Límites y Continuidad de funciones de varias variables

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1 1- Se construe un depósito de propano adosando dos hemisferios a los etremos de un cilindro circular recto Epresar el volumen V de ese depósito en función del radio r del cilindro de su altura h - Determinar si las siguientes funciones son acotadas: a) z = sen ( + ) cos( - e ) b) z = + + e c) 1 1 z = sen + sen 3- Hallar el dominio la imagen o recorrido de las funciones: 9 a) f(, ) = ln( 6) b) g(,) = c) h(,) = arc cos d) p(,) = + - Hallar las curvas de nivel de las funciones: a) z = b) z = sen() c) z = + 5- La temperatura T (en grados Celsius) en cualquier punto (, ) de una placa circular de 10m de radio es: T = 600-0,75-0,75 Donde e se miden en metros Calcular dibujar algunas curvas isotermas: 6- Calcular los siguientes límites: 5 a lím (, ) ( 1, ) d lím ( ) ( ) + b lím c lím (, ) ( 1, 1 ) + (, ) ( 1,1 ) 3 + e 1 e lím, 0,0 + (, ) ( 0,0 ) f lím + (, ) ( 0,0 ) sen ln(1 + ) 7- Estudiar la continuidad de las funciones: si (, ) (0,0) f(,)= + ; g(,)= 0 si (, ) = (0,0) si (,) (0,0) + 0 si (,) = (0,0) 8- Dada la función: si (, ) ( 0,0) f (, ) = + 3, se pide: k si (, ) = ( 0,0) a Hallar, si eiste, lím f (, ) (,) ( 0, 0) b Estudiar la continuidad de f en todo R, según los valores de k U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

2 9- Estudiar la continuidad en (0, 0) de las siguientes funciones: si (, ) ( 0,0) a f (, ) = + 0 si (, ) = ( 0,0) g(, ) si (, ) ( 0,0) b h(, ) = +, siendo g(, ) una función continua en (0,0) 0 si (, ) = ( 0,0) 1 tal que g (0, 0) =0 Nota: Utilizar que ( + ) ( ) si (, ) ( 0,0) c j(, ) = + 0 si (, ) = ( 0,0) sen sen si (, ) (0,0) 10- Dada la función f(,)= + Se pide: k si (, ) = (0,0) a) Hallar, si eiste, lím f (, ) (,) ( 0, 0) b) Estudiar la continuidad de f en todo R, según los valores de k sen Dada la función z = Se pide: + a) Dominio de la función b) Límites reiterados en el punto (0,0) c) A la vista del resultado anterior eiste el límite de f en (0,0)? En caso afirmativo calcularlo d) Es continua la función en (0,0)? e) Definir f(0,0) para que f sea continua en dicho punto 1- Para las siguientes funciones, probar que el valor de lím f (, ) depende del (,) ( 0, 0) camino elegido para acercarse a (0,0): 3 a) f(, ) = b) f(, ) = ( ) Consideremos lím ( ) ( ), 0,0 Se pide: a) Determinar, si es posible, el límite a lo largo de cualquier recta = m b) Determinar, si es posible, el límite a lo largo de la parábola = c) Eiste el límite? Justifica la respuesta U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

3 1 1- Demostrar aplicando la definición de límite que lim cos = 0 (,) ( 0, 0) 15- Dada la función si (, ) (0,0) f (, ) = + se pide: k si (, ) = (0,0) a) Límites radiales en (0, 0) b) Límites reiterados en (0, 0) c) Eiste límite en (0, 0)? d) Eiste algún valor de k para el cual la función sea continua en todo R? lim 16- Eiste el ( ) ( ) ( ), 0,0 +? Caso afirmativo, calcularlo 17- Sea (, ) ( ) sin + si (, ) ( 0, 0) f = + Se pide: 1 si (,) = ( 0, 0) a) Dominio de f b) Estudiar la continuidad de f 18- Sea f (, ) si, 0, 0 = + 1 si, = 0, 0 a) Dominio de f b) Estudiar la continuidad de f ( ) ( ) ( ) ( ) Se pide: + ( + ) si (, ) ( 0,0) 19- Sea f (, ) = + k si (, ) = ( 0,0) a) Hallar, si eiste, lim f ( ) ( ) (, ), 0,0 b) Es f continua en (0, 0) para algún valor de k? 0- Sea (, ) = + k lim f, 0, 0 f a) Hallar, si eiste, ( ) ( ) (, ) ( + ) si (, ) ( 0,0) si (, ) = ( 0,0) U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 3

