nos dremos cuent de que no podremos hcer prácticmente nd sin cudir los vectores. L propi distinción entre el plno y el espcio tridimensionl l podemos hcer grcis l concepto de dimensión, que pertenece l teorí de los espcios vectoriles. Conclusión: unque no vemos los vectores, están hí. En un espcio de puntos (lo que se llm genéricmente un espcio fín ) los vectores enlzn unos puntos con otros, permitiendo sí mrcr direcciones y medir distncis. Quizá el ejemplo más clro lo proporcione l noción de prlelismo. Dos rects prlels son dos subconjuntos de puntos del plno, pero l relción de prlelismo no se define entre los puntos, sino entre ls direcciones de ls rects, que vienen dds por vectores. Ahor podemos dr l definición de espcio fín y entender por qué en es definición h de intervenir necesrimente un espcio vectoril socido. Un espcio fín E, con espcio vectoril socido V, es un conjunto de elementos llmdos puntos, tles que cd pr de puntos y b de E podemos socir un vector de V (el llmdo vector de origen y extremo b ), que denotmos como b:

2 b b b Pr que E se considere espcio fín hn de cumplirse demás ls siguientes relciones de comptibilidd entre puntos y vectores: () pr todos los puntos, b, c en E, b + bc = c (b) fijdo como origen un punto E, cd vector x de V tiene un único extremo en E, es decir: existe un único b E tl que b = x En los csos que vmos considerr, el espcio vectoril socido V será o bien IR 2 (en este cso E es el plno fín, que denotremos como E 2 ) o bien IR 3 (en este cso E es el espcio fín tridimensionl que denotremos como E 3 ). Pr fijr ides, pensemos por ejemplo en E 2. Conocemos múltiples figurs y construcciones geométrics que se pueden llevr cbo en el plno. Cómo dptrls este esquem puntovector que cbmos de definir? Vemos un ejemplo: Todos sbemos que un circunferenci es el conjunto de puntos del plno que están l mism distnci (rdio) de uno ddo (centro). Fijmos por lo tnto un punto c E 2 y un número positivo r. Un punto x E 2 estrá en l circunferenci de centro c y rdio r cundo l distnci de c x se igul r. Esto nos conduce preguntrnos cómo definimos l distnci entre dos puntos c y x del plno. L respuest más nturl es: y que disponemos del producto esclr cnónico en IR 2, podemos definir es distnci como l norm (l longitud) del vector cx. Luego l circunferenci de centro c E 2 y rdio r > 0 es el conjunto de puntos x E 2 tles que cx = r. Un ejemplo más: por dos puntos distintos del plno, y b, ps un rect. Cómo crcterizmos los puntos x que pertenecen es rect? L condición es que (por ejemplo) los vectores x y b sen dependientes: x b b x Dicho de otr form, el vector x h de pertenecer l subespcio generdo por b: x = λ b,

