Escaleno: Obtusángulo: un ángulo obtuso TEOREMAS FUNDAMENTALES O PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

Transcripción

1 TRIÁNGULO: Superfiie pln limitd por tres segmentos o ldos que se ortn dos dos en tres vérties. NOMNLTUR: Los vérties se nombrn on letrs minúsuls y los ldos on letrs myúsuls emplendo l mism letr que el vértie opuesto. LSIFIIÓN LOS TRIÁNGULOS: Según sus ldos b quilátero: los tres ldos igules Isóseles: dos ldos igules Según sus ángulos Reto: utángulo: un ángulo tres ángulos reto(90º) gudos sleno: tres ldos desigules Obtusángulo: un ángulo obtuso TORMS FUNMNTLS O PROPIS LOS TRIÁNGULOS º-L sum de los tres ángulos interiores de un triángulo es de 80º 2º-Todo ángulo eterior de un trángulo es igul l sum de los dos ángulos interiores no dyentes. 3º-L sum de los tres ángulos eteriores de un triángulo es igul 360º. 4º-n todo triángulo isoseles, ldos igules se poponen ángulos igules. 5º-n todo triángulo, myor ldo se opone myor ángulo 6º-n todo triángulo, un ldo es menor que l sum de los otros dos, pero menor que su difereni. PUNTOS Y RTS NOTLS INNTRO: Interseión de ls bisetries, entro de l irunfereni insrit ISTRIZ: s l ret que divide los ángulos o vérties del triángulo en dos mitdes igules. Tmbien es l ret uyos puntos equidistn de los ldos de un ángulo. Por lo tnto el inentro está l mism distni de los tres ldos del triángulo. RINTRO: Interseión de ls medins, entro de grvedd del triángulo MIN: s l ret de un triángulo que prte de un vértie l punto medio del ldo opuesto. IRUNNTRO:Pto de orte de mediries, entro de irunfereni irunsrit MITRIZ: es l ret que divide los ldos del triángulo en dos mitdes igules, tmbién equidist de los vérties. Por lo tnto el irunentro equidist de los tres vérties del triángulo. ORTONTRO: Interseión de ls lturs LTUR: L ltur en un triángulo (y en ulquier polígono) es l ret que prte de un vértie perpendiulr l ldo opuesto Triángulos: lsifiión, Teorems y rets notbles

2 onstruión de un triángulo onoidos sus tres ldos: 3 4 º Sobre un ret r se opi el segmento. 2º on rdio y entro trzmos otro ro. 3º on rdio y entro en trzmos otro ro. 4º L interseión de mbos ros es el vértie. onstruión de un triángulo equilátero onoid l ltur: º Trzmos un ret orizontl donde 3 4 situremos l bse del triángulo. prtir de est trzmos un perpendiulr y sobre ell opimos l ltur dd. 2º ividimos l ltur en tres prtes igules. 3º Hiendo entro en l primer división de l ltur, on rdio st el etremo superior de est trzmos un 4º Los puntos donde l irunfereni ort l ret de l bse sern los iurunfereni. etremos de est. Trzmos el triángulo. onstruión de un triángulo isóseles onoid l bse y l ltur : º Trzmos un ret orizontl donde situremos l bse del triángulo. prtir de est trzmos l meditriz y sobre ell opimos l ltur dd. 2º ividimos l ltur en tres prtes igules. onstruión de un triángulo isóseles onoidos los ldos igules y l ltur : 3 º Trzmos un ret orizontl donde situremos l bse. prtir de est trzmos un perpendiulr y sobre ell opimos l ltur dd. 2º on entro en el etremo superior de l ltur y rdio igul l ldo ddo trzmos un ro que ort l primer ret en dos puntos que serán los etremos de l bse. 3º Trzmos el triángulo. onstruión de un triángulo isóseles onoid l bse y el ángulo opuesto: º- Trzmos el ro pz de dio ángulo. 2º- l punto donde l meditriz (que y emos trzdo pr verigur el entro del ro) ort l ro pz es el vértie superior del triángulo. onstruión de un triángulo onoidos dos ldos y y l medin orrespondiente : 3 º- Trzmos l meditriz de enontrndo el punto M. 2º- prtir del segmento M, emplendo ls mgnitudes del ldo y medin M, trzmos el triángulo M. M 3º- Trzmos el triángulo. M M M onstruión de un triángulo onoido el ldo el ngulo dyente y el ángulo opuesto : º- prtir on vértie en el etremo del ldo ddo opimos el ángulo. 2º- Sobre un punto ulquier () del ldo del ángulo opido, opimos el ángulo. 3º- Trzmos un prlel ese terer ldo psndo por pr obetener el punto y trzmos el triángulo. 2 3 NOT: Podemos sustituir el 2º y 3er psos de este método por l onstruión del ro pz del ángulo del segmento. donde este ort l ret obliu enontrremos. (ibujo l deere). Triángulos: onstruiones

