Lección 2: Funciones vectoriales: límite y. continuidad. Diferenciabilidad de campos

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1 Lección 2: Funciones vectoriales: límite y continuidad. Diferenciabilidad de campos vectoriales 1.1 Introducción En economía, frecuentemente, nos interesa explicar la variación de unas magnitudes respecto de otras. Así, por ejemplo, si tenemos dos magnitudes como el coste y la producción y queremos analizar las variaciones de una respecto a la otra se puede utilizar el concepto de coste medio y de coste marginal. Para el segundo concepto necesitamos los conceptos matemáticos de límite y derivada de una función. 1.2 Funciones vectoriales: límites y continuidad Definición Una función vectorial es una aplicación f : D IR n IR m tal que a cada vector x = (x 1, x 2,..., x n ) le hace corresponder un vector y = (y 1, y 2,..., y m ), es decir, y = f(x). Utilizaremos la siguiente notación: y 1 = f 1 (x 1, x 2,..., x n ) y 2 = f 2 (x 1, x 2,..., x n ). y m = f m (x 1, x 2,..., x n ) Con f = (f 1, f 2,..., f m ). Cada f i son funciones escalares, f i : IR n IR y les llamaremos funciones componentes o proyecciones de la función vectorial f. 1

2 Ejemplo Sea f : D IR 3 IR 2, con f(x, y, z) = (ln(xz), y 2 4). Las funciones componentes de f son: f 1 : D 1 IR 3 IR; f 1 (x, y, z) = ln(xz) f 2 : D 2 IR 3 IR; f 2 (x, y, z) = y 2 4 El estudio de las funciones vectoriales se realiza a través de sus funciones componentes, así si queremos hallar el dominio de definición D de la función f, obtenemos los dominios de definición de cada una de sus funciones componentes y la intersección de todos ellos nos dará el dominio buscado. Ejemplo Obtener el dominio de definición de la función f : D IR 3 IR 2, f(x, y, z) = (ln(xz), y 2 4). f 1 : D 1 IR 3 IR; f 1 (x, y, z) = ln(xz) Por tanto D 1 = {(x, y, z) IR 3 / xz > 0} f 2 : D 2 IR 3 IR; f 2 (x, y, z) = y 2 4 Por tanto D 2 = {(x, y, z) IR 3 / y 2 4 0}. Entonces el dominio de definición de f es D = D 1 D 2 = {(x, y, z) IR 3 / xz > 0; y 2 4 0} Pasamos a definir el concepto de límite de una función vectorial, como se puede intuir será una adaptación del concepto de límite de una función real de variable real a función vectorial. Definición Sea f : D IR n IR m y sea c un punto de acumulación de D, decimos que si lim f(x) = l IRm x c ɛ > 0, δ > 0 tal que si x c < δ f(x) l < ɛ Como hemos indicado el estudio del límite de una función vectorial se realizará a través del estudio de sus componentes, de ahí que enunciemos el siguiente teorema que nos da la base matemática para llevarlo a cabo. Teorema Sea f : D IR n IR m y sea c un punto de acumulación de D. Son equivalentes 1) lim x c f(x) = l = (l 1, l 2,..., l m ) 2

3 2) lim x c f i (x) = l i IR i = 1, 2,... m Ejemplo Sea f : IR 3 IR 2 definida por f(x, y, z) = (e xyz, x 2 + y + 2z). Está claro que ambas componentes existen en el conjunto de los números reales, por lo tanto el dominio de la función será todo IR 3. Por otra parte, si queremos calcular el límite de la función cuando (x, y, z) tiende al origen (0, 0, 0), aplicando el teorema anterior calcularíamos los límites en el origen de las funciones componentes, es decir l 2 = l 1 = Por tanto el límite buscado es l = (1, 0). lim f 1(x, y, z) = lim (x,y,z) (0,0,0) (x,y,z) (0,0,0) exyz = 1 lim f 2(x, y, z) = lim (x,y,z) (0,0,0) (x,y,z) (0,0,0) (x2 + y + 2z) = 0 Nuestro siguiente paso será definir cuando una función vectorial es continua en un punto, esta definición es análoga a la dada para funciones escalares. Definición Sea f : D IR n IR m decimos que la función es continua en c D si lim x c f(x) = f(c). Hay que observar que en realidad esta definición implica que (1) f(c) (2) lim x c f(x) y sea finito (3) lim x c f(x) = f(c) Pasamos a ver la continuidad de una función a través de la continuidad de sus componentes. Teorema Una función vectorial es continua en un punto si y solo sí sus funciones componentes son continuas en dicho punto. Definición Una función vectorial será continua en un conjunto cuando sea continua en todos los puntos de ese conjunto. Ejemplo Estudiar la continuidad de la función f : D IR 2 IR 2 definida por f(x, y) = (x 2 + y, x + 2). Las funciones componentes son f 1 (x, y) = x 2 + y D 1 = IR 2 3

