OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 0 2

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A Sea las matrices A, B (1 5 putos) Calcule B.B t - A.A t (1 5 putos) Halle la matriz X que verifica (A.A t ).X B Solució Sea las matrices A, B Calcule B.B t - A.A t 1 - B.B t - A.A t (- 5) Halle la matriz X que verifica (A.A t ).X B Dada la matriz C si mediate trasformacioes elemetales de Gauss podemos pasar de la matriz (C I) a la matriz (I D), la matriz D es la iversa de C, es decir D C -1. Tambié podemos calcular la matriz iversa co la fórmula C -1 1 t Adj(C ). C F 1+ F F ( (A A t F F :(1) ) I) (I (A A t ) -1 ), luego la F1-8 F 1 0 5/1 /1 0 1 /1 5/1 0 1 /1 5/1 matriz iversa pedida es (A A t ) -1 5/1 /1 1 5 /1 5/1 1 5 Veámoslo por la fórmula: A A t ; (A At ) t 5 - ; Adj(A A t ) t 5, luego (A A t ) -1 1 t t t Adj(A A ) A A 1 5. Como vemos os da lo mismo. 1 5 Como existe (A A t ) -1 multiplicado la expresió (A.A t ).X B, por la izquierda por (A A t ) -1 teemos: (A A t ) -1 (A.A t ).X (A A t ) -1 B, de dode I X (A A t ) -1 B, es decir X (A A t ) -1 B. X (A A t ) -1 B EJERCICIO _A El beeficio obteido por ua empresa, e miles de euros, viee dado por la fució -5x + 40x - 60 si 0 x 6 f(x) 5x - 15 si 6 < x 10 dode x represeta el gasto e publicidad, e miles de euros. (0 75 putos) Represete la fució f. (0 75 putos) Calcule el gasto e publicidad a partir del cual la empresa o tiee pérdidas. c) (0 75 putos) Para qué gastos e publicidad se produce beeficios ulos? d) (0 75 putos) Calcule el gasto e publicidad que produce máximo beeficio. Cuál es ese beeficio máximo? Solució El beeficio obteido por ua empresa, e miles de euros, viee dado por la fució 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua -5x + 40x - 60 si 0 x 6 f(x) 5x - 15 si 6 < x 10 Represete la fució f. dode x represeta el gasto e publicidad, e miles de euros. Si 0 x 6, f(x) -5x +40x Su gráfica es u trozo de parábola co las ramas hacia abajo ( ), porque el º que multiplica a x es egativo (-). La abscisa de su vértice V es la solució de f (x) 0, es decir -10x , de dode x 4, y V(4,f(4)) V(4,0), que está e su domiio (0 x 6), y es u máximo relativo. Veamos el valor de f e los extremos del itervalo, y sus putos de corte: Para x 0, puto (0,f(0)) (0,-60). Para x 6, puto (6,f(6)) (6,0). Para f(x) 0, -5x +40x 60 0, x 8x + 1 0, de dode x 6 (ya calculado) y x. Puto (,f()) (,0). Si 6 x 10, f(x) 5x/ Su gráfica es u segmeto co pediete positiva (1ª derivada positiv, co dos valores de x es suficiete para dibujarlo. Le damos los valores e los extremos del itervalo. Para x 6 * (o toco el 6), puto (6 *,f(6)) (6 *,0), (No lo pide pero vemos que f es cotiua e x 6). Para x 10, puto (10,f(10)) (10,10). Teiedo e cueta lo aterior u esbozo de la gráfica es: Calcule el gasto e publicidad a partir del cual la empresa o tiee pérdidas. La empresa o tiee pérdidas si f(x) 0. Observado la gráfica teemos x 10, es decir la empresa o tiee pérdidas ivirtiedo e publicidad desde 000 hasta c) Para qué gastos e publicidad se produce beeficios ulos? La empresa tiee beeficios ulos si f(x) 0. Observado la gráfica vemos que ocurre e x y x 6, es decir la empresa tiee beeficios ulos para x 000 y x d) Calcule el gasto e publicidad que produce máximo beeficio. Cuál es ese beeficio máximo? Observado la gráfica vemos que el beeficio máximo se ecuetra e el vértice de la rama parabólica, que es u máximo relativo y e este caso tambié el máximo absoluto. Es el puto (4,0), por tato la empresa tiee beeficio máximo de 0000 gastado 4000 e publicidad. EJERCICIO 3_A Parte I Se laza ua moeda tres veces y se cosidera los sucesos: A: Obteer al meos dos veces cara y B: Obteer cara e el segudo lazamieto. (1 puto) Describa el espacio muestral asociado al experimeto. Calcule p(a) y p(a B). (1 puto) Los sucesos A y B, so idepedietes?, so icompatibles?