3 Como vemos, lguns configurciones geométrics conocids pueden representrse medinte ecuciones. El siguiente pso será introducir coordends, de form que podremos representr cd punto por un pr (en el cso del plno) de números reles, y ls ecuciones serán mucho más mnejbles. Ls coordends de un punto x del plno (coordends crtesins) son en relidd coordends, en un bse de IR 2 prefijd, de un vector que le socimos ese punto. Pr hcer est identificción necesitmos emprejr cd vector con un punto y vicevers, y esto se hce de l siguiente form: fijmos un origen o y le signmos cd punto x el vector ox; grcis l condición (b) de espcio fín, est relción es biyectiv y podemos referirnos l punto x sin mbigüedd utilizndo un crcterístic del vector (sus coordends). x e 2 ox o e 1 Vemos que pr introducir coordends necesitmos hber fijdo previmente un punto o del plno y un bse B = e 1, e 2 } de IR 2 (que hbitulmente será l cnónic). El conjunto formdo por ese punto y es bse se llm sistem de referenci; el punto es el origen del sistem. Ddo un punto x E 2, sus coordends en el sistem de referenci R = 0, e 1, e 2 } son por definición ls coordends del vector ox (vector de posición del punto x) en l bse e 1, e 2 }. Si l bse escogid es l cnónic y en IR 2 considermos el producto esclr usul, l bse es ortonorml y se hbl de un sistem de referenci rectngulr. Estmos utilizndo un sistem de referenci rectngulr cd vez que situmos culquier lugr geométrico en un sistem de ejes coordendos; por ejemplo, un rect, o l gráfic de un función. Alguns consecuencis de ests definiciones son: Ls coordends de un vector son ls del extremo menos ls del origen. Es decir, si en un sistem de referenci R = 0, e 1, e 2 } el punto x tiene coordends (x 1, x 2 ) y el punto y coordends (y 1, y 2 ), entonces el vector xy tiene en l bse e 1, e 2 } coordends (y 1 x 1, y 2 x 2 ). Y que: según l condición () de espcios fines, ox + xy = oy y por lo tnto xy = oy ox. Por definición de coordends crtesins, ls coordends de oy son ls de y, es decir, (y 1, y 2 ); nálogmente ls coordends de ox son (x 1, x 2 ). Por lo tnto ls coordends de xy son (y 1, y 2 ) (x 1, x 2 ). L distnci entre dos puntos x e y, de coordends respectivs (x 1, x 2 ) e (y 1, y 2 ) en un referenci rectngulr, es d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 y que ést es por definición l norm del vector xy = (y 1 x 1, y 2 x 2 ) en bse ortonorml. Volvmos l ejemplo de l circunferenci. Supongmos que el centro c tiene coordends (c 1, c 2 ) en un sistem rectngulr, y el punto genérico x de l circunferenci, coordends (x 1, x 2 ). Entonces, teniendo en cuent lo nterior, l ecución de l circunferenci cx = r se escribe (x1 c 1 ) 2 + (x 2 c 2 ) 2 = r o bien (x 1 c 1 ) 2 + (x 2 c 2 ) 2 = r 2

4 Y en el cso de l rect, si trducimos coordends l ecución x = λ b (), nos qued (x 1 1, x 2 2 ) = λ(b 1 1, b 2 2 ), que leyendo componente componente, es equivlente x1 = 1 + λ(b 1 1 ) x 2 = 2 + λ(b 2 2 ), Si eliminmos en ests ecuciones el prámetro λ nos qued, como sbéis, un ecución de l form αx 1 + βx 2 + γ = 0 que identificmos hbitulmente como l ecución de un rect en el plno. Muchs veces l determinción de l rect no se hce dndo dos puntos por los que ps, sino un punto y un vector director, es decir, un vector v 0 que mrc l dirección de l rect. En el cso de rrib serí el vector b o culquier vector no nulo dependiente con él. Tmbién podemos dr un punto y l pendiente, que es el cociente v 2 /v 1 donde (v 1, v 2 ) es un vector director. Como segurmente sbéis, l ecución de un rect que ps por el punto (p 1, p 2 ) y tiene pendiente m se puede escribir directmente como x 2 p 2 = m(x 1 p 1 ). Ejemplo: clculr l ecución implícit de l rect que ps por (2, 1) y tiene pendiente 3, con respecto determind referenci rectngulr en el plno. Podemos hcerlo directmente: x 2 1 = 3(x 1 2) o bien psndo por ls ecuciones prmétrics: si l pendiente es 3, un vector director puede ser por ejemplo (1, 3). Obtenemos sí x1 = 2 + λ x 2 = 1 3λ, En el espcio fín tridimensionl E 3 el esquem es totlmente nálogo, pero tenemos que hcer intervenir un tercer coordend. Supongmos que R = o, e 1, e 2, e 3 } es un sistem de referenci rectngulr fijdo en E 3. Ls ecuciones prmétrics de l rect que ps por el punto = ( 1, 2, 3 ) y llev l dirección del vector v = (v 1, v 2, v 3 ) (0, 0, 0), siguiendo un rzonmiento idéntico l del cso bidimensionl, resultn ser x 1 = 1 + λv 1 x 2 = 2 + λv 2 x 3 = 3 + λv 3, Como en el cso nterior, l rect puede venir dd por dos puntos distintos por los que ps, = ( 1, 2, 3 ) y b = (b 1, b 2, b 3 ). Y de l mism form, bst tomr rrib como vector director v = b = (b 1 1, b 2 2, b 3 3 ). Si en ests expresiones eliminmos el prámetro λ no nos qued un sol ecución implícit, como en el cso de E 2, sino dos: un rect en E 3 viene dd por un sistem de dos ecuciones lineles.

