Límites. Funciones. I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas

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1 I. E. S. Siete Colins (Ceut) Deprtmento de Mtemátics Mtemátics de º y º de Bchillerto Límites de Funciones Por Jvier Crroquino CZs Ctedrático de mtemátics del I.E.S. Siete Colins Ceut 4

2 Límites de Funciones Jvier Crroquino Cñs

3 Mtemátics de º y º de bchillerto Ciencis de l Nturlez y l Slud Tecnologí Límites de Funciones Por Jvier Crroquino Cñs Ctedrático de mtemátics I.E.S. Siete Colins (Ceut) Deprtmento de Mtemátics Ceut 4

4 Jvier Crroquino Cñs I.E.S. Siete Colins (Deprtmento de Mtemátics) Límites de Funciones Depósito Legl : CE&7&4 ISBN : 84&689&5&7 Número de Registro : Ceut 4

5 Prólogo Con este tem Límites de Funciones, se vnz un pso más en el estudio de ls funciones que inicimos con los tems Funciones Reles de Vrible Rel, Gráfics de Funciones Reles de Vrible Rel y Propieddes y forms de ls Funciones Reles de Vrible Rel, pertenecientes l mism colección. Dentro del Análisis Mtemático&un de ls rms de Mtemátics que más h contribuido l desrrollo científico y tecnológico&es básico el concepto y estudio de los límites de ls funciones, que nos permitirá conocer el comportmiento, l form y gráfic de un función cundo l vribles se dirige hci el infinito (± 4) o cundo l vrible se proim tnto como podmos imginr un cierto número pr el cul l función no tom ningún vlor, pero, sin embrgo, si tom vlores pr culquier número próimo ese. Todo esto con el fin de recbr informción sobre un función, l cul nos permitirá conocer su form, sus propieddes y, en definitiv, su gráfic, tnto en todo su dominio como en ls proimiddes (en un entorno) de un punto. Un vez desrrolldos los conceptos y significdos del límite de un función, pueden construirse otros que son pilres fundmentles del Análisis Mtemático, continuidd, derivción e integrción, que veremos en tems posteriores. Por último, indicr que el contenido de este tem es útil tnto pr lumnos de primer curso como de segundo de bchillerto, especilmente pr quellos que cursn lgun modlidd científic o tecnológic.

6 Mtemátics de º y º de bchillerto I Límites de Funciones Índice Págin.Introducción....Límite de un función en un punto. Ide intuitiv... Ejemplo....Límite de un función en un punto. Ide gráfic... 5 Ejemplo Límite de un función en un punto. Definición... 8 Ejemplo... Ejemplo Propieddes de los límites... Ejemplo 5... Ejemplo Ejemplo Ejemplo Límite de un función sum o rest de otrs dos...5 Ejemplo Ejemplo Límite de un función producto de otrs dos... 7 Ejemplo Límite de un función cociente de otrs dos... 8 Ejemplo... 8 Ejemplo Límite del producto de un número por un función... Ejemplo 4....Límite de un función potenci de eponente nturl... Ejemplo 5....Límite de un función potenci de eponente entero... Ejemplo 6....Límite de un función potenci de eponente rcionl... Ejemplo 7... Ejemplo 8....Límite de un función eponencil... Ejemplo Límite de un función logrítmic... 4 Ejemplo... 4 Ejemplo... 5 Ejemplo Límite de un función elevd otr función... 5 Ejemplo Límites de funciones trigonométrics... 7 Ejemplo Infinitésimo en un punto... 7 Ejemplo Ejemplo Orden de un infinitésimo en un punto... 8 Ejemplo Ejemplo Infinitésimos equivlentes... Ejemplo 9... Ejemplo...