4 f 2 (x, y) = x 2 D 2 = {(x, y) IR 2 / x 2} Por tanto D = D 1 D 2 = D 2. Por otra parte sabemos que f 1 es continua en IR 2 y que f 2 es continua en D 2, por lo tanto la función vectorial f es continua en D Diferencial de una función real de variable real Recordemos que una función real de variable real es derivable en un punto c cuando existe y es finito el siguiente límite: f(c + h) f(c) lim h 0 h A dicho límite lo representamos por f (c). En ese caso, la recta tangente a la función en el punto c tenía la expresión: y f(c) = f (c)(x c) Si tenemos una función real de variable real y queremos estudiar su comportamiento local alrededor de un punto c, tratamos de encontrar una función de naturaleza más sencilla que la dada y que en un entorno del punto aproxime a la función dada f. Parece lógico adoptar la clase de las funciones lineales y = λx para tal aproximación local. Usualmente se opta por comparar el cociente de la diferencia de ordenadas relativas a f y a la función lineal aproximante con la variación h de la abscisa, es decir el cociente: f(c + h) f(c) λh h de modo que el numerador sea despreciable frente al denominador. En el caso de que la función sea derivable en c tomamos λ = f (c) y en realidad lo que hemos dicho se resume matemáticamente con la expresión: f(c + h) f(c) f (c)h lim = 0 h 0 h La función aproximante f (c)h es una función lineal de IR en IR, y se le llama diferencial de la función f en el punto c y se representa por Df(c). Damos, ahora, la definición. Definición Llamamos diferencial de la función f : I IR IR con I abierto en un punto c I, a la aplicación lineal Df(c) : IR IR tal que Df(c)(h) = f (c)h 4

5 Nota Observar que la derivada de una función en un punto es un número real, en cambio la diferencial de una función en un punto es una aplicación lineal. Como el límite expuesto previamente es cero, esto quiere decir que f(c + h) es aproximadamente igual a f(c) + f (c)h en valores de h próximos a cero, esto es, cuando estamos próximos al punto c, la función se aproxima por la recta tangente f(c) + f (c)h. la diferencial de una función en un punto es una aplicación lineal que existe si y solo sí existe la derivada en dicho punto. Enunciamos un teorema que nos relaciona los conceptos de derivabilidad y diferenciabilidad de una función en un punto. Teorema f : I IR IR con I abierto en un punto c I, se verifica: fes derivable en c fes diferenciable en c Ejemplo Sea la función real de variable real f(x) = e 2x 2 que es derivable en todo IR, cuya función derivada es f (x) = 2e 2x 2 y el valor de la derivada en c = 1 es f (1) = 2. La diferencial de la función en c = 1 viene dada por Df(1)(h) = 2h. Si queremos obtener, ahora, la diferencial de la función en c = 0, Df(0), calculamos f (0) = 2e 2 y por tanto Df(0)(h) = 2e 2 h. 1.4 Derivadas direccionales. Diferenciabilidad de funciones escalares Si tenemos una función real de variable real y queremos acercarnos a un punto a través de la función, solo podemos hacerlo en la dirección de crecimiento del eje de abscisas (de menos a más), pero si tenemos una función escalar (definida de IR n en IR) hay infinitas direcciones para acercarnos a un punto. De ahí nace el concepto de derivada direccional. Definición Sean f : D IR n IR con D abierto, c D, u un vector de IR n, tal que u = 1, y λ IR suficientemente pequeño para que c + λu D. Llamamos derivada direccional de f en el punto c y en dirección u al límite. D u f(c) = f (c; u) = lim λ 0 f(c + λu) f(c) λ 5

