5. Conductores en equilibrio electrostático Félix Redondo Quintela y Roberto Carlos Redondo Melchor Universidad de Salamanca

Transcripción

1 5. Conductores en equilibrio electrostático Félix Redondo Quintel y Roberto Crlos Redondo Melchor Universidd de Slmnc Conductores en equilibrio electrostático Definición.- Un conductor está en equilibrio electrostático si l densidd de corriente en todos sus puntos vle cero. El cmpo eléctrico en el interior de un conductor isótropo en equilibrio electrostático vle cero, pues como, j=σe. Si está en equilibrio electrostático, j=0 sin que! lo se, por lo que E=0 1. En un conductor isótropo en equilibrio electrostático el potencil es uniforme, o se, vle lo mismo en todos sus puntos, pues 0 = E =!"V =! #V #x i! #V #x j! #V k =!0i! 0j! 0k #x de dondev result independiente de x, y, z. De quí que pued hblrse del potencil de un conductor en equilibrio electrostático, que es el potencil de culquier de sus puntos. Tendenci l equilbrio electrostático Imgínese que, por un redistribución de crg libre, o por hber ñdido crg, en un región de un conductor isótropo y homogéneo respecto l conductividd, l densidd de crg se! en lgún punto. En! está incluid tod l crg, l libre, l ñdid y l de los iones fijos. Supongmos que en t = 0 cesn ls fuerzs que mntenín es glomerción de crg, de form que l únic fuerz sobre tods ls crgs es l debid l cmpo electrostático E que exist, que es l sum del credo por tods ls crgs, interiores fijs y móviles, y culquier otro cmpo electrostático de origen externo o interno que pued existir. Como el cmpo totl es electrostático, se cumple en cd punto l ley de Guss: De ell se obtiene!" D =!" #E = #!" E = $ (44)!" E = # $ (45) Tmbién se cumple l ecución de continuidd 1 En un conductor nisótropo pueden existir direcciones en ls que no puedn moverse ls crgs libres. Un cmpo no nulo en es dirección no producirí corriente. Es decir, el conductor estrí en equilibrio electrostático sin que el cmpo en su interior fuer cero.

2 F. Redondo Quintel y R. C. Redondo Melchor!" j + #$ #t = 0 (46) Pr conductores isótropos, sustituyendo en ell l ley de Ohm, j =!E (47) Y como l conductividd es uniforme, l (46) se trnsform en!"# E + $% $t = 0 (48) Sustituyendo en ell l ley de Guss en form puntul, qued:!"!t +# " $ = 0 (49) Fijdo el punto en el que se hll l densidd de crg, ρ solo depende del tiempo, de form que l ecución en derivds prciles se trnsform en ordinri: d! dt +"! # = 0 (50) que puede escribirse con ls vribles seprds: Integrndo se obtiene o se, d!! = " # dt (51) $! " k = " # $ t ;! k = " # $ t (5)! = k e "# $ t (53) Si llmmos ρ 0 l densidd de crg en t=0, result que k=ρ 0 ; por tnto,! =! o e "# $ t (54) Fig. 1.- L densidd de crg en un punto de un conductor dece cero cundo ces l cus que provocó l glomerción. Cundo h trnscurrido un tiempo myor que cinco veces l constnte de tiempo l densidd es y muy próxim cero. Como se ve, si el único cmpo en un conductor isótropo es electrostático, l densidd de crg en cd punto decrece exponencilmente prtir del vlor inicil, hst nulrse. Result, pues, que l crg libre tiende distribuirse hst que l densidd volúmic de crg es nul en todos los puntos.

