LÍNEAS DE FASES. Fig. 1. dx (1) dt se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O.) de Primer Orden definida en Ω.

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1 LÍNEAS DE FASES E. SÁEZ Sea el dominio Ω R R y la función F : Ω R. F R Ω Una epresión de la forma Fig. 1 d (1) = F(,), o bien, ẋ = F(,) se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O.) de Primer Orden definida en Ω. d Ejemplos: = sen, ẋ = e ( 2 1) Observación: Si la función F : Ω R es de la forma F(,) F() en Ω, es decir, F es sólo función de la variable, enonces (1) se reduce a una ecuación del ipo (2) ẋ = F() En esos casos se dice que (2) es Auónoma. En caso conrario (1) se dice Noauónoma. Ejemplos de Ecuaciones Auónomas: ẋ = sen(e 2 1 ), d = µ, donde, µ es un parámero real Definición Sea I un inervalo de R. Una curva en Ω, paramerizada por una función φ : I R, φ(), se llama una solución de (1) si y sólo si saisface, en el Deparameno de Maemáica, UTFSM e mail: hp://docencia.ma.ufsm.cl/ esaez/. 1

2 2 E. SÁEZ inervalo I, la idenidad siguiene: d (3) (φ()) F(,φ()) Inerpreación ineresane: Sea ( 0,φ( 0 )) un puno arbirario pero fijo de la gráfica de una solución φ. Por el Cálculo y la idenidad anerior, el valor de la imagen F( 0,φ( 0 )) es la pendiene de la reca angene a dicha curva solución por el puno ( 0,φ( 0 )). Luego (4) 0 = F( 0, 0 )( 0 ), donde, 0 = φ( 0 ) es la ecuación de la reca angene a la curva solución en el puno ( 0,φ( 0 )), es decir, cualquier curva solución por el puno considerado es TANGENTE a la reca (4) (ver Fig. 2). ( 0,φ( 0 )) F R F( 0, 0 ) Fig. 2 Comenario: Las pregunas sobre eisencia y unicidad de soluciones de (1), depende de las propiedades de la función F. Esos problemas se esudian en cursos más avanzados, ver por ejemplo [3]. En esas noas sólo nos limiamos a sus enunciados. Teorema de Eisencia Sea F : Ω R una función coninua en el dominio Ω. Para odo puno ( 0, o ) Ω eise una función φ : I R definida en algún inervalo I, solución del problema de valor inicial llamado de Cauchy. d = F(,), al que, φ( 0 ) = 0 La Figura 3, ilusra el Teorema con dos soluciones φ 1,φ 2. 0 Ω = φ 2 () = φ 1 () 0 Teorema de Unicidad Fig. 3 Sea F : Ω R, al que; F, F son funciones coninuas en el dominio Ω. Para odo puno ( 0, o ) Ω eise una única función φ : I R definida en algún inervalo I de R, solución única del problema de valor inicial de Cauchy.

3 LÍNEAS DE FASES 3 Nóese que si en (2), F es un polinomio en la variable, enonces la Ecuación Diferencial admie solución única (,) R 2. En lo que sigue, siempre supondremos eisencia y unicidad de los problemas de Cauchy. Preguna 1: Cómo describir la forma de las curvas en Ω, que son gráficas de soluciones de (2)? Para responder esa preguna recordemos la idea geomérica sobre raslaciones de gráficas respeco de un sisema de coordenadas. Si una variable de una función, por ejemplo, se reemplaza por la raslación c donde c es una consane real, enonces la gráfica de la función se raslada en la dirección posiiva (resp. negaiva) del eje si c > 0 (resp. c < 0). La Fig. 4 ilusra ese comenario en el caso c > 0 c Fig. 4 y = f() f( c) y = g() = Respuesa parcial de la Preguna 1. Sea una E.D.O. Auónoma, d (5) = F() Las Ecuaciones Diferenciales Auónomas son definidas en dominios de la forma R I, donde I = dom(f). Supongamos que ξ : (, ) R, ξ(), es una solución de (5). Enonces cualquier raslación de la gráfica de ξ en la dirección del eje, es una gráfica de una nueva solución de (5). En efeco, sea la nueva función rasladada η : (, ) R, al que, η() = ξ( c), c R consane Enonces las siguienes idenidades son inmediaas en el inervalo I = R η() ξ( c) F(ξ( c)) F(η()) Luego por (3), η ambién es solución de (5). El argumeno anerior nos dice que si conocemos el comporamieno cualiaivo de una solución ξ 0 de (5), en realidad conocemos el comporamieno cualiaivo de infinias soluciones, pues basa considerar raslaciones de ξ 0 en la dirección posiiva o negaiva del eje. Eso significa que si Ω Ω es el dominio que cubren, en el plano, las raslaciones de ξ 0. Por el Teorema de Eisencia y Unicidad en Ω no puede eisir una curva que sea gráfica de una solución diferene a una raslación de ξ 0. Es