6 Ejemplo Sea la función f : IR 2 IR definida como f(x, y) = x 2 + y 2, sea c = (2, 3). Calcular las ( derivadas direccionales de f en el punto c en las direcciones de los vectores u = 3 5 5), 4 y v = (2, 1). u = 1; f(c + λu) = f ( ( 3 (2, 3) + λ 5, 4 ( = 2 + 5)) 3 ) 2 ( 5 λ ) 2 5 λ = λ λ + 13 f(c) = f(2, 3) = = 13 Por tanto D u f(c) = f f(c + λu) f(c) (c; u) = lim = lim λ 0 λ λ 0 λ2 + λ 36 5 λ = 36 5 Para calcular la derivada direccional en la dirección del vector v, lo primero será normalizar el vector, para ello calculamos su norma: v = = ( 5 Consideramos entonces el vector normalizado v = 2, 5 1 ). 5 f(c + λv) = f ( ( )) ( 2 (2, 3) + λ 5, 1 5 = ( λ) ) 2 λ = λ λ f(c) = f(2, 3) = = 13 Por tanto D v f(c) = f f(c + λv) f(c) (c; v) = lim = lim λ 0 λ λ 0 λ λ λ = 14 5 Nota Recordar que cuando se toman como direcciones los vectores de la base canónica de IR n las derivadas direccionales pasan a llamarse derivadas parciales, y que la matriz columna formada por las derivadas parciales de la función en un punto se le llama el vector gradiente de la función en el punto y se representa f(x) Diferenciabilidad de funciones escalares Vamos a introducir el concepto de diferenciabilidad de una función escalar, que será análogo al que hemos desarrollado para funciones reales de variable real. Definición Sean f : D IR n IR con D abierto, c D, decimos que la función es diferenciable en c si existe una aplicación lineal Df(c) : IR n IR tal que f(c + h) f(c) Df(c)(h) lim = 0 h θ h Nota Hay que observar que h IR n por lo tanto h = (h 1, h 2,..., h n ), luego h tenderá al vector nulo θ y no a 0 como pasaba en IR. Además el denominador es la norma de h que es un número real. 6

7 Teorema (condición necesaria de diferenciabilidad) Sea f : D IR n IR con D abierto, si f es diferenciable en c D, entonces f es continua en c D Nota Este teorema nos indica que es condición necesaria para que una función sea diferenciable en un punto es que sea continua en dicho punto, por lo tanto si una función no es continua en un punto no puede ser diferenciable en dicho punto. Como se puede intuir de la definición de diferenciabilidad en un punto c no es posible obtener mucha información práctica sobre la aplicación lineal Df(c), el siguiente teorema nos abre el camino para obtener la matriz que lleva asociada dicha aplicación lineal. Teorema Sea f : D IR n IR con D abierto, si f es diferenciable en c D, entonces para cada vector u IR n con u θ existen todas las derivadas de f en el punto c y en la dirección u y además se verifica que: D u f(c) = Df(c)(u) Consecuencia Df(c) es una aplicación lineal, por tanto tiene asociada una matriz respecto a la base canónica {e 1, e 2,..., e n } de IR n. Sea x IR n, entonces x es combinación lineal de los vectores de la base canónica, es decir, x = x 1 e 1 + x 2 e x n e n, por tanto: Df(c)(x) = Df(c)(x 1 e 1 + x 2 e x n e n ) = x 1 Df(c)(e 1 ) + x 2 Df(c)(e 2 ) + + x n Df(c)(e n ) ya que la aplicación es lineal. Aplicando el teorema anterior a cada uno de los sumandos tenemos: Df(c)(e 1 ) = D e1 f(c) = f(c) x 1 Df(c)(e 2 ) = D e2 f(c) = f(c) x 2 = D 1 f(c) = D 2 f(c). Df(c)(e n ) = D en f(c) = f(c) x n = D n f(c) Por lo tanto Df(c)(x) = x 1 D 1 f(c) + x 2 D 2 f(c) + + x n D n f(c) = = (D 1 f(c), D 2 f(c),..., D n f(c)) x 1 x 1 x 2 = t x 2 f(c).. x n x n 7