3 F. Redondo Quintel y R. C. Redondo Melchor! /" = #, se llm constnte de tiempo o constnte de reljción. Tiene dimensiones de tiempo y, cunto myor se su vlor, más trd l densidd de crg en proximrse cero. En l práctic, cundo h trnscurrido un tiempo myor que cinco veces l constnte de reljción se consider que l densidd de crg es cero. L resistividd del cobre es 1.7 µ! " cm = 1.7 # 10 $8!m y l permitividd próxim l del vcío, por lo que l constnte de reljción es! = # = 1.7 $10%8 $ 9 $ 10 %1 & 10 %19 s Del orden de 10!19 s. Es decir, trnscuridos más de 5!10 "19 # 10 "18 s l densidd prácticmente se h nuldo, un proceso que puede considerrse instntáneo pr l myor prte de ls plicciones usules. Se obtienen precidos órdenes de mgnitud pr ls constntes de tiempo del resto de los metles. Sin embrgo, pr un buen iste como l mic, cuy resistividd es del orden de 10 15!m y! r " 6, l constnte de reljción es csi 15 hors, lo que signific que hst que no trnscurre un tiempo myor que 15! 5 = 75 hors, más de 3 dís, no se nul l densidd de crg. Nótese que est nulción de l densidd de crg solo se produce si existe crg libre, que es l que se redistribuye pr nulr l densidd de crg en todos los puntos. Si en (54)! 0 = 0, l densidd permenece siempre igul cero, lo que signific que, si solo existen cmpos electrostáticos en un conductor, es imposible conseguir que exist un densidd volúmic de crg distint de cero en ningún punto de su interior. Fig. - ) Un conductor crgdo negtivmente. c) Un conductor crgdo positivmente. Quiere decir lo nterior que un conductor no puede crgrse de electricidd? Si se ñden electrones libres un trozo de mteril que está en estdo neutro, estos electrones tenderán dispersrse pr mntener nul l densidd de crg, pr lo que tienden lejrse entre sí indefinidmente. Sin embrgo, l llegr l superficie límite del cuerpo, l fronter que lo sepr del vcío, del ire o del medio en que se encuentre inmerso el conductor, los electrones son, en generl, retenidos. Si no fuer sí, los electrones se lejrín indefinidmente, como ocurrirí si, en el vcío, soltmos C Nm S m = C! Nm = C V JA C J = C JA = As A = s. 3

4 F. Redondo Quintel y R. C. Redondo Melchor un conjunto de ellos y los bndonmos exclusivmente su propio cmpo: se seprrín lejándose hst el infinito empujdos por su propi fuerz de repulsión. Pero un trozo de mteril sí se puede crgr de electricidd; lo que ocurre es que, si hy crg libre, el exceso de crg se sitú en l superficie y se reprte de form que l densidd volúmic de crg en culquier punto interior se cero. En los mlos conductores (conductividd pequeñ) est huid hci l superficie exterior es más lent que en los buenos conductores, pero l finl l crg ñdid se sitú en l superficie (fig. ), y el conductor vuelve l equlilibrio electrostático. Teorem de Frdy Teorem.- Se un conductor en equilibrio electrostático. Si en un hueco cerrdo de él existe un crg q, en l superficie entre el conductor y el hueco existe un crg -q. Demostrción.- El flujo trvés de un superficie cerrd interior l conductor que rode l hueco (de trzos en l fig, 3) es cero, porque, debido l equilibrio, el cmpo en el interior del conductor es cero. Por tnto, por l ley de Guss, l crg totl encerrd por es superficie tmbién es cero. Como en el interior del conductor (prte ryd) no existe crg, sólo puede existir en l superficie del conductor que limit l hueco. Su vlor debe ser -q pr que l sum totl en el volumen limitdo por l superficie de Guss se cero. Y el teorem está demostrdo. Si el conductor estb en estdo neutro, debe precer otr crg q en l superficie exterior (fig. 3b). Ests crgs de ls superficies del conductor se llmn crgs inducids por l crg situd en el hueco. Fig. 3- Un crg q en un hueco de un conductor induce otr -q en l superficie intern yotr q enl extern. Se deduce que, si l crg en el hueco es cero, tmbién lo es en l superficie entre el conductor y el hueco. Siempre que un conductor crgdo con un crg q induce en otro exctmente l crg -q, se dice que entre los dos conductores existe influenci totl. Como muestr el teorem de Frdy, siempre que un conductor rode otro existe entre ellos influenci totl. 4

