ALGEBRA 9. Curso: 3 E.M. Progresiones aritméticas y geométricas. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO:

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1 Colegio SSCC Cocepció - Depto. de Matemáticas Uidad de Apredizaje: Progresioes aritméticas y geométricas Capacidades/Destreza/Habilidad: Racioamieto Matemático/ Aplicació / Calcular, Resolver Valores/ Actitudes: Respeto, Solidaridad, Resposabilidad / Trabajo e equipo, Cumplimieto Curso: 3 E.M. ALGEBRA 9 Apredizajes Esperados: Operar co poliomios, factorizar poliomios aplicado teoremas y propiedades, resolver ecuacioes de grado mayor a 2, resolver situacioes codicioadas co poliomios. Recursos TICs: Presetació de la uidad a través de POWERPOINT Evaluació de proceso: Correcció de tareas, iterrogacioes, trabajo e clases Tiempo: 4 bloques Profesor Resposable: Miguel Ferádez Riquelme Uidad: Progresioes aritméticas y geométricas Nombre: CURSO: 1

2 Progresioes Progresioes aritméticas. Ua sucesió de úmeros reales es u cojuto ordeado de ifiitos úmeros reales a 1, a2, a3, a4, a5,..., a,... Cada uo de los úmeros reales se llama térmio de la sucesió. El cojuto ordeado de úmeros impares 3, 5, 7, 9, 11, 13,... es ua sucesió de úmeros reales. Al térmio: a = 3 + 2(-1) se le llama térmio geeral. Si embargo, o todas las sucesioes tiee térmio geeral. Por ejemplo, e la importate sucesió de los úmeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... o hay igua fórmula que exprese el térmio geeral. Cosideremos la sucesió de térmio geeral a = a 5, 8, 11, 14, 17, 20,... Observamos que cada térmio de la sucesió es igual que el aterior más 3. Se dice que la sucesió a es ua progresió aritmética y que d = 3 es la diferecia de la progresió. Ua progresió aritmética es ua sucesió de úmeros tales que cada uo de ellos (salvo el primero) es igual al aterior más u úmero fijo llamado diferecia que se represeta por d. E la progresió aterior a1 = 5, a2 = 8 y d = 8-5 = 3. E ocasioes os referimos a la progresió formada por los primeros térmios de la progresió; e este caso se trata de ua progresió aritmética limitada. So progresioes aritméticas: Los múltiplos de 2 o úmeros pares: 2, 4, 6, 8, La diferecia es d = 2. Los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, La diferecia es d = 3. Los múltiplos de a: a, 2a, 3a, 4a, 5a... La diferecia es d = a. 2

3 Térmio geeral. Fijémoos e la progresió aritmética ilimitada a1, a2, a3, a4, a5,..., a,... Segú la defiició, cada térmio es igual al aterior más la diferecia. a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d Geeralizado este proceso se obtiee el térmio geeral: a = a1 + ( - 1) d Ejemplos: El térmio geeral de la progresió aritmética 5, 8, 11, es: a = 5 + ( - 1) 3 = = El térmio geeral de ua progresió aritmética e la que a1 = 13 y d = 2 es: a = 13 + ( - 1) 2 = = Vamos a hallar el primer térmio de ua progresió aritmética sabiedo que a11 = 35 y d = 4. Para ello escribimos a11 = a1 + (11-1) 4, es decir, 35 = a1 + 40, de dode a1 = = -5 Se puede coseguir otra expresió para el térmio geeral e fució de otro térmio cualquiera, e lugar del primer térmio. Como a = a1 + ( - 1) d y ak = a1 + (k - 1) d, despejado a1 e ambas expresioes e igualado resulta: a = ak + ( - k) d 3