5 Ejemplo: clculr ls ecuciones prmétrics e implícits de l rect que ps por los puntos (1, 1, 1) y (0, 1, 3), con respecto determind referenci en el espcio fín tridimensionl. Podemos clculrl como l rect que ps por (1, 1, 1) y llev l dirección del vector (0, 1, 3) (1, 1, 1) = ( 1, 0, 4). Ls ecuciones prmétrics correspondientes son: x 1 = 1 1λ x 2 = 1 + 0λ x 3 = 1 4λ, Eliminmos el prámetro λ en este sistem (por ejemplo, despejándolo de l primer ecución y sustituyéndolo en ls restntes) y qued el sistem de dos ecuciones implícits x 2 = 1 4x 1 x 3 = 3 Ls rects son ejemplos de vrieddes fines. Un vriedd fín es un subconjunto de un espcio fín formdo por los puntos que son solución de un sistem linel de ecuciones, y no necesrimente homogéneo, como er el cso de los subespcios vectoriles. En el espcio E 3, ls otrs vrieddes fines importntes son los plnos. Un plno puede venir ddo por tres puntos no linedos, o bien por un punto y dos vectores directores linelmente independientes; tmbién, por un punto y un vector ortogonl los vectores directores del plno (llmdo vector norml l plno). El sistem linel cuys soluciones son los puntos de un plno está formdo por un únic ecución; dicho de otr form: un plno viene ddo por un únic ecución implícit. Ejemplo: Ecuciones prmétrics y ecución implícit del plno que ps por el punto (1, 0, 1) y tiene como vectores directores (2, 1, 0) y ( 1, 1, 1). Rzonmos nálogmente pero utilizndo dos prámetros, y que son dos los vectores directores. Ls ecuciones prmétrics son x 1 = 1 + 2α 1β x 2 = 0 + 1α + 1β x 3 = 1 + 0α + 1β, α, β IR Eliminndo los prámetros α y β por culquier de los métodos conocidos llegmos l ecución implícit x 1 2x 2 + 3x 3 = 4 Se recuerd que los coeficientes de x 1, x 2 y x 3 formn, en ese orden, ls coordends de un vector norml l plno, si el sistem de referenci es rectngulr. En este cso obtenemos el vector (1, 2, 3), que es efectivmente ortogonl los dos vectores directores ddos.

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS L Rect del Plno Mtemátic 4º Año Cód. 44-5 P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. J u n C r l o s B u e P r o f. M i r t R o s i t o P r o f. V e r ó n i c F i l o t t i Dpto. de Mtemátic

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUEA POITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 009/10 PRÁCTICA Nº9 Espcios vectoriles y Aplicciones ineles I: Bses y coordends. Aplicciones lineles. Recordemos

Más detalles

Vectores en el espacio. Producto escalar

Vectores en el espacio. Producto escalar Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr Vectores en el espcio Producto esclr Espcios vectoriles Definición de espcio vectoril Un conjunto E es un espcio vectoril si en él se definen dos operciones,

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

Solución Examen. (1 + a)x + y + z + u = α x + (1 + a)y + z + u = β x + y + (1 + a)z + u = γ x + y + z + (1 + a)u = δ.

