3 = =. Pero si queremos calcular P (B) 2, ya que si A ocurrió, entonces en la urna

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1 arte robabldad codcoal rof. María. tarell - robabldad codcoal.- Defcó Supogamos el expermeto aleatoro de extraer al azar s reemplazo dos bolllas de ua ura que cotee 7 bolllas rojas y blacas. summos que las bolllas de u msmo color so dstgubles. osderamos los evetos : la prmer bollla extraída es blaca, y : la seguda bollla extraída es blaca. El espaco muestral S se puede pesar como el cojuto S a, b; a,,...0; b,,...0; a b y # S 0 9. { } Es claro que 9. ero s queremos calcular o es ta drecto. odemos calcular la probabldad de sabedo que ocurró: es gual a 9, ya que s ocurró, etoces e la ura quedaro 9 bolllas de las cuales so blacas. La probabldad ateror la aotamos y se lee: probabldad codcoal de dado. Es decr. 9 Notar que podemos terpretar lo ateror de la sguete forma: el espaco muestral orgal S se ha reducdo al eveto, es decr se toma a como uevo espaco muestral para calcular la probabldad de. També podemos terpretar que la probabldad codcoal de dado debería ser la proporcó de veces que ocurre co respecto al úmero de veces que ocurre. esado e térmos de frecueca relatva:. Esta dea motva la sguete defcó: Sea y dos evetos de u espaco muestral S. La probabldad codcoal de dado se defe como álogamete s 0 s 0 E alguos casos se puede calcular drectamete reducedo el espaco muestral. E otros será ecesaro aplcar la defcó ateror. Observacó: s y so evetos de u espaco muestral S equprobable, etoces Ejemplos: # - E el expermeto de extraer dos bolllas #

2 arte robabldad codcoal rof. María. tarell Se tra u dado ormal dos veces. Sea los evetos : la suma de los úmeros obtedos es 6 y : el prmer úmero es gual a Teemos que {, ;, ;, ;, ;, } y {, ;, ;, ;, ;, ;,6 } Etoces para calcular medate la defcó de probabldad codcoal També podemos calcularlo e forma drecta, reducedo el espaco muestral, de todos los pares del eveto, observamos cuáles cumple co lo requerdo por, es decr de todos los pares de, solo uo tee la propedad de que sus compoetes suma 6, por lo tato 6 - Se laza ua moeda ormal tres veces. Hallar la probabldad de que salga todas caras s sale algua cara. El espaco muestral reducdo es el eveto : sale algua cara c ; s; s, c; s, c; s, s ; s, s, c ; s, Y { c } or lo tato 7 Teemos que { s } - E certa cudad, 0% de la poblacó tee cabellos castaños, % tee ojos castaños y % tee cabellos y ojos castaños. Se escoge ua persoa al azar a s tee cabellos castaños, cuál es la probabldad de que també tega ojos castaños? b S tee ojos castaños, cuál es la probabldad de que o tega cabellos castaños? c uál es la probabldad de que o tega cabellos ojos castaños? Sea los evetos : la persoa elegda al azar tee ojos castaños, : la persoa elegda al azar tee cabellos castaños Etoces 0., 0. 0 y 0. a Se pde calcular : b 0. c 0. - Sea los evetos y co 0., y. 6

3 arte robabldad codcoal rof. María. tarell 7 Hallar: a, b, c, d, e a b c 7 d alculamos: ; 7 or la ley de De Morga Etoces 8 e 6 Observacoes: a S etoces b S etoces 0 c Es fácl comprobar que para fjo, satsface los axomas de la probabldad, esto es: S -S y so evetos mutuamete excluyetes etoces -S,...,,...,, es ua secueca de evetos tales que j j s eto- ces U