4 b) Es f continua en (0, 0) para algún valor de k? 1- Sea f :R Rla función: Obtener lím f (, ) (,) (0,0) según los valores de p q p q si (,) (0,0) f (, ) = si (,) = (0,0) con p>0 q>0 - Sea f f :R Rla función: si (,) (0,0) f (, ) = + 0 si (,) = (0,0) Estudiar la continuidad de 3- Sea f f :R Rla función: si (,) (0,0) f (, ) = + 0 si (,) = (0,0) Estudiar la continuidad de - Sea f :R Rla función: f según los valores de k>0 ( ) k f (, ) = + si (,) (0,0) 0 si (,) = (0,0) Estudiar la continuidad de 5- Sea f :D Rla función: si (,) (0,0) 8 8 f (, ) = si (,) = (0,0) continuidad de f en los siguientes casos: Estudiar la a) D = R {( ) } b) D =, R /, U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

5 1- Se construe un depósito de propano adosando dos hemisferios a los etremos de un cilindro circular recto Epresar el volumen V de ese depósito en función del radio r del cilindro de su altura h Solución: El volumen V del depósito depende de los valores que tengan r h, es único para cada par (r,h) por lo que es una función de r h V(r,h) = πr h + 3 πr 3 U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 5

6 - Determinar si las siguientes funciones son acotadas: a) z = sen ( + ) cos( - e ) b) z = + + e c) 1 1 z = sen + sen Solución: a z = sen ( + ) cos( - e ), 1 sen ( + ) cos( - e ) 1, luego, es acotada: + b z = + e No es acotada pues, por ejemplo, a lo largo del eje OX ( = 0): lím = e 1 1 c z = sen + sen Es acotada, por serlo los dos sumandos: 1 lím sen 0 1 = 0, lím sen = 1 ± U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 6

7 3- Hallar el dominio la imagen o recorrido de las funciones: a) f(, ) = ln( 6) b) g(,) = Solución: a) f(, ) = ln( 6) 9 c) h(,) = arc cos d) p(,) = + e) j(,) = 6 < si < 0 Dominio: -6 > 0 6 > si > 0 Imagen: R (al acercarse el punto (, ) a la hipérbola =6, tiende a ; cuando e crecen, f tiende a ) f b) g(,) = 9 Dominio: Si > 0, 3 3 Si < 0, Recorrido: R lím ± = m g (, ) = ± U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 7

8 c) h(,) = arc cos Dominio: Si > 0, Si < 0, Recorrido: [0, π] d) p(,) = + Dominio: R {(0,0)} Recorrido: R lím ± 0 = p (, ) = ± U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 8

9 e) j(,) = Límites Continuidad de funciones de varias variables Dominio: que es una elipse con los puntos de su interior Recorrido: [0,] U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 9

10 - Hallar las curvas de nivel de las funciones: a) z = b) z = sen() c) z + a) z = = d) z = e e) z = 6-3 = c Son hipérbolas En el dibujo: vector ( = c, c, 1, 10) b z = sen() sen() = c [ 1,1 ] = d + kπ, π π d = arc sen c -, Son hipérbolas En el dibujo: vector (sin() = c, c, -1, 1, 05) c z = + d) En el dibujo: vector ( z = e + = c Son circunferencias centradas en el origen + = c, c, 1, 5) Las curvas de nivel de esta función son de la forma c = e ln c = que corresponden a hipérbolas cuas asíntotas son los ejes de coordenadas U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 10

11 e) z = 6-3 Esta función es un plano inclinado sus curvas de nivel son las rectas c = 6-3, donde c = 0,,, 6, 8 U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 11