4 4 E. SÁEZ decir en Ω se han enconrado TODAS las soluciones que la ecuación admie (ver Fig. 5). ξ 0 Ω Fig. 5 Preguna 2: Cuánas soluciones diferenes de raslaciones admie (2)? Eaminemos con un ejemplo sencillo la preguna anerior. Sea la E.D.O., d Es inmediao que la función eponencial = e es una solución. Luego: = e c = e c e = ke, son soluciones, k = e c > 0, c R =. Las gráficas de las soluciones aneriores son curvas CRECIENTES (pendienes posiivas ) y cubren el semi plano superior Ω 1 = {(,) > 0}. Por los argumenos desarrollados mas arriba, no puede eisir en Ω 1 una curva solución diferene de raslaciones de = e. Cualquier ora solución diferene de raslaciones de la eponencial sólo pueden eisir en R 2 Ω 1. Pero = e ambién es una solución rivial, basa reemplazar en la ecuación. Enonces: = e c = e c e = ke, son soluciones, k = e c < 0, c R y las gráficas de esas funciones son curvas DECRECIENTES (pendienes negaivas) y cubren el semi plano inferior Ω 2 = {(,) < 0}. Eisen más soluciones diferenes de las aneriores? Sólo pueden eisir oras soluciones en la pare del plano Ω 3 = R 2 (Ω 1 Ω 2 ) = {(,0) R} Pero Ω 3 es el eje en el plano de ecuación = 0. Es inmediao que = 0 es ora solución rivial de la ecuación que iene la paricularidad de ser Consane (pendiene cero). En resumen, la ecuación planeada iene sólo TRES soluciones esencialmene diferenes en el senido que sólo admie res ipos de curvas soluciones: Crecienes, Decrecienes y Consanes. Ese resumen de comporamienos cualiaivos se puede ilusrar geoméricamene definiendo una línea ad hoc llamada Línea de Fases como indica la Fig. 6 comporamienos decrecienes < > comporamienos crecienes solución consane Fig. 6

5 LÍNEAS DE FASES 5 Observación. Si 0 esuna raízdelaecuación F() = 0, esdecir, F( 0 ) = 0, enonces = 0 es la ecuación de una reca en el plano, que es una solución consane de (2) pues se saisface: d ( 0) F( 0 ) 0, ya que, 0 es una consane. Definición. Sea 0 una raíz de la ecuación F() = 0, enonces diremos que 0 es una SINGULARIDAD, o bien, un puno de EQUILIBRIO de la línea de fases de la ecuación (2). Observación Imporane. La Línea de Fases se puede obener direcamene de la ecuación(2), sin necesidad de resolver eplíciamene la ecuación, Cómo? Sabemos que F() son las pendienes de las curvas soluciones de (2), enonces basa observar la gráfica de la función F pues los valores posiivos, negaivos y raíces de F() deerminan las soluciones crecienes, decrecienes y singularidades, respecivamene. Ejemplo: Supongamos que la gráfica de la función F en la ecuación (2) es como indica la Fig. 7. La Línea de Fases queda deerminada por los valores de las imágenes de F y es como muesra geoméricamene la pare inferior de la Fig. 7. Gr(F) < > < Fig. 7 < > Línea de Fases Inerpreano la Línea de Fases se iene en forma inmediaa el comporamieno cualiaivodelosiposdesolucionesqueadmie(2)pueselsenidodelasflechascorresponden a las soluciones monóonas como se muesra en la Fig. 8. Línea de Fases y comporamienos Cualiaivos Fig. 8

