- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Sucesiones y series de números reales 1. Sucesiones de números reales

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1 - Ferado Sáchez Sucesioes Cálculo I y series de úmeros reales Sucesioes de úmeros reales De maera similar a como se hizo para sucesioes de úmeros racioales, se defie ua sucesió de úmeros reales como ua aplicació x : N R x() = x 2 x(2) = x 2 3 x(3) = x Ferado Sáchez - - Se deotará como x = (x, x 2, x 3,...) = (x ) N = (x ) = (x ). Se desiga por {x : N} al cojuto de valores que toma los térmios de la sucesió. Por ejemplo, si (x ) = (( ) )) etoces el cojuto de valores es {x : N} = {, }, u cojuto de dos elemetos. Puede haber sucesioes distitas, como (/) y (,, /2, /2, /3, /3,...), co el mismo cojuto de valores. Se suele utilizar la expresió (x ) R para decir {x : N} R. Y tambié, como se hizo ates para sucesioes de úmeros racioales, se defie e este cojuto S de sucesioes de úmeros reales las operacioes siguietes (suma, producto y producto por escalares) (x ) + (y ) = (x + y ) λ(x ) = (λx ) (x ) (y ) = (x y ) Es fácil comprobar que (S, +, ) es u aillo comutativo. Co la suma y producto por escalares, S es u espacio vectorial sobre R de dimesió ifiita. Es icluso u álgebra comutativa y uitaria. Defiició. Se dice que (x ) R es covergete a u úmero a R, y se escribe a = (x ) o tambié (x ) a, si ε > 0 ν N : > ν x a < ε. Sucesioes y series de úmeros reales

2 - Ferado Sáchez - - Es decir, dado ε > 0, e (a ε, a + ε) está todos los térmios x salvo, a lo sumo, ua catidad fiita de ellos. E particular, el carácter covergete o o de ua sucesió o varía si se añade o elimia ua catidad fiita de térmios, i si se altera el orde e ua catidad fiita de esos térmios. Defiició. Se dice que (x ) R es de Cauchy si ε > 0 ν N :, m > ν x x m < ε. Las mismas demostracioes ya vista para sucesioes de úmeros racioales sirve para probar resultados aálogos co sucesioes de úmeros reales: Proposició. Toda sucesió covergete es de Cauchy. Y toda sucesió covergete (o de Cauchy) es acotada. Proposició (álgebra de ĺımites). El producto, cociete* y combiació lieal de dos sucesioes covergetes es ua sucesió covergetes, y además (λx + µy ) λa + µb (x ) a (y ) b (x y ) ab (x ) a (y ) b (*e el cociete se etiede que los deomiadores y y b debe ser todos o ulos.) Se suele decir que el ĺımite de la suma es la suma de los ĺımites o que el ĺımite del producto es el producto de los ĺımites, pero coviee isistir e que se parte de sucesioes covergetes: si (x ) e (y ) so covergetes, etoces (x + y ) = x + y y lo mismo para el producto. - Ferado Sáchez - - Proposició. El producto y combiació lieal de dos sucesioes de Cauchy es ua sucesió de Cauchy. Límites ifiitos. E la defiició de sucesió covergete (x ) a, es decir, del cocepto de ĺımite a = x, se obliga a que a sea u úmero real. Se suele exteder este cocepto al caso e que a ya o es u úmero, y se habla de ĺımites ifiitos. Coviee ahora adaptar las reglas coocidas sobre sumas y productos de ĺımites. Defiició. Se dice (x ) +, o tambié (x ) = +, si M ν N : > ν x > M, es decir, salvo fiitos elemetos, los térmios x so ta grades como se quiera. Se dice (x ), o tambié (x ) =, si M ν N : > ν x < M. Se suele hablar de sucesioes divergetes e los casos e que (x ) ±. Ejemplos. Ahora, co los ĺımites ifiitos, al sumar sucesioes co ĺımites ifiitos puede ocurrir cualquier cosa Sucesioes y series de úmeros reales 2

3 - Ferado Sáchez - - (, 2, 3,...) +, (, 2, 3,...) y la suma es covergete a 0 (, 2, 3,...) +, (, 2, 3,...) +, Lo mismo ocurre co el producto ( 4, 5, 6,...) y la suma es covergete a 3 (, 3, 3, 5, 5...) y la suma o es covergete (, 2, 3,...) +, (, /2, /3,...) 0 y el producto coverge a (, 2, 3,...) +, (7, 7/2, 7/3,...) 0 y el producto coverge a 7 (, 2, 3,...) +, (, /2 2, /3 2,...) 0 y el producto coverge a 0 (, 2, 3,...) +, (, 2/2, /3, 2/4, /5, 2/6,...) 0 y el producto o coverge El álgebra de ĺımites que se tiee e los casos e que so úmeros reales falla cuado se admite ĺımites ifiitos. Se suele resumir diciedo que o está claro qué resultado da las expresioes del tipo o 0. Por este motivo o se dice que las sucesioes co ĺımites ifiitos sea covergetes. Si embargo, e alguos casos, como por ejemplo cuado uo de los ĺımites ivolucrados es fiito, es decir a R, se tiee las implicacioes: (x + y ) + (x ) + (y ) a (x y ) + si a > 0 (x y ) si a < 0 (x ) ± (y ) ± - Ferado Sáchez - - (x y ) ± e este último caso la regla de los sigos es igual que co úmeros. Ejemplo. Utilizado estas reglas ta simples del álgebra de ĺımites se puede calcular ĺımites como = = 5 + / / + 45/ 2 = 5/2 ya que el umerador es ua sucesió que tiede a 5 y el deomiador tiede a 2. Este mismo razoamieto se puede utilizar para calcular ĺımites de cocietes de poliomios, como = 0, = Ejercicio (ĺımites ecajados). Si (x ), (y ) y (z ) so sucesioes covergetes, se tiee a) si x < y (o ) para todo etoces x y (y ambos ĺımites puede ser iguales) b) si x y z para todo etoces x y z. Sucesioes y series de úmeros reales 3