7 Mtemátics de º y º de bchillerto II Límites de Funciones Págin.L indeterminción /....Form de resolver l indeterminción/... Ejemplo... 4 Ejemplo... 5.Límites lterles de un función en un punto... 6 Ejemplo... 4 Ejemplo Límites infinitos en un punto Ejemplo Ejemplo Ejemplo Límites finitos en el infinito Ejemplo L indeterminción 4' Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Límites infinitos en el infinito Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo L indeterminción 4& Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo L indeterminción Ejemplo Ejemplo El número e... 8.Otrs funciones cuyo límite es el número e Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo

8 Mtemátics de º y º de bchillerto Págin Límite de Funciones Límites de Funciones.Introducción.- En este tem bordremos el concepto de límite de un función rel de vrible rel cundo l vrible independiente tiende (se proim) un cierto número, o bien cundo tiende infinito (4 o &4), esto es, l vrible se hce tn grnde (positiv o negtiv) como podmos imginr. Pr un comprensión y utilizción del concepto, intentremos bordrlo de form intuitiv y, posteriormente, entendiendo su definición mtemátic y, muy importnte, su interpretción gráfic. Resltemos que no se debe intentr prender los conceptos teórico, tles como definiciones o propieddes, sin hber comprendido previmente el concepto de un modo intuitivo y sber trsldr este un visión gráfic. Por último decir, que es recomendble, ntes de inicirse en este tem, que el lumno conozc previmente los siguientes, de est mism colección: L Funciones Reles de un Vrible Rel. L Gráfics de Funciones Reles de Vrible Rel. L Propieddes y forms de ls Funciones Reles de Vrible Rel..Límite de un función en un punto. Ide intuitiv- \ Se y f () un función rel de un vrible rel ( es l vrible independiente). \ Se D f el dominio de l función f, es decir, el conjunto de números que tienen imgen. \ Se un número rel, es decir, ú. Puede ocurrir que pertenezc o no pertenezc l dominio D f, es decir: Si D f, entonces f () eiste, es decir, f ()ú Si ód f, entonces f () no eiste, es decir, f ()óú \ Se l un número rel culquier, es decir, l ú. \ Vmos desrrollr y definir el siguiente concepto: Límite de l función f () cundo tiende es igul l \ L frse nterior se epres mtemáticmente del siguiente modo: lim f l L lectur de l epresión mtemátic de l izquierd es el límite de l función f () cundo tiende, es igul l Y sbemos como se epres el concepto en form mtemátic. Ahor debemos comprender su significdo.

9 Mtemátics de º y º de bchillerto Págin Límite de Funciones \ Vemos el significdo del concepto: \ Cundo tom vlores muy próimos, entonces f () (ls imágenes de esos ) tomn vlores muy próimos l. Es decir: Si, entonces f () l Dicho de otr form: Si tom vlores infinitmente próimos, ls imágenes de esos tomn vlores infinitmente próimos l. \ Añdimos lo nterior que, prtir de un número próimo, cunto más cerc esté de, más cerc estrá f () de l. Es decir: Si, entonces f () l Si, entonces f () l Hemos utilizdo ls epresiones y pr distinguir entre próimo y más próimo. \ Además de los puntos nteriores, puede drse lguno de los csos siguientes: \ El número pertenece l dominio y es f () l. En este cso será: lim f l f L epresión de l izquierd nos indic que el límite de l función f () cundo tiende es igul l imgen de l función en. \ El número pertenece l dominio, pero f () l. En este cso será: lim f l f L epresión de l izquierd nos indic que el límite de l función f () cundo tiende no es igul l imgen de l función en. \ El número no pertenece l dominio, es decir f () óú. En este cso será: lim f l L epresión de l izquierd nos indic que el límite de l función f () cundo tiende es igul l. No dice nd sobre l imgen de. \ Ahor vmos dr un definición intuitiv del concepto: Se dice que el límite de l función f (), cundo tiende, es igul l si pr vlores de infinitmente próimos, ls imágenes de esos están infinitmente próimos l, de tl modo que cunto más próimo esté de, más próimo estrá f () de l. Insistimos en l ide: Imgin un sucesión de números,,, 4, ÿÿ que se proimn infinitmente (están infinitmente próimos). Entonces, sus imágenes, f ( ), f ( ), f ( ), f ( 4 )ÿÿ se proimn infinitmente l, de tl modo que si queremos que un imgen f ( i ), esté tn próimo l como quermos, sólo tenemos que elegir un número i que esté lo suficientemente próimo. Puede ocurrir que no eist un número i tl que f ( i ) l, o puede ocurrir que f () l.