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Solució Se laza ua moeda tres veces y se cosidera los sucesos: A: Obteer al meos dos veces cara y B: Obteer cara e el segudo lazamieto. Describa el espacio muestral asociado al experimeto. Calcule p(a) y p(a B). Sea C, X, A y B los sucesos salir cara al lazar ua moeda, salir cruz al lazar ua moeda, Obteer al meos dos veces cara y Obteer cara e el segudo lazamieto. Sabemos que al lazar u moeda tres veces los sucesos so idepedietes, pues los resultados de u lazamieto o ifluye e el otro, por Laplace p(suceso), dos sucesos so icompatibles si p(a B) 0, e idepedietes si p(a B) p(a) p(b) Espacio Muestral E {CCC, CCX,CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}, vemos que hay xx 8 sucesos. A: Obteer al meos dos veces cara { CCC, CCX, CXC, XCC } B: Obteer cara e el segudo lazamieto {CCC, CCX, XCC, XCX} A B { CCC, CCX, XCC } p(a) 4/8 1/. p(a B) 3/8. p(b) 4/8 1/. Los sucesos A y B, so idepedietes?, so icompatibles? Como p(a B) 3/8 0, los sucesos A y B o so icompatibles. Como p(a B) 3/8 (1/) (1/3), los sucesos A y B o so idepedietes. EJERCICIO 3_A Parte II E ua població ua variable aleatoria sigue ua ley Normal co desviació típica 8. Se ha elegido, al azar, ua muestra de tamaño 100 y su media ha sido 67. (1 puto) Calcule el itervalo de cofiaza, al 93%, para la media de la població. (1 puto) Cuátos datos, como míimo, so ecesarios para estimar, co u ivel de cofiaza del 99%, la media de la població co u error o superior a? Solució σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) x z 1 α/,x + z1 α/ (a, dode z 1-α/ y z α/ - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) 1 - α/ 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E z1 α /, para el itervalo de la media. σ Pero la amplitud del itervalo es b a z1 α / E, de dode E (b /, por tato el tamaño z 1- α/. σ míimo de la muestra es E. E ua població ua variable aleatoria sigue ua ley Normal co desviació típica 8. Se ha elegido, al azar, ua muestra de tamaño 100 y su media ha sido 67. Calcule el itervalo de cofiaza, al 93%, para la media de la població. Datos del problema: σ 8, 100, x 67, ivel de cofiaza 93% α, de dode α De 1 α 0 93, teemos α , de dode α/ 0 07/ De p(z z 1-α/ ) 1 - α/ Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad o viee, y la más próxima es que correspode a z 1-α/ 1 81 (iterpolado z 1-α/ ), por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C. (µ) x z 1 α/,x + z1 α/ '81,67+1' (65 55,68 448) Cuátos datos, como míimo, so ecesarios para estimar, co u ivel de cofiaza del 99%, la media de la població co u error o superior a? Datos del problema: σ 8, E <, ivel de cofiaza 99% α, de dode α 0 01, es decir α/ 0 01/ De p(z z 1-α/ ) 1 - α/ Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad o viee, las más próximas so y que correspode a 57 y 58, por tato z 1-α/ es la media es decir z 1-α/ ( )/ 575, por tato tamaño míimo pedido es: z 1- α/. σ '575 8 > E , es decir el tamaño míimo es 107. OPCIÓN B EJERCICIO 1_B (3 putos) Ua fábrica produce bombillas de bajo cosumo que vede a 1 euro cada ua, y focos halógeos que vede a 1 5 euros. La capacidad máxima de fabricació es de 1000 uidades, etre bombillas y focos, si bie o se puede fabricar más de 800 bombillas i más de 600 focos. Se sabe que la fábrica vede todo lo que produce. Determie