Introducción a los métodos lineales en dominio de la frecuencia

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1 Itrouió los métoos lieles e omiio e l freuei Mrio Estévez Báez Arés Mho Grí José M. Estévez Crrer 3 Mteril pulio origilmete e formto html e: lirosiertos:itrouio los_metoos_lieles_e_el_omiio_e_l_freuei. IfoWiki. Ferury :00 CST. Aville t: los_metoos_lieles_e_el_omiio_e_l_freue i&rev Aesse Ferury Aálisis rmóio El álisis rmóio surgió y se esrrolló iiilmete omo u útil herrmiet pr l Físi y l Meteorologí mpliáose luego su utilizió otrs ieis. E esei el álisis rmóio es plile priiplmete los proesos que muestre u omportmieto ílio o perióio. E mtemátis se ie que u fuió e tiempo es periói si pr too vlor e t oe T _ períoo. f t f t T Existe u grupo e relioes que se estlee uo se está e presei e u rmóio simple o puro. Cuo u proeso perióio e períoo T ost solmete e u freuei si vriió e el tiempo se ie que es ese u rmóio puro. El térmio permite omprr os proesos que muestre perioii pr u mismo vlor e períoo. E este so se ie que mos está e su primer rmóio. Los seguos tereros urtos y susiguietes rmóios e u proeso uyo primer rmóio se T orrespoe proesos Dotor e Meii Espeilist e Fisiologí e Seguo Gro Ivestigor Titulr Profesor Cosultte Dotor e Cieis Méis Aémio Titulr AIA Istituto e Eoriologí y Efermees Metólis MINSAP. Lieio e Cieréti-Mtemáti Profesor Auxilir Mestro e Cieis e l Computió Fult e Biologí Uiversi e L H MES. 3 Lieio e Iformáti Istituto Superior e Meii Militr Dr. Luis Díz Soto

2 perióios o períoos orrespoietes /T /3T /4T et. Al primer períoo e u serie se le eomi rmóio fumetl. L expresió x t os π t T se π t T orrespoe l e u rmóio simple y es equivlete l expresió: x t R se f π t T oe f _fse y R _ semimplitu o semielogió. Hy u grupo e relioes etre R f y T que puee ser oservs e ls siguietes expresioes: R t f Freuei T R se f y R os f Muhos feómeos o proesos osiltorios se puee expresr por sums e rmóios simples omo fue mostro e el ápite "Represetió osiero l freuei". U so prtiulr e ests series rmóis lo ostituye ls series e Fourier omo tmié fue señlo teriormete. Teieo e uet que los térmios y oeptos que se está empleo e este ápite y los que sigue gur ítim relió o ooimietos seillos e l físi se exporá otiuió moo e reortorio lguos elemetos er el movimieto rmóio simple que filitrá l ompresió. Movimieto rmóio simple Se efie o este térmio l movimieto e u puto que se mueve por u iruferei y que se proyet sore u iámetro e ést. E l próxim Figur los putos P P0 e l iruferei que tiee su etro e el puto O se mueve e l ireió que muestr ls flehs Al oluir u vuelt omplet l proyeió el puto sore el iámetro "AB" se hrá movio e ireió e A hi B iiilmete y luego regreso ese B hst A. C vuelt e P e l iruferei uo se mueve o veloi u iforme es u movimieto osiltorio o virtorio rmóio simple. El efeto sore el iámetro AB reuer el movimieto que esrie ls iels e muhs máquis.

3 E l iruferei e l próxim Figur oloo el iámetro AB perpeiulrmete l e l figur terior osiero l puto P que se mueve e l ireió e l fleh se puee preisr otros elemetos. L proyeió Q el puto P sore el iámetro AB y el puto O orrespoiete l etro e ls iruferei oform el triágulo OPQ. El lo OP hipoteus que llmremos r orrespoe l rio e ls iruferei. Figur Digrm esriptivo el movimieto rmóio simple. L elogió o esplzmieto e l proyeió el puto P que eomiremos x estrá por el lo OQ el triágulo. El águlo α estrá oformo por los rios OD y OP y por regl e águlos lteros iteros resultrá que: α α. Tomo e uet lo terior se puee llegr ls siguietes expresioes: OQ OP x r ' se α se α x r se α Como se h señlo que el puto P se mueve o movimieto irulr uiforme si su veloi gulr por ui e tiempo se efie o l letr grieg ω el águlo α esrito e el tiempo t será: y si se sustituye α por ωt se tiee que: α ω t x r se ω t

