Repaso del 1º trimestre: ondas y gravitación 11/01/08. Nombre: Elige en cada bloque una de las dos opciones.

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1 Repaso del 1º trimestre: ondas y gravitación 11/01/08 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Nombre: Elige en cada bloque una de las dos opciones. Bloque 1. GRAVITACIÓN. Elige un problema: puntuación 3 puntos (1 punto cada apartado) 1.A. Los satélites Meteosat son satélites geoestacionarios (situados sobre el ecuador terrestre y con período orbital de un día). Calcula: a) La altura a la que se encuentran, respecto a la superficie terrestre. b) La energía mecánica necesaria para trasladar un satélite Meteosat desde su órbita actual a otra al doble de distancia de la Tierra. c) Demuestra que si h << la expresión de la energía potencial gravitatoria puede expresarse por m g h. Datos: 6, m; M T 5, kg; m sat 8 10 kg; G 6, N m kg 1.B. La masa de la Luna es 81,4 veces menor que la de la Tierra y su radio es 3,67 veces menor que el radio terrestre. Calcula: a) El período que tendría en la superficie de la Luna un péndulo que en la Tierra da 10 oscilaciones en 6,67 s. b) La velocidad de escape desde la superficie lunar si la velocidad de escape desde la superficie terrestre es 11, km/s. c) Demuestra que la energía cinética de la Luna es la mitad del valor absoluto de su energía potencial. Datos: g T 9,81 N kg -1 Bloque. GRAVITACIÓN. Elige una cuestión y razona la respuesta. Puntuación 1 punto..a. Lee la noticia de la BBC y confirma o rechaza la afirmación sobre el cálculo de la nueva masa de la Vía Láctea, indicando las suposiciones que haces..b. En relación con la gravedad terrestre, una masa m: A) Pesa más en la superficie de la Tierra que a 100 km de altura. B) Pesa menos. C) Pesa igual. Bloque 3. ONDAS. Elige una cuestión y razona la respuesta. Puntuación 1 punto. Noticia de BBC Mundo.com Martes, 6 de enero de :45 GMT La Vía Láctea gira más rápido Un grupo de astrónomos descubrió que nuestra galaxia, la Vía Láctea, gira más deprisa y tiene una masa mayor de lo que se pensaba hasta ahora. Los científicos aseguran que la Vía Láctea gira a unos kilómetros por hora, una velocidad superior en unos kilómetros por hora a la calculada anteriormente, lo que implica que su masa es un 50% mayor de lo que señalaron estudios previos. 3.A. Una onda electromagnética que se encuentra con un obstáculo de tamaño semejante a su longitud de onda: A) Forma en una pantalla, colocada detrás del obstáculo, zonas claras y oscuras. B) Se polariza y su campo eléctrico oscila siempre en el mismo plano. C) Se refleja en el obstáculo. 3.B. Cuando la interferencia de dos ondas origina una onda estacionaria, esta cumple: A) Su frecuencia se duplica. B) Su amplitud posee máximos y nodos cada λ / 4. C) Transporta energía proporcional al cuadrado de la frecuencia.