cuátas bombillas y cuátos focos debe producir para obteer los máximos igresos posibles y cuáles sería éstos. Solució x Número de bombillas. y Número de focos. Fució Objetivo F(x,y) x + 1 5y. ( vede las bombillas a 1, y focos a 1 5 ) Restriccioes: La capacidad máxima de fabricació es de 1000 uidades x + y No se puede fabricar más de 800 bombillas i más de 600 focos x 800. No se puede fabricar más de 800 bombillas i más de 600 focos. y 600 Se sabe que la fábrica vede todo lo que produce. x 0 e y 0 Las desigualdades x + y 1000; x 800; y 600; x 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, x + y 1000; x 800; y 600; x 0; y 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y -x ; x 800; y 600; x 0; y 0; Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x 0 e y 0. El puto de corte es A(0,0) De x 800 e y 0. El puto de corte es B(800,0) De x 800 e y -x ; teemos y 00, y el puto de corte es C(800,00) De y 600 e y -x ; teemos 600 -x , de dode x 400 e y 600, y el puto de corte es D(400,600) De x 0 e y 600. Teemos el puto de corte es E(0,600) Vemos que los vértices del recito so: A(0,0); B(800,0); C(800,00); D(400,600) ;E(0,600). Calculemos el máximo de la fució F(x,y) x + 1 5y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,0); B(800,0); C(800,00); D(400,600) ;E(0,600). F(0,0) (0) + 1 5(0) 0; F(800,0) (800) + 1 5(0) 800; F(800,00) (800) + 1 5(00) 1100; F(400,600) (400) + 1 5(600) 1300; F(0,600) (0) + 1 5(600) 900. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 1300 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice D(400,600), es decir el úmero beeficio máximo es de 1300 y se alcaza fabricado 400 bombillas y 600 focos halógeos. EJERCICIO _B (1 5 putos) La fució f(x) x 3 + ax + bx tiee u extremo relativo e x y u puto de iflexió e x3. Calcule los coeficietes a y b y determie si el citado extremo es u máximo o u míimo relativo. x (1 5 putos) Calcule la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució g(x) e el puto x - de abscisa x 3. Solució La fució f(x) x 3 + ax + bx tiee u extremo relativo e x y u puto de iflexió e x 3. Calcule los coeficietes a y b y determie si el citado extremo es u máximo o u míimo relativo. Sabemos que la fució f(x) x 3 + ax + bx es ua fució poliómica, por tato cotiua y derivable e R las veces que os haga falta. Sabemos que los extremos relativos aula la 1ª derivada f (x). Además si f (c) 0 y f (c) < 0, x c es u máximo relatico, y si f (c) > 0, x c es u míimo relativo. Tambié sabemos que los putos de iflexió aula la ª derivada f (x). La fució f(x) x 3 + ax + bx tiee u extremo relativo e x y u puto de iflexió e x 3. Calcule los coeficietes a y b y determie si el citado extremo es u máximo o u míimo relativo. f (x) x 3 + ax + bx; f (x) 3x + ax + b; f (x) 6x + ª 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua De tiee u extremo relativo e x, teemos f () 0, luego 3() + a() + b a + b. De tiee u puto de iflexió e x 3, teemos f (3) 0, luego 6(3) + a 0, luego a -9. Etrado e 1 + 4a + b 0, teemos 1 + 4(-9) + b 0, luego b 4. La fució pedida es f(x) x 3-9x + 4x. Como f () 0 y f () 6() 18-6 < 0, resulta que x es u máximo relativo. x Calcule la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució g(x) e el puto de abscisa x 3. x - Recordamos que la recta tagete e x 3 es y g(3) g (3) (x 3). Alguas