10 Mtemátics de º y º de bchillerto Págin Límite de Funciones \ Antes de dr l definición forml y mtemátic l concepto, vemos un ejemplo que nos fince l ide intuitiv. Ejemplo.- 4 Se l función. f Es evidente que el dominio de est función es el conjunto formdo por todos los número reles ecepto el, es decir, D f ú&{} (&4,)c(,4). En efecto: f R Sin embrgo, si le dmos vlores distintos de, pero infinitmente próimos este, ls imágenes de esos vlores eisten, es decir: nº muy proimo & Si, entonces f un numero & rel nº muy proimo & Nos hcemos l siguiente pregunt (que plntemos de diverss forms): Cómo se comport l función en ls proimiddes de? Cómo son ls imágenes de f () cundo? Cómo es l gráfic de l función f () cundo E ε ()?, siendo ε un nº pequeño. En definitiv: Cuál es el vlor de lim f? Vmos encontrr ese vlor de un modo eperimentl, es decir, dremos l vrible vlores numéricos muy próimos y veremos cunto vlen ls imágenes de esos números. Pr ello construiremos dos tbls de vlores pr l función f (). Un con vlores de muy próimos por su izquierd, es decir, & y otr con vlores muy próimos por su derech, esto es,. Si los vlores que dmos se vn proimndo cd vez más y es proimción es tnt como quermos, puede epresrse del modo 6 & ( tiende por su izquierd, esto es, los vlores son menores que ) y 6 ( tiende por su derech, esto es, los vlores son myores que ). & 4 f 4 f , þþþþþþ þþþþþþ þþþþþ þþþþþþ 6 & f ()64 & 6 f ()64 En l tbl de l izquierd se preci que cundo se proim por su izquierd (<), ls imágenes f () se vn proimndo 4 por su izquierd (f () 4 & ) A l derech tenemos que cundo se proim por su derech (>), sus imágenes se vn proimndo 4 por su derech ( (f () 4 )

11 Mtemátics de º y º de bchillerto Págin 4 Límite de Funciones Pues bien, en este cso se dice que el límite de l función f () cundo tiende es igul 4" Se epres de l form: El significdo de est epresión es l siguiente: Pr vlores de lim f 4 infinitmente próimos (tnto por su izquierd como por su derech), ls imágenes de esos están infinitmente próimos 4" Añdimos que es proimción de f () 4 es tnt como podmos imginr (ecepto f () 4). Pr que f () se proime 4 un cntidd desed bst con tomr un suficientemente próimo En l función que nos ocup en este ejemplo, podemos mtizr dos csos: El significdo de est epresión es l siguiente: Pr vlores de infinitmente próimos por su izquierd, ls imágenes de lim f 4 ( 4 ) esos están infinitmente próimos 4 (pero por su izquierd)" Puede precirse como si dmos un vlor infinitmente próimo, pero menor que, su imgen es un número infinitmente próimo 4, pero menor que 4. lim f 4 ( 4 ) En concreto y en est función, podemos epresr: 4 lim f lim f lim f lim 4 El significdo de est epresión es: Pr vlores de infinitmente próimos por su derech, ls imágenes de esos están infinitmente próimos 4 (pero por su derech)". Puede precirse como si dmos un vlor infinitmente próimo, pero myor que, su imgen es un número infinitmente próimo 4, pero myor que 4. Nos viene decir que el límite de l función f () cundo tiende, tnto por su derech como por su izquierd (simplemente, cundo tiende ), es igul 4. NOTA: Quede clro que podrí drse el cso de un función h() tl que lim h lim h, en cuyo cso se dice que lim h no eiste. Continuemos con l función f () del ejemplo y observ lo siguiente: 4 ( ) si f ( ) { g ( ) En l epresión de l izquierd hemos simplificdo l función f () l dividir numerdor y denomindor por &, lgo que se puede hcer pr culquier. El resultdo es otr función: g () Nos preguntmos: Son l mism función f () y g()?. Nótese que prentemente son distints, pero un de ells l hemos obtenido l simplificr l otr.. Pues bien: 4 f Result que ls funciones f () y g() son igules pr todo ú ecepto y que Tenemos dos funciones y f () no eiste y, sin embrgo, g () 4. g Es decir: œú ( ) es f () g()