2 Bloque 4. MAS y ONDAS: Elige un problema: puntuación 3 puntos (1 punto cada apartado) 4.A. Un resorte de masa despreciable se estira 10,0 cm cuando se le cuelga una masa de 00 g. A continuación el sistema formado por el resorte y la masa se estira con la mano otros 5,0 cm y se suelta en el instante t 0 s. Calcula: a) La ecuación del movimiento que describe el sistema. b) El tiempo que tarda en recorrer,0 cm desde que se soltó ( Cuál es su elongación?) c) La energía cinética y potencial cuando la elongación y 3,0 cm. Dato g 9,80 m/s 4.B. Una onda armónica transversal se propaga en la dirección del eje x: y (x, t) 0,5 sen (4x 6t) (S.I.). Calcula: a) La longitud de onda, la frecuencia con la que vibran las partículas del medio y la velocidad de propagación de la onda. b) La velocidad de un punto situado en x 1 m en el instante t s c) Los valores máximos de la velocidad y la aceleración. Bloque 5. Repaso: 1 Punto 5.A. Dos bloques en contacto, pueden deslizar sin rozamiento sobre una superficie horizontal. Se ejerce una fuerza constante F sobre el bloque A y el conjunto se desplaza con una aceleración a. La fuerza que ejerce B sobre A vale: A) F B) 0 C) m A a D) m B a Contesta razonadamente. F A B 5.B. Desde una misma altura y con la misma velocidad, se lanzan simultáneamente tres pelotas al suelo con una inclinación con la horizontal de (1) α, () 0 y (3) -α. Cuál llega al suelo con mayor velocidad? A) 1 B) C) 3 D) las tres igual Contesta razonadamente. Bloque 6. Prácticas: 1 Punto α -α Un grupo de alumnas realizó la práctica del péndulo en péndulos de distinta longitud. Después de realizar los cálculos necesarios, obtuvieron la siguiente gráfica: Obtén el valor de la aceleración de la gravedad T² (s²) ,5 1 1,5 l (m)

3 Soluciones 1.A. Los satélites Meteosat son satélites geoestacionarios (situados sobre el ecuador terrestre y con período orbital de un día). Calcula: a) La altura a la que se encuentran, respecto a la superficie terrestre. b) La energía mecánica necesaria para trasladar un satélite Meteosat desde su órbita actual a otra al doble de distancia de la Tierra. c) Demuestra que si h << la expresión de la energía potencial gravitatoria puede expresarse por m g h. Datos: 6, m; M T 5, kg; m sat 8 10 kg; G 6, N m kg EXAMEN 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. Datos Cifras significativas: 3 satélite geoestacionario (período T igual al de la Tierra) T 4 h 8, s constante de la gravitación universal G 6, N m kg - masa de la Tierra M T 5, kg masa del satélite m 8,00 10 kg radio de la Tierra 6, m Incógnitas altura del satélite h energías cinética, potencial y total del satélite en órbita E c, E P, E M Otros símbolos radio de la órbita valor de la velocidad del satélite en la órbita geoestacionaria v Ecuaciones ley de Newton de la gravitación universal F (aplicada a la fuerza que ejerce la Tierra esférica sobre el satélite puntual) G G M T m aceleración normal (en un movimiento circular de radio r) a N v r ª ley de Newton de la Dinámica F m a velocidad en un movimiento circular uniforme de radio r (M.C.U.) v r T energía cinética E c ½ m v energía potencial gravitatoria (referida al infinito) E p G M T m a) Como la única fuerza que actúa sobre el satélite es la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra, F F G m a F G El satélite describe una trayectoria aproximadamente circular con velocidad de valor constante, por lo que la aceleración sólo tiene componente normal a N, m v G M T m v G M T 4 G M T T 3 G M T T 3 6, [ N m kg ] 5, [kg]8, [s] 4, m 4 4

4 h 4, , , m b) De la ecuación de v en función del radio de la órbita, se puede escribir para la energía cinética La ecuación de la energía potencial es: v G M T E c 1 m v 1 G M T m E p G M T m La energía (mecánica) total es la suma de las energías cinética y potencial: EE c E p 1 G M T m En la órbita actual, la energía mecánica del satélite vale G M m T 1 G M m T E 1 6, [ N m kg ] 5, [kg] 800[ kg] 3, J 4, [m] En una órbita al doble de distancia de la Tierra, la energía mecánica del satélite valdrá: E 6, [ N m kg ] 5, [ kg] 800[ kg] 1, J 4, [ m] La energía necesaria para trasladarlo de una órbita a otra es: E E E 1-1, (-3, ) 1, J La energía potencial gravitatoria de una masa m que se encuentra a una distancia r del centro de la Tierra, es E P G M m T r donde M T es la masa de la Tierra y G es la constante de la gravitación universal. La variación de energía potencial de la masa m entre un punto de la superficie (r ) y otro a una altura h (r + h), es E P G M m T h G M m T G M m T 1 1 h h m G M T h h En la superficie terrestre, el peso es: de donde Si la altura h <<, y por lo que h G M T m mg G M T m gg M T + h G M T h g

