PROBLEMA DEL DÍA 21 DE AGOSTO DEL 2012 El sombrero flotante:

Transcripción

1 PROBLEMA DEL DÍA 2 DE AGOSTO DEL 202 El sombrero flotante: Un pescador que llevaba un gran sombrero de paja estaba pescando desde un bote en un río que fluía a una velocidad de tres kilómetros por hora. "Creo que remaré corriente arriba unos pocos kilómetros", se dijo. "Aparentemente, aquí no hay pique". Justo en el momento en que empezó a remar, el viento le voló el sombrero, que cayó al agua junto al bote. Pero el pescador no advirtió que su sombrero se le había volado hasta que no estuvo a cinco kilómetros de su sombrero, corriente arriba. Entonces advirtió lo que había pasado, de modo que empezó a remar corriente abajo hasta que llegó hasta el sombrero que flotaba. En aguas quietas, la velocidad con que rema el pescador es siempre de cinco kilómetros por hora. Cuando remaba corriente arriba, lo hacía a esta misma velocidad constante, pero por supuesto que esa no era su velocidad con respecto a la costa del río. Por ejemplo, cuando remaba corriente arriba a cinco kilómetros por hora, el río lo llevaba corriente abajo a tres kilómetros por hora, de modo que pasaba junto a los objetos de la costa a sólo dos kilómetros por hora. Y cuando remaba corriente abajo, la velocidad del río combinada con su propia velocidad lo hacía avanzar a una velocidad de ocho kilómetros por hora con respecto a la costa. Si el pescador perdió su sombrero a las dos de la tarde, qué hora era cuando lo recuperó? Solución PD UPAEP SUR CD 2 ago 2.docx

2 SOLUCIÓN PROBLEMA DEL DÍA 2 DE AGOSTO DEL 202 El sombrero flotante: Nombre Si leemos con atención el problema, podemos encontrar los siguientes datos relevantes: Para resolver este problema, debemos tener muy claros los conceptos, es decir, debemos entender qué significa remar corriente abajo (a favor del río) y remar corriente arriba (en contra del río). También es muy importante, siempre que resolvamos un problema, hacer un dibujo que nos permita visualizarlo mejor, esto nos ayuda a encontrar la solución de manera más sencilla. En el dibujo anterior, podemos observar lo que ocurrió, el pescador perdió su sombrero, pero se dio cuenta de ello cuando ya estaba a 5 km de distancia, remando corriente arriba. Hay que tener cuidado con esta velocidad porque el pescador está remando corriente arriba. Como va en contra de la dirección del agua a la velocidad del pescador se le debe restar la Solución PD UPAEP SUR CD 2 ago 2.docx velocidad del río. Entonces, corriente arriba, la velocidad del pescador es de Vp = 5-3 = 2 km/h. Cuando va corriente abajo, a la velocidad del pescador debemos sumarle la velocidad del río.

3 Si dibujamos cada instante que marca el problema, tenemos lo siguiente. A las 2 pm, el pescador perdió su sombrero, en ese momento, es claro que tanto el pescador (P) como el sombrero (S) que cayó al agua, se encontraban exactamente en la misma posición. Ya sabemos que el río lleva una velocidad v r = 3 km/h y que el pescador está remando con una velocidad v p = 5 km/h. Pero el pescador no se da cuenta de que perdió su sombrero, sino hasta que se encontraba a 5 km de distancia de él. Si observamos el esquema anterior, podemos ver que la velocidad real a la que se está moviendo el pescador cuando rema corriente arriba solamente es de 2 km/h. Ya explicamos que a su velocidad se le tuvo que restar la velocidad del río, porque está remando en contra de la corriente. Como el sombrero cayó al agua, pues es evidente que se mueve a la misma velocidad que el río, es decir, a 3 km/h. Ahora pensemos en esto: si el pescador viaja a 2 km/h, quiere decir que en una hora ha recorrido una distancia de 2 km. Si el sombrero se mueve a una velocidad de 3 km/h, quiere decir que en una hora ha recorrido 3 km. Si el pescador se dio cuenta de haber perdido su sombrero cuando estaba a 5 km de distancia de él, significa que el sombrero lo perdió hace una hora, porque si él se movió 2 km y el sombrero 3 km, en total nos dan una distancia de 5 km, y eso tuvo que haber ocurrido en un lapso de una hora. Por lo tanto, el pescador se dio cuenta que perdió su sombrero a las 3 pm. Al darse cuenta, decide regresar por él. Supongamos que no se pierde nada de tiempo en voltear el barco para que quede nuevamente a favor de la corriente, y que dicha vuelta es instantánea, entonces solamente hay que concentrarnos en lo que pasa una vez que ya está volteado. Solución PD UPAEP SUR CD 2 ago 2.docx

