Estudio del Movimiento de Partículas Cargadas en Campos Electromagnéticos

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1 Estudio del Movimiento de Partículas Cargadas en Campos Electromagnéticos A. Peña *, J.J. Sandoval ** Universidad Central, Universidad Santo Tomas 4 de diciembre de 14 Resumen Se muestra la solución analítica de la fuerza de Lorentz para el movimiento de partículas cargadas en campos electromagnéticos uniformes para el caso más general. Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales para el caso más general posible y se muestran algunas consecuencias del resultado. Palabras Clave: Campo eléctrico, Campo magnético, Fuerza de Lorentz 1. Introducción En los cursos de electromagnétismo para ingenieria es trabajado el movimiento de partículas cargadas en campos electromagnéticos, sin embargo en la bibliografía acostumbrada para estos cursos, se trabaja por separado el movimiento en campos eléctricos y magnéticos [1],[],[3]. En el primer caso se trabaja de manera que rememore el tiro parabólico, en tanto que en el segundo se muestra el caso más sencillo posible. Pocas veces, por motivos de tiempo, el docente tiene la oportunidad de mostrar el caso combinado. En ocasiones es posible usar algunos aplets de internet de gran calidad [4].. Marco Teórico Considerese que en una región del espacio existe simultáneamente un campo eléctrico y uno magnético, ambos uniformes. En forma general, las componentes, en un sistema cartesiano, del campo eléctrico y magnético se pueden escribir respectivamente así: E = E x î + E y ĵ + E zˆk B = Bx î + B y ĵ + ˆk 1) Ahora considerese que en la misma región donde existen los campos eléctrico y magnético antes mencionados, llega una partícula cargada electrón, protón, ión, etc) con una velocidad inicial cuyas componentes se pueden escribir así: v = v x î + v y ĵ + v zˆk ) La fuerza neta fuerza de Lorentz) que actúa sobre la partícula de carga q y que determina su movimiento dentro de la región donde existen los campos eléctrico y magnético, se puede escribir en términos de los campos de la siguiente forma: F NETA = q E + q v B 3) Y de manera más explicita se puede escribir como: F NETA = qe x + v y v z B y )î + qe y v x + v z B x )ĵ + qe z + v x B y v y B x )ˆk 4) * apenar@ucentral.edu.co ** johnsandoval@usantotomas.edu.co 1

2 Es posible escribir esta fuerza neta según la segunda ley de Newton: F NETA = m a = m d r dt = md x dt î + md y dt ĵ + md z dt ˆk 5) Igualando las ecuaciones 4) y 5) componente por componente, se obtiene: qe x + v y v z B y ) = m d x dt 6) qe y v x + v z B x ) = m d y dt qe z + v x B y v y B x ) = m d z dt Estas tres ecuaciones constituyen un sistema de 3 tres ecuaciones diferenciales de segundo orden, lineales y acopladas. A continuación se muestra un método para resolver estas ecuaciones, este método tienen la particularidad que permite que el estudiante recuerde y ponga en práctica sus conocimientos básicos de algebra lineal y ecuaciones diferenciales. 3. Planteamiento y Desarrollo del Modelo Resolver el sistema directamente puede ser un poco complejo así que para resolverlas se puede usar una transformación de cooredenadas tomando el eje z parálelo al campo magnético. Este procedimiento es equivalente a suponer que el campo magnético sólo tiene una componente. De está forma se simplifican las ecuaciones y se obtiene: qe x + v y ) = m d x dt 7) qe y v x ) = m d y dt 8) qe z = m d z dt 9) con estas consideraciones las ecuaciones 7) y 8) están acopladas pero la ecuación 9) se ha desacoplado. Las ecuaciones 7) y 8) se solucionan para la velocidad, es decir, se reescriben como: qe x + v y ) = m dv x dt 1) qe y v x ) = m dv y dt despejando v y de la ecuación 1) y suponiendo que es diferente de cero tenemos: 11) derivando se llega a y reemplazando en la ecuación 11) y reorganizando términos se obtiene v y = m dv x q dt E x 1) dv y dt = m d v x q dt 13) d v x dt + v Bz q x m = E yq m 14)