4 Iterpolació de térmios. Supogamos que queremos itercalar etre 2 y 14 tres úmeros a, b y c de maera que 2, a, b, c, 14 esté e progresió aritmética. Teemos que a1 = 2, a5 = 14 y = 5. Aplicado la expresió del térmio geeral de ua progresió aritmética, se tiee que: a5 = a1 + 4d 14 = 2 + 4d d = 3 Por tato, la progresió aritmética es: 2, 5, 8, 11, 14. Este problema, que cosiste e itercalar varios térmios etre dos dados, se deomia iterpolació. Los térmios que hemos hallado se llama medios aritméticos. Suma de térmios cosecutivos. Cosideremos la progresió formada por los seis primeros múltiplos de 5: a 5, 10, 15, 20, 25, 30. Observemos que la suma de los extremos es: a1 + a6 = = 35 y que los térmios equidistates suma lo mismo que los térmios extremos: a2 + a5 = = 35 a3 + a4 = = 35 E geeral, e ua progresió aritmética limitada se verifica: a3 + a-2 = a2 + a-1 =... = a1 + a E ua progresió aritmética limitada, la suma de los térmios equidistates de los extremos es igual a la suma de los extremos. 4

5 Vamos a utilizar este resultado para calcular la fórmula de la suma de térmios cosecutivos de ua progresió aritmética. Veámoslo primero co el ejemplo: Cuál es la suma de los seis térmios de la progresió 5, 10, 15, 20, 25, 30? Ua forma de hallar la suma de los térmios de esta progresió es escribir la suma dos veces ivirtiedo los térmios e ua de ellas. S6 = S6 = S6 = S6 = 6 35 = 6 (5 + 30) S6 = [6 (5 + 30)] : 2 = 105 Vamos a geeralizar este resultado: Cuál es la suma de los térmios de la progresió a1, a2, a3,..., a-1, a? Llamemos S a la suma de los térmios y escribamos la suma dos veces, ivirtiedo los sumados e ua de ellas. S = a1 + a a-1 + a + S = a + a a2 + a1 Sumado las dos igualdades resulta: 2S = (a1 + a) + (a2 + a-1) (a-1 + a2) + (a + a1) Como hay parétesis y el valor de cada uo es (a1 + a) se tiee: 2S = (a1 + a) + (a1 + a) (a1 + a) = (a1 + a) de dode: a S 2 1 a 5

6 Ejercicios propuestos. 1. Calcula el térmio que ocupa el lugar 100 de ua progresió aritmética cuyo primer térmio es igual a 4 y la diferecia es 5. Respuesta: a100= El décimo térmio de ua progresió aritmética es 45 y la diferecia es 4. Halla el primer térmio. Respuesta: a1= 9 3. Sabiedo que el primer térmio de ua progresió aritmética es 4, la diferecia 7 y el térmio -ésimo 88, halla el úmero de térmios. Respuesta: =13 4. Halla el primer térmio de ua progresió aritmética y la diferecia, sabiedo que a3 = 24 y a10 = 66. Respuesta: a1= 12, d=6 5. El térmio sexto de ua progresió aritmética es 4 y la diferecia 1/2. Halla el térmio 20. Respuesta: a20= Iterpola cuatro medios aritméticos etre los úmeros 7 y 27. Respuesta: a1= 7, a2= 11, a3= 15, a4= Calcula los lados de u triágulo rectágulo sabiedo que sus medidas, expresadas e metros, está e progresió aritmética de diferecia 3. Respuesta: 9,12,15 8. Halla tres úmeros que esté e progresió aritmética y tales que, aumetados e 5, 4 y 7 uidades respectivamete, sea proporcioales a 5, 6 y 9. Respuesta: 5,8,11 9. Calcula la suma de los múltiplos de 59 compredidos etre 1000 y Respuesta: El producto de tres térmios cosecutivos de ua progresió aritmética es 80 y la diferecia es 3. Halla dichos térmios. Respuesta: 2, 5, Cuátos térmios hay que sumar de la progresió aritmética 2, 8, 14,... para obteer como resultado 1064? Respuesta: = La suma de úmeros aturales cosecutivos tomados a partir de 11 es Cuátos térmios hemos sumado? Respuesta: = Sabiedo que el quito térmio de ua progresió aritmética es 18 y la diferecia es 2, halla la suma de los ueve primeros térmios de la sucesió. Respuesta: S = Se cosidera 16 térmios cosecutivos de ua progresió aritmética. La diferecia de los dos extremos es 16, y la suma del cuarto y el decimotercero es 18. Calcula los extremos. Respuesta: a1= 1, a16= Ua progresió aritmética limitada de 10 térmios es tal que la suma de los extremos es igual a 20, y el producto del tercero y el octavo es 75. Formar los 10 primeros térmios de la progresió. Respuesta: 1,3,5,7,9,11,13,15,17, La suma de tres úmeros e progresió aritmética es 33 y su producto Halla estos úmeros. Respuesta: 9,11, Tres úmeros e progresió aritmética tiee por producto 16640; el más pequeño vale 20. Halla los otros dos. Respuesta: a2= 26, a3= El producto de cico úmeros e progresió aritmética es y su suma 40. Halla estos úmeros sabiedo que so eteros. Respuesta: 2,5,8,11,14 6