12 Mtemátics de º y º de bchillerto Págin 5 Límite de Funciones Por tnto: f 4 4 si no eiste si Dibujemos ls gráfics de f () y g(): g() (rect) 4 6 A l izquierd tenemos ls tbls de vlores de mbs funciones y l derech sus gráfics. L interpretción gráfic de l iguldd entre ls funciones f () y g() es que g() es un rect y f() es otr rect que coincide con g() en todos sus puntos ecepto en. f 4 no eiste Observ que ests son idéntics ecepto en el punto de coordends (,4) en el que l rect g() prece con un C, mientrs que en l función f () prece B Nótese que C es pr indicr que eiste función en el punto (hy gráfic), mientrs que B es pr indicr que no hy función en el punto (no hy gráfic). Ahor vmos ver como se hll el límite buscdo: ( )( ) lim f 4 lim lim lim ( ) 4 Debe entenderse que l epresión signific que se proim por su derech y por su izquierd, tnto como se pued imginr, pero sin llegr ser igul, por lo que l simplificción de l frcción entre & es posible y que &. Al finl substituimos por, pero l ide es que ese es el límite donde tiende y el resultdo es 4, es decir, l vlor l que se proim f () tnto como podmos imginr (sin que llegue nunc ser f () 4). Es importnte que los dos párrfos nteriores se comprendn perfectmente pr poder entender el concepto de límite..límite de un función en un punto. Ide gráfic.- En el prtdo nterior veímos l ide intuitiv del límite de un función f () cundo tiende un número, el cul podí pertenecer o no l dominio de f (). Veímos tmbién un ejemplo clrtorio de l ide intuitiv y de l interpretción gráfic del mismo.

13 Mtemátics de º y º de bchillerto Págin 6 Límite de Funciones En este prtdo bundremos sobre l interpretción gráfic del límite de un función cundo l vrible independiente tiende un número y los diversos csos que pueden drse. Supongmos un función f () cuyo dominio es D f. Supongmos que es un número rel, es decir, ú. Supongmos que el límite de f () cundo tiende es igul l, es decir: lim f ( ) l Recuerd: Pr vlores de infinitmente próimos, ls imágenes de esos están infinitmente próimos l. Puede drse lgun de ls situciones siguientes:..el número pertenece l dominio y demás su imgen coincide con el límite l. Es decir: Df grficmente & lim f l f En l figur tenemos representd un trozo de l gráfic de un función f () tlque f () eiste (el C reslt esto, unque no es necesrio ponerlo).observ que cundo está infinitmente próim, sus imágenes están infinitmente próims f () l (límite de f () cundo tiende )...El número pertenece l dominio, pero su imgen no coincide con el limite l. Es decir Df grficmente & lim f l f En l figur tenemos representd un trozo de l gráfic de un función f () tlque f () eiste, pero no coincide con el límite de f () cundo tiende. Observ que el punto B (es necesrio ponerlo) es pr indicr que en ese punto de l curv hy un gujero porque l imgen de no está donde deberí estr.el punto C (es necesrio ponerlo) nos indic como f () eiste, pero está desplzd de su sitio...el número no pertenece l dominio (no tiene imgen). Df grficmente & lim f l L figur 4 nos eplic de un modo gráfico que f () no eiste (punto B), sin embrgo, cundo tom vlores infinitmente próimos, sus imágenes f () están infinitmente próims l, sin llegr vler nunc l.

14 Mtemátics de º y º de bchillerto Págin 7 Límite de Funciones Ejemplo Se l función f, se pide: 8 ) Hll su imgen pr b) Comprueb eperimentlmente que el límite de f () cundo tiende es. c) D un ide gráfic de f () en un entorno de centro. Vemos: ) Imgen de f () pr : 8 7 f () R 8 D f Pr no hy imgen. b) Comprobr de un modo eperimentl consiste en drle vlores l vrible que estén infinitmente próimos. Y sbemos que pr no hy imgen, pero vemos que ocurre en sus proimiddes. Pr ello dremos vlores sucesivos que se cercn tnto por su derech como por su izquierd: f f & ÿÿ 9 & 547ÿÿ 4596ÿÿ 99 & 5476ÿÿ þþ 999 & 5467ÿÿ þþ 9999 & 5466ÿ þ þþþþþþ ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ þþþþþþ ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ f f Puede precirse que cundo dmos vlores que se proimn infinitmente por su izquierd, l función tom vlores infinitmente próimos por su izquierd y cundo tom vlores infinitmente próimos por su derech, ls imágenes se proimn infinitmente por su derech. Mtemáticmente: lim f ( ) lim f lim f ( ) NOTA: Quede clro que un comprobción eperimentl no puede considerrse como un demostrción, es decir, esto no grntiz que el límite se. No obstnte, en este cso es cierto y que lo segur el enuncido del ejemplo c) L figur 5 es un ide esquemátic del comportmiento de l función en ls proimiddes de, pero no es l representción ect de dich función. Observ como l izquierd de es f ()< y l derech es f ()>. Es decir : pr vlores de infinitmente próimos, tnto por su izquierd como por su derech, sus imágenes están infinitmente próims ".