8 En resumen: La matriz asociada a la aplicación lineal Df(c) respecto a la base canónica es el gradiente traspuesto de la función en c. 2. Si f es diferenciable en c, entonces: D u f(c) = Df(c)(u) = t f(c) u 3. Si no existe la derivada de f en alguna dirección u, entonces f no es diferenciable en c. En particular, si no existe alguna derivada parcial de f en c tendremos que f no es diferenciable en c. Enunciamos, ahora, un teorema que nos permitirá estudiar la diferenciabilidad de una función escalar sin necesidad de aplicar la definición. Teorema (condición suficiente de diferenciabilidad) Sea f : D IR n IR con D abierto, si existen todas las derivadas parciales de f y son continuas en D, entonces f es diferenciable en cualquier punto de D y se dice que f continuamente diferenciable en D. Ejemplo Estudiar la diferenciabilidad de la función f : IR 2 IR dada por f(x, y) = 1 x 2 + y 2. La función existe y es continua en el conjunto D = IR 2 {(0, 0)}, por lo tanto estudiaremos la diferenciabilidad en el conjunto D. Calculamos las derivadas parciales f x = 2x (x 2 + y 2 ) 2 ; f y = 2y (x 2 + y 2 ) 2 Vemos que ambas son continuas en D, por lo tanto la función es diferenciable en D Aplicaciones de la diferenciabilidad Dada una función real de variable real, sabemos que la ecuación de la recta tangente a la función en un punto viene expresada a través de la derivada en dicho punto. De forma análoga se puede definir la ecuación del plano tangente a una superficie a través de la definición de diferencial. Así, el plano tangente a la función z = f(x, y) en el punto (a, b) es: z = f(a, b) + t f(a, b) x a y b 8

9 Sea f : D IR n IR y sea c D. Queremos buscar cual es la dirección de máximo crecimiento de la función a partir de c. La función crecerá más rápido donde la derivada direccional sea máxima: D u f(c) = t f(c) u = t f(c) u cos(α) donde α es el ángulo formado por los vectores f(c) y u. Como u = 1 por ser una derivada direccional, tendremos que: D u f(c) = t f(c) u = t f(c) cos(α) Como cos(α) 1, la expresión anterior obtendrá el máximo valor cuando cos(α) = 1, es decir, cuando α = 0, lo que nos dice que la dirección de máximo crecimiento se obtiene cuando el vector u tenga la misma dirección que el vector gradiente. Además como debe ser unitario, se toma: u = f(c) f(c) 1.5 Matriz Jacobiana. Diferenciabilidad de funciones vectoriales Como hemos visto con anterioridad cuando tenemos una función vectorial, el estudio de la existencia del límite y la continuidad de la función se reduce a analizar que ocurre con sus funciones componentes. La diferenciabilidad no va a ser diferente, aún cuando demos la definición formal, su estudio se realizará a través de sus funciones componentes. Definición Sea f : D IR n IR m una función vectorial con D abierto, sea c D y u IR n con u = 1, definimos derivada direccional de f en c y en la dirección u como D u f(c) = f f(c + λu) f(c) (c; u) = lim = λ 0 λ (f 1 (c + λu), f 2 (c + λu),..., f m (c + λu)) (f 1 (c), f 2 (c),..., f m (c)) = lim = λ 0 λ = ( lim λ 0 f 1 (c + λu) f 1 (c), lim λ f 2 (c + λu) f 2 (c) λ 0 λ ) f m (c + λu) f m (c),, lim = λ 0 λ = (D u f 1 (c), D u f 2 (c),..., D u f m (c)) 9

10 Es decir, la derivada direccional de una función vectorial, es un vector cuyas componentes son las derivadas direccionales de las funciones componentes de la función. De aquí: para que exista D u f(c) deben existir D u f i (c), i = 1, 2,..., m. Como sabemos que las derivadas parciales de una función escalar son un caso particular de las derivadas direccionales de una función escalar, de la definición anterior deducimos que las derivadas parciales de una función vectorial son un caso particular de las derivadas direccionales de una función vectorial. Es decir: para calcular las derivadas parciales de una función vectorial nos basta con calcular las derivadas parciales de cada una de las funciones componentes. Definición Definimos la matriz jacobiana de una función f : D IR n IR m, con D abierto, en c D, como Jf(c) = D 1 f 1 (c) D 2 f 1 (c) D n f 1 (c) D 1 f 2 (c) D 2 f 2 (c) D n f 2 (c) D 1 f m (c) D 2 f m (c) D n f m (c) Nota Observar que otra manera más fácil de escribir la matriz jacobiana es Jf(c) = t f 1 (c) t f 2 (c). t f m (c) Pasemos a definir el concepto de diferenciabilidad de una función vectorial en un punto que será análogo al de función escalar Definición Sea f : D IR n IR m, con D abierto, en c D, decimos que la función es diferenciable en c si existe una aplicación lineal Df(c) : IR n IR m tal que f(c + h) f(c) Df(c)(h) lim = 0 h θ h Enunciamos, ahora, una serie de teoremas que nos ayudarán en la aplicación práctica del concepto de diferenciabilidad. Teorema (condición necesaria y suficiente de diferenciabilidad) Sea f : D IR n IR m, con D abierto, en c D, f es diferenciable en c si y solo si sus funciones componentes son diferenciables en c. 10