4 - Ferado Sáchez - - Por supuesto, basta que las comparacioes sea ciertas a partir de u cierto valor de para teer las mismas coclusioes. Este resultado suele utilizarse para ecotrar o estimar el ĺımite de ua sucesió (y ) viedo el ĺımite de algua sucesió que está por debajo y otra que está por ecima de ella. Por ejemplo, la sucesió y =! / verifica x = 0 y =! = 2 = z. Por tato 0 = x y z = 0 y así (y ) 0. Valor de adherecia y ĺımite. Se dice que a es valor de adherecia de (x ) si ε > 0 ν N > ν : x a < ε, es decir, sea como sea ε > 0, e (a ε, a + ε) hay ifiitos térmios x. Por ejemplo (0,, 2, 0,, 2, 0,, 2,...) es ua sucesió que tiee tres valores de adherecia 0, y 2. El úmero a = es valor de adherecia porque e ( ε, + ε) hay ifiitos térmios de la sucesió: x 2, x 5, x 8,... está e ese itervalo. Si embargo, esta sucesió o es covergete. La diferecia etre valor de adherecia y ĺımite es la siguiete: si a es valor de adherecia, para cualquier valor ε > 0, (a ε, a + ε) cotiee ifiitos térmios x ; si a es el ĺımite, para cualquier valor ε > 0, (a ε, a + ε) cotiee todos los térmios x salvo ua catidad fiita de ellos. Además, si (x ) a etoces a es el úico valor de adherecia de (x ). - Ferado Sáchez - - Hay sucesioes si valores de adherecia, como por ejemplo, la sucesió (, 2, 3, 4, 5,...). Y hay sucesioes que tiee ifiitos valores de adherecia: como Q es umerable, se puede escribir todos los úmeros racioales como ua sucesió (x ). Es frecuete escribir Q = (x ). Para esta sucesió cualquier valor a R es u valor de adherecia. Este hecho ya se ha visto ates, e cada itervalo de la recta real hay ifiitos úmeros racioales. El termio valor de adherecia se justifica comprobado que a es valor de adherecia de (x ) si y sólo si a {x, x +, x +2,...} para todo N, es decir, a {x, x 2, x 3,...} {x 2, x 3, x 4,...} {x 3, x 4, x 5,...}... Es fácil ver que los valores de adherecia de ua sucesió so los térmios que se repite ifiitas veces o bie aquellos que so putos de acumulació de {x, x 2, x 3,...}. Ahora se etiede mejor cuáles so los valores de adherecia de la sucesió (0,, 2, 0,, 2,...) o por qué (,,, 2,, /2, 3,, /3, 4,, /4,...) tiee a {, 0} como valores de adherecia. Las sucesioes costates so covergetes. Y tambié lo so las sucesioes que so costates casi siempre, es decir, costates salvo ua catidad fiita de térmios. La demostració es evidete: (a, a, a,...) a y (x, x 2,..., x, a, a, a,...) a. La expresió casi siempre se suele utilizar por comodidad para expresar u hecho que ocurre salvo e ua catidad fiita. Por ejemplo, ua sucesió positiva casi siempre idica ua sucesió cuyos térmios so positivos salvo, a lo sumo, ua catidad fiita de ellos, Sucesioes y series de úmeros reales 4

5 - Ferado Sáchez - - como la sucesió (x ) = (, 3, 5, 7, 7, 7, 7,...). Tambié se dice que esta sucesió es positiva para casi todo, idicado que esto es cierto para todo salvo, a lo sumo, para ua catidad fiita. Sucesioes moótoas. Se dice que ua sucesió (x ) es creciete (o o decreciete) si x x 2 x 3... estrictamete creciete si x < x 2 < x 3 <... decreciete si x x 2 x 3... estrictamete creciete si x > x 2 > x 3 >... E cualquiera de estos casos se dice que la sucesió es moótoa, y se suele añadir el carácter creciete o decreciete. Por ejemplo, la sucesió (, 2, 3,...) es moótoa creciete, o moótoa estrictamete creciete si se quiere precisar aú más. El siguiete resultado es equivalete al teorema fudametal del orde e R. Proporcioa u método rápido para comprobar que alguas sucesioes so covergetes. Teorema. Las sucesioes moótoas y acotadas (o moótoas casi siempre y acotadas) so covergetes. Si (x ) es acotada y creciete etoces es covergete, y se tiee x = sup{x : N}. Y si (y ) es acotada y decreciete etoces es covergete, y se tiee y = íf{y : N}. Demostració. Sea (x ) creciete y acotada: x x 2 x 3... M. Por el teorema fudametal del orde existe a = sup{x : N}. Dado ε > 0, e (a ε, a + ε) hay algú térmio x, ya que e caso cotrario a ε sería cota superior y a o sería el supremo (la meor de las cotas superiores). Ahora bie, x (a ε, a + ε) sigifica a ε < x a, pues a es cota superior de todos los térmios x (es el supremo de ellos). Como la sucesió es creciete y está acotada por a se tiee - Ferado Sáchez - - a ε < x x + x +2 x a de dode se sigue que a = x Ejemplo. La sucesió cuyos térmios so x = es covergete. Para comprobarlo basta ver que está acotada superiormete y es creciete. Que x es creciete o ecesita demostració. Que x está acotada es fácil (por ejemplo, por iducció): x < para todo N, ya que x + = ( + x )/2. De hecho, su ĺımite y su supremo coicide y es. Sucesioes de Cauchy y sucesioes covergetes. E esta secció se va a probar u resultado cetral e el estudio de sucesioes de úmeros reales: las sucesioes de Cauchy y las sucesioes covergetes coicide. Se dice que R es u espacio completo. El siguiete resultado es similar a este que se acaba de probar, solo que o se obliga a que la sucesió sea moótoa. Tambié es u teorema equivalete al teorema fudametal del orde. Teorema. Toda sucesió acotada de úmeros reales tiee algú valor de adherecia. Sucesioes y series de úmeros reales 5

6 - Ferado Sáchez - - Demostració. Si (x ) sólo tiee fiitos térmios distitos etoces alguo se repite ifiitas veces y es valor de adherecia. E caso cotrario {x : N} es ifiito y acotado. Por el teorema de Bolzao tiee algú puto de acumulació, es decir, (x ) tiee algú valor de adherecia. Hay sucesioes que o so acotadas pero tiee valores de adherecia. Por ejemplo la sucesió (,, 2,, 2, 3,, 2, 3, 4,...) tiee como valores de adherecia todos los úmeros aturales. La sucesió (,,, 2,, 2,, 2, 3,, 2, 3,...) tiee como valores de adherecia todos los úmeros eteros o ulos. Si embargo, si (x ) es acotada, el teorema aterior asegura que la sucesió tiee valores de adherecia. Y si sólo tiee u úico valor de adherecia etoces ese valor es el ĺımite: Proposició. Sea (x ) ua sucesió acotada. Etoces (x ) es covergete si y sólo si tiee u úico valor de adherecia, y e ese caso ese valor es su ĺımite. Demostració. Si (x ) es covergete, (x ) a, etoces dado ε > 0 e (a ε, a + ε) está todos los térmios (x ) salvo ua catidad fiita. Luego a es valor de adherecia y es el úico posible. Recíprocamete, si (x ) tiee u úico valor de adherecia, etoces, sea cual sea el valor de ε > 0, e (a ε, a + ε) está todos los térmios (x ) salvo ua catidad fiita, como mucho, ya que a es el úico valor de adherecia. Por tato (x ) a. Ya se ha visto que e Q existe sucesioes de Cauchy que o so covergetes. Basta cosiderar (x ) = (, 4, 4, 44, 442,...) que es de Cauchy pero o coverge e Q. E cambio, toda sucesió covergete, tato e R como e Q, es de Cauchy. La demostració ya se hizo para sucesioes de úmeros racioales y es la misma para sucesioes e R. - Ferado Sáchez - - e Q y e R sucesió covergete sucesió de Cauchy El siguiete resultado es equivalete al teorema fudametal del orde. Prueba que R es u espacio completo. Teorema. Toda sucesió de Cauchy de úmeros reales es covergete. Por tato, e R sucesió covergete sucesió de Cauchy Demostració. Sea (x ) de Cauchy e R. Ya se ha probado que etoces la sucesió está acotada y por tato tiee algú valor de adherecia. Falta probar que ese valor de adherecia es úico y así la sucesió será covergete. Eso es fácil de probar al tratarse de ua sucesió de Cauchy. Se supoe que existe a y b valores de adherecia distitos de (x ). Se elige ε suficietemete pequeño para que los itervalos disjutos (a ε, a + ε) y (b ε, b + ε) deje ua separació positiva etre ellos, por ejemplo, d = b a /2. Cada uo de esos itervalos cotiee ifiitos térmios. Tomado cualquier térmio x p del primer itervalo y cualquier otro x q del segudo, se tedría x p x q d, y la sucesió (x ) o sería de Cauchy. Sucesioes y series de úmeros reales 6