3 onstruión de un triángulo retángulo onoido un teto y el ángulo dyente no reto: º-opimos el segmento sobre un ret orizontl. esde el etremo levntmos un perpendiulr. 3 2º- prtir del etremo opimos el ángulo ddo. 3º-l punto interseión entre el ldo del ángulo opido y l perpendiulr por es. Trzmos el triángulo. onstruión de un triángulo retángulo onoid l ipotenus y un teto : 3 º- Trzmos un semiret y por su etremo levntmos un perpendiulr. Sobre est opimos l medid del teto. 2º- on entro en (etremo superior del teto) y rdio trzmos un ro que ort l semiret en, terer vértie del triángulo. 3º- Trzmos el triángulo. onstruión de un triángulo retángulo onoido el teto y el ángulo opuesto: º-opimos el segmento sobre un ret orizontl. esde el etremo levntmos un perpendiulr. 2 2º- Sobre es perpendiulr elegimos un punto y on este omo vértie opimos el ángulo ddo. 3º- Trzmos un prlel l ldo oblíuo del ángulo opido psndo por el punto. n l interseión de est prlel 3 on l primer perpendiulr enontrmos el punto y y podemos trzr el triángulo. OTRO MÉTOO: Podemos sustituir los psos 2º y 3º por el trzdo del RO PZ del ángulo ddo sobre el segmento. onstruión de un triángulo retángulo onoid l ipotenus y el teto : l ángulo opuesto l ipotenus en un ángulo reto es siempre reto. l ro pz de 90º de ulquier segmento es l semiirunfereni. º- Hymos el punto Medio y trzmos l semiirunfereni del segmento. 2º- on entro en y rdio trzmos un ro 2 3 que ort l semiirunfereni en el pto. 3º- Trzmos el triángulo. onstruión de un triángulo retángulo onoid l ipotenus y l sum de los tetos b+ : º- prtir de un etremo del 3 4 segmento b+ trzmos un ret 45º. 2º- on entro el otro etremo y rdio trzmos un ro que ort l ret 45º en 45º b+ b+ b+ dos puntos que son dos soluiones (dos posibles vérties ) 3º- prtir de los puntos (o uno de ellos) trzmos un perpendiulr on el segmento b+. el punto donde est lo orte tendremos el terer vértie () del triángulo. (obtenemos dos soluiones que umplen los dtos del enunido. onstruión de un triángulo retángulo onoid l ipotenus y sobre est el punto H por donde ps l bisetriz del ángulo reto del triángulo (seletividd Vleni, 200): H Podemos sosper que neesitremos yr el ro pz de 90º o de 45º y que sbemos que el vértie busdo será de 90º. on esto podemos resolver el problem de dos forms: H H º- Trzmos el ro pz de 90º del segmento y el de 45º de H (donde mbos se ortn se enuentr l soluión). 2º- Trzmos dos ros pes de 45º uno pr el segmento H y el otro pr el H. Triángulos retángulos: onstruiones