7 19. Calcula tres úmeros sabiedo que está e progresió aritmética, que su suma es 18 y que la suma del primero y del segudo es igual al tercero dismiuido e dos uidades. Respuesta: 2, 6, 10 Progresioes geométricas. Observemos las potecias de 10 que resulta de la sucesió a = , 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5,... Cada térmio de esta sucesió es igual al aterior multiplicado por 10. Esta sucesió es ua progresió geométrica. Ua progresió geométrica es ua sucesió de úmeros tales que cada uo de ellos (salvo el primero) es igual al aterior multiplicado por u úmero costate llamado razó, que se represeta por r Térmio geeral. Segú la defiició aterior, e la progresió geométrica a1, a2, a3, a4, a5,..., a, se verifica: a2 = a1 r a3 = a2 r = (a1 r) r = a1 r 2 a4 = a3 r = (a1 r 2 ) r = a1 r 3 Geeralizado este proceso se obtiee el térmio geeral: a = a1 r - 1 Ejemplos: Cuál es la razó de la progresió geométrica 3, 6, 12,...? La razó se obtiee dividiedo u térmio por el aterior: r = 6 : 3 = 2. Cuál es el quito térmio de ua progresió geométrica e la que a1 = 2 y r = 3? Podemos ir hallado cada uo de los térmios (2, 6, 18, 54, 162,...) multiplicado cada térmio por 3. Tambié se puede obteer directamete: a5 = a1 r 5-1 = a1 r 4 a5 = = 2 81 = 162 7

8 Se puede coseguir otra expresió para el térmio geeral e fució de otro térmio cualquiera, e lugar del primer térmio. Como a = a1 r - 1 y ak = a1 r k - 1, despejado a1 e ambas expresioes e igualado resulta: a = ak r - k Iterpolació de térmios. Supogamos que queremos itercalar etre 3 y 96 cuatro úmeros a, b, c y d de maera que 3, a, b, c, d, 96 esté e progresió geométrica. Teemos que a1 = 3, a6 = 96 y = 6. Aplicado la expresió del térmio geeral de ua progresió geométrica, se tiee que: Aplicado a = a1 r 1 a6= a1 r 5 96 = 3 r 5 32 = r 5 r = 2 Por tato, la progresió geométrica es: 3, 6, 12, 24, 48, 96. Este problema, que cosiste e itercalar varios térmios etre dos dados, se deomia iterpolació. Los térmios que hemos hallado se llama medios geométricos o proporcioales. Producto de térmios cosecutivo de ua progresió geométrica. Observemos que e la progresió geométrica: 3, 6, 12, 24, 48 el producto de los térmios extremos es: 3 48 = 144 y que el producto de los térmios equidistates de los extremos es tambié 144. E geeral, e ua progresió geométrica limitada se verifica: a3 a-2 = a2 a-1 =... = a1 a E ua progresió geométrica limitada, el producto de los térmios equidistates de los extremos es igual al producto de los extremos. Vamos a utilizar este resultado para calcular la fórmula del producto de térmios cosecutivos de ua progresió geométrica. Llamemos P al 8