4 En el dibujo anterior, el primer punto indica la posición en la que se encuentra el pescador, el segundo punto, la posición donde perdió su sombrero. Es evidente que el sombrero sigue moviéndose y que el pescador ahora está remando corriente abajo. Tendrá que viajar más rápido que su sombrero si quiere recuperarlo y hacerlo significa que llegará un momento en que el pescador y el sombrero tengan que estar en el mismo lugar al mismo tiempo, como se muestra con los últimos puntos que aparecen en el dibujo anterior. Ahora bien, ya sabemos que el sombrero se mueve a la velocidad del río v s =v r = 3 km/h. El pescador se mueve ahora con una velocidad equivalente a la suya mas la del río, porque va a favor de la corriente, es decir v p = 5 km/h + 3km/h = 8 km/h. Si nos interesa saber a qué hora recuperó su sombrero, quiere decir que debemos plantear el problema, de tal manera que encontremos el tiempo. De nuestros cursos de física ya sabemos que velocidad es igual a distancia sobre tiempo v = d/t. Si despejamos el tiempo nos queda t = d/v. El tiempo del pescador lo podemos obtener dividiendo la distancia que tiene que recorrer el pescador entre la velocidad que lleva. Si nos fijamos en la figura anterior, podemos ver que la distancia que debe recorrer son los 5 km que los separaba del sombrero cuando iba de ida (corriente arriba) más otro tramo equivalente a la distancia que siguió recorriendo el sombrero corriente abajo (ds 2 ). tiempo del pescador de vuelta (corriente Distancia que siguió moviéndose el sombrero, cuando el pescador ya remaba río abajo para recuperarlo. Tramo inicial que separaba al pescador del sombrero (cuando el pescador remaba río arriba) Velocidad del pescador corriente abajo que equivale a la velocidad con la que rema el pescador más la velocidad del río (5km/h + 3 km/h = 8 km/h) El tiempo que se movió el sombrero, lo sacamos dividiendo la distancia que recorrió, entre la velocidad que llevaba: La distancia solo es el segundo tramo. No se toman en cuenta los primeros 5 km porque el sombrero nunca estuvo ahí. Empezó a moverse a partir de que cayó al agua. Solución PD UPAEP SUR CD 2 ago 2.docx

5 Si el pescador recuperó su sombrero, quiere decir, que hubo un momento en el que tuvieron que estar en el mismo lugar al mismo tiempo. Por lo tanto, el tiempo que hizo el pescador de vuelta (corriente abajo), tuvo que ser el mismo tiempo que hizo el sombrero desde el momento que cayó al agua. Si esto lo traducimos a lenguaje matemático tenemos: Si sustituimos estos valores, por sus respectivas equivalencias obtenemos lo siguiente: Y si resolvemos esta ecuación, podemos encontrar ds 2, es decir, la distancia que se movió el sombrero río abajo, a partir del momento que cayó al agua: Como podemos ver, el sombrero se movió otros 3 km. Con este dato, ya nos encontramos en condiciones de encontrar el tiempo que le tomó al pescador recuperarlo, una vez que empezó a remar corriente abajo: Entonces, si perdió su sombrero a las 2 pm, se dio cuenta de haberlo perdido a las 3 pm y todavía le tomó otra hora recuperarlo, significa que recuperó su sombrero a las 4 pm Conclusión: El pescador recuperó su sombrero a las 4 pm Solución PD UPAEP SUR CD 2 ago 2.docx