4 URILTRO: s un polígono que tiene utro ldos, utro vérties y dos digonñes. -L sum de sus ángulos interiores es igul 360º. -Ls sum de sus ángulos eteriores es igul 360º. LSIFIIÓN: PRLLOGRMO: s un tipo espeil de udriláteros los ules tiene los ldos prlelos dos dos. PROPIS LOS PRLLOGRMOS: - n todo prlelogrmo los ángulos y ldos opuestos son prlelos (igul medid). - Tienen dos pres de ldos opuestos prlelos. - Ls digonles se ortn en su punto médio. - os ángulos ontiguos son suplementrios (sumn 80º). URO: utro ángulos utro ldos igules ROMO: Ldos igules ángulos igules dos dos. igonl myor y otr menor se ortn en putos. medios formndo 90º. RTÁNGULO: utro ángulos retos(90º).ldos igules dos dos. ROMOI: Ldos igules dos dos ángulos igules dos dos. ldos igules y prlelos dos dos TRPIO: udrilátero que tiene dos ldos opuestos prlelos TRPIO ISOSLS: dos ldos prlelos dos ldos igules dos digonles igules TRPIO RTÁNGULO: os ángulos retos os ldosprlelos TRPIO SLNO: dos ldos prlelos ldos y ángulos desigules TRPZOI: ángulos desigules ldos desigules y no prlelos URILÁTRO INSRIPTIL: Un udriltero si todos sus vérties puede psr un irunfereni. Un udrilátero es insriptible si sus ángulos internos opuestos son suplementrios: +=+=80º URILÁTRO IRUNSRIIL: Un udrilátero es irunsribible si puede onterener un irunfereni tngente todos sus ldos. Un udrilátero es irunsribible si l sum de sus ldos opuestos es igul +=b+d POLÍGONO INSRITO POLÍGONO IRUNSRITO d b LOS URILTROS: lsifiión y Propieddes

5 onstruión de un retángulo onoidos sus ldos: º- Por un etremo del segmento trzmos un perpendiulr y opimos sobre ell el segmento º- on entro en trzmos un ro de rdio. 3º- on entro en trzmos un ro de rdio. nontrndo el punto. Trzmos el retángulo. onstruión de un retángulo onoido un ldo y l digonl : º- Trzmos l meditriz de l digonl b y desde el punto medio trzmos l irunfereni de l 3 ul es diámetro. 2º- on rdio y entros y trzmos dos ros que ortn l irunfereni en y 3º- Trzmos el retángulo. onstruión de un retángulo onoid l sum de dos ldos y l digonl : 2 45º 3 4 º-Trzmos un semiret, situndo el punto y prtir de este los segmentos y superpuestos. 2º- Trzmos l meditriz de, enontrndo el pt.o, on entro en este trzmos l semiirunfereni de diámetro enontrndo el pto. sobre l meditriz trzd. 3º- on rdio y entro en trzmos un ro, otro on entro en y rdio, donde se ortn enontrmos el punto F, urto vértie. 4º- Unimos ---F. º- Trzmos desde el etremo un ret que form 45º on el segmento. on entro en el etremo y rdio trzmos un ro que ort l ret on 45º en el punto. 2º- esde trzmon un perpendiulr, ortándolo en. 3º- on entro en y rdio trzmos un ro. Trzmos otro on entro en y rdio. Obtenemos el punto. 4º- Unimos,, y pr dibujr el retángulo. onstruión de un retángulo onoid l sum de dos ldos y l difereni de estos : F 2 F 3 4 onstruión de un retángulo ddos el ldo y l sum del otro ldo y l digonl,: º- Trzmos un triángulo retángulo on los segmentos ddos omo tetos. L sum del ldo on l digonl será l bse. 3 2º-Trzmos l meditriz de l ipotenus, el punto de orte de est on l bse será el terer vértie del retángulopedido. 3º- Por trzmos prlel y por prlel. onstruión de un retángulo onoid l difereni entre l digonl y l bse,, y l ltur, : 3 º- onstruimos un triángulo retngulo on los tetos formdos por los segmentos onoidos. ser l bse y (l ltur) quedr en vertil. 2º- Trzmos l meditriz de l ipotenus on lo que enontrremos el punto en l interseión on l prolongión de. 3º- Trzmos un prlel por y trzmos otr prlel por. RTÁNGULOS: onstruiones

