Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

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1 Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con ls funciones e x, sen x, y sen x. Aún si, es posible hcer un cálculo x proximdo de l integrl definid usndo métodos de integrción numéric. En est sección se expondrán ls regls del trpecio y de Simpson pr relizr est tre. L regl del trpecio. Queremos clculr proximdmente l integrl definid f(x) dx. Pr ello dividimos el interevlo [, b] en n prtes igules, cd un de longitud h = b, obteniéndose los puntos n L figur muestr el cso n = 4. = x < x < x <... < x n < x n = b. Se formn los trpecios de l figur y se utiliz l sum de ls áres de todos los trpecios T, T,..., T n pr proximr l integrl. Recuerd que el áre de un trpecio es el producto de l semisum de sus ldos prlelos por l ltur. Se obtiene: f(x) dx Áre (T ) + Áre (T ) Áre (T n) = h [f(x ) + f(x )] + h [f(x ) + f(x )] h [f(x n ) + f(x n )] h [f(x ) + f(x ) + f(x ) f(x n ) + f(x n )] = T n, que es l regl del trpecio pr clculr l integrl definid de form proximd. Cunto más grnde se n mejor será l proximción. Ejercicio : Utiliz l regl del trpecio con n = 4 pr proximr el vlor de compr el resultdo con el vlor excto. x dx y

2 S./ Dividiendo el intervlo [, ] en cutro subintervlos igules, cd uno de ellos tiene longitud n = /4 =, 5 y los puntos de división son x =, x = /4, x = /, x = /4, x 4 =. Con l regl del trpecio se obtiene: El vlor excto es x dx [ x x dx =, 5 [ + ( 4 ) + ( ) + ( ] 4 ) +, 475. ] =, por lo que el error es E 4 =, 475 <, 5. Ejercicio : Se quiere clculr proximdmente el vlor de P = 6 e (x 4) () dx. Pr ello, reliz el cmbio de vrible y = (x 4)/ y us l regl del trpecio con 4 subintervlos. S./ Como y = (x 4)/ se tiene dy = dx/. Entonces P = e y / dy. El intervlo [, ] se divide en cutro subintervlos, cd uno de ellos de longitud h =, 5 con extremos en Por tnto, x =, x =, 5, x =, x =, 5, x 4 =. P T 4 =, 5 [ ] e / + e (,5) / + e () / + e (,5) / + e () /, Ejercicios: Se pueden hcer hor el ejercicios 8 y el prtdo ) del ejercicio 9 de l hoj 5. Opcionl : Análisis del error en l regl del trpecio. En el ejemplo se h podido comprr el error entre el vlor excto de l integrl y l proximción con l regl del trpecio, porque se sbe clculr l integrl de l función f(x) = x. Esto no es posible en el ejemplo. En este cso puede obtenerse un estimción del error con l siguiente fórmul: (b ) E = f(x) dx T n K, n donde K = mx f (x), [,b] cundo f existe y es continu en el intervlo [, b]. Ejercicio : Puedes dedicr un poco de tiempo hcer el siguiente ejercicio. Hll un vlor de n pr que l regl del trpecio con n subintervlos proxime el vlor de + x dx con un error inferior,.. Te tiene que slir que n = es suficiente.

3 L regl de Simpson. En l regl del trpecio l función se proxim en cd intervlo por un segmento. En l regl de Simpson (Thoms Simpson, 7-76) se us un polinomio de grdo. Lo primero que hy que hcer es prender clculr el áre bjo un prábol p(x) = Ax + Bx + C en un intervlo [, b] usndo solo los vlores de p(x) en los extremos del intervlo y en el punto medio. Pongmos h = (b )/, x =, x = ( + b)/ (el punto medio) y x = b. Entonces p(x) dx = h [p(x ) + 4p(x ) + p(x )]. () Pr demostrr l fórmul () se trsld l prábol hst que el centro del intervlo esté en el origen de coordends (figur de l derech). El re no h cmbido, pero l prábol tendrá hor otr equción q(x) = x + bx + c. En este cso lo que tenemos que probr es: L prte izquierd de () es: h h h h q(x) dx = q(x) dx = h [q( h) + 4q() + q(h)]. () h Pr clculr l prte derech de () se observ que h (x + bx + c) dx = h + ch. q( h) = h bh + c, q() = c y q(h) = h bh + c. Por tnto, h [q( h) + 4q() + q(h)] = h [h + c + 4c] = h Esto prueb que mbos ldos de l fórmul () coinciden. + ch. Regl de Simpson pr n = intervlos El intervlo [, b] de divide en dos intervlos de igul longitud h = (b )/ usndo los puntos x =, x = ( + b)/ y x = b. L integrl definid f(x) dx se proxim por l integrl definid del polinomio de grdo que ps por los puntos (x, f(x )), (x, f(x )), y (x, f(x )). Est integrl se clcul con l fórmul () y se obtiene: f(x) dx h [f(x ) + 4f(x ) + f(x )] = S. ()