12 5- La temperatura T (en grados Celsius) en cualquier punto (,) de una placa circular de 10m de radio es: T = 600-0,75-0,75 Donde e se miden en metros Calcular dibujar algunas curvas isotermas: Solución: Observemos que las condiciones del problema nos indican que 0 10, 0 10, con + 10, por tanto tenemos que la función temperatura T(,) está acotada, por ejemplo, entre T(0,0) =600 T(10,10) = 50 Si queremos precisar más obtener la temperatura mínima de la placa, hemos de tener en cuenta que T = 600-0,75-0,75 = ( + ) que el valor máimo que puede alcanzar + = 10, luego la temperatura mínima de la placa es T = = 55 Por lo tanto 55 < c < 600 las curvas isotermas para c = 55, 50, 555, 570, 585, 600, son, respectivamente: 0,75-0,75 = 75; 0,75-0,75 = 60; 0,75-0,75 = 5; 0,75-0,75 = 30; 0,75-0,75 = 15; 0,75-0,75 = 0 U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

13 6- Calcular los siguientes límites: 5 a lím b lím (, ) ( 1, ) (, ) ( 1, 1 ) d lím e lím (,) ( 0,0) + (, ) ( 0,0 ) + Solución: 5 10 a lím = = (, ) ( 1, ) + 5 c lím (, ) ( 1,1 ) 3 e 1 f lím (, ) ( 0,0 ) sen ln(1 + ) 0 ( + )( ) b lím? lím lím ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1, 1 + 0, 1, 1 + (,) ( 1, 1) c lím (, ) ( 1,1 ) 3 = = = = a lo largo de la recta = 1: 1 lím = lím1 = a lo largo de la recta = 1: lím =? = lím = ( 1)( + + 1) 3 Luego, no eiste el límite, pues de eistir, sería único no coinciden los límites radiales + 0 d lím =? (,) ( 0, 0) + 0 Límites reiterados: lím límf (, ) = lím = lím( 1) = Luego, No eiste, lím( límf (, ) ) = lím = lím1 = De hecho los radiales tampoco coinciden (valen 0 e lím? (, ) ( 0,0 ) = + 0 m 1 ) m + 1 a lo largo de la recta = : lím lím0 0 0 = = 0 + () a lo largo de la recta = : lím lím 0 () = 0 + Luego, no eiste el límite, pues de eistir, sería único e 1 0 f lím =? indeterminación (, ) ( 0,0 ) sen ln(1+ ) 0 e 1 0 lím = lím = lím 1 = 1, (,) ( 0,0) sen ln(1+ ) (,) ( 0,0) (,) ( 0,0) utilizando las equivalencias de infinitésimos siguientes en 0: e 1, sen, ln(1+ ) 0 () + () = 9 5 U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 13

14 7- Estudiar la continuidad de las funciones: si (, ) (0,0) si (,) (0,0) f(,)= + ; g(,)= + 0 si (, ) = (0,0) 0 si (,) = (0,0) Solución: si (, ) (0,0) a) f(,)= + ; 0 si (, ) = (0,0) Límites reiterados en (0, 0): lim lim f (, ) = lim(0) = lim( lim f (, ) ) = lim(0) = Límites radiales en (0, 0): 3 m m 0 lim f(, ) = lim = lim = = 0 (, ) ( 0,0) m 1+ m 1 = m Límite a lo largo de la parábola =a : a a a lim = lim =, que depende del valor de a 0 0 a + a + 1 a + 1 Luego no eiste el límite lim f (, ), por tanto, f no es continua en (0, 0) (,) ( 0,0) Si (, ) (0, 0), f es continua en (, ) por ser compuesta de funciones continuas si (,) (0,0) b) g(,)= + 0 si (,) = (0,0) Límites reiterados en (0, 0): lim lim g(, ) = lim(0) = 0 ( ) ( ) lim lim g(, ) = lim(0) = Límites radiales en (0, 0): 3 m m 0 lim g (, ) = lim = lim = = 0 (, ) m 1+ m 1 = m Luego de eistir el límite, valdría 0 Pasando a polares, se obtiene: ( r cos α) ( rsenα) lím g ( r cos α, rsenα ) = lím = 0 r 0 r 0 ( r cos α) + ( rsenα) Depende de α? r senα cos α No, a que lim = lim g( r) h( r, α) r 0 cos α + r sen α r 0 cero cuando r tiende a cero ( α senα cos α h r, ) = una función acotada En efecto: cos α + r sen α, siendo g ( r) = r una función que tiende a U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