3 cuya solución general es de la forma v x t) = Gcost) + H sin t) + J 15) donde se debe determinar G, H, J y, esto se hace reemplazando la ecuación 15) en la ecuación 14). Primero se cálculan las derivadas de 15) al reemplazar en la ecuación 14) se llega a: dv x t) = G sint) + H cost) dt 16) d v x t) dt = G cost) H sint) 17) G cost) H sint) + B zq reordenando términos se tiene que B Gcost) z q ) m esta ecuación es cierta sí 18) m Gcost) + H sint) + J) = E yq m 19) B + H sint) z q ) m + J B zq m = E yq m ) = B zq m, J = E y 1) de esta forma se encuentra el valor de J, y. Para encontrar G y H se usan las condiciones iniciales v x ) = v x y v y ) = v y, para ello se retoman las expresiones 1) y 15) en donde se reemplazan las expresiones correspondientes, aplicando las condiciones iniciales se tiene lo que implica que v x t) =Gcost) + H sint) + E y ) v y t) = m q G sint) + H cost) E x 3) v x ) = G + E y = v x G = v x E y v y ) = Hm q Ex = v y 4) H = v y + Ex 5) Como el inerés son las posiciones, se deben integrar las ecuaciones de velocidad de la siguiente forma: v x dt = dx dt dt = xt) donde se reemplaza x) = x como es más habitual escribir. Así se llega a [ xt) x = v x E ) y cost ) + v y + Ex y se obtiene x) dx = xt) x 6) ) sint ) + E y ] dt 7) xt) = x + v x E ) y sint) v y + E ) x cost) 1 + E yt 8) 3

4 Un preocedimiento similar se debe seguir para la otra componente de la velocidad, a continuación se muestra: dy yt) v y dt = dt dt = dy = yt) y 9) donde se reemplaza y) = y como es más habitual escribir. Así se tiene [ yt) y = v x E ) y sint ) + v y + Ex y se obtiene: y) ) cost ) E x ] dt 3) yt) = y + v x E ) y cost) 1 + v y + E ) x sint) E xt 31) donde = q /m. Para completar las ecuaciones de trayectoría se escribe también la solución de la ecuación 9) que no hace parte del sistema acoplado. Su solución es el caso es la correspondiente a un movimiento uniformemente acelerado. zt) = z + v z t + qe z m t 3) 4. Resultados del Modelo Las ecuaciones 8), 31) y 35) son las ecuaciones de movimiento de la partícula. Para comprender esta solución analizaremos diferentes casos típicos Partícula en presencia de un campo magnético Imaginese que la partícula tiene velocidad inicical v = v x, v y, v z ) e ingresa en una región en la que no hay campos eléctricos, pero existe un campo magnético B =,, ). En este caso las tres ecuaciones solución se reducen a: xt) = x + v x sint) v y cost) + v y 33) cost) sint) yt) = y + v x + v y v x 34) z = z + v z t 35) se pueden tomar las ecuaciones 33) y 34) y reescribirlas como: xt) x v y yt) y + v x ) sint) cost) = v x v y ) cost) sint) = v x + v y ) 36) ) 37) desarrollando los cuadrados y sumando estas dos ecuaciones se tiene xt) x v ) y + yt) y + v ) x = v x + vy 38) esta es la ecuación de un cíirculo en el plano x y con centro en el punto x + v oy /, y v ox /) y radio R = vx + v y. Además la ecuación 35) dice que la partícula en en el eje z se mueve con velocidad constante. Este movimiento es una espiral, pero si las velocidades iniciales v ox y v oy son cero simulataneamente, el radio del círculo es cero y la partícula se mueve en línea recta. En la figura 1 se ve la trayectoria de este tipo las unidades de los ejes son arbitrarias). 4