5 Teorem de Coulomb F. Redondo Quintel y R. C. Redondo Melchor Teorem.- El cmpo eléctrico en un punto inmeditmente exterior un conductor en equilibrio electrostático es perpendiculr su superficie límite y su módulo vle E =! " Donde! es l permitividd del medio que rode l conductor. Demostrción.- El teorem de Coulomb es un cso prticulr de ls condiciones en l fronter entre dos medios: l componente tngencil del cmpo es continu en l fronter, y l norml l fronter se deduce de y E 1t = E t! E n "! 1 E 1n = # Si el medio 1 es un conductor en equilibrio electrostático, E 1 = 0, por lo que E 1t = E 1n = 0 E n =! + " 1 E 1n " =! " Es decir, solo existe componente norml l superficie. Y el teorem está demostrdo. Obsérvese que el cmpo E n =! " es l sum de culquier cmpo electrostático en el conductor: del credo por l crg! ds, por l del resto de l superficie del conductor y por culquier otr crg extern, incluid l de polrizción del medio. Si! = 0, el cmpo en un punto exterior muy próximo l superficie tmbién es cero, unque hy otrs crgs credors de cmpo en l región. Como en todos los puntos interiores de un conductor en equilibrio electrostático el cmpo es nulo, result que en!v 1!n = 0. De $!" #V #n + " #V 1 ' & 1 ) = * % #n ( result que!" #V #n = $, y!v!n = " # $. Es decir, si!, l derivd del potencil en l dirección norml l superficie del conductor es discontinu, pero no se olvide que V es funcioón continu de x, y, z, por lo que el potencil de un punto exterior l conductor muy próximo su superficie es el mismo que el potencil del conductor. 5

6 Presión electrostátic F. Redondo Quintel y R. C. Redondo Melchor Se ds de l superficie límite de un conductor crgdo.! ds es, su crg. El cmpo electrostático origindo por ls demás crgs, incluids ls del resto de l superficie del conductor, origin un fuerz sobre ls de ds, que pretendemos evlur. Consideremos un punto A inmeditmente exterior ds y otro, B, inmedtmente interior. En mbos puntos el cmpo tiene dos componentes: E 1, cred exclusivmente por l crg de ds, que tiene el mismo módulo en A que en B. Est componente es perpendiculr ds y tiene sentido opuesto en B l que tiene en A. Otr componente es l cred por tods ls demás crgs, de vlor E, el mismo en A que en B, y que l distnci entre los dos es tn pequeñ como se quier, y de vlor tl que nul l cmpo en B, por lo que tiene el mismo módulo que E 1, es decir, pero en A, E 1 = E E 1 + E = E =! " Por lo que, en un punto B infinitmente próximo ds, el resto de ls crgs cre un cmpo perpendiculr ds de módulo E =! " donde! es l densidd superficil de crg en ds y! l permitividd del medio que rode l conductor. El cmpo tiene sentido hci el exterior si! es positiv, y hci el interior si es negtiv. Fig. 4.- Los puntos A y B son tn próximos como se quier, pero A esterior y B interior l superficie del conductor. Por tnto, l fuerz sobre ds vle Y l presión electrostátic df = E dq =! p = df ds =! " " ds Como! = E", donde E es el cmpo en un punto inmeditmente exterior l conductor, p = 1!E Cmpo en ls punts Supongmos dos esfers conductors crgds, en equilibrio electrostático, de rdios R 1 y R, seprds l distnci suficiente pr que el cmpo eléctrico de l un en l otr se desprecible. Tmpoco existen otros cmpos eléctricos en l región. Pr 6