15 lim g( r) = lim r = 0 h cos α r 0 r ( r, α ) = senα 1 1 = 1, a que el numerador cos α 0 cos α + r sen α es menor ó igual que el denominador cos α + r sen α (pues se diferencian en un sumando positivo) Por tanto, se verifica que lim = 0, g es continua en (0, 0) (,) (0,0) + U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 15

16 8- Dada la función: si, f (, ) = + 3 k si, = a) Hallar, si eiste, lím f (, ) ( ) ( ), 0,0 ( ) ( 0,0) ( ) ( 0,0), se pide: b) Estudiar la continuidad de f en todo R, según los valores de k Solución: f(, ) está definida en todo R a que +3 ->0 (, ) (0, 0) En efecto, pasando a coordenadas polares: +3 - = (r cos α +3r sen α -r senα cosα = r (cos α +3sen α -senα cosα ) = r [+sen α -1/ sen(α )] > r [+0-(1/)] = (3/)r > 0 para (, ) (0, 0) a) Es fácil probar que los límites radiales son 0 r cos α r sen α cos α sen α 1 f(, ) 0 = = r < = r = g(r) r + sen α sen( α ) + sen α sen( α) Y lim g( r) = 0 Luego, por el criterio de la maorante, lim f (, ) = 0 (,) (0,0) r 0 b) Si (, ) (0, 0), f es continua en (, ) por ser compuesta por funciones continuas independientemente del valor de k En (0,0): Si k = f(0, 0) = 0 = lim f (, ) entonces f es continua en (0, 0) (,) (0,0) Luego: Si k = 0, f es continua en todo R Si k 0, f es continua en R {(0, 0)} U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 16

17 9- Estudiar la continuidad en (0, 0) de las siguientes funciones: si (, ) ( 0,0) a f (, ) = + 0 si (, ) = ( 0,0) g(, ) si (, ) ( 0,0) b h(, ) = +, siendo g(, ) una función continua 0 si (, ) = ( 0,0) 1 en (0,0) tal que g (0, 0) =0 Nota: Utilizar que ( + ) ( ) si (, ) ( 0,0) c j(, ) = + 0 si (, ) = ( 0,0) Solución: lim f, pues es fácil comprobar que los a) f no es continua en (0, 0) a que no eiste ( ) ( ) ( ), 0,0 límites radiales dependen de m (pendiente de la recta por la que nos acerquemos al origen) 1 b) Como f (, ) tiende a cero, luego lim h ( ) ( ) (, ) = 0 = h( 0,0) 1, 0,0 La acotación de arriba se obtiene haciendo: 1, h(, ) es el producto de una función acotada por una función que, luego, h es continua en (0, 0) α 1 1 ( α) z = ( ) = z senα z cosα = z senα cosα = z sen ( ) si (, ) ( 0,0) c j(, ) = + 0 si (, ) = ( 0,0) Es un caso particular del apartado anterior para ( ) Luego, j es continua en (0, 0) 1 g, = z U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 17

18 sen sen 10- Dada la función f(,)= + k a) Hallar, si eiste, lím f (, ) ( ) ( ), 0,0 si (, ) si (, ) (0,0) = (0,0) b) Estudiar la continuidad de f en todo R, según los valores de k Solución: a) sen sen 0 lím f (, ) = lím = lím =? (,) ( 0,0) (,) ( 0,0) (,) ( 0,0) Se pide: Es fácil comprobar que los límites reiterados los radiales son nulos Pasando a polares en este último límite, se obtiene: límf r 0 ( r cosα, rsenα) = lím r 0 ( r cosα) ( rsenα) = lím[ r cos αsenα] = lím g( r) h( r, α) r r 0 r 0 [ ] siendo, g ( r) = r h( r, α) = cos αsenα una función acotada) Luego lím f (, ) = 0 (,) ( 0, 0) que verifican que límg( r) 0 r 0 = que h ( r,α) es b) Si k = 0, f es continua en todo el plano (en el origen por el apartado anterior en cualquier otro punto por ser cociente de funciones continuas no anularse el denominador) Si 0 R 0,0 por el mismo motivo k, f es continua en {( )} U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 18

