Curso ON LINE Tema 8. Resolvemos el sistema por el método de Gauss

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1 SISTEMAS DE ECUACIONES. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ENUNCIADO VERBAL. MÉTODO DE GAUSS Y CALCULADORA Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 50 gramos y su precio es de 00, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 80 y la marca C lo hace en cajas de kilogramo a un precio de El almacén vende a un cliente.5 kilogramos de este producto por un importe de 890. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántas cajas de cada tipo se han comprado y resuelve el problema. x "Número de cajas de la marca A". y "Número de cajas de la marca B". z "Número de cajas de la marca C". B B 50x + 500y + 000z = x + 80y + 330z = 890 x + y + z = 5 5x + 50y + 00z = 50 0x + 8y + 33z = 89 x + y + z = 5 RESOLUCIÓN CON LÁPIZ Y PAPEL ( 5) 5 ( 0) () () Fijamos la ª fila y modificamos la ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la tercera con las indicadas a la derecha. 5 ( 8) (5) Fijamos la primera y segunda filas y modificamos la 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda z = 5 z = 5y + 75z = 5 5y = y = 50 y = x + y + z = 5 x = 5 y z x = 5 x = Si atendemos a las soluciones el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO: x = ; y = ; z = RESOLUCIÓN CON CALCULADORA. F El lote está envasado en 5 cajas de las cuales cajas son de la marca A, cajas de la marca B y caja de la marca C

2 Abel Martín "Sistemas de ecuaciones. Problemas literales" 006 Se venden 3 especies de cereales: trigo, cebada y mijo. El trigo se vende cada saco por 4 denarios. La cebada se vende cada saco por denarios. El mijo se vende cada saco por 0.5 denarios. Si se venden 00 sacos y se obtiene por la venta 00 denarios, cuántos sacos de cada especie se venden. Interpreta la(s) solución(es). SELECTIVIDAD Universidad de Castilla La Mancha Junio 99 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales B B x "Número de sacos de trigo". y "Número de sacos de cebada". z "Número de sacos de mijo". x + y + z = 00 4x + y + 0.5z = 00 RESOLUCIÓN CON LÁPIZ Y PAPEL ( 4) () Fijamos la primera fila y modificamos la segunda con las operaciones señaladas a la izquierda SOLUCIONES z y 3.5z = 300 y + 3.5z = 300 y = z y = x + y + z = z x = 00 z Para z = 0 ( 50, 50, 0) NO VÁLIDA Para z = 68 (, 3, 68) NO VÁLIDA x = z z x = z z z Solución generalizada: (,, z) Algunas soluciones podrían ser: Para z = 80 (0, 0, 80) VÁLIDA Para z = 7 (4, 4, 7) VÁLIDA Para z = 84 (3, 3, 84) VÁLIDA Para z = 76 (7, 7, 76) VÁLIDA Existen infinitas soluciones en cuanto al número de sacos de cada especie que se venden; entre ellas podríamos citar 0, 0, 80, o bien 3, 3, 84 etc. siendo las primeras, segundas y terceras cantidades, respectivamente, el números de sacos de trigo, cebada y mijo. La z z solución generalizada sería (,, z), donde seleccionaremos sólo aquellas cuyos valores de "x", "y", "z" sean números naturales. Matemáticas y TIC

3 Una cooperativa farmacéutica distribuye un producto en tres formatos distintos A, B y C. Las cajas de tipo A tienen un peso de 50 gramos y un precio de 0.6, las de tipo B pesan gramos y su precio es de.08, mientras que las C pesan kilogramo y cuestan.98. A una farmacia se le ha suministrado un lote de 5 cajas, con un peso de.5 kilogramos, por un importe de Cuántas cajas de cada tipo ha comprado la farmacia? SELECTIVIDAD Castilla - La Mancha Junio 99 Matemáticas II x "Número de cajas del tipo A" y "Número de cajas del tipo B" z "Número de cajas del tipo C" /B x + y + z = 5 0.5x + 0.5y + z =.5 0.6x +.08y +.98z = 5.35 ( ) 5 ( 0.6) (4) () Fijamos la ª fila y modificamos la ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la 3ª con las operaciones indicadas a la derecha 5 ( 0.48) () Fijamos la ª y ª filas y modificamos la 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda z = z = z = 0.06 z = 0.83 y = 5 y +.49 = 5 y = 5.49 y =.5 x = 5 x = x =.66 RESOLUCIÓN CON CALCULADORA GRÁFICA O CUALQUIER OTRA CALCULADORA CIENTÍFICA CON CAPACIDAD DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON 3 INCÓGNITAS. F A la vista de los resultados, no se podrían dar simultáneamente las circunstancias del enunciado ya que obtenemos números NO enteros y se supone que las cajas no se pueden fraccionar