derivadas y reglas de derivació. / f(x) f'(x).g(x) - f(x).g'(x) ( f(x)+g(x) ) f (x)+g (x); ; (x k ) k.x k-1 ; (k) 0. g(x) (g(x)) x g(x) x - ; g (x) 1 (x - ) - x 1 - (x - ) (x - ) Luego g(3) 3/1 3 y g (3) -/1 -. La recta tagete es y 3 - (x 3), es decir y -x + 9. EJERCICIO 3_B Parte I E u tribual se ha examiado 140 alumos de u Istituto A y 150 de otro Istituto B. Aprobaro el 80% de los alumos del A y el 7% del B. (1 puto) Determie el tato por cieto de alumos aprobados por ese tribual. (1 puto) U alumo, elegido al azar, o ha aprobado, cuál es la probabilidad de que perteezca al Istituto B? Solució E u tribual se ha examiado 140 alumos de u Istituto A y 150 de otro Istituto B. Aprobaro el 80% de los alumos del A y el 7% del B. Llamemos A, B, Ap y Su, a los sucesos siguietes, alumos del istituto A, alumos del istituto A, "alumos aprobados" y "alumos suspesos", respectivamete. Además teemos p(a) 140/( ) 14/9, p(b) 150/( ) 15/9, p(ap/a) 80% 0 8 y p(ap/b) 7% 0 7 Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de ellas que parte de u mismo odo vale 1). Determie el tato por cieto de alumos aprobados por ese tribual. Aplicado el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de aprobados (tato por cieto) es: p(ap) p(a).p(ap/a) + p(b).p(ap/b) (14/9) (0 8) + (15/9) (0 7) / %. U alumo, elegido al azar, o ha aprobado, cuál es la probabilidad de que perteezca al Istituto B? Aplicado el teorema de Bayes, teemos: p( B Su ) p( B).p(Su/B ) (15/9) (0'8) (15/9) (0'8) p(b/su) 3/ p(su) 1 - p(ap) 1 - (/9) 7/9 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 3_B Parte II ( putos) Para estimar la proporció de estudiates de ua Uiversidad que está a favor de u aumeto del importe de las becas, se etrevistó, aleatoriamete, a 500 estudiates, de los cuales 465 respodiero afirmativamete. Calcule el itervalo de cofiaza, al 98%, e el cual se hallará la proporció de la població uiversitaria que está a favor del aumeto de la cuatía de las becas. Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) o p N( p q p, ). Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ I.C.(p) p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. (b- dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )1-α/. p(1 ˆ p) ˆ El error cometido es E < z 1 α /. (b-/, de dode el tamaño de la muestra es > ˆˆ. (z 1-α/ ).p.q E Para estimar la proporció de estudiates de ua Uiversidad que está a favor de u aumeto del importe de las becas, se etrevistó, aleatoriamete, a 500 estudiates, de los cuales 465 respodiero afirmativamete. Calcule el itervalo de cofiaza, al 98%, e el cual se hallará la proporció de la població uiversitaria que está a favor del aumeto de la cuatía de las becas. Datos del problema: p 465/ , q , 500, ivel de cofiaza 1 α 98% 0 98, de dode α 0 0 % como ivel de sigificació. De α 0 0 teemos α/ 0 01 De la igualdad p(z z 1-α/ ) 1 - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/. Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0 99 o viee e la tabla y el más próximo es que correspode a z 1-α/ 33 (iterpolado z 1-α/ 3667). Por tato el itervalo de cofiaza pedido es: p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ 0'93.0'07 0'93.0'07 I.C.(p) p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. 0'93 - '33.,0'93 + ' (0 9034; ) 7

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