Solución Examen. (1 + a)x + y + z + u = α x + (1 + a)y + z + u = β x + y + (1 + a)z + u = γ x + y + z + (1 + a)u = δ. Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Algebr Linel MA 0, 0/08/3, Profs. J. González, R. Gouet. Solución Exmen. Considere el siguiente sistem de ecuciones lineles,

Más detalles

UTalca - Versión Preliminar

UTalca - Versión Preliminar 1. Definición L hipérbol es el lugr geométrico de todos los puntos del plno cuyo vlor bsoluto de l diferenci de ls distncis dos puntos fijos es constnte. Más clrmente: Ddos (elementos bses de l hipérbol)

Más detalles

Vectores en el espacio 2º Bachillerato. Ana Mª Zapatero

Vectores en el espacio 2º Bachillerato. Ana Mª Zapatero Vectores en el espcio º Bchillerto An Mª Zptero El conjunto R Es un conjunto de terns ordends de números reles R { ( x, y, z ) / x R, y R, z R } Primer componente Segund componente Tercer componente Iguldd

Más detalles

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a.

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a. Hojs de Problems Geometrí IV 56. Construir un triángulo conocido el ldo, l medin reltiv l ldo b y l ltur reltiv l ldo. Tomndo como ldos de un rectángulo los ldos, b del triángulo nterior clculr los ldos

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

APLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal.

APLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal. Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 2014/15 PRÁCTICA Nº 12 APICACIONES INEAES: Núcleo e Imgen de un plicción linel. Con est práctic se pretende revisr l definición de plicción

Más detalles

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016 Exmen de Admisión l Mtrí 8 de Enero de 1 Nombre: Instruccion: En cd rectivo seleccione l rput correct encerrndo en un círculo l letr corrpondiente. Puede hcer cálculos en ls hojs que se le proporcionron.

Más detalles

71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES 71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES 5. APLICACIONES (EN UNA BASE ORTONORMAL) 6. EJERCICIOS Y PROBLEMAS Vectores

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA Objetivos Geometrí nlític Introducción funciones trigonométrics Vribles: dependientes independientes Constnte: numéric bsolut rbitrri, y z., b, c, Funciones: función

Más detalles

Curvas en el espacio.

Curvas en el espacio. Curvs en el espcio. Tod curv en el espcio R n se puede considerr como l imgen de un función vectoril r : [, b] R n, r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), que recibe el nombre de prmetrizción de l curv. Los puntos

Más detalles

Integral de línea de campos escalares.

Integral de línea de campos escalares. Integrl de líne de cmpos esclres. Sen f : R n R un cmpo esclr y un curv prmetrizd por σ : [, b] R n de modo que i) σ (1) [, b]. ii) σ([, b]) D(f). iii) f σ es continu en [, b]. Se define l integrl de f

Más detalles

Dados V y V dos espacios vectoriales sobre un cuerpo, una aplicación f: V V se dice que es una aplicación lineal si verifica:

Dados V y V dos espacios vectoriales sobre un cuerpo, una aplicación f: V V se dice que es una aplicación lineal si verifica: FACUTAD DE CIENCIAS SOCIAES Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Are de Álgebr) PRÁCTICA Nº 7 Aplicciones lineles. Con est práctic se pretende revisr l definición de plicción linel sí como el cálculo

Más detalles

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS TEMA 1: CURVAS 1. CÓNICAS * Prábols * Elipses * Hipérbols * Ecución Generl de un cónic. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UNA CURVA 3. COORDENADAS POLARES EN EL PLANO *

Más detalles

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente: FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De

Más detalles

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 2007 LA HIPERBOLA

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 2007 LA HIPERBOLA ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 007 LA HIPERBOLA Definición : Un Hipérol es el lugr geométrico de un punto en

Más detalles

re p r e s e n tac i ó n Mat r i c i a l d e

re p r e s e n tac i ó n Mat r i c i a l d e Unidd 8 re p r e s e n tc i ó n Mt r i c i l d e Un trnsformción linel Ojetivos: Al inlizr l unidd, el lumno: Asocirá cd trnsformción linel un mtriz. Relcionrá los conceptos de núcleo, imgen, rngo nulidd

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3

Más detalles

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006 Resolución del emen de Mtemátics II de Selectividd Andlucí Junio de 6 Antonio Frncisco Roldán López de Hierro * de junio de 6 Opción A Ejercicio [ 5 puntos] Determin un punto de l curv de ecución y e pendiente

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

ALGEBRA. 3.- Obtener las matrices A y B tales que cumplen las siguientes condiciones: (Sep ptos) A 1 = a

ALGEBRA. 3.- Obtener las matrices A y B tales que cumplen las siguientes condiciones: (Sep ptos) A 1 = a ALGEBRA Mtrices determinntes.- Se A un mtri cudrd se A l mtri que se obtiene de intercmbir en A ls fils primer segund. Es sbido que entonces se verific que det(a ) = - det(a). Justifíquese este resultdo.