5 G M E P m T h h m g h 1.B. La masa de la Luna es 81,4 veces menor que la de la Tierra y su radio es 3,67 veces menor que el radio terrestre. Calcula: a) El período que tendría en la superficie de la Luna un péndulo que en la Tierra da 10 oscilaciones en 6,67 s. b) La velocidad de escape desde la superficie lunar si la velocidad de escape desde la superficie terrestre es 11, km/s. c) Demuestra que la energía cinética de la Luna es la mitad del valor absoluto de su energía potencial. Datos: g T 9,81 N kg -1 EXAMEN 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. Rta.: a) T 1,64 s. b) v el,38 km/s a) La ecuación del período de un péndulo de longitud L es: T L g Para un péndulo en la superficie de la Tierra el período será: L T T g T En la superficie de la Luna el período será L T L g L La relación entre ambos es: T L T T L g L L g T g T g L Para encontrar la relación entre los campos gravitatorios en la Luna y en la Tierra, usamos la definición de campo gravitatorio como la fuerza sobre la unidad de masa y la ley de la gravitación universal de Newton: g F m G M m r m G M r Dividiendo las expresiones del campo gravitatorio de la Luna entre la de la Tierra queda: g T g L G M T G M L R L y el período del péndulo en la Luna será: El período del péndulo en la Tierra es: M T M L R L T L T T 81,4 M L M L 3,67 R L R L g T g L 6,04,46 81,4 3,67 6,04

6 T T 6,67s 10 osc. 0,667 s por lo que el período del mismo péndulo en la Luna será: T L,46 T T,46 0,667 [s] 1,64 s b) La velocidad de escape de un astro es la velocidad mínima que debe tener un objeto en la superficie del astro para poder alejarse a una distancia infinita del mismo. Como la fuerza gravitatoria es una fuerza central, es conservativa (el trabajo de la fuerza es independiente del camino) y la energía mecánica (suma de cinética y potencial) se conserva. (E C + E P ) suelo (E C + E P ) La energía potencial gravitatoria de un objeto de masa m que se encuentra sometido a la atracción de otro de masa M, situado a un distancia r (supuestos masa puntuales) viene dada por E P G M m R en la que G es la constante de la gravitación universal. El origen de energías potenciales está en el infinito E P 0 La energía cinética de una masa m que se mueve con una celeridad v, viene dada por: E C ½ m v Como la velocidad de escape es la velocidad mínima, es la que corresponde a una velocidad nula en el infinito. Para la Luna, Para la Tierra, G M m R 1 m v minima suelo0 1 mv 000 v escape v minima suelo G M R v el v et Dividiendo la primera igualdad entre la segunda, v el v et G M L R L G M T G M L R L G M T M L M T R L 3,67 81,4 0,1 v el 0,1 v et 0,1 11, km/s,38 km/s c) La energía cinética de un satélite viene dada por la expresión: E c ½ m v pero la velocidad de un satélite se deduce de la fuerza de gravitación terrestre F G M Tm r que al ser la única fuerza, le produce una aceleración normal o centrípeta v / r, por lo que:

7 y G M T m m v r r 1 mv G M T m r que es la mitad que el valor absoluto de la energía potencial E p G M T m r E c E p /.A. Lee la noticia de la BBC y confirma o rechaza la afirmación sobre el cálculo de la nueva masa de la Vía Láctea, indicando las suposiciones que haces. EXAMEN 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. Supongo que la velocidad a la que ser refiere es la de un objeto en la periferia de la Vía Láctea de masa m despreciable, que dista una distancia r del centro y que la fuerza ejercida sobre él es debida a toda la masa M G de la galaxia supuesta esférica. La fuerza resultante será igual a la fuerza gravitatoria F F G m a F G El objeto describe una trayectoria que supongo circular alrededor del centro de la galaxia con velocidad de valor constante, por lo que la aceleración sólo tiene componente normal a N, Despejando la masa de la galaxia: La velocidad ahora calculada es: y el anterior cálculo era de: m v r G M G m r M G v r G v' km/h, m/s v a km/h km/h 8, km/h, 10 5 m/s Como la distancia es la misma, la relación entre la nueva masa M' G y la calculada anteriormente es: M ' G M G, m/ s 1,44 v' r G v r G v' v v' v Noticia de BBC Mundo.com Martes, 6 de enero de :45 GMT La Vía Láctea gira más rápido Un grupo de astrónomos descubrió que nuestra galaxia, la Vía Láctea, gira más deprisa y tiene una masa mayor de lo que se pensaba hasta ahora. Los científicos aseguran que la Vía Láctea gira a unos kilómetros por hora, una velocidad superior en unos kilómetros por hora a la calculada anteriormente, lo que implica que su masa es un 50% mayor de lo que señalaron estudios previos., m/ s La nueva masa calculada de la Galaxia es 0,44 44% mayor que antes. Redondeando, es aproximadamente un 50% mayor que antes. La afirmación es aproximadamente correcta.

8 .B. En relación con la gravedad terrestre, una masa m: A) Pesa más en la superficie de la Tierra que a 100 km de altura. B) Pesa menos. C) Pesa igual. EXAMEN 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. A El peso P de un objeto de masa m en la Tierra es la fuerza F con que la Tierra lo atrae, que viene dada por la ley de Newton de la gravitación universal PF G M Tm r en la que G es la constante de la gravitación universal, M T es la masa de la Tierra, y r es la distancia entre el objeto, supuesto puntual, y el centro de la Tierra. Cuando el objeto se encuentra en la superficie de la Tierra, r es el radio de la Tierra. Cuando se encuentre a una altura h 100 km, r + h > por tanto, al ser mayor el denominador de la expresión, la fuerza peso será menor. 3.A. Una onda electromagnética que se encuentra con un obstáculo de tamaño semejante a su longitud de onda: A) Forma en una pantalla, colocada detrás del obstáculo, zonas claras y oscuras. B) Se polariza y su campo eléctrico oscila siempre en el mismo plano. C) Se refleja en el obstáculo. EXAMEN 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. A Difracción es el fenómeno que se produce cuando una onda mecánica o electromagnética «rodea» un obstáculo de dimensiones parecidas a la longitud de onda. Es un fenómeno característico de las ondas. Esto producirá un patrón de interferencias que, en el caso de la luz, dará lugar a una sucesión de zonas claras y oscuras en una pantalla. 3.B. Cuando la interferencia de dos ondas origina una onda estacionaria, esta cumple: A) Su frecuencia se duplica. B) Su amplitud posee máximos y nodos cada λ / 4. C) Transporta energía proporcional al cuadrado de la frecuencia. Examen 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. B λ λ/4 En una onda estacionaria los máximos están separados por media longitud de onda Δx λ /, y también los nodos. Por lo tanto en una distancia d igual a una longitud de onda se alternan un nodo, un máximo, otro nodo y otro máximo. La distancia entre cada uno de estos elementos es λ / 4.