15 Mtemátics de º y º de bchillerto Págin 8 Límite de Funciones 4.Límite de unfunción en un punto. Definición.- L Hemos de suponer que l llegr este punto se hn comprendido ls ides intuitivs y gráfics del concepto límite de un función en un punto. L En este prtdo vmos dr un definición forml mtemátic dicho concepto. Est definición debe ser totlmente coherente con lo epresdo en los prtdos nteriores. Vemos: O Se y f () un función rel de vrible rel cuyo dominio denominmos D f. O Se un número rel que puede pertenecer o no pertenecer l dominio de f, es decir: ú y D f o ód f Imgin que el número está representdo en el eje de bciss (eje OX). O Se l otro número rel culquier. Imgin l representdo en el eje de ordends. O Vmos definir el concepto limite de l función f () cundo tiende es igul l y lo epresremos de l form : lim f l Se dice que el límite de l función f () cundo tiende es igul l, sí y sólo sí pr culquier entorno de centro l y rdio ε, eiste otro entorno de centro y rdio δ, tl que si es un número (distinto de ) que está en este entorno, entonces su imgen f () está en quel. Mtemáticmente: ( z) lim f l Eε( l), E si E, entonces f Eε( l) 44 O Vmos ver que est definición concuerd con l ide intuitiv y l ide gráfic: En l figur 6 hemos representdo un hipotétic función f () en l que f () no eiste (o bien eiste y está fuer de l curv). Es indiferente el que f () eist o no eist, pero en este cso hemos epresdo que f () l. Por tnto: lim f l Prtiendo de l figur 6, epliquemos l definición del recudro ( z):

16 Mtemátics de º y º de bchillerto Págin 9 Límite de Funciones Figur 7.- Figur 7b.- Hemos dibujdo un trozo de l gráfic de un función f () cuyo límite cundo tiende es l. Observ que en este cso no hemos situdo l imgen de, es decir, f (), porque no eiste o porque eiste, pero qued fuer de l figur (el que eist o no l imgen de, es indiferente). En culquier cso: lim f l f Observ que hemos tomdo un número ε > y construido el entorno bierto de centro l y rdio ε, es decir: E ε (l) (l&ε, l ε). NOTA: El vlor ε lo tommos rbitrrimente (generlmente pequeño) En est figur se preci como pr ese vlor ε > que tommos nteriormente en el eje de ordends, encontrmos un vlor δ > (ver eje OX) l trzr desde los puntos l&ε y l ε prlels l eje de bciss hst l gráfic de f () y posteriormente prlels l eje de ordends hst el eje de bciss. L menor de ls distncis de los puntos obtenidos hst el punto, será δ. De este modo obtenemos el entorno bierto de centro y rdio δ, es decir: E δ () (&δ, δ) NOTA: Insistimos en que debes precir que el entorno E δ () se obtiene prtir de E ε (l) (elegido rbitrrimente). Por eso l definición dice : œ E ε (l), E δ () etc. L figur 8 termin de eplicr gráficmente l definición, es decir : * si E δ (), entonces f ()E ε (l). Vemos: Figur 8.- A prtir del intervlo (&δ, δ) del eje de bciss trzmos un bnd verticl sombred hst l curv de f () y de est otr horizontl hst el eje de ordends. Observ que se produce un intervlo dentro del que tenímos (l&ε, l ε). Figur 8b.- Observ que culquier que tomemos tl que E δ () (&δ, δ), se verific que f ()E ε (l) (l&ε, l ε), es decir, ls línes guís que comunicn con f () quedn dentro de ls bnds sombreds. Puedes imginr que por muy pequeño que tomemos ε, siempre encontrremos un δ que verifique l definición, es decir, si queremos que f () esté infinitmente próimo l (ε muy pequeño), tendremos que tomr un infinitmente próimo (δ muy pequeño tmbién).