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

Cambio de Variables en las Integrales Dobles

Cambio de Variables en las Integrales Dobles E.E.I. CÁLCULO II Y ECUACIONES DIFEENCIALES Curso 20-2 Clse 3 (7 fe. 202) Cmio de Vriles en ls Integrles Doles. Ejemplo: Áre de l elipse. 2. Cmio de Vriles I. Punto de ist de l trnsformción. 3. Cmio de

Más detalles

CÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS

CÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS Definición: Cónic es el lugr geométrico de los puntos de un plno cu rzón de distncis un punto fijo (que llmremos foco) un rect fij (que llmremos directriz) es constnte.

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() = m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de Sistems de ecuciones lineles SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD º (junio 994) i) Estudir, pr los diferentes vlores del prámetro, l eistenci de soluciones del sistem resolverlo cundo

Más detalles

ACTIVIDADES INICIALES

ACTIVIDADES INICIALES Determinntes ACTIVIDADES INICIALES I. Enumer ls inversiones que precen en ls siguientes permutciones y clcul su pridd, comprándols con l permutción principl 34. ) 34 b) 34 c) 43 d) 34 e)43 f) 34 ) 3,4,

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Secciones cónicas CONO. Un cono es la superficie que se obtiene girando una recta alrededor de un eje que la cruza.

Secciones cónicas CONO. Un cono es la superficie que se obtiene girando una recta alrededor de un eje que la cruza. Secciones cónics Un cono es l superficie que se obtiene girndo un rect lrededor de un eje que l cruz. Un sección cónic es l curv que se obtiene intersectndo un cono con un plno. CONO Los griegos comenzron

Más detalles

Los números racionales:

Los números racionales: El número rel MATEMÁTICAS I 1 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL 1.1. El conjunto de los números reles. Como y sbes los números nturles surgen de l necesidd de contr, expresr medids, pr

Más detalles

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación)

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación) Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 7-2 SEMANA 1: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5.4. Longitud de un Arco de Curv (Rectificción)

Más detalles

Optimización de funciones

Optimización de funciones Tem 5 Optimizción de funciones 5.1. Extremos de funciones de vris vribles Definición 5.1.1. Sen f : D R n R, x 0 D y el problem de optimizción: mximizr / minimizr f(x 1, x,, x n ), (x 1, x,, x n ) D en

Más detalles

DETERMINANTES. Los menores y los cofactores son de gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1.

DETERMINANTES. Los menores y los cofactores son de gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1. DETERINNTES DETERINNTE DE UN TRIZ CUDRD socido cd mtri cudrd h un número llmdo determinnte de, denotdo como det. Los determinntes nos proporcionn un método pr el cálculo de l mtri invers (en cso de eistir)

Más detalles

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas) Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv

Más detalles

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas. . Ecuciones de l rect en. Posiciones reltivs. R Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de rects Determine si dos rects son coincidentes, prlels o si son intersecntes Encuentre punto

Más detalles

Aplicaciones de la derivada (II)

Aplicaciones de la derivada (II) UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre

Más detalles

es una matriz de orden 2 x 3.

es una matriz de orden 2 x 3. TEMA 7: MATRICES. 7.. Introducción l concepto de mtriz. 7.. Tipos de mtrices. 7.. El espcio vectoril de ls mtrices de orden m x n. 7.. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE MATRIZ. Se define mtriz de orden m x n