5 Figura 1: Movimiento espiral de una partícula en un campo magnético. ejes en unidades arbitrarias) 4.. Partícula en presencia de un campo magnético y un campo elécrico perpendiculares En un caso más general tambien la partícula describe movimientos circulares, para ello se hace un procedimiento similar al anterior con las ecuaciones 8) y 31) rescribiendolas primero como: xt) x E yt v y = v x E ) y sint) v y + E ) x cost) 39) yt) y + E xt + v x = v x E ) y cost) + v y + E ) x sint) 4) estas dos ecuaciones se pueden elevar al cuadrado y sumarlas para obtener: xt) x E yt v ) y + yt) y + E xt + v ) x = 1 v x E ) y + 1 v y + E ) x 41) esta tambien es la ecuación de un círculo, solo que ahora su centro se mueve en la coordenada x con velocidad E y / y en la coordenada y con velocidad E x /. El radio del círculo es la raiz cuadrada del término de la derecha, pero como se ve no depende del tiempo, así que este radio es constante. Para ver este fenómeno primero se considera un campo eléctrico con sólo una componente perpendicular al campo magnético. Tomese por ejemplo E = E x,, ) además de las condiciones anteriores. En la figura se ve a la izquierda la vista superior plano x y) allí claramnete el circulo se desplaza a lo largo del eje y, note que un campo en x produce movimiento del circulo en el eje y y viceversa. En la parte derecha de la figura se ve que en la dirección z se mantiene el movimiento constante, la distancia entre los aros de la espiral es constante y es en línea recta. Tambien se puede tomar un campo electrico más complejo, por ejemplo E = E x, E y, ). En la figura 3 se ve a la izquierda la vista superior plano x y) allí claramente el círculo se desplaza a lo largo del eje y y del eje x, note que un campo en x produce movimiento del círculo en el eje y y viceversa. En la parte derecha de la figura 3 se ve que en la dirección z se mantiene el movimiento constante, la distancia entre los aros de la espiral es constante y es en línea recta Campo magnético nulo Un caso interesante es mostrar que sucede cuando no hay campo magnético, no es posible simplemente hacer = en las ecuaciones mostradas, ya que se llegó a ellas suponiendo que no podía ser cero, para esto se supone que tiende a cero y se hace un desarrollo en series de Taylor para recuperar una expresión que corresponde a un movimiento uniformemente acelerado. 5

6 Figura : Movimiento espiral de una partícula en un campo magnético en dirección z y campo eléctrico en dirección x. Izquierda: vista superior plano x y). Derecha: vista en 3D ejes en unidades arbitrarias) Figura 3: Movimiento espiral de una partícula en un campo magnético en dirección z y campo eléctrico en dirección x y en direccion y. Izquierda: vista superior plano x y). Derecha: vista en 3D ejes en unidades arbitrarias) 6

7 Solamente se toman los términos de la serie hasta el segundo orden, recuerde que en esta expansión sin θ θ, cosθ 1 θ / 4) con esto las ecuaciones solución 8) y 31) quedan escritas respectivamente como: xt) = x + v x E ) y t v y + E ) x 1 t / 1 + E yt 43) yt) = y + v x E ) y 1 t / 1 + v y + E ) x t E xt 44) reduciendo términos semejantes en estas ecuaciones, considerando que = q /m y recordando que tiende a cero se obtiene: xt) = x + v x t + qe x m t 45) yt) = y + v y t + qe y m t 46) estas son las ecuaciones de movimiento en un campo eléctrico constante, tal como ocurre con la componente paralela al campo magnético, ecuación 35). 5. Conclusiones Se encontró la trayectoria de partículas en campos electromagnéticos y se estudiarons algunos casos particulares. Se mostro que el campo magético produce movimiento en círculos y los centros de estos círculos se pueden desplazar al introducir campos eléctricos. Se mostró que la solución general se reduce a casos partículares, para obtener estas simplificaciones es suficiente con hacer cero alguna o todas las componentes del campo eléctrico y para el caso del campo magnético es necesario aplicar un desarrollo en series de Taylor. Referencias [1] Sears, F. W. y Zemansky, M. W. Física Universitaria con Física Moderna. Undecima edición. Pearson Education México 5. [] Serway, R. A. y Jewet, J. W. Física Para Ciencias e Ingeniería Séptima edición. Cengage Learning México 8. [3] Ohanian, H. O. y Market, J. T. Física Para Ingenierí y Ciencias Tercera edición. Mc Graw Hill México 9. [4] Recuperado el de septiembre de 13 de 7