4 Abel Martín "Sistemas de ecuaciones. Problemas literales" Tres personas A, B y C, le van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de la siguiente manera: A paga 04 el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 0. que paga B, C paga 0.8. Plantea un sistema que permita determinar cuánto paga cada persona y resuelve el problema. PAU Universidad de Zaragoza Junio 996 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales x "Número de que paga la persona A" y "Número de que paga la persona B" z "Número de que paga la persona C" /B x + y + z = x = 3(y + z) y 0. = z 0. 8 x + y + z = x = 3y + 3z 0.8y = 0.z x + y + z = x 3y 3z = 0 0.8y 0.z = 0 ( ) () Fijamos la ª fila y modificamos la ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la 3ª con las operaciones indicadas a la derecha (0.8) (4) Fijamos la ª y ª filas y modificamos la 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda z = z = 3.63 z =.36 4y 4.36 = y = y = y = y = 30.9 y = 7.57 x = x = x = RESOLUCIÓN CON CALCULADORA GRÁFICA O CUALQUIER OTRA CALCULADORA CIENTÍFICA CON CAPACIDAD DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON 3 INCÓGNITAS. F Cada uno de los 3 amigos A, B y C aportan para hacer el regalo, respectivamente, 56.8, 7.57 y Matemáticas y TIC

5 Nuestro proveedor de pilas nos cobra por una pequeña, dos medianas y una grande,.83. En otra ocasión, por dos pequeñas, tres medianas y dos grandes, (a) Cuánto nos cuestan 5 pequeñas, 9 medianas y 5 grandes?. 06 (b) Cuál es el precio de una pila mediana?. (c) Cuánto vale una pequeña más una grande?. (d) Si añadimos la condición de que una grande vale el doble de una pequeña, cuál es el precio de cada uno de los tipos de pilas?. PAU Universidad de Junio 9 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales x "Precio en de la pila pequeña". y "Precio en de la pila mediana". z "Precio en de la pila grande". /B x + y + z =.83 x + 3y + z = 3.03 RESOLUCIÓN apartado a: Se nos pide 5x + 9y + 5z y, como podremos comprobar, se consigue por combinación de las ecuaciones del enunciado: 3) x + y + z =.83 3x + 6y + 3z = 5.49 ) x + 3y + z = 3.03 x + 3y + z = x + 9y + 5z = pilas pequeñas, 9 medianas y 5 grandes cuestan 8.5 RESOLUCIÓN apartado b: para calcular el valor de la pila mediana basta con resolver el sistema: ) x + y + z =.83 x 4y z = 3.66 ) x + 3y + z = 3.03 x + 3y + z = 3.03 y = 0.63 y = 0.63 La pila mediana cuesta 0.63 RESOLUCIÓN apartado c: x + y + z =.83 x z =.83 x + z =.83.6 x + z = 0.57 RESOLUCIÓN apartado d: La pila pequeña más la grande cuestan 0.57 x + y + z =.83 x + 3y + z = 3.03 z = x x + y + z =.83 x + 3y + z = 3.03 x + z = 0 ( ).83 () () ()

6 Abel Martín "Sistemas de ecuaciones. Problemas literales" Fijamos la ª fila y modificamos la ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la 3ª con las operaciones indicadas a la derecha.83 (4) () Fijamos la ª y ª filas y modificamos la 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda z =.4 y = 0.63 z = 0.38 y = 0.63 x = x = 0.9 Las pilas pequeña, mediana y grande cuestan, respectivamente, 0.9, 0.63 y Para un determinado partido de fútbol se ponen a la venta 3 tipos de localidades: Fondo, General y Tribuna. Se sabe que la relación entre los precios de las localidades de Tribuna y General es 9/8 y entre General y Fondo es 6/5. Si al comprar tres localidades, una de cada clase, se pagan en total 78.3, cuál es el precio de cada localidad?. /B Propuesta de PAU Universidad de Oviedo Junio 994 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales x "Precio, en, de las localidades de Fondo" y "Precio, en, de las localidades de General" z "Precio, en, de las localidades de Tribuna" z 9 = y 8 y 6 = x 5 x + y + z = z = 9y 5y = 6x x + y + z = y + 8z = 0 6x + 5y = 0 x + y + z = 78.3 (6) () Fijamos la primera fila y modificamos la segunda con las operaciones indicadas a la izquierda (9) 0 () Fijamos la primera y segunda filas y modificamos la tercera con las operaciones indicadas a la izquierda Matemáticas y TIC

7 En estos momentos ya tenemos el sistema de ecuaciones presentado en forma escalonada, por lo que podemos operar cómodamente: 3z = y + 6z = y = y = x + y + z = x = z = 8.55 y = 7.05 x =.54 Si atendemos a las soluciones, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO: x =.54 ; y = 7.05 ; z = 8.55 F El precio de cada localidad de Fondo, General y Tribuna es de.54, 7.05 y 8.55, respectivamente. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 0 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres. 08 (a) Plantear un sistema de ecuaciones y averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión. (b) Resolver el problema. PAU Universidad de Oviedo Junio 994 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales x "Número de hombres" y "Número de mujeres" z "Número de niños" /B x + y + z = 0 x + y = 3z y + = x x + y + z = 0 x + y 3z = 0 x y = ( ) () ( ) 0 () Fijamos la primera fila y modificamos la segunda con las operaciones indicadas a la izquierda y la tercera con las operaciones indicadas a la derecha