17 Mtemátics de º y º de bchillerto Págin Límite de Funciones O Se supone que en el punto nterior se h comprendido l definición del recudro ( z) correspondiente l límite de un función f () cundo tiende. En este punto vmos modificr ligermente l definición, dejndo clro que el concepto es el mismo. Vemos: º Identificmos el entorno E ε (l) con el número ε. Nótese que si conocemos ε tenemos E ε (l). º Identificmos el entorno E δ () con el número δ. Nótese que si conocemos δ tenemos E δ (). De este modo, l definición del recudro ( z) quedrá: ( zz) lim f l ε >, > si E, entonces f Eε( l) 44 L definición ( zz) tmbién podemos modificrl considerndo lo siguiente: º E (, ) < < º f E ( l) ( l, l ) l < f < l ε ε ε ε ε De este modo l definición ( zz) quedrá: ( zzz) lim f l ε >, > si 44 < 44 <, entonces l ε < f < l ε L definición ( zzz), nuevmente podemos modificrl, l considerr lo siguiente: º < < < < < Es decir, el que esté entre &δ y δ equivle que el vlor bsoluto de & es menor que δ º l ε < f < l ε ε < f l < ε f l < ε De este modo l definición ( zzz) qued: ( zzzz) El que f () esté entre l&ε y lε equivle que el vlor bsoluto de f()&l es menor que ε. lim f l ε >, > si <, entonces f l < ε 44 Est últim definición es l más opertiv pr l resolución de cierto tipo de problems, pero debe entenderse que ( z), ( zz), ( zzz) y ( zzzz) son equivlentes.

18 Mtemátics de º y º de bchillerto Págin Límite de Funciones Ejemplo Se l función f. Pedimos lo siguiente: ) Hllr l imgen de. b) Demuestr que el límite de f () cundo tiende es 8. c) Consider un entorno de centro 8 y rdio ε. Hll el myor entorno de centro tl que podmos segurr que todo de ese entorno tiene su imgen en el entorno de centro 8 y rdio ε. Vemos: 4 4 ) f () R no tiene imgen Df b) Hemos visto que no tiene imgen, pero hor veremos que ocurre en ls proimiddes de este vlor, esto es, donde se proim l función cundo tiende. Según el enuncido, ls imágenes se proimn infinitmente 8 (el límite es 8). lim lim lim ( ) 4 lim ( f )( ) { lim ( 4 4) Es decir : Pr vlores de infinitmente próimos, sus imágenes f () están infinitmente próims 8". c) Se trt de plicr l definición de límite de un función l cso lim f 8. Aplicmos l definición ( zzzz): lim f 8 >, > si <, entonces f 8 < 44 Consideremos ε. Cuál es el vlor de δ? Vemos: ε ε f 8 < < 4 4 < < 4 4 < < 4< 4 99 < 4< 4 < < 9975< < < < 5 5< < 5 < 5 Es decir: f 8 < < 5 Literlmente: L imgen de dist de 8 un cntidd inferior ε sí y sólo sí dist de un cntidd inferior δ 5". Conclusión: Pr ε tenemos que δ 5 Ejemplo 4.- Consideremos l función y los resultdos del ejemplo nterior (ejemplo ). Tomemos un vlor culquier tl que E 5 () y comprobemos que f ( )E (8). Vemos: Tomemos tl que & 5 < < 5, es decir, 9975 < < 5. Por ejemplo Su imgen : f ( ) ( 7 99, 8 ) E ( 8)