4 Est expresió ostituye u form e l euió el movimieto e P o se el movimieto osiltorio o virtorio rmóio. Sustituyeo ω por [π/tt] etoes π x se t T Ams expresioes result muy importtes. L mplitu máxim o elogió es u e los elemetos que esrie u movimieto rmóio. Los otros so: el períoo y l freuei el movimieto l pulsió que se ietifi omo l veloi gulr el puto ω y l fse que se efie omo el tiempo trsurrio ese el último pso el móvil por el etro e l tryetori moviéose e ireió positiv oveiol. L fse se puee expresr omo u frió e períoo o por u águlo tto gros omo e ries. Figur Extesió e lguos elemetos gráfios er el movimieto rmóio simple. Teorí e los úmeros omplejos Los úmeros omplejos viiero r soluió múltiples prolems que ls mtemátis o hí poio resolver e su mometo: Poteiió e úmeros egtivos. Extrió e ríes e íie pr e úmeros egtivos. Logritmió e expoetes irrioles. Resoluió e euioes si ríes reles.

5 Los úmeros omplejos fuero llmos imgirios por Desrtes quie euió u teorem segú el ul to euió lgéri e gro "" posee "" ríes reles o imgiris. De Moivre estleió l fórmul er e l poteis e u úmero omplejo e form trigoométri. Euler itroujo l ostumre e esigr o l letr i l ui imgiri - y fue Guss quie se ee omo tl l eomiió e "úmeros omplejos" M.Gozález 940. Los úmeros imgirios juto los reles form los úmeros omplejos. U úmero omplejo se puee esriir sí: z oe y so los ompoetes el úmero omplejo. El primer vlor es el ompoete rel y el seguo es el ompoete imgirio. U úmero rel orrespoerí l siguiete expresió: z 0 oe el ompoete imgirio o existe mietrs que u úmero imgirio terí l expresió: z 0 E el so prtiulr e que el úmero omplejo es: z 0 se hl e ui imgiri que Euler sugirió eomir i y que e muhos textos tmié se ostumr eomir " j ". Móulo el úmero omplejo Pr el úmero omplejo z. el móulo que represetremos omo z será igul y se lulrá omo: z Dee presetrse teió l heho e que pr que z se igul 0 y tiee que ser ser 0.

6 Números omplejos opuestos y ojugos So úmeros omplejos opuestos los siguietes: y Cuo solo los seguos ompoetes imgirios result e sigo iferete se ie que los os úmeros omplejos so ojugos:. y Igul y esigul Dos úmeros omplejos z y z so igules uo se umple ls siguietes relioes: ' ' ' ' ' y z z No se reooe pr los úmeros omplejos los oeptos e myor o meor. Sum y rest e úmeros omplejos L sum e los úmeros omplejos... Es igul otro úmero omplejo: L sustrió e úmeros omplejos será:. Multipliió y ivisió e úmeros omplejos. / / / / /

7 Poteis e expoete turl Si z etoes z 3 Cuo el expoete es 0 o es etoes Z 0 y Z 0 Represetió geométri e los úmeros omplejos Pr l represetió e toos los úmeros existetes tes e l priió e los úmeros omplejos st utilizr u simple líe ret. Pr el úmero omplejo se hizo eesrio el empleo e u plo e oores ortogoles rtesis. E tl plo e referei el úmero omplejo z se represet tomo omo sis el vlor rel y omo ore el vlor imgirio. El puto el plo oe overge ms proyeioes ortogoles se eomi fijo el úmero omplejo. U úmero rel tl omo el 5 0 solo terá represetió e el eje e ls siss mietrs que u úmero omplejo o solo ompoete imgirio 0 3 terá su represetió e el eje e ls ores. Por est rzó se h geerlizo el uso el térmio eje rel pr ls siss y e eje imgirio pr ls ores. E l figur 3 se muestr u eje e oores ortogoles que ii l mer e represetr gráfimete l úmero omplejo. El puto P orrespoe l fijo y los vlores y h sio oloos e los ejes orrespoietes. Al uir el puto P fijo o el etro e los ejes ooreos se elimit os triágulos: OPPy OPP que result triágulos retágulos y o los águlos ϕ y ϕ semejtes segú ley e águlos lteros iteros. L hipoteus omú OP represet u vetor o orige e O y su extremo e P. Tomo e uet lo expreso result seillo represetr ulquier úmero omplejo. Ahor ie o es ést l úi mer e represetrlo omo veremos otiuió.