19 1 1 + sen Dada la función z = Se pide: + a) Dominio de la función b) Límites reiterados en el punto (0,0) c) A la vista del resultado anterior eiste el límite de f en (0,0)? En caso afirmativo calcularlo d) Es continua la función en (0,0)? e) Definir f(0,0) para que f sea continua en dicho punto Solución: a) Dom = R {( 0, ) / R} + no se anula para ningún (, ) salvo para (0, 0), a que en = 0 no está definido 1 ; además, el denominador b) lím límf (, ) = lím = 1, lím( límf (, ) ) = lím( No ) = No eiste c) No podemos saber si eiste límite o no en (0, 0) Sólo sabemos que de eistir, vale 1 (, ) 1 r sen α 1 + rsenαsen + r cos α r cosα 1 = 1 = f ( r cosα) + ( rsenα) 3 3 r sen α + r sen αsen r 1 r cos + r α cos α r = 3 sen α + rsen αsen 1 + cos r cosα α = rsen αsen r = sen α+ cos α= 1 r cos sen 1 R α Luego lím f (, ) = 1 ( ) ( ), 0,0 d) Es continua la función en (0,0)? f es discontinua en (0, 0) pues (0, 0) Dom f e) Definir f(0,0) para que f sea continua en dicho punto f 0,0 = lím f (, ) = 1 Tendría que ser ( ) (,) ( 0,0) g(r), con limg(r) = 0 r 0 U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 19

20 1- Para las siguientes funciones, probar que el valor de lím f (, ) depende del ( ) ( ) camino elegido para acercarse a (0,0): 3 a) f(, ) = b) f(, ) = ( ), 0,0 Solución: a) f(, ) = + ( ) Los límites radiales son todos nulos (comprobarlo) Límite a lo largo de la parábola = : lím = lím 1 = b) f(, ) = 6 + Los límites radiales son todos nulos (comprobarlo) 3 Límite a lo largo de la curva = : lím 0 = lím 0 = lím = 1 Eisten dichos límites? No, a que de eistir, los límites a lo largo de todos los caminos deberían coincidir U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 0

21 + 13- Consideremos lím ( ) ( ), 0,0 Se pide: a) Determinar, si es posible, el límite a lo largo de cualquier recta = m b) Determinar, si es posible, el límite a lo largo de la parábola = c) Eiste el límite? Justifica la respuesta Solución: a) Cuando eiste, se ha de verificar que : + + ( 1+ m ) 1+ m 1+ m lím = lím = lím = lím = (, ) ( 0,0) = m 0 m 0 m m 0 Como vemos el valor del límite depende de la recta que tomemos para acercarnos Así para m=1, el límite vale pero para m=-1, el límite vale - b) Cuando eiste, se ha de verificar que: + lím (, ) ( 0,0) = lím + + lím 0 = = 0 = lím = 0 c) Los resultados anteriores indican que el valor depende del camino de acercamiento al (0,0) como el límite para eistir ha de ser único, la conclusión es que el límite no eiste U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

22 1 1- Demostrar aplicando la definición de límite que lim cos = 0 (, ) ( 0,0 ) Solución: 1 Sea ε > 0 Buscamos un δ > 0 tal que si 0 < + < δ, entonces cos 0 < ε 1 1 Si es + < δ, entonces: cos 0 = cos 1 = + < δ Basta, por tanto, tomar δ = ε para que se cumpla la definición U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