19 Mtemátics de º y º de bchillerto Págin Límite de Funciones 5.Propieddes de los límites.- Un vez comprendido el concepto, significdo y l interpretción gráfic del límite de un función en un punto, veremos lguns de ls propieddes más elementles de este concepto: Propiedd.- Se f () un función tl que lim f ( ) l. Consideremos l función g() definid de l form: g f l Pues bien, se verific que lim g lim f l Es decir, el límite de l función g() cundo tiende es Demostrción: Apliquemos l definición l cso lim g pr ver que l cumple: lim g ε >, > si <, entonces g < ε 44 Ahor bien: g < ε g < ε f l < ε (son l mism). Substituyendo: lim g ε >, > si <, entonces f l < ε 44 Hemos mrcdo l segund prte de l definición con (*). Vemos el motivo: Sbemos que lim l (hipótesis de l propiedd). Por tnto, podemos segurr: ε >, > Es l definicion & si <, entonces f l < ε 44 de ese limite Esto signific que lo mrcdo como (*) es cierto. Como lim g ( ) y l prte derech es ciert, l izquierd tmbién lo será. ( ) Conclusión: lim g lim f l como querímos demostrr (c.q.d.) Propiedd.- Si un función f () tiene límite cundo tiende, ese límite es único. lim f l Es decir : Si l l No demostrremos est propiedd. lim f l Propiedd.- Si f () k es un función constnte (función polinómic de grdo ) y es un número rel culquier, entonces su límite cundo tiende es k.

20 Mtemátics de º y º de bchillerto Págin Límite de Funciones Es decir: f R R R es f k k siendo k R constnte f() k lim lim ( ) En efecto: L función f () k nos dice que pr todo vlor que demos, su imgen es k, lo cul será válido pr vlores de que estén infinitmente próimos (incluido ), por lo que podemos decir que pr vlores de infinitmente próimos, sus imágenes están infinitmente próimos k (y que son k). En este cso, por tnto: lim f ( ) k f ( ) Propiedd 4.- Si I () es l función identidd (función que trnsform todo número rel en sí mismo), entonces su límite cundo tiende es. Es decir: I R R R es I I() lim lim En efecto: L imgen de culquier número es el propio, por lo que l imgen de un número del tipo o & será I ( ) o I ( & ) &, es decir, cundo 6, es evidente que I () 6 Propiedd 5.- Si f () es un función polinómic de grdo n y es un número rel culquier, entonces el límite de f () cundo tiende es igul f (). Es decir: f α α α LL αn n con n N lim f lim ( α α α LL αn n ) α α α LL αn n f En efecto: Si f α α α LL α α α α LL α f Es decir, pr vlores de infinitmente próimos, sus imágenes están infinitmente próims f (), siendo est proimción tnt como podmos imginr. Ejemplo Consideremos l función f que vimos en el ejemplo y cuyo límite cundo tiende es igul 8, es decir, lim f 8. Definmos hor l función g f Vmos comprobr eperimentlmente (con clculdor) que lim g Vemos (quede clro que no se trt de un demostrción, sino de un comprobción): ( ) g( 999 ) 4 ( ) ( ) g( ) 4 ( )

21 Mtemátics de º y º de bchillerto Págin 4 Límite de Funciones Lo epresmos de l form: 4 4 [ f ] [ ] lim g lim 8 lim 8 lim Cundo tom vlores infinitmente próimos, ls imágenes de g() están infinitmente próims. Ejemplo 6.- Se l función constnte que trnsform todo número rel en. Queremos hllr el límite de es función cundo tiende 7. Vemos: h es l función constnte lim h lim 7 7 En este cso se verific que: lim h h 7 7 Ejemplo 7.- Se l función identidd I (). Queremos hllr el límite de dich función cundo tiende &. Vemos: lim I lim Es decir, pr vlores de infinitmente próimos &, sus imágenes están infinitmente próims &" En este cso el límite cundo tiende & coincide con l imgen de &, es decir: lim I I( ) L figur 9 es un representción gráfic de l función identidd en l que resltmos l imgen en & y en l que puede precirse que si tommos vlores pr infinitmente próimos &, sus imágenes tmbién están infinitmente próims &. Apréciese lo siguiente por l simple observción de l figur: lim I lim I lim I Puede observrse que lim I I R