6 onstruión de un rombo onoidos el ldo y un digonl : º- Tommos omo rdio el ldo y on entro en los etremos de l digonl trzmos utro ros. Obtenemos los ptos. y. 2º- Unimos --- pr trzr el rombo. onstruión de un rombo onoido un ángulo () y l digonl : º- opimos el ángulo (), trzmos su bisetriz y sobre ell, 2 prtir del vértie, opimos l digonl. 2º- prtir de trzmos prlels l los ldos del ángulo y prolongmos estos (si es neesrio). sí obtenemos los puntos y. Trzmos el rombo ---. () () onstruión de un rombo onoids ls digonles y : () º- Trzmos ls meditries de mbs digonles. 2º- Sobre l meditriz de y prtir del punto medio de l digonl opimos ls dos mitdes de l digonl menor, obteniendo los puntos y sobre est. Trzmos el rombo. onstruión de un romboide onoidos sus ldos y y un ángulo (): º- opimos el ángulo () y sobre sus ldos, prtir de, () opimos los ldos ddos y. 2º- prtir de y trzmos prlels los ldos del ángulo. onde mbs se ortn tenemos el punto. Trzmos el romboide. L PROIMINTO ST PROLM S L MISMO PR UN ROMO O L ÁNGULO Y SU LO. onstruión de un romboide onoid sus ltur y sus ldos y : 3 () () º- Situmos el ldo y trzmos un prlel este un distni. 2º- Tommos omo rdio de ompás el otro ldo,, y on entro en y en trzmos dos ros que ortn l prlel en y. 3º- Trzmos el trpezoide. onstruión de un romboide onoid l bse y ls digonles y : /2 /2 /2 /2 O O SMOSQU N ULQUIR PRLLOGRMO LS IGONLS S ORTN N SUS PUNTOS MIOS º- Situmos l bse. Trzmos ls meditries de ls digonles y pr onoer sus mitdes. 2º- on entro en un etremo de l bse y rdio /2 un ro. on entro en y rdio /2 trzmos otro ro que ort l primero en O. 3º- prtir de O opimos el resto de ls digonles /2 y /2 pr enontrr los puntos y. 4º- Trzmos el romboide. ROMOS Y ROMOIS:: onstruiones

7 onstruión de un trpeio esleno onoiendo los utro ldos: º- Situmos el segmento omo bse, sobre el y prtir de opimos el ldo opuesto (prlelo) ortndo l bse en. 2º- Tommos on el ompás l medid del ldo y on entro en trzmos un ro. Tommos l medid del ldo y on entro en trzmos un ro. obtenemos el punto. 3º- Trzmos el ldo. el segmento es prlelo e igul l segmento. 4º on entro en y rdio trzmos un ro. on entro en y rdio trzmos otro ro pr obtener. 5º- Trzmos el trpeio esleno. onstruión de un trpeio esleno onoiendo sus bses ( y ) y sus digonles ( y ): º- Situmos el segmento omo bse, lo prolongmos y prtir de opimos el ldo opuesto (prlelo) ortndo l prolongión en. 2º- Tommos on el omás l medid de l digonl y on entro en trzmos un ro. Tommos l medid de l digonl y on entro en trzmos un ro. Obtenemos el punto. 3º- on entro en trzmos un ro de rdio igul l digonl. Y on entro en trzmos otro ro on rdio igul l bse superior. Obtenemos el punto 4º- Trzmos el trpedio. N MOS PROLMS HMOS RUIO (SUMNO L S MNROR L MYOR O RSTNOL) L PROLM UN PROLM SNILLO TRIÁNGULOS. L VOLVR L PROLM ORIGINL NONTRMOS L SOLUIÓN ONVIRTINO UN LO L TRIÁNGULO INIIL N L IGONL (O L LO N L PRIMR PROLM) L SOLUIÓN. onstruión de un trpeio retángulo prtir de (vértie reto) onoiendo l bse myor, l ltur y l digonl : 3 º- Situmos el segmento omo bse. Por el etremo levntmos un perpendiulr y sobre est opimos obteniendo de est mner el punto. 2º- Por el punto trzmos un ret prlel l segmento. on entro en y rdio trzmos un ro que ort l prlel (bse superior) en. 3º- Trzmos el trpeio. onstruión de un trpeio Isoseles onoiendo l bse myor, l ltur, y l digonl d: d º- Situmos el segmento omo bse.trzmos un perpendiulr, por ejemplo l meditriz. 2º- prtir del punto medio del segmento opimos. 3º- Por el etremo superior de trzmos un prlel l segmento. 4º- on rdio igul l digonl dd y on entros en los etremos del segmento trzmos dos ros que ortn l prlel de l bse, obteniendo los puntos y 5º- Trzmos el trpeio. TRPIOS: onstruiones