7 - Ferado Sáchez - - Ejemplo. Para probar que ua sucesió (x ) es covergete hay varias estrategias y alguas so más difíciles que otras. Por ejemplo, ) Se puede itetar calcular cuál es el posible ĺımite a R y etoces demostrar que (x ) a. 2) Comprobar si la sucesió verifica alguas propiedades que obligue a su covergecia, por ejemplo, si es acotada y moótoa. 3) Comprobar si la sucesió es de Cauchy. La estrategia ) tiee la limitació de teer que ecotrar cuál ese posible ĺımite a y acertar e la predicció. A veces este cálculo es difícil. Por ejemplo, las sucesioes (x ) = (, + 2, + 2 3, ,...) (y ) = (, + 2 2, , ,...) parece coverger. Dado valores suficietemete altos de se obtiee aproximacioes de estos posibles valores ĺımites a = b = Se trata etoces de probar que (x ) a y que (y ) b. Pero ates es ecesario coocer qué úmeros so exactamete. E realidad a = log(2) y b = π 2 /6 y el cálculo exacto de ambos es difícil. Más adelate se verá cómo las estrategias 2) o 3) permite probar de forma secilla que ambas sucesioes so covergetes si ecesidad de predecir cuáles so sus ĺımites. - Ferado Sáchez - - Límite superior e iferior de ua sucesió. Es fácil comprobar que el cojuto de valores de adherecia de ua sucesió es u cojuto cerrado. Si además la sucesió es acotada, este cojuto de valores de adherecia es compacto. Por tato tiee máximo y míimo, y estos valores recibe el ombre de ĺımites superior e iferior de la sucesió: sup (x ) = lim x x (x ) = mayor valor de adherecia de (x ) if (x ) = lim (x ) = meor valor de adherecia de (x ) x x Si a = lim x (x ) etoces e (a ε, a + ε) hay ifiitos térmios x, pero a la derecha de a + ε sólo puede haber ua catidad fiita de térmios, ya que a es el mayor valor de adherecia. Si hubiera ifiitos térmios a la derecha de a + ε, se ecotraría u valor de adherecia mayor que a, lo cual o es posible por ser a el mayor de todos esos valores de adherecia. Idético resultado ocurre para el ĺımite iferior: a la izquierda de lim x (x ) ε sólo puede haber ua catidad fiita de térmios x. Para sucesioes o acotadas superiormete se suele decir que su ĺımite superior es +. Similarmete para sucesioes o acotadas iferiormete se suele decir que su ĺımite iferior es. Es evidete que if(x ) sup(x ). Además, para ua sucesió acotada (x ) se tiee (x ) es covergete if(x ) = sup(x ) Sucesioes y series de úmeros reales 7

8 - Ferado Sáchez - - y e ese caso ese valor es el ĺımite de la sucesió if(x ) = (x ) = sup(x ). Ejemplo. La sucesió (x ) = Ç 2, +, 2, + 2, 2, + 3, 2, + 4 å,... tiee dos valores de adherecia, 2 y. E este caso es evidete que if x (x ) = 2 y sup x (x ) =. E cada itervalo ( ε, + ε) hay ifiitos térmios de la sucesió, pero sólo puede haber fiitos térmios mayores que + ε. Potecias de úmeros reales. Después de ver como so las sucesioes de úmeros reales es posible dar u setido a la expresió a b dode a, b R y a > 0. Si b N etoces a b = a ) a b+c = a b a c (se etiede que c N) 2) a bc = (a b ) c b... a (producto de a repetidas uas b veces) y se cumple 3) < a < a 2 a b < a b 2 Se puede mateer esas propiedades, 2 y 3 e el caso e que b Z. Para ello se defie si b > 0, a b se defie igual que ates si b = 0, a b = si b < 0, a b = a b Se puede comprobar fácilmete que las propiedades, 2 y 3 se sigue cumpliedo. Para el caso e b Q se defie - Ferado Sáchez - - para N, a / = a, que ya se ha visto su existecia para cualquier a > 0, para m Z, N, a m/ = (a / ) m La defiició de a m/ o depede de los represetates tomados. Si m/ = p/q etoces a m/ = a p/q. Por ejemplo, a 2/3 = (a /3 ) 2 = a 4/6 = (a /6 ) 4. Además, se sigue cumpliedo las propiedades, 2 y 3 ateriores. Por último, para el caso e que b R, etoces b = (x ) dode (x ) Q. Como (x ) es de Cauchy etoces tambié lo es la sucesió (a x ). Por tato, esta última sucesió es covergete e R. Se defie a b como el ĺımite de esta sucesió: a b = a x. Esta defiició o depede del represetate elegido. Si se elige otra sucesió equivalete (x ) (y ) etoces se obtiee (a x ) (a y ) y a x = a y. Además se cumple las propiedades, 2 y 3. Ejemplos importates de sucesioes. E este apartado se va a estudiar cómo se comporta sucesioes que aparece co frecuecia: sucesioes poteciales, como ( 3 ); expoeciales, como (2 ); factoriales (! ) y del tipo potecial-expoecial ( ). Se estudia cómo es su crecimieto, comparádolas uas co otras, y estudiado además cómo es su comportamieto al poerlas bajo la raíz -ésima. Por ejemplo, ua sucesió expoecial (3 ) crece a u ritmo muy rápido, pero o lo suficietemete rápido como para hacer que su ráiz -ésima siga creciedo: ( 3 ) es ua sucesió costate. E cambio, la sucesió ( ) crece ta rápidamete que icluso ( ) o está acotada. Sucesioes y series de úmeros reales 8

