Grupo de Informática Gráfica Avanzada Universidad de Zaragoza. Polígonos. Diego Gutiérrez

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1 Grupo de Informática Gráfica Avanzada Universidad de Zaragoza Polígonos

2 Indice Definición Representación Triangulación (Gouraud, Phong) Modelado poligonal

3 Con lo que habíamos visto hasta ahora...

4

5 Definición La mayoría de renderizadores trabajan sobre polígonos La mayoría de los objetos se representan como polígonos La mayoría de los algoritmos están pensados para polígonos Los aceleradores gráficos trabajan sobre polígonos

6 Definición Qué es un polígono? Un polígono es una región 2D de un plano limitada por segmentos de línea llamados lados Lados adyacentes no pueden ser colineales Un vértice es el punto de los límites del polígono donde dos lados intersectan Dos lados pueden intersectar sólo en un vértice Un polígono simple es uno sin agujeros

7 Definición Teorema de Jordan: un polígono divide el plano en una zona interior, una exterior y un límite El polígono abarca la interior y el límite

8 Definición Otra propiedad interesante: convexidad Convex hull: mínima área convexa que contiene todos los puntos de un conjunto

9 Representación

10 Representación Cómo los representamos? Esquema 1: Para cada polígono, construir el conjunto de vértices en orden arbitrario Representar cada vértice con un par de números reales (coordenadas definidas respecto a un sistema de referencia común) Construir una lista con esas parejas de reales Sintácticamente correcto. Semánticamente?

11 Representación Sintácticamente correcto. Semánticamente? El esquema anterior es ambiguo o incompleto

12 Representación Esquema 2: restringir el esquema anterior a polígonos convexos El convex hull de un polígono es único: esquema no ambiguo Problema: hay puntos que no se definen como vértices, por lo que quedan fuera de nuestra representación El esquema 2 es inválido

13 Representación Esquema 3: redefinimos las reglas Vértices listados en orden consecutivo, siguiendo los lados del polígono

14 Representación Más esquemas?

15 Representación Más esquemas? Sólo para polígonos convexos

16 Representación En resumen. Necesitamos: Un dominio. Qué objetos son representables? Validez. Puedo al menos representar un objeto? No ambigüedad. La representación corresponde a un único objeto? Es también conveniente: Unicidad. Puede un objeto ser representado de varias formas? Concisión. Es le representación muy farragosa? Adaptabilidad a las aplicaciones. Para qué hago la representación?

17 Representación A veces el problema se simplifica mediante primitivas

18 Representación Baja resolución vs. Alta resolución

19 Representación Baja resolución vs. Alta resolución

20 Triangularización

21 Triangulación Qué polígono sería más interesante?

22 Triangulación El triángulo es el más sencillo: menor representación, todos sus vértices se conectan, siempre convexo Algoritmos de sombreado basados en scanline, para determinar la intensidad de un punto P interior

23 Sombreado de polígonos Puede verse un modelo con apariencia suave si lo hacemos a partir de polígonos?

24 Sombreado de polígonos Los modelos de iluminación en IG calculan la intensidad de la luz en un punto aislado de la superficie Cómo lo calculamos para todo el polígono? Diferentes enfoques: Repetimos el cálculo para todos los puntos del polígono (innecesario, poco práctico, nada inteligente) Flat shading: calculamos en un punto del polígono (generalmente el centroide) y con el valor obtenido pintamos todo el polígono Gouraud y Phong: calculamos en puntos clave del polígono (vértices) e interpolamos

25 Flat shading (sombreado constante) En inglés, a.k.a constant shading El método más rápido y sencillo El método menos realista No pain, no gain

26 Flat shading (sombreado constante) En realidad, para fuentes puntuales, la dirección de la fuente de luz no es constante sobre todo el polígono Para reflejos especulares, la dirección del ojo tampoco Esto hace que la estructura poligonal interna se haga evidente Podemos refinar más la malla para disimularla un poco

27 Mach banding Además, aparece el problema del Mach banding El sistema visual es muy bueno detectando aristas... aunque éstas no existan! Discontinuidades C1 Esto hace que las diferencias de sombreado entre polígonos parezcan todavía mayores Y aunque usáramos el horriblemente ineficiente método de calcular en cada punto del polígono, el resultado sería pobre