4 Regl de Simpson pr n = 4 intervlos El intervlo [, b] se divide en cutro intervlos igules cd uno de ellos de longitud h = (b )/4 con extremos en los puntos x = < x < x < x < x 4 = b. En el intervlo [x, x ] se plic l regl de Simpson con n = y h = (x x )/ = (b )/4 pr obtener h [f(x ) + 4f(x ) + f(x )]. En el intervlo [x, x 4 ] se plic l regl de Simpson con n = y h = (x 4 x )/ = (b )/4 pr obtener h [f(x ) + 4f(x ) + f(x 4 )]. Sumndo mbos resultdo se obtiene l regl de Simpson pr cutro intervlos: f(x) dx h [f(x ) + 4f(x ) + f(x ) + 4f(x ) + f(x 4 )] = S 4. (4) Regl de Simpson pr n intervlos. Siguiendo este procedimiento puede obtenerse l regl de Simpson cundo el intervlo [.b] se divide con los puntos x = < x < x < x n < x n = b en n intervlos de igul longitud h = (b )/n. El resultdo que se obtiene es: definid f(x) dx h [f(x ) + 4f(x ) + f(x ) + 4f(x ) f(x n ) + 4f(x n ) + f(x n )] = S n. (5) Ejercicio 4: Utiliz l regl de Simpson con 4 intervlos pr proximr el vlor de l integrl π sen x dx y compr el resultdo con el vlor excto. S./ El intervlo [, 4] se divide en cutro prtes igules, cd un de ells de longitud h = π/4 con los puntos Se tiene: π El vlor excto es x =, x = π 4, x = π, x = π 4, x 4 = π. sen x dx S 4 = π/4 [ ] sen + 4sen (π/4) + sen (π/) + 4sen (π/4) + sen π, 46 π [ sen x dx = por lo que el error de l proximción es, 46 ] π cos x = Ejercicio 5: Us l regl de Simpson con cutro intervlos pr clculr proximdmente el 7 (x 5) vlor de e 8 dx, hciendo ntes el cmbio de vrible y = (x 5)/. 5 4

5 S./ Como y = (x 5)/ deducimos dy = dx/. Entonces en cutro intervlos cd uno de ellos de longitud h = /4 =, 5 con los puntos x =, x = 4, x =, x = 4, x 4 =. e y dy. Se divide el intervlo [, ] Se tiene P S 4 =, 5 ] [e + 4e / + e /8 + 4e 9/ + e /, Ejercicios: Se pueden hcer hor el prtdo b) del ejercicio 9 y el ejercicio de l hoj 5. Opcionl : Análisis del error en l regl de Simpson. Supongmos que l función f tiene cutro derivds continus en el intervlo [, b] y se El error que se produce l proximr E = K = mx f (iv) (x). [,b] f(x) dx por S n stisfce: f(x) dx S n (b ) 5 8n 4 K. Ejercicio 6: Puedes dedicr un poco de tiempo hcer el siguiente ejercicio. Hll un vlor de n pr que l regl de Simpson con n subintervlos proxime el vlor de inferior,.. Te tiene que slir que n = es suficiente. e x dx con un error Ejercicio 7: ) Progrm en Excel c l regl del trpecio pr n = 8 y n = 6 intervlos. Us l función f(x) = e x y dej los extremos de integrción y b como prámetros vribles. b) Hz un tblde vlores proximdos de e x dx pr b =,,..., usndo l regl del trpecio pr n = 8 y n = 6. (Nots. i) En mbos csos del prtdo b), cundo b ument, el vlor de l integrl debe cercrse π. ii) En Excel c l función exponencil se excribe EXP. Ejercicio 8: ) Progrm en Excel c l regl de Simpson pr n = 8 y n = 6 intervlos. Us l función f(x) = x y dej los extremos de integrción y b como prámetros vribles. b) Hz un tbl de 6 vlores proximdos de x dx pr b = 5, 6,..., usndo l regl de Simpson pr n = 8 y n = 6. 5