23 15- Dada la función si (, ) (0,0) f (, ) = + se pide: k si (, ) = (0,0) a) Límites radiales en (0, 0) b) Límites reiterados en (0, 0) c) Eiste límite en (0, 0)? d) Eiste algún valor de k para el cual la función sea continua en todo R? Solución a) lím 3 m m = lím = + m 1+ m 0 0 = m 0 b) lím lím = lím ( 0) = 0, lím lím lím ( 0) = = r cos αrsenα r c) f ( r cosα, rsenα) 0 = = r cos αrsenα r = g(r), con límg( r) = 0 luego el límite eiste vale 0 d) f es continua en (, ) ( 0,0) para cualquier valor de k, por ser cociente de funciones continuas no anularse el denominador Para k = 0, también es continua en (0, 0) pues será: lím f (, ) = 0 = k = f(0,0) (,) (0,0) r 0, U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 3

24 lim 16- Eiste el ( ) ( ) ( ), 0,0 + Solución Los límites radiales son todos nulos (comprobarlo)? Caso afirmativo, calcularlo Límite a lo largo de la parábola = : lím = lím 1 = Luego, no eiste el límite estudiado a que depende del camino U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

25 17- Sea (, ) ( ) sin + si (, ) ( 0, 0) f = + Se pide: 1 si (,) = ( 0, 0) a) Dom f b) Estudiar la continuidad de f Solución a) El dominio de la función es todo R b) En todo (,) (0,0) la función es cociente de funciones continuas cuo denominador es distinto de 0 En (0,0) hemos de estudiar si el límite es 1 Pasamos a polares SIN( + ) SIN((r COS(α)) + (r SIN(α)) ) SIN(r ) #13: = = + (r COS(α)) + (r SIN(α)) r SIN(r ) #1: lim = 1 r 0 r Luego f también es continua en (0,0) U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 5

26 18- Sea f (, ) si, 0, 0 = + 1 si, = 0, 0 a) Dom f b) Estudiar la continuidad de f Solución a) El dominio de la función es todo R ( ) ( ) ( ) ( ) Se pide: b) Límites reiterados en (0, 0): lim lim f (, ) = lim(0) = lim( lim f (, ) ) = lim(0) = Límites radiales en (0, 0): 3 m m 0 lim f(, ) = lim = lim = = 0 (, ) m + m m = m Límite a lo largo de la parábola =a : a a a lim = lim =, que depende del valor de a a 1+ a 1+ a Luego no eiste el límite lim f (, ), por tanto, f no es continua en (0, 0) (,) ( 0,0) Si (, ) (0, 0), f es continua en (, ) por ser compuesta de funciones continuas U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 6

27 ( + ) si (, ) ( 0,0) Sea f (, ) = + k si a) Hallar, si eiste, lim f ( ) ( ) (,, 0, 0 ) b) Es f continua en (0, 0) para algún valor de k? (, ) = ( 0,0) Solución: a) Es fácil ver que los límites radiales todos valen Aplicamos el criterio de la maorante: (r cosα) rsenα f ( r cosα,rsenα) = + rsenα r r 5 cos αsenα ( sen α + cos α) pues cos α senα 1, r cos αsenα = sen α + cos α 1 sen α + cos α ( rsenα) + (r cosα) ) ( ) + (r cosα) r 1/ = r = g(r) = Esta última desigualdad puede verse con la gráfica: O bien viendo hallando su valor mínimo con el método habitual (igualando a cero la derivada primera, etc) Como limg( r) lim(r) = 0 lim f, = =, a puede asegurarse que r o r o ( ) ( ) ( ), 0,0 b) f continua en (0, 0) lim f ( ) ( ) (, ), 0,0 = f(0,0) = k U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 7

28 ( + ) si (, ) ( 0,0) 0- Sea f (, ) = + k si (, ) = ( 0,0) a) Hallar, si eiste, lim f ( ) ( ) (,, 0, 0 ) b) Es f continua en (0, 0) para algún valor de k? Solución: a) Es fácil ver que los límites radiales todos valen 0 Aplicamos el criterio de la maorante: f r ( r cosα, rsenα) r 5 cosαsen α 0 ( sen α + cos α) (rsenα) = r cosαsen α = sen α + cos α r cosα( rsenα) + (r cosα) ) ( rsenα) + (r cosα) r 1/ pues sen 1 α cosα 1, sen α + cos α Esta última desigualdad puede verse con la gráfica: = r = g(r) = O bien viendo hallando su valor mínimo con el método habitual (igualando a cero la derivada primera, etc) Como limg( r) = lim(r) = 0 lim f, = 0 r o r o b) f continua en (0, 0) f ( ) ( ) (, ), a puede asegurarse que ( ) ( ) ( ), 0,0 lim = f(0,0) 0 = k, 0, 0 U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 8

