Funciones uno-uno, sobre y biunívocas

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1 Funciones uno-uno, sobre y biunívocas La inversa (biunívocas) de una función es una regla que actúa en la salida de la función y produce la entrada correspondiente. Así, la inversa deshace o invierte lo que ha hecho la función. No todas la funciones tienen inversas; las que sí tienen se llaman funciones uno a uno. Funciones uno a uno. Compárense las funciones f y g cuyos diagramas de flecha se muestran en la figura: Hay que observar que f nunca toma el mismo valor 2 veces (dos números cualesquiera en A tienen imágenes diferentes), mientras que g toma el mismo valor dos veces (tanto 2 como 3 tienen la misma imagen, 4). En símbolos, g(2) = g(3) pero f(x 1 ) f(x 2 ) siempre que x 1 x 2. Las funciones que tienen esta última propiedad se llaman uno a uno. Una función con dominio A se le llama función uno a uno si no hay dos elementos de A que tengan la mima imagen, es decir, f(x 1 ) f (x 2 ) siempre que x 1 x 2 Una forma equivalente de escribir la condición de una función uno a uno es esta: Si f(x 1 ) = f(x 2 ), entonces x 1 = x 2. Si una recta horizontal cruza la gráfica de f en más de un punto, entonces se puede observar en la figura:

2 Que hay números x 1 x 2 tales que f(x 1 ) = f(x 2 ). Esto significa que f no es uno a uno. Por lo tanto, se tiene el siguiente método geométrico para determinar si una función es uno a uno. Prueba de la recta horizontal. Una función es uno a uno si y sólo si, ninguna recta horizontal su grafica más de una vez. Ejemplo 1. Decidir si es una función uno a uno. La función f(x) = x 3 es uno a uno? Solución 1: si x 1 x 2, entonces x 3 1 x 3 2 (dos números diferentes no pueden tener el mismo cubo). Por lo tanto, f(x) = x 3 es uno a uno. Solución 2: en la figura se puede observar que ninguna recta horizontal cruza la gráfica de f(x) = x 3 más de una vez. Por lo tanto, mediante la prueba de la recta horizontal, f es uno a uno. Observe que la función f del ejemplo 1 es creciente uno a uno. De hecho se puede probar que toda función creciente y toda función decreciente es uno a uno.

3 Ejemplo 2. A continuación se muestra si es una función uno a uno. La función g(x) = x 2 es uno a uno? Solución 1: Esta función no es uno a uno porque por ejemplo, g 1 = 1 Y g 1 = 1 por lo tanto, 1 y -1 tienen la misma imagen. Solución 2: En la figura se puede observar que hay rectas horizontales que cruzan la gráfica de g más de una vez. Por lo tanto, la prueba de la recta horizontal, g no es uno a uno. Aunque la función g del ejemplo 2 no es uno a uno, es posible restringir su dominio de modo que la función resultante sea uno a uno. De hecho si se define x = x 2, x 0 Entonces h es uno a uno como se puede observar en la siguiente figura. Y la prueba de la recta horizontal. Las funciones uno a uno son importantes porque son precisamente las funciones que poseen funciones inversas de acuerdo con la siguiente definición:

4 Definición. Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su función inversa f -1 tiene dominio B y rango A y está definida por Para cualquier y en B. f 1 = x f x = y Esta definición establece que si f envía x a y, entonces f 1 envía a y de nuevo a x. (Si f no fuera uno a uno, entonces f 1 no estaría definida de manera única.) El diagrama de flecha de la figura indica que f 1 invierte el efecto de f. De la definición se tiene: Dominio de f 1 = a rango de f. Rango de f 1 = dominio de f. Ejemplo 3. Encuentre f 1 para valores específicos Si f(1) = 5, f(3) = 7 y f(8) = -10 encuentre f 1 (5), f 1 (7), f 1 (-10). Solución de la definición de f 1 se tiene: En la siguiente figura se muestra cómo f 1 invierte el efecto de f en este caso.

5 Por definición la función f 1 deshace lo que hace f si se empieza con x, se aplica f, y luego se aplica f 1, se llega de nuevo a x, donde se inició. De manera similar, f deshace lo que hace f 1. En general, cualquier función que invierte el efecto de f en esta forma debe ser la inversa de f. estas funciones se expresan con precisión como siguen. Nota. Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. La función inversa f 1 satisface las siguientes propiedades de cancelación. f 1 f x = x Para toda x en A f f 1 x = x Para toda x en B. A la inversa, cualquier función f 1 que satisfacen estas ecuaciones es la inversa de f. Estas propiedades indican que f es la función inversa de f 1, por lo tanto se dice que f y f 1 son inversas entre sí. FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES GRÁFICAS Las funciones se clasifican como: Inyectiva. Si a cada elemento del dominio le asocia un único elemento del rango y a cada elemento del rango le corresponde un único elemento del dominio (biunívoca).

6 Suprayectiva o sobreyectiva. Cuando el rango y el contra dominio son iguales. Biyectiva. Son inyectivas y suprayectivas a la vez. Ejemplo. 1. Dar un ejemplo de función inyectiva, suprayectiva y biyectiva. Inyectiva f(x) =10x+7 D f : R f : Suprayectiva f(x): x 3 D f : R f : Biyectiva f(x): 6x D f : R f : Si f es una función con dominio A, entonces la gráfica de f es el conjunto de pares ordenados: {(x, f x ) x A} En otras palabras la gráfica f es el conjunto de los puntos (x, y) tales que y = f(x); es decir, la gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x). La gráfica de una función f da un cuadrado del comportamiento o historia de vida de la función. Se puede leer el valor de f(x) de la gráfica como la altura de la gráfica arriba del punto x.

7 Una función f de la forma f x = mx + b se llama función lineal, porque su gráfica es la de la ecuación y = mx + b, que representa una recta con pendiente m y ordenada al origen b. Un caso especial de una función lineal se presenta cuando la pendiente es m = 0. La función f(x)=b, donde b es un determinado número, se llama función constante porque todos sus valores son el mismo número, a saber, b. Su gráfica es la recta horizontal y=b. En la figura se muestra las gráficas de la función constante f(x)=3 y la función lineal f(x) =2x + 1. Ejemplo: Graficación de funciones. Se muestra a continuación la siguiente función. f x = x 2, g x = x 3, x = x Solución: primero se construye una tabla de valores. Luego se grafican los punto expresados en la tabla y se unen mediante una curva lisa para obtener la gráfica. Como se muestra en la siguiente figura.

8 Una forma conveniente de graficar una función es utilizar una calculadora de graficación.

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