Más detalles

2. MATRICES 2.1. CONCEPTO DE MATRIZ 2.2. TIPOS DE MATRICES 2.3. OPERACIONES CON MATRICES

2. MATRICES 2.1. CONCEPTO DE MATRIZ 2.2. TIPOS DE MATRICES 2.3. OPERACIONES CON MATRICES Mtrices Herrmients informátics pr el ingeniero en el estudio del lgebr linel 2. MARICES 2.. CONCEPO DE MARIZ 2.2. IPOS DE MARICES 2.3. OPERACIONES CON MARICES 2.3.. PRODUCO DE UNA MARIZ POR UN ESCALAR

Más detalles

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR 1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

Matemática DETERMINANTES. Introducción:

Matemática DETERMINANTES. Introducción: Mtemátic Introducción: DETERMINANTES Clculndo el determinnte de un mtriz se puede determinr l cntidd de soluciones que tiene un sistem de ecuciones lineles de igul número de ecuciones que de incógnits.

Más detalles

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Evelyn Dávil Tbl de contenido TEMA A. CONJUNTOS NUMÉRICOS... REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES...

Más detalles

Tema9. Sucesiones. Tema 9. Sucesiones.

Tema9. Sucesiones. Tema 9. Sucesiones. Tem 9. Sucesiones.. Definición. Forms de definir un sucesión.. Progresión ritmétic... Definición.. Sum progresión ritmétic. Progresión geométric... Definición.. Sum finit de progresión geométric... Sum

Más detalles

ÁlgebrayGeometría. 5. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (3, 0), ( 1, 0) y (0, 3).

ÁlgebrayGeometría. 5. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (3, 0), ( 1, 0) y (0, 3). ÁlgebryGeometrí 1. ) Ddos tres puntos A, B y C en el plno demuestr que l circunferenci de diámetro AC ps por B siysólosielánguloâbc es recto. b) Ddos dos puntos A y B del plno y un rect r, determin, cundo

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle

Más detalles

MOMENTOS Y CENTROS DE MASA

MOMENTOS Y CENTROS DE MASA MOMENTOS Y CENTROS DE MASA El objetivo de ests línes es explicr brevemente otr de ls numeross plicciones que posee el Cálculo Integrl. En este cso, considermos un plc pln y delgd con form culquier, y nos

Más detalles

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

= α G. TRIGONOMETRÍA Sistemas de Medición de Ángulos Equivalencia entre los tres Sistemas. Funciones Trigonométricas

= α G. TRIGONOMETRÍA Sistemas de Medición de Ángulos Equivalencia entre los tres Sistemas. Funciones Trigonométricas TRIGONOMETRÍA Sistems de Medición de Ángulos Equivlenci entre los tres Sistems Áre del Circulo = π. r 360º = πrd = 400 G α º = α R = α G 360º π 400 G C = π. rdio Longitud de l Circunferenci Áre de Anillo

Más detalles

Ejemplo: Para indicar el conjunto (que llamaremos M), formado por los números 4, 6 y 8, escribimos: M = { 4, 6, 8}

Ejemplo: Para indicar el conjunto (que llamaremos M), formado por los números 4, 6 y 8, escribimos: M = { 4, 6, 8} NÚMEROS REALES. BREVE REPASO DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS En est unidd utilizremos ls notciones l terminologí de conjuntos. L ide de conjunto se emple mucho en mtemátic se trt de un concepto básico del que

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

2 Números racionales positivos

2 Números racionales positivos Progrm Inmersión, Verno 0 Nots escrits por Dr. M Nots del cursos. Bsds en los pronturios de MATE 00 y MATE 0 Clse #: miércoles, de junio de 0. Números rcionles positivos. Consceptos básicos del conjunto

Más detalles

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z )

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z ) Cpítulo III. Álgebr vectoril Objetivo: El lumno plicrá el álgebr vectoril en l resolución de problems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3. Cntiddes esclres

Más detalles

es pa c i o s c o n p r o d U c t o

es pa c i o s c o n p r o d U c t o Unidd 5 es p c i o s c o n p r o d U c t o i n t e r n o (n o r M, d i s t n c i ) Objetivos: Al inlizr l unidd, el lumno: Aplicrá los conceptos de longitud y dirección de vectores en R. Aplicrá el concepto

Más detalles

5.2 Integral Definida

5.2 Integral Definida 80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

Llamaremos S a la superficie dada y D a su proyección sobre el plano XY (ver figura).