29 1- Sea Límites Continuidad de funciones de varias variables f :R Rla función: Obtener lím f (, ) (,) (0,0) según los valores de p q Solución: p q si (,) (0,0) f (, ) = si (,) = (0,0) f(, ) está definida en todo R a que +3 ->0 (, ) (0, 0) En efecto, pasando a coordenadas polares: con p>0 q> = (r cos α +3r sen α -r senα cosα = r (cos α +3sen α -senα cosα ) = r [+sen α -1/ sen(α )] > r [+0-(1/)] = (3/)r > 0 para (, ) (0, 0) Ahora, epresando f(,) en coordenadas polares: Primer caso: p ( ) ( ) q p q r cos α r sen α p+ q cos α sen α r sen α sen( α) f (, ) = = r + sen α sen( α) Si p+q< se cumple que lím f (, ) (,) (0,0) no eiste, pues p q (, ) (0,0) r + Segundo caso: Si p+q= se cumple que lím f (, ) (,) (0,0) no eiste, pues depende α Tercer caso: Si p+q> Límites reiterados en (0, 0): ( ) lim lim f (, ) = lim(0) = ( ) lim lim f (, ) = lim(0) = p ( ) ( ) q p q r cos α r sen α p+ q cos α sen α p+ q 1 p+ q 1 1 sen sen( ) 3/ 3 r + sen α sen( α) + α α f(, ) 0 = = r < r = r = g(r) Y lim g(r) = 0 Luego, por el criterio de la maorante, lim f (, ) = 0 (,) (0,0) r 0 U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 9

30 - Sea f :R continuidad de f Solución: Rla función: si (,) (0,0) f (, ) = + 0 si (,) = (0,0) Estudiar la La función es cociente de funciones continuas con denominador distinto de cero para (,) (0,0) Veamos en particular para (,)=(0,0) el límite: Límites reiterados en (0, 0): ( ) lim lim f (, ) = lim(0) = ( ) lim lim f (, ) = lim(0) = Límites radiales en (0, 0): m + m 0 lim f (, ) = lim = lim = = 0 + m (1+ m) 1 (,) = m Límite a lo largo de la parábola =a : a (1+ a) 0 lim = lim = = 0, a 1+ a 1 Veamos con el criterio de la maorante f (, ) 0 = = = + + = Que cumple + 0 cuando (,) (0,0) resulta f(,) (0,0) La función es continua en (0,0) por lo tanto en todo R U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 30

31 3- Sea Límites Continuidad de funciones de varias variables f :R continuidad de f Solución: Rla función: si (,) (0,0) f (, ) = + 0 si (,) = (0,0) Estudiar la La función es cociente de funciones continuas con denominador distinto de cero para (,) (0,0) Veamos en particular para (,)=(0,0) el límite: Límites reiterados en (0, 0): ( ) lim lim f (, ) = lim(0) = ( ) lim lim f (, ) = lim(0) = Límites radiales en (0, 0): 5 3 m m 0 lim f (, ) = lim = lim = = 0 + m (1+ m) 1 (,) = m Límite a lo largo de la parábola =a : 5 3 a a 0 lim = lim = = 0, a 1+ a 1 Sin embargo, Límite a lo largo de la parábola =a : a a a lim = lim =, 0 0 a + a + 1 a + 1 El último límite depende de a luego no eiste el límite cuando (,) (0,0) En consecuencia f no es continua en (0,0) U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 31

