Expresiones Regulares y Derivadas Formales

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1 y Derivadas Formales Las Derivadas Sucesivas. Universidad de Cantabria

2 Esquema 1 2 3

3 Derivadas Sucesivas Recordemos que los lenguajes de los prefijos dan información sobre los lenguajes.

4 Derivadas Sucesivas La idea es derivar las derivadas y utilizar el siguiente resultado: Lemma Sea L Σ un lenguaje sobre el alfabeto Σ generado por una gramática regular G := (V, Σ, q 0, P). Sea a Σ un símbolo del alfabeto. Entonces, la siguiente gramática G a = (V a, Σ, q a, P a ) genera el lenguaje a L donde: q a es una nueva variable (no presente en V ) y V a := V {q a }. P a := P {q a aq 0 }.

5 Derivadas Sucesivas Definición (Derivadas Sucesivas de una Expresión Regular) Sea Σ = {a 1,..., a n } un alfabeto finito, ω Σ una palabra sobre el alfabeto y α una expresión regular. Definiremos la derivada D ω (α) mediante el proceso siguiente: Si ω = λ es la palabra vacía, D λ (α) = α. Si ω = 1 (es una palabra de longitud 1) y, por tanto, ω = a i Σ, definimos D ω (α) = D ai (α), conforme a la definición de derivada anterior. Si ω = aω 1 con a Σ y ω 1 Σ, definimos D ω (α) = D ai (D ω1 (α)).

6 Derivadas Sucesivas Al conjunto de derivadas sucesivas la denotaremos: Der(α) := {D ω (α) : ω Σ }. El conjunto de derivadas sucesivas es un conjunto finito, por lo tanto es posible calcularlo.

7 La entrada de nuestro algoritmo es una expresión regular α sobre un alfabeto finito Σ.

8 Hallar todos los elementos del conjunto Der(α) := {D ω (α) : ω Σ }.

9 Definir un conjunto finito V de variables, biyectable al conjunto Der(α). Llamaremos a la variable inicial q 0 y se relacionará con la expresión α.

10 Definir P 1 := 1 y P 2 := { {q λ}, si λ L(α), en caso contrario

11 Mientras P 2 P 1 hacer P 1 := P 2 Para cada β Der(α) hacer Para cada a Σ hacer Hallar γ := D a(β), p := E(γ) y q := E(β) en V. Si λ L(γ), hacer P 2 := P 2 {q a}. Si γ, λ, hacer P 2 := P 2 {q ap}. tomar siguiente α tomar siguiente β finaliza mientras La gramática G = (V, Σ, q 0, P 2 ).

12 Ejemplo Tomemos la expresión regular a(a + b) b, empecemos calculando el conjunto de las derivadas: Der(α) = {, a(a + b) b, (a + b) b, (a + b) b + λ}

13 Ejemplo D a (a(a + b) b) = (a + b) b, D b (a(a + b) b) =. D a ((a + b) b) = (a + b) b, D b ((a + b) b) = (a + b) b + λ. D a ((a+b) b+λ) = (a+b) b, D b ((a+b) b+λ) = (a+b) b+λ.

14 Ejemplo Relacionemos todas las variables con las expresiones regulares: q 0 = a(a + b) b, q 1 = (a + b) b, q 2 = (a + b) b + λ. Estas son las producciones q 0 aq 1, q 1 aq 1 bq 2 b, q 2 aq 1 bq 2.

15 Ejemplo Relacionemos todas las variables con las expresiones regulares: q 0 = a(a + b) b, q 1 = (a + b) b, q 2 = (a + b) b + λ. Estas son las producciones q 0 aq 1, q 1 aq 1 bq 2 b, q 2 aq 1 bq 2.

16 Usando las propiedades adicionales de las expresiones regulares podemos suponer α = α α n ( Forma Disyuntiva Normal).

17 Lemma Sea L 1 y L 2 dos lenguajes (regulares) sobre el alfabeto Σ generados respectivamente por gramáticas G 1 = (V 1, Σ, q 1, P 1 ) y G 2 = (V 2, Σ, q 2, P 2 ), entonces L 1 L 2 es también un lenguaje (regular) generado por una gramática. La gramática que genera la unión es una nueva gramática G = (V, Σ, q 0, P) dada por las reglas siguientes: 1 q 0 V 1 V 2, es decir es una nueva variable. 2 V := V 1 V 2 {q 0 }. 3 P := P 1 P 2 {q 0 q 1 q 2 }.

18 En el caso de unión finita L = L 1 L m, el Lema anterior se puede extender de la forma obvia. Por tanto, la unión finita de lenguajes generados por gramáticas (resp. regulares) es un lenguaje generado por una gramática (resp. regulares).

19 Ejemplo El lenguaje a + b tiene una gramática que se puede hallar utilizando ese lema: q 0 q 1 q 2, q 1 aq 1 λ, bq 2 λ. q 2

20 Ejemplo La gramática que se obtiene aplicando el algoritmo es: q 0 q 1 q 2 aq 1 bq 2 λ, aq 1 a, bq 2 b.

21 Posibles Transformaciones La primera gramática puede ser transformada, simplemente sustituyendo las producciones de q 1 en q 0, lo que quiere decir que el número de gramáticas que generan el mismo lenguaje es infinito.

22 Conclusiones Las gramáticas que estamos buscando no son únicas. Para utilizar el lema que se ha presentado es necesario tener la expresión regular en Forma Disyuntiva Normal.

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