6 6 E. SÁEZ Observación. Dependiendo del comporamieno local de las soluciones de la ecuación alrededor de una singularidad aislada en la Línea de Fases, se disinguen los siguienes ipos de singularidades: 1) 2) 3) 4) < >, repulsor (fuene), > <, aracor (pozo), > >, aracor-repulsor, < <, repulsor-aracor, Ejemplo. Describir cualiaivamene los ipos de soluciones que admie la E.D.O., ẋ = ( 1) 3 e cos(4 1). Solución: Es inmediao que = 1 es la única singularidad (aislada) de la E.D.O. Como e cos(4 1) > 0, R, la gráfica de F() = ( 1) 3 e (cos(4 1), la Línea de Fases y los ipos de soluciones de la E.D.O. son como ilusra la Fig. 9, respecivamene. Gr(F) 1 1, Po de eq. repulsor Fig. 9 La ecuación del ejercicio anerior, es muy difícil de inegrar bajo el puno de visa del Cálculo. En consecuencia es difícil conocer eplíciamene las ecuaciones de las soluciones que indica la Fig. 9, sin embargo, la Línea de Fases permie dar una descripción cualiaiva del ipo de soluciones y puno de equilibrio. Ejemplo. Esudiemos el modelo de Newon, sobre la variación de emperaura que ienen los cuerpos. La emperaura de un cuerpo, en cada insane, cambia con una rapidez proporcional a la diferencia de emperaura del cuerpo con la emperaura del medio ambiene, la cual se supone consane. Sea T = T() la emperaura de un cuerpo en el insane y T 0 la emperaura ambiene, que se supone consane. La Ecuación Diferencial que modela el Principio de Newon es de la forma dt = λ(t T 0 ) donde λ > 0 es la consane de proporcionalidad.

7 LÍNEAS DE FASES 7 La gráfica de F(T) = λ(t T 0 ), la Línea de Fases y los ipos de soluciones de la E.D.O. son como ilusra la Fig. 10, respecivamene. Gr(F) T T 0 T T 0, T 0 po de eq. aracor T Fig. 10 Nóese que si un cuerpo iene en el insane cero una emperaura mayor (resp. menor) que T 0, es decir, T(0) > T 0 (resp. T(0) < T 0 ), enonces como la emperaura ambiene T 0, es el único puno de equilibrio y es un aracor, la emperaura de ambos cuerpos ienden a T 0 a medida que ranscurre el iempo, o bien, para ambos cuerpos y cualquier oro cuerpo, lim T() = T 0 Ejemplo. Supongamos el siguiene modelo sencillo de epidemias. Eise una población de N individuos que iene en cada insane, y() individuos infecados y () individuos sanos pero suscepibles de infecarse. La suma de los individuos infecados más los individuos sanos es el oal de la población, la cual se supone consane. El número de individuos infecadas cambia con una rapidez proporcional al número de individuos infecadas y al número de individuos sanos. Qué ocurre con la epidemia a medida que ranscurre el iempo?. La Ecuación Diferencial que modela el comporamieno de los individuos infecados, de acuerdo al enunciado anerior esá dada por; d (y()) = λ()y() donde λ > 0 es la consane de proporcionalidad. Como () + y() = N, la E.D. anerior que modela el comporamieno de los individuos infecados se reduce a la epresión: dy = λ(n y)y La gráfica de F(y) = λ(n y)y, la Línea de Fases y los ipos de soluciones de la E.D.O. son como ilusra la Fig. 11, respecivamene.

8 8 E. SÁEZ Gr(F) 0 N y N 0, N po de eq. aracor, 0 po de eq. repulsor y Fig. 11 Comenario: Nóese que si en un insane 0, aparece un caso de un individuo infecado, es decir, se presena la condición inicial y( 0 ) = 1, enonces si y = y() es la curva solución que saisface la condición inicial, según el modelo lim y() = N, pues N esunpuno deequilibrio aracor. El modelopredice quedenoomarmedidas especiales para conrolar la epidemia, la oalidad de la población se conagia a medida que ranscurre el iempo. Definición. Dos Ecuaciones Diferenciales Auónomas del ipo (2), se dicen cualiaivamene equivalenes si y sólo si ienen la misma Línea de Fases, en el senido del mismo número de punos singulares, de la misma nauraleza y disribuidos en el mismo orden. Ejemplo: Las E.D. ẋ =, ẋ = ( 1) 3 e cos(4 1). son equivalenes pues sólo ienen un único puno aracor en sus respecivas Líneas de Fases. Comenario: Eisen fenómenos de la nauraleza que bajo el puno de visa de la definición anerior, maemáicamene son equivalenes. Por ejemplo, el modelo de Newon de enfriamieno de los cuerpos descrio aneriormene es equivalene a la Ley de desinegración radioaciva La asa de desinegración de una susancia radioaciva es proporcional, en cualquier insane a la canidad de susancia presene. En efeco si A = A() es la masa de una susancia radioaciva en el insane, enonces la E.D. que modela el fenómeno esá dada por: Ȧ = λa, λ > 0. La gráfica de F(A) = λa, la Línea de Fases y los ipos de soluciones de la E.D.O. son como ilusra la Fig. 12, respecivamene. Gr(F) A 0 A 0, 0 po de eq. aracor A Fig. 12