8 Figur 3 Digrm pr l represetió e u úmero omplejo e u plo e oores rtesis. Represetió móulo-rgumetl E l figur terior osiero el águlo ϕ omo positivo por estr e el primer urte o este mismo águlo umeto o ismiuio u úmero etero e irufereis ϕ kπ eomiremos rgumeto el úmero omplejo iho águlo. Cooieo el móulo el vetor OP o ρ e este so el úmero omplejo puee ser expreso omo: ρϕ lo que reie l eomiió e represetió móulo-rgumetl el úmero omplejo. Teieo e uet elemetos seillos e Trigoometrí se puee expresr ls siguietes relioes etre ρ y ϕ: ρ os ϕ ρ se ϕ ρ tϕ ϕ r t Represetió iómi Teieo e uet que l multipliió e u úmero rel por el úmero omplejo será: 0 0 0

9 etoes u úmero imgirio puro se porí expresr omo: Tmié result válio que 0 0 i oe i 0 i. 0 0 y omo 0 y 0 i poemos expresr l úmero omplejo e otr mer: i lo que se ooe omo l form iómio e represetió y os ii que too úmero omplejo es l sum e u úmero rel y otro imgirio puro E l terior expresió es l prte rel y i es l imgiri. Represetió trigoométri Si teemos e uet ls expresioes que fuero mostrs e u ápite Represetió geométri e los úmeros omplejos se puee estleer que: i ρ os ϕ ρ se ϕ i ρ os ϕ i se ϕ o se i ρ osϕ i seϕ que se eomi omo form trigoométri polr o ftoril el úmero omplejo. A los efetos e l Geometrí Alíti los úmeros ρ y ϕ so ls oores polres el puto P represeto e l terior figur Lehm C.H Extrió e ríes Si se tiee u úmero omplejo y u úmero turl si existiese u úmero x y tl que x y se puee eir etoes que x y es l ríz eésim e o se:

10 x y Too úmero omplejo iferete e ero posee ríes eésims iferetes y solmete. Tos ls ríes tiee el mismo móulo que es l ríz eésim ritméti el móulo ρ y el úmero omplejo y sus meores rgumetos so: ϕ / ϕ π /... ϕ π / L expresió ρ os ϕ se ϕ ρ os ϕ π k /... i se ϕ π k / e oe k 0... expres ls ríes e ρϕ. L ríz que orrespoe k 0 ρ osϕ / i seϕ / se eomi vlor priipl e ρ ϕ. Poteis e se rel y expoete omplejo Etre ls poteis e se rel result muy importtes quells uy se es el úmero irriol e y que tos ls poteis puee reuirse este so. Reoremos que el úmero irriol e se efie omo el resulto e: e! E el so e e z oe z x iy se efie e z e xos y i se y Los úmeros e y π importtísimos e mtemátis está ligos por ls siguietes fórmuls fumetles: Si u úmero omplejo es igul **iπ** etoes

11 iπ e Si z kiπ sieo k u úmero etero ulquier teemos que omo os kπ y se kπ 0 etoes e z kπ i z e e kπ y oe result oveiete volver reorr que z es u umero omplejo. Represetió expoeil Teieo e uet que result que i ρosϕ ise ϕ ρ e iϕ i ρosϕ ise ϕ eomiáose ϕ ρe i l represetió expoeil el úmero omplejo.

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