Llamaremos S a la superficie dada y D a su proyección sobre el plano XY (ver figura). TEOREMA E GAU. 15. Hllr el flujo del cmpo i + j + z k trvés de l superficie z 1 +, z 1. ) irectmente. b) Aplicndo el teorem de Guss. olución Llmremos l superficie dd su proección sobre el plno XY (ver

Más detalles

Tema 3: Producto escalar

Tema 3: Producto escalar Tem 3: Producto esclr 1 Definición de producto esclr Un producto esclr en un R-espcio vectoril V es un plicción f : V V R que verific ls siguientes propieddes: 1. Bilinel:. Simétric: (i) f(u + u 0,v) f(u,

Más detalles

MATRICES DE NÚMEROS REALES

MATRICES DE NÚMEROS REALES MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m

Más detalles

XI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

XI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO XI. LA HIPÉRBOLA 11.1. LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definición L hipérol es el lugr geométrico descrito por un punto P que se mueve en el plno de tl modo que el vlor soluto de l diferenci de sus

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

Números Reales. Los números naturales son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se representa por.

Números Reales. Los números naturales son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se representa por. Se distinguen distints clses de números: Números Reles Los números nturles son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se represent por. El primer elemento es el 1 y no tiene último elemento Todo número

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

Problemas de fases nacionales e internacionales

Problemas de fases nacionales e internacionales Problems de fses ncionles e interncionles 1.- (Chin 1993). Ddo el prlelogrmo ABCD, se considern dos puntos E, F sobre l digonl AC e interiores l prlelogrmo. Demostrr que si existe un circunferenci psndo

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril. Contenidos

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril. Contenidos Coordinción de Mtemátic I (MAT01) 1 er Semestre de 013 Semn 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril Complementos Contenidos Clse 1: Funciones trigonométrics. Clse : Funciones sinusoidles y ecuciones trigonométrics.

Más detalles

Funciones Vectoriales

Funciones Vectoriales Pntoj Crhuvilc Cálculo Agend Algebr de Función Algebr de Función Consideremos un prtícul en movimiento sobre un plno. Su posición en un determindo instnte t viene determindo por dos coordends x(t) e y(t)

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral CAPÍTULO Aplicciones de l integrl. Momentos centro de un ms.. Centro de ms de un sistem unidimensionl Considerr el sistem unidimensionl, tl como se muestr en l siguiente figur, formdo por un vrill (de

Más detalles

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible

Más detalles

Las medias como promedios ponderados

Las medias como promedios ponderados Misceláne Mtemátic 8 (009) 1 6 SMM Ls medis como promedios ponderdos Alfinio Flores Peñfiel University of Delwre lfinio@mth.udel.edu Resumen Tres de ls medis que se usn frecuentemente en mtemátics (medi

Más detalles

TEMA 2. Geometría elemental y analítica

TEMA 2. Geometría elemental y analítica TEMA 2. Geometrí elementl y nlític En el presente tem nos ocupremos de l geometrí desde dos puntos de vist: geometrí elementl y geometrí nlític. Empezremos viendo los conceptos básicos de trigonometrí,

Más detalles

TEMA 4. Cálculo integral

TEMA 4. Cálculo integral TEMA 4. Cálculo integrl En este tem considerremos el cálculo integrl, que es un complemento nturl del cálculo diferencil y tiene múltiples plicciones en otrs ciencis. 4.. Introducción l cálculo integrl

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

Aplicaciones de la Integral.

Aplicaciones de la Integral. Seminrio 2 Aplicciones de l Integrl. 2.1. Áre de figurs plns. Definición 2.1.1. Se f : [, b] R continu y f(x) 0 x [, b]. El áre del recinto {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} viene dd por l integrl: A = f(x)

Más detalles

Donde a los elementos de E y R se les llama vectores y escalares respectivamente, los segundos como coeficientes de los primeros.