22 Mtemátics de º y º de bchillerto Págin 5 Límite de Funciones Ejemplo 8.- Dd l función polinómic de grdo f 6 4, queremos hllr su límite cundo tiende 5. Vemos: lim f lim ( 6 4) f ( 5 ) Por tnto: Cundo tom vlores infinitmente próimos 5, sus imágenes están infinitmente próims 7 75". Además, pr 5 eiste l imgen y su vlor es Pr dr un ide gráfic proimd de l función f () en un entorno de centro 5, dmos lgunos vlores próimos 5 tnto su derech como su izquierd : 499 f ( 499) f ( 5 ) f ( 5) 7 85 En l figur tenemos un ide (no l gráfic ect) sobre el comportmiento de f () en ls proimiddes de 5. Observ que l gráfic es creciente en el punto 5. 6.Límite de un función sum o rest de otrs dos.- Z Sen f () y g() dos funciones reles de vrible rel. Z Se (f g)() f() g() l función sum de mbs. Z Se un número rel, es decir, ú. lim f l Z Supongmos que lim g k Pues bien: El límite de l función sum es igul l sum de los límites Es decir: El límite de l función (f g)() cundo tiende es igul l sum de los límites de ls funciones f () y g() cundo tiende Mtemáticmente: lim f g lim f lim g l k NOTA: Se puede demostrr est propiedd viendo que verific l definición de límite siguiente lim f g l k ε >, δ > si < δ, entonces f g ( l k) < ε

23 Mtemátics de º y º de bchillerto Págin 6 Límite de Funciones Pr el cso de l rest de funciones será: lim f g lim f lim g l k Ejemplo 9.- f 5 Sen ls funciones y se ú. g Hllemos los límites de ests funciones cundo : lim f lim ( 5 ) 5 5 lim g lim ( ) 4 Construymos l función sum (f g)() : ( f g) f g f g Hllemos el límite de (f g)() cundo : lim ( f g) lim ( ) 4 Observ que lim ( f g) 4 4 lim f lim g Ejemplo.- Se l función h cundo tiende. Vemos: Pr tenemos. Queremos hllr su vlor pr y su límite h R, es decir, no tiene imgen. Vemos que ocurre cundo está infinitmente próim, es decir, cundo ( ) lim h lim lim lim lim lim ( ) ( ) lim lim { lim ( ) lim ( ) 4 y que Obsérvese que hemos descompuesto l función h () en sum de otrs dos cuyos límites cundo tiende es fácil de clculr, es decir: f h f g siendo g con lim f lim g Si está infinitmente próimo, ls imágenes h() están infinitmente próims 4

24 Mtemátics de º y º de bchillerto Págin 7 Límite de Funciones 7.Límite de un función producto de otrs dos.- Sen f () y g() dos funciones reles de vrible rel. Se (f g)() f () g() l función producto de mbs. Se un número rel, es decir, ú. lim f l Supongmos que lim g k Pues bien: El límite de l función producto es igul l producto de los límites Es decir: El límite de l función (f g)() cundo tiende es igul l producto de los límites de ls funciones f () y g() cundo tiende Mtemáticmente: NOTA: Se puede demostrr est propiedd viendo que verific l definición de límite siguiente lim f g l k ε >, δ > si < δ, entonces ( f g) ( l k) < ε lim f g lim f lim g l k Ejemplo.- f Sen ls funciones y el número rel &. g 5 Construymos l función producto (f g)() : 4 ( f g) f g ( ) ( 5) ( f g) 5 5 Hllemos los límites de ls funciones f, g y f g cundo : lim f lim ( ) ( ) ( ) lim g lim ( 5) lim ( f g) lim ( 5 5) ( ) 5 5 ( ) Observ que: lim ( f g) lim f lim g ( ) NOTA: Apréciese que en este cso l función (f g)() es un función polinómic y su límite cundo tiende & coincide con (f g)(& ) &.

25 Mtemátics de º y º de bchillerto Págin 8 Límite de Funciones 8.Límite de un función cociente de otrs dos.- Sen f () y g() dos funciones reles de vrible rel. f f Se g g l función cociente de mbs. Se un número rel, es decir, ú. lim f l Supongmos que lim g k Pues bien: El límite de l función cociente igul l cociente los límites Es decir: f El límite de l función cundo tiende es igul l cociente de los límites g de ls funciones f () y g() cundo tiende Mtemáticmente: lim f lim f f lim g g lim g l k En l epresión nterior puede precirse por qué se eige que el límite del denomindor se distinto de. NOTA: Se puede demostrr est propiedd viendo que verific l definición de límite siguiente lim l l, si, entonces g ε > δ > < δ k g < ε k f f Ejemplo Se l función h. 9 8 Queremos hllr su límite cundo tiende Vemos: L función h() se puede considerr como un cociente de otrs dos (en este cso polinómics). Por tnto: lim h lim lim 4 ( 6 9 ) lim ( 9 8) h Observ que en este cso coincide el límite con el vlor de l función h() en el punto /.

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