11 Teorema (condición necesaria de diferenciabilidad) Sea f : D IR n IR m, con D abierto, en c D, Si f es diferenciable en c entonces f es continua en c. Teorema Sea f : D IR n IR m, con D abierto, en c D, Si f es diferenciable en c entonces existen las derivadas direccionales de f en c para cualquier vector unitario u IR n y además se verifica que: D u f(c) = f (c; u) = Df(c)(u) Como Df(c) : IR n IR m es una aplicación lineal tendrá asociada una matriz respecto a la base canónica. Utilizando el teorema anterior y recordando que la diferencial de una función vectorial se descompone en las diferenciales de cada una de sus funciones componentes y razonando de forma análoga a como hicimos para las funciones escalares, podemos deducir que la matriz buscada es la matriz jacobiana y además D 1 f 1 (c) D 2 f 1 (c) D n f 1 (c) h 1 D 1 f 2 (c) D 2 f 2 (c) D n f 2 (c) h 2 Df(c)(h) = Jf(c) h = D 1 f m (c) D 2 f m (c) D n f m (c) h n Ejemplo Sea f : IR 2 IR 2 definida por: f(x, y) = 1. Determinar el conjunto en el que f es diferenciable. ( x + y, ) 1 y el punto P (1, 2) x + y 2. Obtener la matriz jacobiana de f en un punto genérico. 3. Calcular la diferencial de f en un punto genérico y, si es posible, en el punto P. Para resolver el primer punto lo primero será analizar la función dada a través de sus componentes (condición necesaria y suficiente de diferenciabilidad para funciones vectoriales). Una vez centrados en las funciones componentes (que son funciones escalares) estudiamos donde van a ser continuas (recordar la condición necesaria de diferenciabilidad para funciones escalares). Por último analizaremos la continuidad de las derivadas parciales de dichas funciones componentes (recordar la condición suficiente de diferenciabilidad de las funciones escalares). f 1 : IR 2 IR; f 1 (x, y) = x + y f 1 es continua en todo IR 2 Calculamos sus derivadas parciales y vemos donde son continuas. f 1 x (x, y) = 1; f 1 (x, y) = 1 y 11

12 Ambas son continuas en IR 2. Por lo tanto f 1 es diferenciable en todo IR 2 y su vector gradiente en un punto genérico es: f 1 (x, y) = f 2 : IR 2 IR; f 2 (x, y) = 1 x + y f 2 es continua en el conjunto A 2 = {(x, y)/ x + y 0} Calculamos sus derivadas parciales Ambas son continuas en el conjunto A f 2 x (x, y) = 1 (x + y) 2 ; f 2 y (x, y) = 1 (x + y) 2 ; Por tanto f 2 es diferenciable en A 2 y su vector gradiente en un punto genérico es 1 f 2 (x, y) = (x + y) 2 1 (x + y) 2 En resumen, f será diferenciable en la intersección de los conjuntos en que sean diferenciables cada una de sus componentes, en este caso f es diferenciable en A 2 = {(x, y)/ x + y 0}. es Pasemos, ahora, al segundo punto de nuestro ejercicio: la jacobiana de f en un punto genérico (x, y) A 2 Jf(x, y) = t f 1 (x, y) t f 2 (x, y) = (x + y) 2 (x + y) 2 Por último, obtengamos la diferencial en un punto genérico y en el punto P. Debemos recordar que Df(c)(h) = Jf(c) h En nuestro caso consideramos primero c = (x, y) Df(x, y)(h) = Jf(x, y) h = (x + y) 2 (x + y) 2 h 1 h 2 En el punto dado, c = (1, 2) A 2 y tenemos que Df(1, 2)(h) = Jf(1, 2) h = h 1 h 2 12