9 producto de los térmios y escribamos el producto dos veces, ivirtiedo los factores e ua de ellas. P = a1 a2... a-1 a P = a a-1... a2 a1 Multiplicado las dos igualdades resulta: (P) 2 = (a1 a) (a2 a-1)... (a-1 a2) (a a1) Como hay parétesis y el valor de cada uo es (a1 a) se tiee: (P) 2 = (a1 a) (a1 a)... (a1 a) = (a1 a) de dode: (P) 2 = (a1 a) P a 1 a Suma de térmios cosecutivos. Si queremos calcular la suma de los térmios de la progresió geométrica limitada a1, a2, a3,..., a-1, a, escribimos la suma S de los térmios y después multiplicamos por la razó. S = a1 + a a-1 + a S r = a1 r + a2 r a-1 r + a r Ahora restamos S r - S teiedo e cueta que a1 r = a2, a2 r = a3, etc. S r - S = a r - a1 S (r - 1) = a r - a1, de dode: S a 1 r a r 1 Usado la expresió del térmio geeral de ua progresió geométrica a = a1 r, se puede obteer la fórmula de la suma e fució de a1 y r así: S a1 ( r 1) r 1 9

10 Suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica decreciete. (0 < r < 1) La progresió a = , 2/10, 2/100, 2/1000,... es ua progresió geométrica de razó positiva y meor que 1 (r = 1/10), es decir, es ua progresió geométrica decreciete e ilimitada y sus térmios se hace cada vez meores, pudiedo llegar a ser más pequeños que cualquier úmero dado. Para obteer la fórmula de la suma de estas progresioes multiplicamos por -1 el umerador y el deomiador de la fórmula aterior: S a ( r 1) a1 r a r 1 r 1 a1 a1 r 1 r a1 a r 1 r 1 r Si r es positivo y meor que la uidad, por ejemplo r = 1/100, qué ocurre co la suma aterior al crecer? La primera fracció permaece costate, pues o depede de, pero r se hace ta pequeño como queramos. Por esta razó, para hallar la suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica decreciete se utiliza esta fórmula: S a1 1 r Ejercicios Propuestos 20. Calcula el térmio udécimo de ua progresió geométrica cuyo primer térmio es igual a 1 y la razó es 2. Respuesta: El quito térmio de ua progresió geométrica es 81 y el primero es 1. Halla los cico primeros térmios de dicha progresió. Respuesta: r=3 22. E ua progresió geométrica de primer térmio 7 y razó 2, u cierto térmio es Qué lugar ocupa dicho térmio? Respuesta: = Sabiedo que el séptimo térmio de ua progresió geométrica es 1 y la razó 1/2, halla el primer térmio. Respuesta: a1= Iterpola tres medios geométricos etre los úmeros 8 y 128.Respuesta: r=2 25. E ua progresió geométrica se sabe que el térmio decimoquito es igual a 512 y que el térmio décimo es igual a 16. Halla el primer térmio y la razó. Respuesta: r=2, a1=1/ 32 10