9 - Ferado Sáchez - - ) Si a > 0 a = = 2 = 3 =... =,! = + Demostració. Basta hacer la primera igualdad para a >. Ua vez probado esto para a > etoces para cualquier valor 0 < b < se cosidera b > y se aplica la igualdad b = / b. Sea etoces a >. Como < a, para ver que a basta ver que para todo ε > 0 se tiee < a < + ε para valores grades de. Esto es equivalete a probar que para suficietemete grade. Ahora bie ( + ε) = ( ) + 0 a < ( + ε) ( ) ε + ( ) ε ( ) ε = + ε + ( ) ε Ferado Sáchez - - ( )( 2) ε ! y por tato, cotiee sumados positivos que so poliomios e de grados 0,, 2, 3,... Así a < ( + ε) para valores grades de (sólo co el segudo sumado ε ya se cosigue a < ε para grade). Por el mismo motivo < ( + ε) para suficietemete grade (basta por ejemplo co el siguiete sumado). O tambié 2 < ( + ε) y así para cualquier expresió que crezca a u ritmo meor que algua potecia de : < ( + ε) para valores grades de. Todo esto prueba que para cualquier fució poliómica f() e.» f() Para ver cómo crece la expresió (!) se puede hacer lo siguiete: es evidete que el itervalo [0, ] cotiee a todos los úmeros {0,,..., }. Por tato el itervalo [/2, ] cotiee al meos la mitad de ellos (el otro subitervalo [0, /2) cotiee al resto). Por tato, e la lista de úmeros,..., al meos la mitad es mayor o igual que /2. Así Å ã /2 Ç å! = ( ) 2 =. 2 2 Por tato (!) +. Sucesioes y series de úmeros reales 9

10 - Ferado Sáchez - - Corolario. Si p R etoces p = Demostració. Si p = 0 es trivial. Si p > 0 etoces se elige p m N y se tiee Si p < 0 etoces p m. p = p. 2) Lo expoecial (a ) crece más rápido que lo potecial ( p ). Si a > y p > 0 se tiee p = 0, equivaletemete, a a p = + Demostració. Para ver que basta co probar que para todo K > 0 se tiee a p = + - Ferado Sáchez - - a p > K es decir, a > K p para valores grades de. Ahora bie, a > K p a > K p, y esto es cierto para suficietemete grade, ya que el térmio de la derecha coverge a y a >. Como cosecuecia, es fácil comprobar que = +, = 0. 3) Lo factorial (! ) crece más rápido que lo expoecial (a ). Si a > se tiee a! = 0, equivaletemete, Demostració. Basta recordar la desigualdad ya vista Ç 2 å!! a = + y así se tiee que (! /a ) +. Sucesioes y series de úmeros reales 0

11 - Ferado Sáchez - - 4) Lo potecial-expoecial ( ) crece más rápido que lo factorial (! ), es decir, Demostració. Basta cosiderar que! = 0, equivaletemete,! = +! = = 2... > = + ( ) ya que todos los térmios que aparece e el producto so mayores que. E geeral los órdees de ifiitud para ya vistos puede resumirse como >! > a > p, (co a >, p > 0) Cuado, el cociete etre cada ua de ellas y cualquier meor coverge a + ; de forma aáloga, el cociete etre cada ua de ellas y otra mayor coverge a 0. Para expresar esto se suele utilizar la otació! a p, (co a >, p > 0) El úmero e. La sucesió es covergete. Su ĺımite se llama e. - Ferado Sáchez - - a = Ç + å Demostració. Basta ver que la sucesió es creciete y acotada y así debe ser covergete. a = Ç + å = ( ) + 0 ( ) + ( ) ( ) ( ) ( )( 2) = = + + Ç å + Ç å Ç 2 å ! 3! < + + Ç å + Ç å Ç 2 å ! + 3! + + = a + < < = 3. Por tato, a < a + < 3 y así (a ) es creciete y acotada. Sucesioes y series de úmeros reales

12 Este úmero e es ĺımite de ua sucesió que está acotada por u úmero - Ferado Sáchez = +! + 2! + 3! + 4! + =! cuyo valor es el propio úmero e. Es frecuete ecotrar como defiició de úmero e este valor de la suma de los iversos de los factoriales. Este úmero e aparece e la fórmula de Stirlig. Se trata de ua aproximació para! y viee dada por:! Å ã =. 2π e Se suele escribir Por tato,! 2π! = Å e ã.! = e. Este valor da ua idea de cómo crece la sucesió! y además muestra la diferecia de crecimieto etre y! (al evaluar cuáto vale» /!). =0 Series de úmeros reales Dada ua sucesió de úmeros reales (x, x 2, x 3,... ), se llama serie a la sucesió de sumas parciales (x, x + x 2, x + x 2 + x 3,... ). Se habla de serie de térmios x y se represeta = x o simplemete como x. - Ferado Sáchez - - La serie es pues la sucesió de sumas parciales x = (s ) = (s, s 2, s 3,... ) dode s = x + + x = x k. k= Se dice que la serie x es sumable o covergete cuado la sucesió de sumas parciales (x, x + x 2, x + x 2 + x 3,... ) es covergete. E ese caso, el ĺımite de esa sucesió de sumas parciales se llama suma de la serie y se escribe = x = Ä x + + x ä = k= x k = s. Así pues, = x se utiliza para hablar de la serie y para hablar de su ĺımite o suma (cuado exista). Es más, se suele hablar de la serie x + x 2 + x haciedo referecia a la sucesió de sumas parciales que se hace co esos térmios. Geeralmete, el cotexto dice a cuál de los dos (la serie o su suma) se refiere. Ejemplos. Si (x ) = (, 2, 3,... ), la serie de térmios x es la sucesió de sumas parciales Ç å ( + ) x = (, + 2, ,... ) = = 2 y como o coverge o se puede hablar de su ĺımite x. Sucesioes y series de úmeros reales 2

13 Para la sucesió (x ) = (,,,... ) la serie que se obtiee es - Ferado Sáchez - - x = (, +, + +,... ) = (). = Para la sucesió (x ) = (, 3, 5, 7,... ) la serie que se obtiee es Ejemplo: La serie armóica x = (, + 3, ,... ) = Ä 2ä. = = = Como todos los térmios so positivos, la sucesió de sumas parciales (la serie) es creciete. Así, la serie es sumable si y sólo si es acotada, es decir si existe M > 0 tal que < M para todo N. No existe tal úmero M. La razó es la siguiete (se va agrupado e bloques de tamaños que sea potecias de 2): = + Ç å Ç å Ç å }{{}}{{}}{{} > > > > Ferado Sáchez - - y por tato o es ua sucesió acotada. Se dice que la serie suma + y se escribe = = = + Como curiosidad, se llama costate de Euler (o costate de Euler-Mascheroi) al úmero Ç γ = = å log. Esto dice por ejemplo que 0 27 = log y = Ejemplo: La serie geométrica de razó r co primer térmio a 0 =0 ar = a + ar + ar 2 + ar Sucesioes y series de úmeros reales 3