13 1.6 Regla de la cadena Introducción Antes de enunciar el teorema de la regla de la cadena que nos va a permitir obtener, cuando sea posible, la diferencial de una función compuesta, es importante recordar algunos conceptos básicos en IR. 1. Sean f : A IR IR y g : B IR IR, con f(a) B, definimos g f : A IR IR como (g f)(x) = g (f(x)) Ejemplo Sean f(x) = x 2 + 1; g(x) = 3 4x, entonces (g f)(x) = g (f(x)) = g(x 2 + 1) = 3 4(x 2 + 1) Análogamente (f g)(x) = f (g(x)) = f( 3 4x) = ( 3 4x) = 3 16x (Regla de la cadena para funciones reales de variable real) Sean f : A IR IR y g : B IR IR, con A y B abiertos y f(a) B, sean c A y f(c) B, entonces si f es diferenciable en c y g es diferenciable en f(c) tendremos que g f : A IR IR es diferenciable en c y además se verifica que (g f) (c) = g [f(c)] f (c) Ejemplo Considerando las funciones del ejemplo anterior ( ) (g f) 3 (x) = 4(x 2 + 1) = 1 3 (4x2 + 4) 2 3 8x Regla de la cadena para funciones vectoriales Teorema Sean f : A IR n IR m y g : B IR m IR p, con A y B abiertos y f(a) B, sean c A y f(c) B, si f es diferenciable en c y g es diferenciable en f(c) tendremos que g f : A IR n IR p es diferenciable en c y además se verifica que D(g f)(c) = Dg [f(c)] Df(c), por tanto: J(g f)(c) = Jg [f(c)] Jf(c) Ejemplo Sean f : A IR 2 IR 3, f(x, y) = (e x+y, x y, x 2 ) y sea g : B IR 3 IR 2, g(u, v, w) = (u w, sen(v + w)). Probar que g f es diferenciable en (0, 0) y calcular J(g f)(0, 0). 13

14 Empezamos estudiando la diferenciabilidad de f a través de sus funciones componentes: f 1 (x, y) = e x+y es continua en todo IR 2 f 1 x (x, y) = ex+y ; f 1 y (x, y) = ex+y son continuas en todo IR 2 Por tanto f 1 es diferenciable en todo IR 2 y en particular en (0, 0). f 2 (x, y) = x y es continua en todo IR 2 f 2 x (x, y) = 1; f 2 (x, y) = 1 son continuas en todo IR2 y Por tanto f 2 es diferenciable en todo IR 2 y en particular en (0, 0). f 3 (x, y) = x 2 es continua en todo IR 2 f 3 x (x, y) = 2x; f 3 (x, y) = 0 son continuas en todo IR2 y Por tanto f 3 es diferenciable en todo IR 2 y en particular en (0, 0). Por tanto f es diferenciable en todo IR 2 y en particular en (0, 0). Además: Jf(x, y) = e x+y e x+y 1 1 2x Jf(0, 0) = Estudiamos, ahora, la diferenciabilidad de g a través de sus funciones componentes: g 1 (u, v, w) = u w es continua en B 1 = {(u, v, w)/ u > 0} g 1 u (u, v, w) = wuw 1 ; g 1 v (u, v, w) = 0; g 1 w (u, v, w) = uw ln(u) son continuas en B 1 Por tanto g 1 es diferenciable en B 1 y en particular en f(0, 0) = (1, 0, 0). g 2 (u, v, w) = sen(v + w) es continua en todo IR 3 g 2 u (u, v, w) = 0; g 2 v (u, v, w) = cos(u + w); g 2 (u, v, w) = cos(v + w) son continuas en todo IR3 w Por tanto g 2 es diferenciable en todo IR 3 y en particular en f(0, 0) = (1, 0, 0). 14

15 Por tanto g es diferenciable en B 1 y en particular en f(0, 0) = (1, 0, 0). Además: Jg(u, v, w) = wu w 1 0 u w ln(u) Jg(1, 0, 0) = 0 cos(v + w) cos(v + w) A continuación aplicamos la regla de la cadena en el punto (0, 0): J(g f)(0, 0) = Jg(1, 0, 0) Jf(0, 0) = =

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