28 Mach banding

29 Sombreado de Gouraud Gouraud shading se basa en interpolar las intensidades obtenidas en cada vértice Primero calculamos esa intensidad en A,B,C Necesitamos calcular la normal en cada vértice La aproximamos promediando la normal a la superficie en los polígonos que comparten ese vértice

30 Sombreado de Gouraud Equivale a hallar la normal a la superficie real que aproximan los polígonos, asumiendo que éstos son una aproximación piecewise de la superficie real (C0) Las normales proporcionan información sobre el plano tangente a la superficie en cada punto (C1) Las normales en los vértices se usan sólo para iluminación (no backface culling u otros cálculos geométricos)

31 Sombreado de Gouraud Luego calculamos la intensidad en Q y R (intersección del scanline con el polígono) Y luego interpolamos entre I Q e I R para obtener I p

32 Sombreado de Gouraud Las discontinuidades entre polígonos adyacentes desaparecen (la intensidad al final de un polígono a la que llegamos interpolando será la intensidad al comienzo del polígono siguiente

33 Sombreado de Gouraud Problemas de Gouraud: Las aristas tienden a desaparecer Los reflejos especulares pueden perderse si caen dentro de un solo polígono Como hemos visto, las bandas de Mach no se eliminan del todo Para recuperar una arista que queremos que sea visible, calculamos dos normales al vértice, una para cada lado. Cada normal se halla promediando las normales a la superficie de los polígonos del lado correspondiente

34 Sombreado de Phong No confundir con el modelo de iluminación de Phong Interpolamos linealmente las normales de la superficie a lo largo del polígono (no las intensidades como Gouraud) Aparte de eso, el concepto es similar:

35 Sombreado de Phong Una vez interpoladas las normales, se aplica el modelo de iluminación con la normal interpolada, para hallar la intesidad de luz en el punto requerido Apariencia más real. Los reflejos especulares se capturan mejor. Las bandas de Mach se reducen Requiere más cálculos (un cálculo de iluminación completo por cada interpolación)

36 Triangulación La clave, entonces, parece ser reducir los polígonos a triángulos

37 Triangulación

38 Triangulación Wikipedia: In computational geometry, polygon triangulation is the decomposition of a polygon into a set of triangles. A triangulation of a polygon P is its partition into non-overlapping triangles whose union is P. In the strictest sense, these triangles may have vertices only at the vertices of P. In a less strict sense, points can be added anywhere on or inside the polygon to serve as vertices of triangles. Reduce formas complejas a formas simples. Es el primer paso en muchos algoritmos más complejos Robótica, situación 3D de puntos, generación de mallas...

39 Triangulación Todo polígono es triangularizable La triangularización de un polígono de n-lados da como resultado n-2 triángulos Ejemplo: 13 lados, 11 triángulos

40 Triangulación El problema de la galería de arte:?

41 Triangulación El problema de la galería de arte: Cada guardia está fijo en un sitio Tiene visión de 360º No ve a través de las paredes Problema planteado en 1973, y resuelto ese mismo año mediante complejas formulaciones Desde entonces, se han propuesto soluciones mucho más sencillas basadas en triangulación

42 Triangulación Teorema final: un polígono de n-lados puede ser vigilado con n/3 guardias en los vértices

43 Triangulación Primeros algoritmos: O(n 4 ) En seguida reducidos a O(n 2 ) Primer algoritmo no-trivial O(nlog n): : Chazelle publica un algoritmo O(n) extremadamente complejo Actualmente se suele trabajar con O(nlog n)

44 Triangulación Algoritmo: Barrer el plano con una scanline En cada vértice, trazar una línea vertical (horizontal) hasta chocar con un lado del polígono El resultado es una serie de trapezoides, que son trivialmente descompuestos en triángulos O(nlog n)

45 Modelado poligonal Ahora que ya tenemos un montón de polígonos (triángulos), cómo trabajamos con ellos?

46 Modelado poligonal Ahora que ya tenemos un montón de polígonos (triángulos), cómo trabajamos con ellos?

47 Modelado poligonal

48 Modelado poligonal

49 Modelado poligonal

50 Modelado poligonal

51 Modelado poligonal

52 Modelado poligonal

53 Modelado poligonal

54 Modelado poligonal

55 Modelado poligonal

56 Modelado poligonal Cubic tragedy: SIGGRAPH 2005, Electronic Theater

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