14 El caso a = 0 es el más simple. La serie es cuya suma es 0. - Ferado Sáchez - - Si a 0 y r = etoces la serie es a + a + a +... y o es sumable: coverge a + si a > 0 y a si a < 0 Si a 0 y r = etoces la serie es a a + a a +... que o es sumable: la sucesió de sumas parciales es (a, 0, a, 0, a, 0,... ) y es ua sucesió o covergete. E geeral, la suma de térmios de ua progresió geométrica se puede calcular fácilmete: a + ar + ar ar = a ar+ r = primer térmio siguiete al último. razó Por tato, la serie es sumable si y sólo si la sucesió Ç a ar + å Ç r + å = a = a Ä + r + r r ä r r es covergete. Y esto ocurre si y sólo si r <. E ese caso, el ĺımite es E resume =0 a ar + r = a r. ar = a + ar + ar 2 + ar 3 + = a r (si r < ). Por ejemplo 2 = =, = que tiee que ver co la paradoja Aquiles y la tortuga de Zeó. - Ferado Sáchez - - Otros ejemplos. Se llama serie armóica geeralizada a = p = + 2 p + 3 p + 4 p +... Se verá más adelate que es sumable si y sólo si p >. Por ejemplo, para p = 2 el cálculo de la suma se cooce como problema de Basilea, y fue resuelto por Euler. Otras series o sumables so E cambio =2 es sumable si y sólo si p >. log, =2 =2 log log(log ). (log ) p Propiedades de las series. Es fácil comprobar que lo que se haga co fiitos térmios de ua serie, como añadir, quitar o cambiar el orde, o cambia el carácter sumable o o de la serie (auque sí se cambia la suma de la serie). Sucesioes y series de úmeros reales 4

15 - Ferado Sáchez - - Tambié es evidete que cualquier combiació lieal de series sumables es ua serie sumable, y la suma es la correspodiete combiació lieal de las sumas de cada ua. Los ejemplos ateriores muestra la coveiecia de saber codicioes para que ua serie sea sumable. Otra cuestió, más complicada e la mayoría de los casos, es el cálculo de la suma de ua serie sumable. Por ejemplo, para ua serie como = 2 + cómo saber si es o o sumable? Y si es sumable, cómo calcular su suma? Hay métodos que permite decidir si ua serie es o o sumable. Estos métodos se irá estudiado de aquí e adelate. Si embargo, como regla geeral, o hay ua forma secilla de ecotrar la suma de ua serie sumable. Como las series so sucesioes (de sumas parciales, pero sucesioes) el criterio de Cauchy es igual de válido. Proposició. Ua serie x es sumable si y sólo si verifica la codició de Cauchy. Demostració. La serie x es sumable si y sólo si la sucesió de sumas parciales (s ) = (x, x + x 2, x + x 2 + x 3,... ) es covergete. Y esto ocurre si y sólo si (s ) es ua sucesió de Cauchy. Por tato, teiedo e cueta que s q s p = x p+ + + x q, se tiee q x es sumable ε > 0 ν N : x < ε para q > p > ν. =p+ Por tato, la suma de fiitos térmios x p+ + + x q es arbitrariamete pequeña siempre que p y q sea suficietemete grades. Por ejemplo, sumas del tipo x + x + (dos sumados) so pequeñas si es grade. Tambié lo so sumas del tipo x + x + + x +2 (tres sumados) o x + x + + x +2 + x +3. Y para el caso especial de sumas de u úico sumado se tiee: Corolario. Si x es sumable etoces x 0. - Ferado Sáchez - - Esta proposició muestra que ua sucesió como (x ) = (0,, 0, 0,, 0, 0, 0,,... ) forma ua serie x que o puede ser sumable. Otro ejemplo, la serie = o es sumable, ya que su térmio geeral o coverge a 0. El primer filtro para saber si ua serie puede ser o o sumable es mirar la covergecia a cero de su térmio geeral. Si (x ) 0 etoces x o es sumable. Si (x ) 0 etoces x puede ser sumable o o sumable. Si embargo, que x 0 o garatiza que la serie x sea sumable. La serie armóica es u bue ejemplo de esto: / 0 pero / = +. Ejemplo. La serie armóica / o verifica el criterio de Cauchy (otra prueba más de que o es sumable) ya que para cualquier se tiee = 2. Sucesioes y series de úmeros reales 5

16 - Ferado Sáchez - - Defiició. Se dice que la serie x es absolutamete sumable si x es sumable. Proposició. Toda serie absolutamete sumable es sumable. Demostració. Si x es absolutamete sumable, etoces x es sumable y, por tato, de Cauchy. La desigualdad q q x x k=p muestra que etoces x tambié es de Cauchy y, por tato, covergete. Ejemplo: la serie = k=p ( ) = es sumable pero o absolutamete sumable. Que o es absolutamete sumable ya se ha visto ates: ( ) = = +. = La covergecia de la serie viee dada por el comportamieto de la sucesió de sumas parciales (s ), dode s =, s 2 = + 2, s 3 = + 2 3, s 4 = ,... - Ferado Sáchez - - La sucesió de térmios impares (s, s 3, s 5,... ) es creciete y acotada y por tato coverge a su supremo. La sucesió de térmios pares (s 2, s 4, s 6,... ) es decreciete y acotada y por tato coverge a su ífimo. Cualquier térmio impar es meor que cualquier térmio par y la diferecia etre u térmio impar y el par siguiete tiede a cero: s 2 s 2 = /2. Por tato ese supremo y ese ífimo coicide y es la suma de la serie: s < s 3 < s 5 <... sup(s 2 ) s 2 > s 4 > s 6 >... íf(s 2 ) ( ) sup(s 2 ) = íf(s 2 ) = s = s 2 s 2 = = 2 Más adelate se verá que este valor ĺımite es log(2). Tambié se podría haber probado que la sucesió (s ) es de Cauchy: si p < q etoces s p s q < s p s p+ = /(p + ) que tiede a cero para valores p < q grades. Proposició. Si (x ) 0 etoces la serie alterada ( ) x es sumable. Demostració. Se puede razoar como ates co la serie armóica alterada. Tambié se puede comprobar como ates que la sucesió de sumas parciales verifica s p s q < s p s p+ = x p+ para p, q > ν co q > p. Así, (s ) es covergete por ser de Cauchy. La expresió (x ) 0 sigifica que (x ) es decreciete y covergete a cero. E particular, x 0. Es esecial que sea ua sucesió decreciete. Si sólo se escribe 0 x 0 e el Sucesioes y series de úmeros reales 6

17 - Ferado Sáchez - - euciado, el resultado aterior ya o es cierto y ( ) x puede o ser sumable. Por ejemplo, para la sucesió (x ) = Ç, 2, 23, 3, 24, 4, 25, 5 å,... coverge a cero, auque o es decreciete. La serie ( ) + x = o es sumable. La sucesió de sumas parciales (s ) tiee térmios pares o acotados: (s 2 ) = (/2, /2 + /3, /2 + /3 + /4,... ) +. U ejemplo curioso (Kemper, 94). Es coocido que = = +. E esta serie se elimia todos los térmios e los que tiee algú 0 e sus cifras: La serie que queda está formada por térmios positivos. Así la sucesió de sumas parciales (s ) es creciete, s s 2 s 3... Por tato, (s ) coverge si y sólo si está acotada. Ahora bie, s 9 < 9 Por tato - Ferado Sáchez - - s < s < s < Ç s < å }{{ } Ç < 9 9/0 = 90. suma de ua serie geométrica å La sucesió (s ) es creciete y tiee ifiitos térmios acotados, luego es acotada y así es covergete. La serie es sumable y su suma es meor o igual que 90. Como cosecuecia, la serie formada co esos térmios elimiados (los que tiee algú cero e sus cifras) verifica = +. Sucesioes y series de úmeros reales 7