4 arte robabldad codcoal rof. María. tarell 8 Teorema de la multplcacó S y so dos evetos etoces 0 s or lo tato 6 álogamete de 0 s, se deduce 7 6 y 7 se cooce como teorema de la multplcacó. osderemos otra vez el ejemplo de extraer dos bolllas al azar s reemplazo de ua ura que cotee bolllas blacas y 7 rojas. S : la prmer bollla extraída es blaca, y : la seguda bollla extraída es blaca, etoces 9 0 S,, so tres evetos etoces pues: Teorema de la multplcacó Teorema de la multplcacó El teorema de la multplcacó se puede geeralzar a evetos,...,, :..., Ejemplos: - Ua clase tee ños y ñas. S se escoge tres estudates de la clase al azar, cuál es la probabldad de que sea todos ños? Solucó: otamos : el -ésmo estudate elegdo es u ño,, Etoces la probabldad pedda es 0 6

5 arte robabldad codcoal rof. María. tarell - Los estudates de ua clase se escoge al azar, uo tras otro, para presetar u exame. a S la clase costa de ños y ñas, cuál es la probabldad de que ños y ñas quede alterados? b S la clase costa de ños y ñas, cuál es la probabldad de que ños y ñas quede alterados? Solucó: a Nuevamete aotamos : el -ésmo estudate elegdo es u ño Etoces la probabldad pedda es, aplcado 8: b Hay dos caso mutuamete excluyetes: el prmer estudate es u ño, y el prmero es ua ña. S el prmero es u ño, etoces por 8 la probabldad de que los estudates se altere es S el prmero es ua ña, etoces por 8 la probabldad de que los estudates se altere es 6 6 Etoces la probabldad pedda es E el ejemplo cal de extraer dos bolllas de ua ura, todavía queda por resolver cómo calculamos la, sedo : la prmer bollla extraída es blaca, y : la seguda bollla extraída es blaca odemos expresar al espaco muestral S como S demás y so mutuamete excluyetes. or otro lado podemos escrbr S por la ley dstrbutva Etoces teorema de la multplcacó Lo hecho e este ejemplo se geeralza e el sguete teorema 0. - Teorema de la probabldad total Sea,...,, evetos de u espaco muestral S que cumple: a... S b s j j,...,, c > 0,,..., Se dce que forma ua partcó de S Etoces para cualquer eveto de S... 9

6 arte robabldad codcoal rof. María. tarell Dem. odemos escrbr S Ley dstrbutva de la co respecto a la demás s co j, etoces j j j s ver fgura or lo tato... j Teorema de la multplcacó K Teorema de ayes j Sea,...,, evetos de u espaco muestral S que cumple: a... S b s j j c > 0,,..., Etoces para cualquer eveto de S tal que > 0 k k k k, K, Dem. k k k k k k def. de prob. odcoal teor, de la probabldad total teor. de multplcacó Ejemplos: - Tres máquas,, y produce respectvamete 60%, 0% y 0% del úmero total de artículos de ua fábrca. Los porcetajes de desperfectos de produccó de estas máquas so respectvamete %, % y %. Se seleccoa u artículo al azar a uál es la probabldad de que sea defectuoso? b S al seleccoar u artículo al azar resulta defectuoso, cuál es la probabldad de que el artículo hubera sdo producdo por la máqua? Solucó: a Sea los evetos 0

7 arte robabldad codcoal rof. María. tarell : el artículo seleccoado fue producdo por la máqua : el artículo seleccoado fue producdo por la máqua : el artículo seleccoado fue producdo por la máqua D: el artículo seleccoado es defectuoso Los datos que teemos so los sguetes D 0. 0 D 0. 0 D 0. 0 Se pde hallar la D. Se aplca el teorema de la probabldad total tomado como partcó de S a los evetos, y. Etoces D D D D b Se pde hallar D. plcamos el teorema de ayes D D D D D Se os da tres uras como sgue: Ua ura cotee bolas rojas y blacas. Ua ura cotee bolas rojas y blaca. Ua ura cotee bolas rojas y blacas Se seleccoa ua ura al azar y se saca ua bola de la ura. S la bola es roja, cuál es la probabldad de que proceda de la ura? Solucó: Sea los evetos : se elge la ura,, Etoces,, demás podemos tomar a,, como ua partcó del espaco muestral S. Sea el eveto :"extraer bollla roja" Se pde calcular Etoces def. de prob. codcoal Teorema de ayes 7