32 ( ) k - Sea f :R Rla función: f (, ) = + continuidad de f según los valores de k>0 Solución: si (,) (0,0) 0 si (,) = (0,0) Estudiar la La función es cociente de funciones continuas con denominador distinto de cero para (,) (0,0) Veamos en particular para (,)=(0,0) el límite: Límites reiterados en (0, 0): Primer caso: ( ) lim lim f (, ) = lim(0) = ( ) lim lim f (, ) = lim(0) = Si 0<k< se cumple que lím f (, ) (,) (0,0) no eiste, pues no es finito k 1 k lim f (, ) = lim = lim = (,) = En consecuencia f no es continua en (0,0) Segundo caso: Si k= se cumple que lím f (, ) (,) (0,0) no eiste, pues depende m m m m lim f (, ) = lim = lim = + m 1+ m 1+ m (,) = m En consecuencia f no es continua en (0,0) Tercer caso: Si k> Ahora, epresando f(,) en coordenadas polares: ( ) k k k r cos r sen (k ) cos sen r α α α α f (, ) = = r cos sen cos α+ sen α ( α+ α) U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 3

33 k k (k ) cos α sen α (k ) 1 (k ) f (, ) 0 = r < r = r = g(r) cos α+ sen α 1/ Y lim g(r) = 0 Luego, por el criterio de la maorante, lim f (, ) = 0 r 0 (,) (0,0) En consecuencia f es continua en (0,0) por lo tanto en todo R cuando sea k> Nota: La función G( α ) = cos α+ sen α tiene un mínimo absoluto para π α= U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 33

34 5- Sea f :D R la función: si (,) (0,0) 8 8 f (, ) = si (,) = (0,0) continuidad de f en los siguientes casos: a) D = R {( ) } b) D =, R /, Solución: a) Estudiar la Obviamente f es continua por ser cociente de funciones continuas en todo punto distinto de (0,0) Analizamos las función f en (,)=(0,0) Límites reiterados en (0, 0): ( ) lim lim f (, ) = lim(0) = ( ) lim lim f (, ) = lim(0) = Límites radiales en (0, 0): m m lim f (, ) = lim = lim = 1 m + + m m + (1+ m ) (,) = m La función no tiene límite cuando (,) (0,0) En consecuencia f no es continua en (0,0) b) Sin embargo en el nuevo dominio eiste el límite vale 1: = = + + = = + + = Resulta que f es continua en (0,0) por lo tanto en todo ( ) { } D =, R /, U D de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 3

35 Dominio de definición o campo de eistencia Conjunto de valores para los cuales se pueden efectuar los cálculos que indica la epresión analítica de la función n D R tales que, eiste f

36 Una función f :D todo en D Función acotada R está acotada, si eiste un número real positivo k, tal que f() k para

37 Concepto de límite Sean z=f(,) una función real de dos variables reales cuo dominio es un subconjunto D R, L un número real ( o, o ) un punto de acumulación del dominio D Diremos que el límite de la función z=f(,) cuando (,) tiende a ( o, o ) es el número L escribiremos (,) lím o, o f (, ) L si solo si: Para cualquier núm ero >0, eiste un núm ero >0 tal que para todos los puntos (,) D, siendo (,) ( o, o ), que verifiquen que d((,),( o, o ))< entonces sus imágenes verifican que d(f(,),l)< Es decir: (,) lím o, o f (, ) L o 0, 0, tal que, todo (, ), o con f (, ) L o o

38 Límites reiterados Dos caminos usuales para especular sobre el va lor del límite de una función z=f(,) en un punto ( o, o ), son los dos caminos determinados por dos lados del rectángulo de la figura : Estos dos caminos proporcionan los siguientes límites que se denominan límites reiterados: lím o lím f (, ) o = L 1 lím o lím f (, ) o = L

39 Continuidad en un punto Una función z=f(,) es continua en un punto ( o, o ) si solo si verifi ca las tres condiciones siguientes: 1 Eiste f( o, o ), es decir ( o, o ) es un punto del dominio de la función Eiste lím f (, ) L, siendo L un número real finito (,) 3 L=f( o, o ) o, o

40 Sea f:r Imagen de una función f R una función, Imagen de f es: Im f f R R / V, f R

41 Curva de nivel Dada la función z=f(,) una constante c Una curva de nivel es el lugar geométrico de los puntos del plano para los cuales f(,)=c Isoterma Curva de nivel correspondiente a la misma temperatura en un mapa cartográfico

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