18 Ejemplo. La serie armóica geeralizada = - Ferado Sáchez - - p = + 2 p + 3 p + 4 p +... es sumable para p > y o sumable para 0 < p. Es fácil comprobar el caso 0 < p, ya que y por tato 0 < p < p = + Para el caso p > se tiee Ç p = + p 2 + å Ç + p 3 }{{ p } 2 < 2 p p = +. å 4 + p 5 + p 6 + p 7 }{{ p } 4 < 4 p å +... p 5 }{{ p } 8 < 8 p Ç + < p p p +... = + 2 p + 2 2(p ) + 2 3(p ) +... y este último sumado es ua serie geométrica de razó /2 p meor que, ya que p >. Esta serie geométrica es sumable y por tato tambié es sumable la serie armóica geeralizada para p >, ya que todas sus sumas parciales está acotadas. E resume E ese caso se tiee además Por ejemplo, = - Ferado Sáchez - - es sumable p >. p = p = 2 p 2 p Comparació de series. Series mayorates. Este argumeto de comparació etre series es ua herramieta que suele ser útil. Es muy fácil comprobar, por ejemplo, x o sumable y o sumable 0 x y ( N) etoces y sumable x sumable Estas afirmacioes so tambié ciertas si 0 x y casi siempre (para todo salvo ua catidad fiita de ellos). Se dice que la serie y es ua mayorate de la serie x, o que esta última está mayorada por la primera. Para estudiar etoces la sumabilidad de ua serie es u bue recurso compararla co otra cuya sumabilidad o o sumabilidad sea coocida. Sucesioes y series de úmeros reales 8

19 Por ejemplo, O tambié, es o sumable para todo 2 es sumable para casi todo 2 Otro ejemplo más, para saber si la serie - Ferado Sáchez Ferado Sáchez - - = es o sumable es sumable. es sumable, se puede buscar algua mayorate sumable. La serie / 2 o es mayorate, pero sí lo es u múltiplo suyo, 6/ 2 ya que para casi todo. Así se llega a que es sumable = A veces ua serie se puede comparar cosigo misma: e realidad, co alguos térmios de la propia serie. Proposició (criterio de codesació de Cauchy). Dada ua serie x co (x ) 0. Etoces x es sumable si y sólo si 2 x 2 es sumable. = =0 Demostració. Como la sucesió (x ) es decreciete se tiee x = x + x 2 + x x 2 + x x = = x + x 2 + x }{{ 3 + x } 4 + x 5 + x 6 + x x }{{} 2 + x x }{{} x 2 +x 2 x 4 +x 4 +x 4 +x 4 x 2 +x 2 + +x 2 x + 2x 2 + 4x x 2 + = 2 x 2. =0 Por otra parte, =0 2 x 2 = x + x }{{ 2 + x } 2 + x 4 + x 4 + x x }{{} 2 + x + + x +... } 2+ {{ 2+ } x +x x 2 +x 2 +x 3 +x 3 x 2 +x 2 +x (2 +) +x (2 +) + +x (2 + ) x + x + x 2 + x 2 + x 3 + x x + x + = 2 x. = Sucesioes y series de úmeros reales 9

20 E resume, x 2 x 2 2 x = =0 = y así ua de las series es sumable si y sólo si lo es la otra. - Ferado Sáchez - - Ejemplo. Aplicado este criterio de codesació Cauchy se puede comprobar fácilmete que a) = + (es o sumable) log b) c) =2 =2 =2 es sumable si y sólo si p > (log ) p log log(log ) = + (es o sumable) Propiedades asociativa y comutativa e sumas ifiitas. Cuado iterviee fiitos térmios e ua sumas se verifica las propiedades comutativa y asociativa: (a + b) + (c + d) = a + [(b + c) + d] =... a + b + c = a + c + b = b + a + c =... Para sumas ifiitas (series) la situació es distita. Por ejemplo, la serie Ferado Sáchez - - o es sumable: es la serie cuyo térmio geeral es ( ) que o coverge a cero. Además, la sucesió de sumas parciales es (, 0,, 0,, 0,... ) que, evidetemete, o coverge. Si embargo, sí es sumable (y suma 0) la serie ( ) + ( ) + ( ) +... y tambié es sumable, y su suma es, la serie + ( + ) + ( + ) + ( + ) +... Este ejemplo muestra que, e geeral, o puede aplicarse la propiedad asociativa e sumas ifiitas. Si embargo, cuado la serie de partida es sumable sí se puede agrupar sus térmios de forma arbitraria. Proposició. Si e ua serie sumable se itroduce parétesis, la serie resultate tambié es sumable y tiee la misma suma que la de partida. Demostració. Sea x = x + x 2 + x ua serie sumable. Sus sumas parciales so s = x, s 2 = x + x 2, s 3 = x + x 2 + x 3,... Se cosidera la serie que se obtiee al itroducir parétesis e ciertos lugares, por ejemplo, y = x + x 2 + (x 3 + x 4 ) + x 5 + (x 6 + x 7 ) +... La sucesió de sumas parciales de esta serie resultate es (s, s 2, s 4,...), que ua subsucesió de la sucesió de sumas parciales de la serie de partida. Como esta última es covergete, cualquier subsucesió suya tambié lo es tiee el mismo ĺımite. Sucesioes y series de úmeros reales 20

21 - Ferado Sáchez - - El problema de la comutabilidad de térmios de ua serie se cooce como problema de reordeació de series. U ejemplo puede ayudar a eteder qué ocurre al reordear sumas ifiitas. Ya se ha visto que la serie armóica alterada es sumable (ya se verá que además su suma es log 2). E esta serie hay térmios, los impares por u lado y los pares por otro, que suma = = +. Se puede reordear la serie armóica alterada para que su suma sea, por ejemplo, 77. Para ello se comieza eligiedo el meor térmio que cumpla Sumamos /2 y se tiee De uevo buscamos el siguiete valor que cumpla y así m Ferado Sáchez m , etcétera. Se cosigue ua reordeació de la serie cuya suma es 77, ya que las sumas parciales está cada vez más cerca de ese valor 77. Tambié se puede reordear la serie armóica alterada para que su suma la mitad de la suma origial: ( ) log 2 = =0 + = se puede reordear como 2 Ç å Ç å Ç å = = 2 = 2 Ç å log 2. Se puede reordear esta serie para coseguir que la suma sea cualquier valor prefijado. Icluso se puede hacer ua reordeació y obteer ua serie o sumable: se elige los Sucesioes y series de úmeros reales 2