9 LÍNEAS DE FASES 9 Los punos T = T 0 y A = 0 son los únicos punos de equilibrio aracores en las respecivas Líneas de Fases. Ejercicio: Clasificar las Líneas de Fases no-equivalenes de la E.D. ẋ = λ + 2, donde λ es un parámero real. Solución: Sea F λ () = λ+ 2, λ R. Con el objeo de esudiar como cambian las disinas Líneas de Fases, dependiendo del parámero λ, consideremos la gráfica de la ecuación F λ () = 0 en el plano λ (ver Fig. 13). Si las recas vericales muesran las Líneas de Fases, enonces las inersecciones enre la parábola λ = 2 y las recas vericales son los punos de equilibrio de las Líneas de Fases. Es claro que si λ < 0, λ = 0, o bien λ > 0, se iene respecivamene: dos, cero, o bien ninguna inersección. Sólo eisen res Líneas de Fases no-equivalenes, en efeco, si λ < 0 eisen dos punos de equilibrio aracor y repulsor resp., si λ = 0 sólo el origen es un puno de equilibrio aracor-repulsor y si λ > 0 no eisen punos de equilibrio (ver Fig. 13) 0 F λ () < 0 F λ () > λ Fig. 13 Ejercicio 1. Una ciera ley de radiación, esablece que la razón de cambio de la emperaura de un cuerpo a T() grados, que se encuenra en un medio de emperaura consane, de M = 70 0 C, es proporcional a M 2 T 2 () donde la consane de proporcionalidad es posiiva: i) Encuenre la Línea de Fases ii) Si T(0) = C, deerminar: lim T() Ejercicio 2. Describir cualiaivamene los ipos de soluciones de las E.D. a) ẋ = sen 2 b) ẋ = sen 2

10 10 E. SÁEZ Ejercicio 3. Describir las Líneas de Fases, no equivalenes, de la ecuación diferencial Ejercicio 4. Sea la Ecuación Diferencial, d ẋ = ( 1)(+λ)e 2cos, si λ R = (+1+λ)( 1)e 1, donde el parámero λ R i) Cuáles son las Líneas de Fases, no equivalenes, que admie la Ecuación Diferencial? ii) Describa en un gráfico, cualiaivamene, las soluciones de la Ecuación Diferencial correspondienes a las Líneas de Fases enconradas en a) Ejercicio 5. Supongamos que A() es la canidad de maerial que memoriza un esudiane en un iempo y M represena la canidad de maerial oal que es necesario memorizar. Si la rapidez de memorización de un ciero esudiane, es la diferencia enre un múliplo de la canidad de maerial que le queda por memorizar, y un múliplo de lo memorizado. i) Describa el modelo maemáico que represena la capacidad de memorización. ii) Cómo es la Línea de Fases del modelo obenido en i)? (se eniende que odas las consanes son posiivas) iii) Si A(0) = 0. Un esudiane llega a lo largo del iempo a memorizar odo el maerial? iv) Si el múliplo de lo memorizado por Juan es menor que el de Diego. Quién iene mejor memoria? Ejercicio 6. En un envase de reacción se encuenran las subsancias A y B. La subsancia A por reacciones químicas se conviere en la subsancia B. La rapidez de conversión, en cada insane, es proporcional al produco de las masas de ambos subsancias. Según las leyes de la Física, la suma de las masas M de ambas subsancias, es invariane en el proceso de conversión. a) Cuáles son las ecuaciones diferenciales que modela los cambios de la masa () de la subsancia A y los cambios de la masa y() de la subsancia B?. b) Cuáles son los punos de equilibrio de ambas E.D.O.? c) Si el sisema no esá en un puno de equilibrio al inicio de un eperimeno. Qué se puede decir sobre los comporamienos de (), y() cuando? d) Son equivalenes las dos E.D.O de a)?. Ejercicio 7. Sea p = p() la población de una baceria en cada insane (medida en millones). La rapidez de cambio de la población ( en un modelo sencillo) en cada momeno esá dada por: una asa de naalidad que es proporcional a la población del insane, una segunda asa de moralidad naural que ambién es proporcional a