9 4.A. Un resorte de masa despreciable se estira 10,0 cm cuando se le cuelga una masa de 00 g. A continuación el sistema formado por el resorte y la masa se estira con la mano otros 5,0 cm y se suelta en el instante t 0 s. Calcula: a) La ecuación del movimiento que describe el sistema. b) El tiempo que tarda en recorrer,0 cm desde que se soltó ( Cuál es su elongación?) c) La energía cinética y potencial cuando la elongación y 3,0 cm. Dato g 9,80 m/s Rta.: a) y 0,05 cos(9,9t) [m]; b) c) Ec 15, J; Ep 8, J. EXAMEN 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. Datos Cifras significativas: 3 masa que realiza el M.A.S. m 00 g 0,00 kg alargamiento Δy 10,0 cm 0,100 m posición inicial y 0 5,00 cm 0,0500 m amplitud (elongación máxima) A y 0 0,0500 m Incógnitas ecuación del movimiento armónico: ω : pulsación (frecuencia angular) φ 0 : fase inicial y energía cinética para y 3,00 cm 0,0300 m E c energía potencial para y 3,00 cm 0,0300 m E p Otros símbolos constante elástica del resorte k pulsación (frecuencia angular) ω π f fase inicial φ 0 fuerza recuperadora elástica F Ecuaciones de movimiento en el M.A.S. y A sen(ωt + φ 0 ) relación entre la aceleración a y la elongación y a -ω y ley de Hooke: fuerza recuperadora elástica F -ky ª ley de Newton F m a energía potencial elástica E p ½ k y energía cinética E c ½ mv energía mecánica E (E c + E p ) ½ k A a) Al colgar la masa de 00 g, en el equilibrio: F Peso k Δy m g k 0,100 [m] 0,00 [kg] 9,80 [m/s ] k 19,6 N/m En el movimiento vertical, la resultante entre la fuerza recuperadora elástica y el peso es una fuerza recuperadora del tipo F - ky. -k y m a m (-ω y) F Peso O Y+ A +A k m ω 19,6 [N/m] 0,00 [kg] ω ω 9,90 rad/s S.R. origen O: posición de equilibrio. Eje Y+ vertical en el sentido del alargamiento (hacia abajo) y 0,0500 sen(9,90 t + φ 0 ) [m] cuando t 0, y 0 A 0,0500 m

10 0,0500 0,0500 sen φ 0 φ 0 π / y 0,0500 sen(9,90 t + π / ) [m] Como sen (φ + π /) cos φ, la ecuación puede escribirse más brevemente: y 0,0500 cos(9,90t) [m] b) Cuando ha recorrido,00 cm su elongación es y +3,00 cm 0,0300 m Sustituyendo en la ecuación de movimiento: y despejando el tiempo t 0,0300 0,0500 cos(9,90t) arccos 0,0300 0,0500 t 9,37 10 s 9,90 Análisis: El período del movimiento es T π / ω 0,63 s. Como aún no ha alcanzado la posición de equilibrio, en y 3,00 cm el tiempo es inferior a la cuarta parte del período: T / 4 0,16 s. c) Energía mecánica: Energía potencial para y 3 cm: Energía cinética para y 3 cm E ½ 19,6 [N/m] (0,0500 [m]) 0,045 J E p ½ k y ½ 19,6 [N/m] (0,0300 [m]) 8, J E c y E p 0,045 8, , J 4.B. Una onda armónica transversal se propaga en la dirección del eje x: y (x, t) 0,5 sen (4x 6t) (S.I.). Calcula: a) La longitud de onda, la frecuencia con la que vibran las partículas del medio y la velocidad de propagación de la onda. b) La velocidad de un punto situado en x 1 m en el instante t s c) Los valores máximos de la velocidad y la aceleración. Rta.: a) λ 1,6 m; f 0,96 Hz; v 1,5 m/s; b) v 1 0,44 m/s; c) v máx 3 m/s; a máx 18 m/s Examen 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. Datos Cifras significativas: 3 ecuación de la onda y 0,500 sen(-6,00 t + 4,00 x) m Incógnitas longitud de onda λ frecuencia f velocidad de propagación v velocidad de un punto situado en x 1 m en el instante t s v 1 velocidad máxima v máx aceleración máxima a máx Otros símbolos posición del punto (distancia al foco) x período T Ecuaciones de una onda armónica unidimensional y A sen(ω t k x) número de onda k π / λ frecuencia angular ω π f