22 - Ferado Sáchez - - térmios impares para que la suma sea mayor que ; se añade /2; se vuelve a sumar impares para que la suma sea mayor que 2; se añade /4; más impares hasta sumar más que 3, etcétera. Defiició. Ua serie sumable x se dice reordeable si para cualquier biyecció γ : N N la serie x γ() es sumable y tiee la misma suma que la origial. Es decir, si cualquier reordeació suya sigue siedo sumable co la misma suma. Teorema. Ua serie es reordeable si y sólo si es absolutamete sumable. E otras palabras, la propiedad comutativa se extiede a sumas ifiitas siempre que éstas, cambiado todos los térmios a positivos, sea sumables. Por ejemplo, o es reordeable sí es reordeable 2 42 Proposició. Si ua serie es codicioalmete sumable (sumable pero o absolutamete sumable) se puede reordear de forma que la serie resultate sume cualquier valor prefijado o icluso que sea o sumable. La demostració cosiste es comprobar que ua serie codicioalmete sumable tiee ifiitos térmios positivos cuya suma es + y tiee ifiitos térmios egativos cuya suma es. Por tato puede reordearse para que las sumas vaya acercádose a cualquier valor, icluyedo ±, o hacer que la serie resultate sea o sumable. Criterios de sumabilidad para series de térmios positivos - Ferado Sáchez - - E esta secció se verá criterios para saber si es sumable o o ua serie x co térmios positivos x 0. Es decir, veremos criterios para hablar de la sumabilidad absoluta de series cualesquiera. Para este tipo de series x co x 0 es esecial eteder que ) la sucesió de sumas parciales es creciete 2) ua sucesió creciete es covergete si y sólo si es acotada y e ese caso coverge a su supremo El criterio básico para este tipo de serie es el criterio de comparació. Para ello es ecesario coocer el comportamieto de alguas series (armóicas, geométricas,... ) para poder realizar tales comparacioes. Criterio de comparació. Sea x y y series de térmios positivos tales que x y para casi todo N. Etoces x o sumable y o sumable y sumable x sumable. Se dice tambié que la serie ua serie x está mayorada por la serie y, o que tiee a ésta como mayorate. Tambié se habla de x como serie miorate. Sucesioes y series de úmeros reales 22

23 - Ferado Sáchez - - El criterio de comparació dice que ua serie co mayorate sumable es tambié sumable y ua serie co miorate o sumable es o sumable. Es evidete que y es sumable si y sólo si cualquier múltiplo suyo ky lo es. Como cosecuecia, para poder aplicar este criterio de comparació basta comprobar que para algú valor k se tiee x ky para casi todo. Ejemplos. ) y cos so sumables porque es ua mayorate sumable, 2 2 2) Es fácil comprobar que + 2 o es sumable. Tiee como mayorate a que es o sumable, por lo que el criterio de comparació o dice ada. Criterio de comparació por paso al ĺımite. Sea x y y series de térmios positivos que verifica x = a y dode 0 a +. Si 0 < a < + etoces ambas series so sumables o ambas so o sumables. Demostració. Se elige ε = a/2 e la defiició de ĺımite y así existe ν N que verifica para > ν. Así Por tato x x a y < a 2 - Ferado Sáchez - - a 2 < x < 3a y 2. tiee como mayorate a 2 y tiee como mayorate a a y ambas series tiee el mismo carácter sumable o o sumable. Por ejemplo, como las series + 2 = + 2 = + 2 y so ambas o sumables (ya que la seguda es o sumable). Como = 3 3a 2 y x = 5 Sucesioes y series de úmeros reales 23

24 las series so ambas sumables (la seguda lo es) - Ferado Sáchez y 3 Si a = 0 etoces y sumable x sumable. La demostració es muy simple. Como x = 0 y etoces x /y < para casi todo. Por tato y es ua mayorate de x Si a = + etoces x sumable y sumable. La demostració es similar. Como x = + y etoces x /y > para casi todo. Por tato x es ua mayorate de y Si o existe tal ĺımite - Ferado Sáchez - - x y etoces se cosidera (estos valores siempre existe) los ĺımites iferior y superior a y b: 0 a = if x x sup = b +. y y Si b < + etoces y es ua mayorate de x La demostració es similar a la ya vista para el caso del ĺımite. Para casi todo se tiee x /y < b + Si 0 < a etoces x es ua mayorate de y Para comprobarlo basta ver que de la defiició de ĺımite iferior se tiee x /y > a/2 para casi todo. Si 0 < a b < + (como corolario de los dos casos ateriores) ambas series so sumables o ambas so o sumables. Si 0 = a < b = + el criterio o dice ada, puede ocurrir cualquier posibilidad. Ejemplo. Para las series x = 3 = y = Sucesioes y series de úmeros reales 24

25 se tiee - Ferado Sáchez - - x = Ç, 2 y, 3, 4 å, 5,... y así a = 0, b = +. El criterio o dice ada e este caso, auque ambas series so sumables. Criterio del cociete o de d Alembert. Sea x ua serie de térmios positivos. Etoces ) si sup 2) si if 3) si if x + x x + x x + x ser sumable o o. < etoces la serie es sumable, > etoces la serie es o sumable, sup x + x Demostració. ) Sea a = sup x + x etoces el criterio o dice ada: la serie puede < y sea a < b <. De la defiició de ĺımite superior se sigue que a la derecha de b sólo hay fiitos térmios x + /x. Es decir, para ν. Por tato x + x < b x ν+ < bx ν x ν+2 < bx ν+ < b 2 x ν x ν+3 < bx ν+2 < b 2 x ν+ < b 3 x ν... - Ferado Sáchez - - La serie geométrica b x ν = x ν + bx ν + b 2 x ν + b 3 x ν +... es sumable (su razó es b < ) y es mayorate de la serie x. 2) Sea a = if x + x >. Por defiició de ĺımite iferior a la izquierda de sólo hay fiitos térmios x + /x. Es decir, x + > x para ν. Para esos valores la sucesió es estrictamete creciete y de térmios positivos. Por tato (x ) o puede coverger a 0 y la serie o es sumable. 3) Vale como ejemplos y. 2 La primera es o sumable, la seguda sí lo es y ambas está e el caso 3), es más, las dos verifica x + = x Criterio de la raíz o de Cauchy. Sea x ua serie de térmios positivos y sea» a = sup x. Etoces Sucesioes y series de úmeros reales 25