7 F. Redondo Quintel y R. C. Redondo Melchor que tengn el mismo potencil V se ls une con un hilo conductor. Por simetrí, l crg se reprte uniformemente en cd superficie límite, de form que ls densiddes superficiles de crg,! 1 y! son uniformes. Por tnto el potencil de cd esfer vle V = V = 1 4! q 1 R 1 = 1 4! q R = Igudo los últimos miembros se obtiene # 1 1 4!R 1 = R 1# 1 4! R 1 # 1 4!R = R # 4! R! 1! = R R 1 Es decir, l densidd superficil de crg de dos esfers conductors que tienen el mismo potencil es inversmente proporcionl su rdio. Por tnto, ls densidd de crg en ls superficies puntiguds de los conductores es mucho myor que en el resto; y como el cmpo en un punto próximo exterior vle E en =! pueden conseguirse cmpos intensos fbricndo conductores puntigudos. Est propiedd es l bse de los prrryos. Prrryos Ls corrientes scendentes de ire cliente con vpor de gu, que ocurren principlmente en tiempo cluroso, suelen crgrse por frotmiento y producir nubes con crg eléctric. L crg del suelo es inducid por l nube y, por tnto, de signo opuesto l de ell. Ls crgs del suelo hcen que iones intermedios y los de l nube sen trídos hci l tierr y los negtivos hci l nube. Est corriente eléctric entre l nube y l tierr es moderd por l resistenci que dn lugr los choques de ests crgs con el resto de ls moléculs del ire, por l resistenci del ire. Pero, por mecnismos ún no muy clros, en ocsiones se originn vchs de prtículs crgds que, si el cmpo eléctrico es elevdo, pueden lcnzr grn velocidd y iniozr ls moléculs de ire con ls que chocn. Se ument sí el número de crgs libres y el ire ument su conductividd lo lrgo de un tryectori entre l nube crgd y l tierr. Por es tryectori fluyen, entonces, grn cntidd de iones entre l nube y l tierr, que provocn el clentmiento del ire de l tryectori, que se hce, por eso, visible durnte un corto tiempo. Es tryectori visible se llm ryo 3. Por tnto, un ryo es un tryectori de descrg rápid. Al descrgrse por ell prte de l nube, el cmpo disminuye y, por tnto, tmbién l velocidd de los iones, y el ryo, 3 En Joseph R. Dwyer, El ryo, Investigción y Cienci, julio 005, se exponen hipótesis sobre l generción de los ryos. 7

8 F. Redondo Quintel y R. C. Redondo Melchor es decir, l tryectori visible, desprece. El ryo produce luz momentáne, que es visible incluso unque no se ve el ryo. Es luz se llm relámpgo. Tmbién produce clentmiento del ire próximo con expnsiones y explosiones que, con sucesivos ecos, son el trueno. Si un prte de un edificio, un árbol o un person formn prte de l tryectori del ryo, pueden ser dñdos por clentmiento excesivo o por otrs cuss. Pr l proteción de los edificios y de ls persons se inst prrryos, que son conductores en form de brr bien puest tierr, termind en punt o en un conjunto de punts. Se colocn en ls prtes más lts de los edificios y desde ellos se bj un cble conductor, que se pone tierr. Así, l punt del prrryos tiene el potencil de tierr. De es mner se disminuye l distnci de l nube un punto de potencil cero, por lo que se ument l probbilidd de que el prrryos y el cble que lo conect con tierr sen un cmino de descrg. De est mner se disminuye l probbilidd de que el cmino se otro próximo. Problems 1.- Un conductor cilíndrico de rdio, en equilibrio electrostático, tiene un densidd superficil de crg uniforme σ. Hllr el cmpo eléctrico que cre en el ire en un punto exterior P que dist R de su eje, y en un punto exterior muy próximo l conductor. Si se tom como referenci de potenciles un punto exterior que dist R 0 del eje del cilindro, hllr el potencil de culquier punto y el del conductor. Solución: Como el conductor está en equilibrio, el cmpo en su interior es cero. Fig- 1.- Sección rect del conductor. Como el cmpo en el exterior es rdil, si se plic l ley de Guss un superficie cilíndric concéntric con el conductor, extern él, de bses perpendiculres su eje y de longitud L, se tiene:!rle =!L" # 0 ; E =! R Vectorilmente, E =! R R R es el vector del po perpendiculr l conductor que contiene el punto P, que v del eje del conductor l P. 8