8 arte robabldad codcoal rof. María. tarell. - Idepedeca Dados dos evetos y, puede ocurrr que y sea dferetes, eso sgfca que saber que ocurró modfca la probabldad de ocurreca de E el ejemplo ateror ero puede suceder que y sea guales, e ese caso y so evetos depedetes, saber que ocurró o afecta la probabldad de ocurreca de. Etoces, dos evetos y so depedetes s, y so depedetes de otro modo. Notar que por el teorema de la multplcacó s > 0 Etoces y so depedetes Recíprocamete S etoces y so depedetes or lo tato: s > 0 y so depedetes s y solo s 9 Es decr podemos usar 9 como defcó de depedeca de evetos. Ejemplos: -Se tra u dado ormal dos veces, sea los evetos : la suma de los úmeros obtedos es gual a 7 : el prmer úmero obtedo es So y depedetes? Sabemos que el espaco muestral es el cojuto de 6 pares ordeados a, b dode tato a como b puede tomar los valores,,,,, 6. demás {,6,,,,,,,,, 6, } y {, ;, ;, ;, ;, ;,6 } Etoces omo etoces y so depedetes Observacó: s fuera el eveto : la suma de los úmeros obtedos es gual a 6, etoces y so depedetes -Se tee ua ura co 0 bolllas blacas y rojas. Se extrae al azar dos bolllas co reemplazo de la ura. Etoces los evetos : la prmer bollla es blaca : la seguda bollla es roja So depedetes

9 arte robabldad codcoal rof. María. tarell ero s la extraccó se hace s reemplazo, etoces y so depedetes pues y por lo tato Notar que la dfereca está e que Observacó: s e el ejemplo ateror la ura tee 000 bolllas blacas y 00 rojas, y se extrae s reemplazo dos bolllas al azar etoces y O sea que y so cas guales. or lo tato podemos asumr que y so depedetes, auque la extraccó se haga s reemplazo. E la práctca, s N es el tamaño de la poblacó y el tamaño de la muestra extraída s reemplazo, s < 0. 0 etoces podemos operar como s la extraccó se hubera hecho co reemplazo. N S dos evetos y so depedetes etoces y so depedetes 0 Dem. se debe probar que ara esto escrbmos omo y excluyetes etoces so mutuamete y depedetes o lo que queda demostrada la propedad.

10 arte robabldad codcoal rof. María. tarell Observacó: s y so evetos depedetes, etoces y so depedetes. Se llega a este resultado aplcado 0 sobre y, y luego se aplca 0 uevamete a y. Idepedeca de más de dos evetos. La ocó de depedeca de evetos se puede amplar a evetos de la sguete maera: Sea,,, K evetos, se dce que so depedetes s k k k,..., K K Observacoes: - s etoces se reduce a la defcó de dos evetos depedetes. - s etoces sgfca que se debe cumplr las sguetes codcoes: a b c d La codcó d sgfca que u eveto es depedete de la terseccó de los otros dos, por ejemplo Esto es porque e geeral por el teorema de la multplcacó vale que y por d etoces Ejemplos: - Las probabldades de que tres hombres pegue e el blaco so, respectvamete, y,, 6. ada uo dspara ua vez al blaco. a uál es la probabldad de que exactamete uo de ellos pegue e el blaco? b S solamete uo pega e el blaco, cuál es la probabldad de que sea el prmer hombre? Solucó: a cosderemos los evetos : el hombre -ésmo pega e el blaco,, 6 Sea el eveto : exactamete u hombre pega e el blaco Etoces or lo tato Y por depedeca

11 arte robabldad codcoal rof. María. tarell a Se pde calcular erto tpo de proyectl da e el blaco co probabldad 0., cuátos proyectles deberá ser dsparados para que haya al meos u 80% de probabldad de pegar e el blaco? 7 Solucó: Escrbmos : el proyectl -ésmo da e el blaco Se quere que,,, K > 0.8 sumedo depedeca esto es equvalete a K K K K 0.7 > 0.8 l0. or lo tato 0.7 < 0. l0.7 < l0. >. l0.7 Es decr se debe hacer por lo meos dsparos

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