26 ) si a <, la serie es sumable, 2) si a >, la serie es o sumable, 3) si a =, el criterio o dice ada: la serie puede ser sumable o o. - Ferado Sáchez - - Demostració. ) Sea a = sup» x < y sea a < b <. De la defiició de ĺımite superior se sigue que a la derecha de b sólo hay fiitos térmios» x. Es decir,» x < b para ν. Por tato x < b para dichos valores y así la serie x tiee como mayorate a la serie geométrica b, que es sumable (su razó es b < ). 2) Sea a = sup» x >. De la defiició de ĺımite superior se sigue que a la derecha de hay ifiitos térmios» x. Es decir,» x > para ifiitos x. Así (x ) o coverge a cero y x o puede ser sumable. 3) Vale como ejemplos y. 2 La primera es o sumable, la seguda sí lo es y ambas está e el caso 3) ya que las dos verifica» x = Criterios de sumabilidad para series de térmios cualesquiera - Ferado Sáchez - - E esta secció veremos los criterios del cociete y de la raíz para series x e geeral. Los resultados y las demostracioes so idéticos a los ya obteidos, cambiado x por x y la sumabilidad por la sumabilidad absoluta. Criterio del cociete. Sea x ua serie de térmios cualesquiera. Etoces x + ) si sup < etoces la serie es absolutamete sumable, x x + 2) si if > etoces la serie o es sumable, x x + x + 3) si if sup etoces el criterio o dice ada: la serie puede x x ser sumable o o. x + Demostració. ) Sea a = sup < y sea a < b <. De la defiició de ĺımite x superior se sigue que a la derecha de b sólo hay fiitos térmios x + /x. Es decir, x + x < b Sucesioes y series de úmeros reales 26

27 - Ferado Sáchez - - para ν. Por tato x ν+ < b x ν x ν+2 < b x ν+ < b 2 x ν x ν+3 < b x ν+2 < b 2 x ν+ < b 3 x ν... La serie geométrica b x ν = x ν +b x ν +b 2 x ν +b 3 x ν +... es sumable (su razó es b < ) y es mayorate de la serie x. x + 2) Sea a = if >. Por defiició de ĺımite iferior a la izquierda de sólo hay x fiitos térmios x + /x. Es decir, x + x > para ν. Para esos valores la sucesió ( x ) es estrictamete creciete y de térmios positivos. Por tato ( x ) o puede coverger a 0. Así, (x ) o coverge a 0 y la serie o es sumable. 3) Vale como ejemplos y. 2 La primera es o sumable, la seguda sí lo es y ambas está e el caso 3), es más, las dos verifica x + = x - Ferado Sáchez - - Criterio de la raíz o de Cauchy. Sea x ua serie de térmios cualesquiera y sea a = sup» x. Etoces ) si a <, la serie es absolutamete sumable, 2) si a >, la serie o es sumable, 3) si a =, el criterio o dice ada: la serie puede ser sumable o o. Demostració. ) Sea a = sup» x < y sea a < b <. De la defiició de ĺımite superior se sigue que a la derecha de b sólo hay fiitos térmios» x. Es decir,» x < b para ν. Por tato x < b para dichos valores y así la serie x tiee como mayorate a la serie geométrica b, que es sumable (su razó es b < ). 2) Sea a = sup» x >. De la defiició de ĺımite superior se sigue que a la derecha de hay ifiitos térmios» x. Es decir,» x > Sucesioes y series de úmeros reales 27

28 - Ferado Sáchez - - para ifiitos x. Así ( x ) o coverge a cero y x o puede ser sumable. 3) Vale como ejemplos y. 2 La primera es o sumable, la seguda sí lo es y ambas está e el caso 3) ya que las dos verifica x = Alguos ejemplos La serie - Ferado Sáchez - - = 2 + e es sumable. Se puede estudiar su carácter sumable de varias formas. a) Es comparable a la serie ya que 2 + e = 2 e : 2 e = Por tato es ta sumable como lo sea = e = simplificar los cálculos. b) E cualquier caso, la serie (que sea sumable o o.) = 2 + e 2, co lo que se podría e se puede comparar co algua serie coocida No suele ser fácil ecotrar algua serie, sumable o o, que se pueda comparar co ua serie dada. De todas formas, e este ejemplo se va a itetar comparar co = o algú múltiplo suyo, k, dode k puede ser, 2, 3,... o ua costate 2 = 2 que covega. Para ello basta comprobar si es cierto 2 + e k 2 para casi todo. Esta desigualdad es cierta para k =, ya que y así 2 ( 2 + ) e 0 2 ( 2 + ) e Sucesioes y series de úmeros reales 28

29 para casi todo. Se tiee etoces que = 2 + e - Ferado Sáchez - - = y etoces esta última es tambié sumable. Se podría haber utilizado la serie como mayorate: 2 es cierto para casi todo. 2 + e c) El criterio del cociete aplicado a la serie (que es sumable) es mayorate de 2 2 = ( + ) 2 + : 2 + = e (( + ) 2 + ) e + e e + ( 2 + ) 2 + e = e dice que es sumable, ya que ( + ) e <. d) Tambié se obtiee que la serie es sumable por el criterio de la raíz, ya que 2 + =» e e 2 + e <. 2 Lo mismo se puede decir de las series (so todas sumables) 3 La serie = = 3 e, = e, - Ferado Sáchez - - = e es sumable. Además, es posible calcular su suma, que es La serie =3 Ç å + es sumable La serie o sumable. a + 2 = 3 es sumable para alguos valores de a 0. Y para otros valores es 6 La serie (log ) p =2 es o sumable para cualquier valor de p. La serie sólo puede ser sumable si se cumple (log ) p 0. Eso obliga a cosiderar solo los casos p < 0. Si p = etoces la serie es =2 log que tiee como miorate (y o sumable) a la serie armóica. Sucesioes y series de úmeros reales 29

30 Si p < 0 la serie es - Ferado Sáchez - - =2 (log ) p que tiee como miorate (o sumable) a la serie =2 log Si p < etoces (log ) p 0 y se puede aplicar el criterio de codesació de Cauchy: (log ) p es sumable si y sólo si lo es la serie =2 2 (log 2 ) p = 2 p (log 2) p Es evidete que esta última o es sumable. 7 La serie p p sólo puede ser sumable si p p 0. Así que la úica posibilidad es 0 < p <. Es ese caso el criterio de la raíz dice» p p = p p = p y la serie es sumable. 8 La serie p q co 0 < q < p, se puede comparar co la serie (que es sumable si y sólo si p > ) y se tiee p p q - Ferado Sáchez - - p p q = Por tato ambas series so sumables si y sólo si p >. p Ç = å = p q 9 La serie = = + tiee térmio geeral que coverge a cero. Por tato, podría ser sumable. Al compararla co la serie armóica resulta = = Sucesioes y series de úmeros reales 30

31 - Ferado Sáchez - - y la serie o es sumable. 0 La serie p q co 0 < q < p, se puede comparar co la serie geométrica p de razó /p (que es sumable si y sólo sí p > ): p p q p q = p Ç = Ç å q å = p Por tato ambas series so sumables si y sólo si p >. La serie = 2! es sumable. Ya se verá que su suma es e2. Ejemplo (criterio de Abel): Si a es sumable y (b ) es moótoa y covergete, etoces a b es sumable. Utilizado este criterio es fácil comprobar que es sumable. - Ferado Sáchez - - Ç å + / = Ejemplo (criterio de Dirichlet): Si (b ) es moótoa y coverge a 0 y si la sucesió se sumas parciales k= a k está acotada, etoces a b es sumable. Utilizado este criterio es fácil comprobar que 2 es sumable. = se(π/2) Sucesioes y series de úmeros reales 3

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