11 26. Descompó el úmero 124 e tres sumados que forme progresió geométrica, siedo 96 la diferecia etre el mayor y el meor. Respuesta: r=5, a1=4 27. El volume de u ortoedro es de 3375 cm 3. Halla la logitud de sus aristas, sabiedo que está e progresió geométrica y que la arista itermedia mide 10 cm. más que la meor. Respuesta: r=3, a1=5 28. Halla el producto de los ocho primeros térmios de la progresió 3, 6, 12, 24,... Respuesta: P=1, Halla la suma de los diez primeros térmios de la progresió geométrica 3, 6, 12, 24,... Respuesta: S= La suma de los ocho primeros térmios de ua progresió geométrica es 17 veces la suma de los cuatro primeros. Halla el valor de la razó. Respuesta: r=2 31. Halla la suma de los térmios de la progresió ilimitada: 8, 4, 2, 1,... Respuesta: S= Halla tres úmeros e progresió geométrica sabiedo que su suma es 26 y su producto 216. Respuesta: a1= 18 a2= 6 a3= Calcula el producto de los oce primeros térmios de ua progresió geométrica sabiedo que el térmio cetral vale 2. Respuesta: P= Tres úmeros e progresió geométrica suma 525 y su producto vale u milló. Calcula dichos úmeros. Respuesta: r=4, a1=25, a2= 100, a3 = Determia cuatro úmeros e progresió geométrica de maera que los dos primeros sume 0,5 y los dos últimos 0,125. Respuesta: r=1/2, a1= 1/3, a2=1/6, a3=1/12, a4= 1/ Cuátos térmios se ha tomado e ua progresió geométrica, sabiedo que el primer térmio es 7, el último 448 y su suma 889? Respuesta: r=2, =7 37. La suma de los siete primeros térmios de ua progresió geométrica de razó 3 es Halla el primero y el séptimo térmios. Respuesta: a1= 7, a7= Halla tres úmeros e progresió geométrica cuyo producto es , sabiedo que el mayor excede e 115 a la suma de los otros dos. Respuesta: Respuesta: a1= 23, a2=69, a3= Tres úmeros está e progresió geométrica; el segudo es 32 uidades mayor que el primero, y el tercero, 96 uidades mayor que el segudo. Halla los úmeros. Respuesta: a1= 16, a2=48, a3= Halla los cuatro primeros térmios de ua progresió geométrica, sabiedo que el segudo es 20 y la suma de los cuatro primeros es 425. Respuesta: a1= 5, a2=20, a3=80, a4= Halla los águlos de u cuadrilátero, si se sabe que está e progresió geométrica y que el mayor es 27 veces el meor. Respuesta: a1= 9, a2=27, a3=81, a4=243 11

12 42. Las dimesioes de u ortoedro está e progresió geométrica. Calcula estas dimesioes sabiedo que su perímetro es 420 m. y su volume 8000 m 3. Respuesta: r=4, a1= 5, a2=20, a3=80. Más, para los iquietos 43. Halla cuatro úmeros e progresió aritmética, coociedo su suma, que es 22, y la suma de sus cuadrados, 166. Respuesta: a1= 1, a2=4, a3=7 a4= La diferecia de ua progresió aritmética es 4. El producto de los cuatro primeros térmios es 585. Halla los térmios. Respuesta: a1= 1, a2=5, a3=9, a4= Halla los seis primeros térmios de ua progresió aritmética sabiedo que los tres primeros suma - 3 y los tres últimos 24. Respuesta: a1= -4, a2=-1, a3=2, a4=5, a5=8, a6= E ua progresió aritmética el udécimo térmio excede e 2 uidades al octavo, y el primero y el oveo suma 6. Calcula la diferecia y los térmios mecioados. Respuesta: d=2/3, a1=1/3, a8=15/3, a9=17/3, a11= E ua progresió aritmética, los térmios segudo y tercero suma 19, y los térmios quito y séptimo suma 40. Hállalos. Respuesta: a2= 8, a3=11, a5=17, a7= Halla los águlos de u triágulo sabiedo que está e progresió aritmética. Respuesta: 30, 60, Sabiedo que las medidas de los tres águlos de u triágulo está e progresió aritmética y que uo de ellos mide 100º, calcula los otros dos. Respuesta: 20, 60, Halla las dimesioes de u ortoedro sabiedo que está e progresió aritmética, que suma 78 m. y que el volume del ortoedro es de m 3. Respuesta: a1= 17, a2=26, a3= Los seis águlos de u hexágoo está e progresió aritmética. La diferecia etre el mayor y el meor es 60º. Calcula el valor de cada águlo. Respuesta: d=12, 90º, 102º, 114º,126º, 138º, 150º. 52. Las logitudes de los tres lados de u triágulo rectágulo está e progresió aritmética y suma 36 metros. Cuáto mide cada lado? Respuesta: a1=9, a2=12, a3= U coroel mada 5050 soldados y quiere formar co ellos u triágulo para ua exhibició, de modo que la primera fila tega u soldado, la seguda dos, la tercera tres, etc. Cuátas filas tiee que haber? Respuesta: Por el alquiler de ua casa se acuerda pagar ptas. al mes durate el primer año, y cada año se aumetará el alquiler e 6000 ptas. mesuales. 12

