Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras

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1 Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Estadística. 4 o Curso. Licenciatura en Ciencias Ambientales Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 8

2 Índice 1 Introducción 2 Espacio de probabilidad 3 Variables aleatorias.independencia 4 Parámetros de una variable aleatoria 5 Principales distribuciones de probabilidad 6 Muestra Aleatoria Simple de una variable aleatoria 7 Distribuciones muestrales Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 8

3 6. Muestra Aleatoria Simple de una variable aleatoria Definición Al medir la variable X en todos los individuos de la muestra de tamaño n, obtenemos n datos numéricos de dicha variable. Desde el punto de vista teórico (antes de haber elegido los sujetos sobre los que realizar las mediciones), los datos, todavía desconocidos, se representan mediante las variables aleatorias X 1,..., X n. Si estas variables verifican: a) Son independientes, es decir, la medición de la variable X sobre cada individuo de la muestra no influye en las mediciones realizadas sobre el resto de individuos de dicha muestra. b) Tienen idéntica distribución de probabilidad que X, es decir, las sucesivas mediciones de la variable se han hecho bajo las mismas condiciones. se dice que forman una Muestra Aleatoria Simple de X. Estadísticos Un estadístico es una función de la Muestra Aleatoria Simple X 1,..., X n. Por ejemplo la media muestral X, la varianza muestral S 2. Son también variables aleatorias y sintetizan la información contenida en la muestra. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 8

4 Definición Puesto que los estadísticos son variables aleatorias tienen distribución de probabilidad a las que llamaremos distribuciones muestrales. A continuación estudiaremos distribuciones muestrales que se relacionan con datos procedentes de una variable X N(µ, σ). Concretamente, si tenemos una Muestra Aleatoria Simple de dicha variable, estudiaremos las distribuciones muestrales que se corresponden con los estadísticos media muestral, X, y varianza muestral, S 2. Si tenemos sendas Muestras Aleatorias Simples de dos variables X e Y, veremos la distribución muestral que se corresponde con el cociente de las varianzas de ambas muestras, S 2 X/S 2 Y. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 8

5 Distribuciones muestrales relacionadas con X Distribución Normal X N(µ, Distribución t de Student σ n ) tipificando X µ S/ n t(n 1) X µ σ/ N(0, 1) n El símbolo t(n 1) nos dice que el cociente anterior tiene una distribución de probabilidad llamada t de Student con n 1 grados de libertad. Esta distribución, es muy parecida a la N(0, 1) y su función de densidad es muy compleja. t(4) Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 8

6 Distribución muestral relacionada con S 2 Distribución Chi Cuadrado (n 1)S 2 σ 2 χ 2 (n 1) El símbolo χ 2 (n 1) nos dice que el cociente anterior tiene una distribución de probabilidad llamada chi cuadrado con n 1 grados de libertad. Esta distribución sólo toma valores positivos y su función de densidad es muy compleja. En el siguiente gráfico aparecen densidades chi cuadrado con 3 (línea continua) y 5 (línea discontinua) grados de libertad: χ 2 (3) y χ 2 (5) Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 8

7 Distribución muestral relacionada con S 2 X/S 2 Y Distribución F de Snedecor S 2 X/σ 2 X S 2 Y /σ2 Y F(n 1, m 1) El símbolo F(n 1, m 1) nos dice que el cociente anterior tiene una distribución de probabilidad llamada F de Snedecor con n 1 y m 1 grados de libertad. Esta distribución sólo toma valores positivos y su función de densidad es muy compleja. Su representación gráfica es parecida a la de la chi cuadrado: F(3,5) Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 8

8 Muestras grandes. Distribuciones muestrales aproximadas Hasta el momento hemos supuesto que tenemos una Muestra Aleatoria Simple de una una variable aleatoria con distribución N(µ, σ). Si la muestra es grande, aunque no proceda de una variable normal, podemos obtener distribuciones muestrales aproximadas. Supongamos que tenemos una muestra X 1,..., X n de una variable aleatoria no normal con media µ y desviación típica σ. Si n > 30 Si n > 100 X µ σ/ aprox N(0, 1) n X µ S/ n aprox N(0, 1) Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso / 8

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