6 Sección.4: Aplicciones de l integrl definid. Un de ls plicciones de l integrl definid es el cálculo de áres limitds por gráfics de funciones. Pr ello es necesrio dibujr sus gráfics. El áre limitd por l gráfic de un función positiv y el eje OX en el intervlo [, b] se clcul con l integrl, como se indic en l figur de l izquierd. Pr hllr el áre limitd por l gráfic de un funcion no necesrimente positiv y el eje OX en el intervlo [, b], se identificn los puntos en los que l gráfic de l función cort l eje OX y se clcul cd un de ls integrles teniendo en cuent que l integrl por debjo del eje OX hy que tomrl negtiv (ver l figur del centro). Pr hllr el áre limitd por l gráfic de dos funciones f y g se hlln los puntos de corte entre si y se escriben ls integrles correspondientes de mner que el resultdo de cd un de ells se siempre positivo (ver l figur de l derech). Ejercicio : Clculr el áre de l región comprendid entre ls gráfics de ls funciones y = (x ) e y = x +. S./ L gráfic de y = (x ) es como l de l prábol y = x desplzd un unidd hci l derech y un unidd hci bjo. L gráfic de y = x + es un rect de pendiente. Los puntos de corte de mbs gráfics se obtienen igulndo ls ecuciones: (x ) = x +. Est ecucón de segundo grdo tiene como soluciones x = y x =. Ests son ls bciss de los puntos de corte. Como l rect está por encim de l prábol en el intervlo [, ] el áre de l figur limitd por ests gráfics se clcul con l siguiente integrl: A = [( x + ) ((x ) ]dx. Est integrl definid se clcul fácilmente. El áre pedid es 9/ uc. 6

7 Ejercicio : Clcul el áre de l región comprendid entre ls curvs y = x, y = x y el eje OX. S./ El punto de corte de ls gráfics de y = x e y = x se obtiene resolviendo l ecución x = x. Después de elevr l cudrdo se obtienen como soluciones x = 4, x =. Mirndo el gráfico se observ que el vlor correcto es x = 4. El áre buscd hy que clculrl con dos integrles definids, un sobre el intervlo [, ] y l otr sobre el intervlo [, 4]. En este último cso l función que se integr es l diferenci entre y = x e y = x. Por tnto: A = 4 x dx + [ x (x )] dx. Ests integrles son fáciles de clculr. El áre buscd es / uc. Ejercicio : Clculr el áre delimitd por ls curvs y = x, y = (x ) e y = ( x)/6. S./ El punto de corte de l rect con l prábol y = x tiene bcis x =, 5.. El punto de corte de ls dos prábols tiene bcis x =. El punto de corte de l rect y l prábol tiene bcis x =. Mirndo l figur se deduce que el cálculo del áre tiene que hcerse con dos integrles: A =,5 (x x ) dx + 6 ((x ) x ) dx. 6 Ests integrles son fáciles de clculr. El áre buscd es proximdmente, 979 uc. L integrl puede usrse pr hllr l diferenci de poblción entre dos instntes, si se conoce l velocidd v(t) con l que l poblción vrí lo lrgo del tiempo. Llmmos N(t) l función que represent el número de individuos de l poblción en el instnte t. Es decir, tenemos N (t) = v(t). Por l regl de Brrow se tiene: N(b) N() = N (t) dt = v(t) dt, lo que nos permite clculr l diferenci de poblción entre los instntes t = y t = b, si sbemos clculr l integrl de l derech. Ejercicio 4: (Ejercicio de l hoj 6.) El tmño N(t) de un poblción vrí lo lrgo del tiempo. Su velocidd de vrición viene dd por: v(t) = e t ( + e t ) (t= tiempo en ños ). ) Clculr l vrición de l poblción entre t = y t = : obtener el resultdo excto y el resultdo proximdo utilizndo l regl del trpecio y l regl de Simpson con subintervlos. 7

8 b) Si N() = 5. cuál es el tmño de l poblción l cbo de ños? S./ ) Hy que clculr N() N() = e,t ( + e,t ) dt. Hcemos el cmbio de vrible + e,t = u. Se tiene, e,t dt = du: e,t du dt = ( + e,t ) u = u + C = + C. + e,t Entonces [ ] N() N() = 46, e,t Con l regl del trpecio pr n =, h = / =, N() N() T = [ 4 + e ] e + 44, 58. ( + e ) ( + e ) Con l regl del Simpson pr n =, h = / =, N() N() S = [ e ] e + 46, 48. ( + e ) ( + e ) b) Y se h obtenido en el prtdo ) que N() N() = 46, 45. Por tnto, N() = N() + 46, 45 = , 45 = 7, 45. 8

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