13 Cuáto se pagará mesualmete al cabo de 12 años? Respuesta: ptas. 55. Las edades de cuatro hermaos forma ua progresió aritmética, y su suma es 32 años. El mayor tiee 6 años más que el meor. Halla las edades de los cuatro hermaos. Respuesta: a1= 5, a2=7, a3=9, a4= U esquiador comieza la pretemporada de esquí haciedo pesas e u gimasio durate ua hora. Decide icremetar el etreamieto 10 miutos cada día. Cuáto tiempo deberá etrear al cabo de 15 días? Cuáto tiempo e total habrá dedicado al etreamieto a lo largo de todo u mes de 30 días? Respuesta: (a) 200mí (b) 5250mí. 57. E ua sala de cie, la primera fila de butacas dista de la patalla 86 dm, y la sexta, 134 dm. E qué fila estará ua persoa si su distacia a la patalla es de 230 dm? Respuesta: = Divide el úmero 221 e tres partes eteras que forma ua progresió geométrica tal que el tercer térmio sobrepasa al primero e 136. Respuesta: a1= 17, a2=51, a3= La suma de tres úmeros e progresió geométrica es 248 y la diferecia etre los extremos 192. Halla dichos úmeros. Respuesta: a1= 8, a2=40, a3= Halla cuatro úmeros e progresió geométrica sabiedo que la suma de los dos primeros es 28 y la suma de los dos últimos 175. Respuesta:? 61. E ua progresió geométrica, los térmios primero y decimoquito so 6 y 54, respectivamete. Halla el térmio sexto. Respuesta: a6= 6 x ( ) 62. Ua progresió geométrica tiee cico térmios, la razó es igual a la cuarta parte del primer térmio y la suma de los dos primeros térmios es 24. Halla los cico térmios. Respuesta: a1= 8, a2=32, a3=64, a4=128, a5= Halla x para que x - 1, x + 1, 2(x + 1) esté e progresió geométrica. Respuesta: x=3 64. A ua cuerda de 700 m. de logitud se le da dos cortes, de modo que uo de los trozos extremos tiee ua logitud de 100 m. Sabiedo que las logitudes de los trozos está e progresió geométrica, determia la logitud de cada trozo. Respuesta: a1= 100, a2=200, a3= Halla la fracció geeratriz del úmero decimal 0, como suma de los térmios de ua progresió geométrica ilimitada. Respuesta:? 66. Se tiee ua cuba de vio que cotiee 1024 litros. El 1 de octubre se vació la mitad del coteido; al día siguiete se volvió a vaciar la mitad de lo que quedaba, y así sucesivamete todos los días. Qué catidad de vio se sacó el día 10 de octubre? Respuesta: a10= Dado u cuadrado de 1 m. de lado, uimos dos a dos los putos medios de sus lados; obteemos u uevo cuadrado, e el que volvemos a efectuar la misma operació, y así sucesivamete. Halla la suma de las ifiitas áreas así obteidas. Respuesta: S =1 + ½ + ¼ +1/ /2 = 2 13

14 68. Qué profudidad tedrá u pozo si por el primer metro se ha pagado 7600 ptas. y por cada uo de los restates 1500 ptas. más que por el aterior, sabiedo que e total se ha pagado ptas.? Respuesta: Tres úmeros cuya suma es 36 está e progresió aritmética. Halla dichos úmeros sabiedo que si se les suma 1, 4 y 43, respectivamete, los resultados forma ua progresió geométrica. Respuesta: a1= 3, a2=12, a3=21. 14