11 Ecuaciones relación entre la longitud de onda y la frecuencia v λ f a) Comparando la ecuación de una onda armónica unidimensional con la ecuación dada queda: Longitud de onda: k π / λ 4,00 [rad m -1 ] de donde λ 1,57 m Frecuencia ω π f 6,00 [rad s -1 ] de donde f 0,955 Hz La frecuencia con la que vibran las partículas del medio es la misma que la de la onda. Velocidad de propagación: v λ f 1,57 [m] 0,955 [s -1 ] 1,50 m s -1 b) Derivando la ecuación de movimiento, se obtiene: Sustituyendo los valores de x 1,00 m y t,00 s c) La velocidad es máxima cuando cos θ 1 Volviendo la derivar, La aceleración es máxima cuando sen θ 1 v dy / dt -3,00 cos(-6,00 t + 4,00 x) [m/s] v 1-3,00 cos(-6,00,00 + 4,00 1,00) 0,437 m/s v máx 3,00 m/s a dv / dt -18,0 sen(-6,00 t + 4,00 x) a máx 18,0 m/s 5.A. Dos bloques en contacto, pueden deslizar sin rozamiento sobre una superficie horizontal. Se ejerce una fuerza constante F sobre el bloque A y el conjunto se desplaza con una aceleración a. F A La fuerza que ejerce B sobre A vale: A) F B) 0 C) m A a D) m B a Contesta razonadamente. Examen 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. B D Como la fuerza que hace A sobre B es la resultante sobre B (el peso y la fuerza normal que ejerce la superficie horizontal son verticales y se anulan), por la ª Ley de Newton, F A B F RESULTANTE m B a Por la 3ª Ley de Newton (principio de acción y reacción) las fuerzas mutuas entre A y B son iguales en módulo. F B A F A B Como la fuerza que hace A sobre B es la resultante sobre B (el peso y la fuerza normal que ejerce la superficie horizontal son verticales y se anulan), por la ª Ley de Newton, F A B F RESULTANTE m B a 5.B. Desde una misma altura y con la misma velocidad, se lanzan simultáneamente tres pelotas al suelo con una inclinación con la horizontal de (1) α, () 0 y (3) -α. Cuál llega al suelo con mayor velocidad? A) 1 B) C) 3 D) las tres igual. Contesta razonadamente. α -α 1 3

12 EXAMEN 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. C Como la única fuerza que actúa, el peso, es conservativa, la energía se conserva entre el punto inicial desde donde son lanzadas, y el suelo. Para cada pelota, se establece la ecuación (E C + E P ) ARRIBA (E C + E P ) ABAJO ½ m v ARRIBA + m g h ARRIBA ½ m v ABAJO + m g h ABAJO Tomando el suelo como origen de energías potenciales, la velocidad en el suelo sale v ABAJO v ARRIBA g h ARRIBA Como las tres pelotas tienen la misma velocidad de partida y la misma altura, las tres tendrán la misma velocidad (celeridad) en el suelo. 6.A. Un grupo de alumnas realizó la práctica del péndulo en péndulos de distinta longitud. Después de realizar los cálculos necesarios, obtuvieron la siguiente gráfica: Obtén el valor de la aceleración de la gravedad. EXAMEN 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. Al representar el cuadrado de los períodos frente a la longitud de los péndulos debería obtenerse una recta cuya pendiente fuese: pendiente T l 4 g Trazando la recta que mejor se ajuste a los puntos experimentales y calculando su pendiente: T² (s²) ,5 1 1,5 l (m) por lo que: pendiente T l 8,0 0,0,0 0,0 4,0s /m 8 g 4 pendiente 4 4,0 9,9 m/s 6 T² (s²) 4 ΔT 0 0 0,5 1 1,5 l (m) Δl

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