11 LÍNEAS DE FASES 11 la población del insane y una ercera asa de moralidad debida a compeencias inraespecies que es proporcional al érmino 1 2 p(p 1). i) Si k 1,k 2,k 3 > 0 son las respecivas asas de proporcionalidaden el orden en que aparecen en el enunciado. Cuál es la Ecuación Diferencial que modela la población de las Bacerias? ii) Si las respecivas asas en i) son: k 1 = 5,k 2 = 2,k 3 = 1. Cuál es la línea de fases asociada a la E.D.O.?. iii) Si en el insane inicial p(0) > 0 Eise, a largo plazo, la posibilidad que la población de Bacerias se einga?. iv) En general, si las consanes de proporcionalidad saisfacen k 1 k k 3 < 0 Qué puede afirmar sobre la supervivencia de la población de Bacerias?. Ejercicio 8. Sea p = p() la población de una ciera ciudad en cada insane (medida en millones de personas). La razón de cambio de la población, principalmene se debe a res causales: a) Una asa de naalidad que es proporcional, con consane de proporcionalidad k 1 > 0, a la población del momeno; b) Una asa de moralidad naural que es proporcional, con consane de proporcionalidad k 2 > 0, a la población del momeno, k 2 < k 1 ; c) Una asa de moralidad no-naural (por ejemplo: debida a accidenes de ránsio, accidenes en el rabajo, períodos de guerra, ec) que es proporcional, con consane de proporcionalidad k 3 > 0, al érmino p(p 1) 2, (k 3 < k 2 ). i) Esablezca la Ecuación Diferencial que modela el amaño de la población. ii) Si las respecivas asas se esiman en k 1 = 6,k 2 = 5,k 3 = 4. Describa la Línea de Fases de la E.D.O. iii) Si en el insane inicial p(0) < 1. Eise a largo plazo, la posibilidad que la 2 población se einga?. iv) Bajo que condiciones iniciales se puede afirmar la supervivencia de la respeciva ciudad a ravés de los iempos?. Ejercicio 9. Suponga un modelo sencillo de una población de animales P = P(), donde es el iempo, que iene igual número de machos y hembras. Los nacimienos de la población, en cada insane, son proporcionales con asa k > 0 al número de machos y hembras. La moralidad de la población es proporcional con asa δ > 0 a la población en cada insane. i) Cuál es la Ecuación Diferencial que modela la rapidez de cambio de la población?. ii) Si a = δ. Qué puede afirmar si P(0) < 4a? k iii) Qué puede afirmar si P(0) > 4a? Ejercicio 10. Un modelo sencillo sobre la variación de la población de peces en un lago de grandes dimensiones a lo largo del iempo, = (), medida en oneladas,

12 12 E. SÁEZ depende esencialmene de res facores: i) Tasa de nacimieno en el insane dada por: 2() ii) Tasa de moralidad en el insane dada por: (1+ 1 ())() 12 iii) Tasa de capura consane dada por el parámero K Pregunas: (i) Escribir la Ecuación Diferencial Ordinaria del modelo. (ii) Si la capura K = 5. Enconrar los punos de equilibrio del modelo. 3 (iii) Como es la Línea de Fases? (iv) Describir cualiaivamene el ipo de soluciones que admie la E.D.O. (v) Si K = 4. Qué puede afirmar a fuuro sobre la población de peces?. Agradecimienos: Por su conribución a revisar la presenación de esos apunes agradezco a la señora Amalia Becerra, Secrearia del Deparameno de Maemáica. References [1] Ordinary differenial equaions. D.K.Arrowsmih & C.M.Place. Chapman and Hall. London, New York [2] Ecuaciones diferenciales. P.Blanchard, R.L.Devaney and G.R.Hall. Boson Universiy.Inernaional Thomson Ediores [3] Liçóes de equaçóes diferenciais ordinárias. Jorge Soomayor. IMPA, Rio de Janeiro, Brasil. Proyeco Euclides

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