9 F. Redondo Quintel y R. C. Redondo Melchor En un punto exterior muy próximo l superficie R! +, por lo que E = lím R! + E = " # 0 que es el teorem de Coulomb. En l dirección de R, dv =!E ; dv =!EdR ; dv dr V! = V " V 0 = "! EdR =! EdR V 0 R " V! V 0 = 0 $ # 0 R dr = " R R # 0 Si V 0 = 0, V =! R 0 R. [ ] R R 0 = " R 0 # 0 R Fórmul que d el potencil de un punto exterior que dist R del eje del cilindro, si el potencil cero se sitú en un punto exterior que dist R 0. Nótese que ls superficies equipotenciles son superficies cilíndrics de eje el del conductor. Si! es positiv, V es positivo en los puntos que disten del eje del conductor menos que R 0, y negtivo en los puntos que disten más que R 0. R R 0 R 0 R.- Deducir un fórmul que proporcione el cmpo eléctrico y el potencil en el punto P del problem nterior en función del potencil del conductor. Solución: Como el potencil en l fronter de un conductor es un función continu de ls coordends x, y, z, el potencil del conductor debido su propi crg es el de un punto de su superficie, es decir, V ( ) =! R 0 Despejndo l densidd superficil de crg y sustituyendo, se tiene:! = V ( ) R 0 ( ) E =! R R = V R R 0 R V =! R 0 R = V ( ) R 0 R R 0 9

10 F. Redondo Quintel y R. C. Redondo Melchor V() es el potencil del conductor debido solo su propi crg. 3.- Se el po que contiene l punto P y es perpendiculr l conductor del problem nterior. Situemos el origen de coordends O en ese po. Todos los vectores que se citn continución son vectores de ese po. r 1 es el vector de posición del eje del conductor, r el de posición de P y r 0 el del origen de potenciles. Hllr ls fórmuls del cmpo y del potencil en función de esos vectores. Prticulrizr si el origen de potenciles y el de coordends coinciden. Solución: Fig.. Como R = r! r 1 y R 0 = r 0! r 1, se tiene: E =! ( r # r r # r 1) = 1 V =! r 0 # r 1 r # r 1 = V V( ) r # r 1 r 0 # r 1 r 0 # r 1 r # r ( ) 1 r 0 # r 1 ( r # r 1 ) Si el origen de potenciles está en el de coordends, r 0 =0, con lo que E =! ( r # r r # r 1) = 1 V( ) r # r 1 r 1 ( r # r 1 ) V =! r 1 r 1 r # r = V( ) 1 r # r 1 r 1 V() es el potencil del conductor debido solo su propi crg. 4.- Hllr el cmpo y el potencil que tres conductores cilíndricos muy lrgos, prlelos, de rdios igules de vlor cren en un punto P externo ellos. Los potenciles de los conductores respecto l origen de coordends son V 1, V y V 3. Suponer densiddes superficiles de crg uniformes. L figur es el corte por un po perpendiculr los conductores. 10

11 F. Redondo Quintel y R. C. Redondo Melchor Solución: Fig. 3. El cmpo que el conductor 1 cre en P es E 1 =! 1 ( r # r r # r 1) 1! 1 es l densidd superficil de crg del conductor 1. De l mism mner pr el resto de los conductores. Por tnto E =! 1 ( r # r r # r 1) + 1! r # r r # r ( ) + El potencil que cre en P el conductor 1 es V P1 =! 1 r 1 r # r 1! 3 ( r # r r # r 3) 3 De l mism mner pr los otros dos conductores. Por tnto, V =! 1 r 1 r # r 1 +! r r # r +! 3 r 3 r # r 3 Si r = r 1 + r 1 r 1, entonces V = V 1. Es decir, V 1 =! 1 r 1 +! r r 1 + r 1 r 1 # r Si r = r + r r, entonces V = V : V =! 1 r 1 r + r r # r 1 Si r = r 3 + r 3 r 3, V = V 3 : +! 3 +! r +! 3 r 3 r 1 + r 1 r 1 # r 3 r 3 r + r r # r 3 11