8 Abel Martín "Sistemas de ecuaciones. Problemas literales" En estos momentos ya tenemos el sistema de ecuaciones presentado en forma escalonada, por lo que podemos operar cómodamente: 4z = 0 z = 5 y z = 9 y 5 = 9 y = y = 7 x + y + z = 0 x = 0 y z x = x = 8 Si atendemos a las soluciones, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO x = 8 ; y = 7 ; z = 5 F El grupo que ha ido de excursión estaba formado por 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños. En una confitería envasan los bombones en cajas de 50 gr, 500 gr y kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (50 gr) que de tamaño mediano (500 gr). Sabiendo que el precio del kg de bombones es de PTAS y que el importe 03 total de los bombones envasados asciende a PTAS: (a) Plantear un sistema para determinar cuántas cajas se han envasado de cada tipo. (b) Resolver el problema. PAU Universidad de Oviedo Junio 996 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales x "Número de cajas de 50 gramos" y "Número de cajas de 500 gramos" z "Número de cajas de 000 gramos" x = y + 5 Si kilogramo vale PTAS, suponiendo que son magnitudes directamente proporcionales: Cada caja de 000 gramos costará PTAS Cada caja de 500 gramos costará 000 PTAS Cada caja de 50 gramos costará 000 PTAS 000x + 000y z = /B x = y x + 000y z = x y = 5 x + y + 4z = 5 8 Matemáticas y TIC

9 ( ) 60 ( ) () () Fijamos la ª y modificamos la ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la 3ª con las operaciones indicadas a la derecha. 60 () 0 55 () 3 65 Fijamos la ª y ª filas y modificamos la 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda En estos momentos ya tenemos el sistema de ecuaciones presentado en forma escalonada, por lo que podemos operar cómodamente: 5z = 75 z = 5 y z = 55 y 5 = 55 y = y = 40 y = 0 x = 60 y z x = x = 5 Si atendemos a las soluciones, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO x = 5 ; y = 0 ; z = 5 F Ese día se envasaron 5 cajas de 50 gramos, 0 cajas de 500 gramos y 5 cajas de kilogramo. Se envasa cierto producto en cajas de 50 gr, 500 gr y kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (50 gr) que de tamaño mediano (500 gr). Sabiendo que el precio del kg de bombones es de 4.04 y que el importe total de los bombones 034 envasados asciende a 75.5 : (a) Plantear un sistema para determinar cuántas cajas se han envasado de cada tipo. (b) Resolver el problema. x "Número de cajas de 50 gramos" y "Número de cajas de 500 gramos" z "Número de cajas de 000 gramos" (pequeño) x = y + 5 (mediano) Si kilogramo vale 4.04, suponiendo que son magnitudes directamente proporcionales: /B

10 Abel Martín "Sistemas de ecuaciones. Problemas literales" Cada caja de 000 gramos costará 4.04 Cada caja de 500 gramos costará.0 Cada caja de 50 gramos costará x +.0y z = 75.5 x = y x +.0y z = 75.5 x y = 5 6.0x +.0y z = 75.5 ( ) 60 ( 6.0) () () Fijamos la ª y modificamos la ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la 3ª con las operaciones indicadas a la derecha. 60 (3.005) 0 55 () Fijamos la ª y ª filas y modificamos la 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda En estos momentos ya tenemos el sistema de ecuaciones presentado en forma escalonada, por lo que podemos operar cómodamente: 5.05z = z = 5 y z = 55 y 5 = 55 y = y = 40 y = 0 x = 60 y z x = x = 5 Si atendemos a las soluciones, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO x = 5 ; y = 0 ; z = 5 F Ese día se envasaron 5 cajas de 50 gramos, 0 cajas de 500 gramos y 5 cajas de kilogramo. 0 Matemáticas y TIC

11 Una tribu de indios utilizan conchas como monedas. Sabemos que para conseguir 3 espejos, arcos y 4 flechas tenemos que aportar 43 conchas; 4 espejos, arcos y flecha son 36 conchas y que 3 espejos, 5 arcos y flechas han costado 53 conchas. 037 (a) Plantea un sistema de ecuaciones para calcular el número de conchas que hay que dar por cada espejo, por cada arco y por cada flecha?. (b) Analiza y comenta los resultados. x "Número de conchas que hay que dar por cada espejo" y "Número de conchas que hay que dar por cada arco" z "Número de conchas que hay que dar por cada flechas" /B 3x + y + 4z = 43 4x + y + z = 36 3x + 5y + z = 53 RESOLUCIÓN CON CALCULADORA GRÁFICA O CUALQUIER OTRA CALCULADORA CIENTÍFICA CON CAPACIDAD DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON 3 INCÓGNITAS. Si atendemos a las soluciones, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO x = 5 ; y = 6 ; z = 4 El número de conchas que hay que dar por cada espejo, por cada arco y por cada flecha será, respectivamente, 5, 6 y