Donde a los elementos de E y R se les llama vectores y escalares respectivamente, los segundos como coeficientes de los primeros. 4. Espcios vectoriles, definición propieddes Viguers En l Físic, con frecuenci se us el término vector pr descriir mgnitudes como l fuer, l velocidd, l celerción, otros fenómenos de l nturle, sin emrgo

Más detalles

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de

Más detalles

Funciones ortogonales y series de Fourier

Funciones ortogonales y series de Fourier TEMA 4 Funciones ortogonles y series de Fourier Ls series e integrles de Fourier constituyen un tem clásico del Análisis Mtemático. Desde su prición en el siglo XVIII en el estudio de ls vibrciones de

Más detalles

Tema 3. DETERMINANTES

Tema 3. DETERMINANTES Tem. DETERMINNTES Definición de determinnte El determinnte de un mtriz cudrd es un número. Pr l mtriz, su determinnte se denot por det() o por. Pr un mtriz de orden,, se define: Ejemplo: Pr un mtriz de

Más detalles

VECTORES EN EL PLANO. PRODUCTO ESCALAR.

VECTORES EN EL PLANO. PRODUCTO ESCALAR. UNIDAD DIDÁCTICA 5 VECTORES EN EL PLANO. PRODUCTO ESCALAR. 1º BACHILLER 97 OBJETIVOS DIDÁCTICOS: 1. Operr con vectores utilizndo sus coordends y en form gráfic.. Estudir l dependenci e independenci linel

Más detalles

Los Números Racionales

Los Números Racionales Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =

Más detalles

a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n... a m1 a m2 a m3... a mn

a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n... a m1 a m2 a m3... a mn TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES. NOMENCLATURA Y DEINICIONES.. - DEINICIÓN Ls mtrices son tbls numérics rectngulres ª column ª fil n n n.......... m m m mn (

Más detalles

DETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas:

DETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas: ÁLGEBR Educgui.com DETERMINNTES Determinnte es l expresión numéric de un mtriz. Según el orden de l mtriz el determinnte se resuelve de distints forms: DETERMINNTE DE SEGUNDO ORDEN Pr poder solucionr un

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

2.3.1 Cálculo de primitivas

2.3.1 Cálculo de primitivas Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3. Cálculo de primitivs 75. Encontrr l epresión de ls siguientes integrles indefinids: ) p) tg b) e sen cos

Más detalles

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener

Más detalles

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=± CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes

Más detalles

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange. . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )

Más detalles

La integral de Riemann

La integral de Riemann L integrl de Riemnn 1 Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cerrdo y cotdo, es decir [,] con < R, y l definición que dremos de integrl

Más detalles

TEMA 1. CÁLCULO VECTORIAL.

TEMA 1. CÁLCULO VECTORIAL. TEMA 1. CÁLCUL VECTRIAL. MAGNITUDES FÍSICAS ESCALARES Son quells que quedn determinds por su vlor numérico y l unidd de medid. Ejemplos: ms, energí, tiempo, tempertur, etc. MAGNITUDES FÍSICAS VECTRIALES

Más detalles

ELECTROMAGNETISMO PARA INGENIERÍA ELECTRÓNICA. CAMPOS Y ONDAS

ELECTROMAGNETISMO PARA INGENIERÍA ELECTRÓNICA. CAMPOS Y ONDAS ELECTROMGNETISMO PR INGENIERÍ ELECTRÓNIC. CMPOS Y ONDS Fundmentos de Cálculo Vectoril Introducción Cpítulo 1 El Cálculo Vectoril es un herrmient fundmentl pr el modeldo de ls intercciones de nturle electromgnétic,

Más detalles

Modelos geométricos de formación de imágenes que varían con el tiempo

Modelos geométricos de formación de imágenes que varían con el tiempo Modelos geométricos de formción de imágenes que vrín con el tiempo Rfel Molin Depto Ciencis de l Computción e IA Universidd de Grnd R. Molin Modelos geométricos Contenidos Modelos de movimiento tridimensionl.

Más detalles