12 V 3 =! 1 r 1 r 3 + r 3 r 3 # r 1 +! r r 3 + r 3 r 3 # r F. Redondo Quintel y R. C. Redondo Melchor +! 3 r 3 Si el rdio de los conductores es desprecible comprdo con ls distncis entre los conductores, se tiene: resto. Si V 1 =! 1 r 1 +! r d 1 +! 3 r 3 d 13 V =! 1 r 1 d 1 +! r +! 3 r 3 d 3 V 3 =! 1 r 1 +! r +! 3 r 3 d 13 d 3 Donde d 1 es l distnci entre los ejes de los conductores 1 y, y sí pr el p hh = r h! 0 y p hk =! 0 r k d hk, se tiene:! # # "# V 1 V V 3 $! p 11 p 1 p 13 $! & # &# & = # p 1 p p 3 &# %& "# p 31 p 3 p 33 %& "# O bien [ V] = [ p] [! ] ' 1 ' ' 3 $ & & %& V 1, V y V 3 son los potenciles respectivos de los conductores, y! 1,! y! 3 ls densiddes superficiles de crg. Si g 1 =! 0 r 1 r " r 1 g =! 0 r r " r g 3 =! 0 r 3 r " r 3 El potencil V del punto P, obtenido más rrib, se puede poner sí: V = [ g] T [! ], 1

13 donde [ g] T = [ g 1 g g 3 ] es l tnspuest de l mtriz [ g ] =! # # "# Como g 1 g g 3 $ & & %& [! ] = [ p] "1 [ V], result que V = [ g] T [! ] = [ g] T [ p] "1 [ V] F. Redondo Quintel y R. C. Redondo Melchor 5.- Un conductor cilíndrico de cobre de rdio =.5 cm está rodedo de otro conductor concéntrico con él de rdio interior b=10 cm. Un dieléctrico linel de coeficiente dieléctrico ε r =3 llen el espcio entre los dos. Hllr l polrizción del dieléctrico, el vector desplzmiento y ls densiddes de crg de polrizción cundo l diferenci de potencil entre el conductor interior y el exterior vle V=100 V. Comprobr explícitmente que l crg totl de polrizción vle cero. vle Solución: El módulo del cmpo eléctrico en un punto del dieléctrico que dist r del centro V E = rln b Y tiene l dirección del rdio y sentido hci fuer. Por tnto el módulo de l polrizción vle V P =! 0 "E =! 0 (! r #1)E =! 0 (! r #1) $Ln b % & 10#9 r con l mism dirección y el mismo sentido que el cmpo eléctrico. Si se sustituye r en metros, P se obtiene en C/m. El módulo del vector desplzmiento vle V D =!E =! 0! r E =! 0! r "Ln b # $ 10%9 " Tmbién con l dirección del rdio y sentido hci fuer. Si se sustituye r en metros, D se obtiene en C/m. L densidd volúmic de crg de polrizción vle 4 4 L divergenci en coordends cilíndrics es div P= 1 r 13!(rP r )!r + 1 r!p q!" +!P z!z.

14 ! p = "div P = " 1 r #(rp) #r % ( = " 1 # ' r #r $ 0 ($ r " 1) V * ' ' Ln b * = 0 * & ) F. Redondo Quintel y R. C. Redondo Melchor L densidd superficil de crg de polrizción es el opuesto del vlor de l polrizción en l superficie interior, y el vlor de l polrizción en l superficie exterior del dieléctrico, pues P es perpendiculr ls dos superficies: V! p = "P() = "# 0 (# r "1) Ln b $ " % 10 "10 C/ m = " nc/ m! pb = P(b) = (" r # 1) V bln b $ %10 #10 C/ m = nc/ m L crg totl de polrizción en un longitud L del cble vle Q p = "! p dv + # v " p ds + " # pb ds = # p $L + # p $bl = S! (" r!1) #LV + (" r! 1) #blv = 0 S b Ln b bln b Trbjo sobre prrryos Tipos, legislción (leyes, reglmentos y norms), instlción, superficie que protege... 14