ELEMENTOS DE MATEMÁTICA ACTUARIAL SOBRE PREVISIÓN SOCIAL Y SEGUROS DE VIDA ENFOCADO AL GRADO Y MASTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS

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1 ELEMENTOS DE MATEMÁTICA ACTUARIAL SOBRE PREVISIÓN SOCIAL Y SEGUROS DE VIDA ENFOCADO AL GRADO Y MASTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS Autores: Gregoria Mateos-Aparicio Morales (Directora) Aa Vicete Merio Julio Herádez March Adolfo Caballero Carboell Julio Moreo Lorete Ubicado e el sitio Web: dode se puede ver aplicacioes iteractivas

2 RESUMEN A través de este Proyecto se preseta ua herramieta de carácter iteractivo, que proporcioa coocimietos teórico-prácticos de matemática actuarial aplicados a la Previsió Social y a los Seguros de Vida. La metodología utilizada cosiste e eplicar coceptos fudametales de la matemática actuarial, acompañádolos de aplicacioes prácticas e hojas de cálculo que facilita su compresió y que acerca su apredizaje a situacioes que resulta cotidiaas e el ámbito profesioal. Los casos prácticos que se platea icorpora las bases técicas más actuales, e cocreto las tablas de mortalidad de la població española del bieio , así como las tablas de mortalidad y el tipo de iterés técico que está empleado actualmete las Aseguradoras. Además, se ha ajustado por iterpolació ua tabla de ivalidez por edades para la població española, a partir de datos del Régime Geeral de la Seguridad Social para el periodo Al mismo tiempo, se platea ejemplos prácticos que debe ser resueltos por el alumo y e los que, o obstate, se facilita la solució umérica. La formulació de los ejercicios prácticos e hoja de cálculo permite su etesió a u úmero ifiito de situacioes. E lo que respecta al coteido, e la primera parte se eplica el sigificado de la plaificació actuarial, la importacia del elemeto demográfico y su medició a través de tablas de mortalidad y de ivalidez; e la seguda parte se aborda la ecuació del seguro y su aplicació a las retas actuariales y a los seguros, e tato que e la tercera y última parte se desarrolla la plaificació de u sistema de previsió social a través del método de las proyeccioes. A esto hay que añadir dos aeos, uo co métodos de iterpolació y ajuste de datos procedetes de ua població y otro co los símbolos de comutació propios de las tablas actuariales. PALABRAS CLAVE Mortalidad, ivalidez, supervivecia, demografía, pirámide poblacioal, tabla diámica, práctica aseguradora, métodos de iterpolació y ajuste, método de aproimacioes sucesivas, método de las proyeccioes, símbolos de comutació, sistema de reparto, sistema de capitalizació, fucioes biométricas, retas actuariales, seguros colectivos, Seguridad Social, tasa de depedecia, població pasiva, població activa.

3 INDICE PARTE I. ELEMENTOS BÁSICOS DE LA METODOLOGÍA ACTUARIAL. LA PLANIFICACIÓN ACTUARIAL.. Cocepto... Elemetos y fucioes..3. Etapas de la plaificació.. EL ELEMENTO DEMOGRÁFICO.. Represetació e el tiempo. Stocks y flujos... Aálisis probabilístico de la mortalidad.... Supervivecia y mortalidad.... Probabilidades de vida y muerte sobre ua cabeza...3. Fucioes biométricas: ley de supervivecia...4. Probabilidad de supervivecia y mortalidad referetes a u grupo de dos cabezas. 3. TABLAS DE MORTALIDAD Y SUPERVIVENCIA 3.. Cocepto y tipología. 3.. Tablas de mortalidad de asegurados Métodos de costrucció de ua tabla de mortalidad Ajuste de tablas de mortalidad Ajuste gráfico Ajuste aalítico Determiació práctica de ua tabla de mortalidad. La tabla INE TABLAS UTILIZADAS EN LA PRÁCTICA ASEGURADORA 4.. Tablas para caso de fallecimieto. 4.. Tablas para caso de supervivecia Las tablas PERM/F Elaboració Composició y fucioamieto Comparació etre las tablas PERM/F 000C y las PERM/F 000P y otras de supervivecia Aplicació. 5. TABLAS DE INVALIDEZ 5.. Modelos teóricos de ivalidez. 5.. Metodología aplicada al cálculo de las tasas de etrada e ivalidez. Ajuste de ua tabla por iterpolació. 3

4 PARTE II. RENTAS ACTUARIALES Y SEGUROS 6. ECUACIÓN DEL SEGURO 7. RENTAS ACTUARIALES 7.. Géesis ecoómica del cocepto. 7.. Cálculo de las distitas clases de retas Retas vitalicias Reta postpagable: a Reta prepagable: ä Relació etre las retas vitalicias prepagables y postpagables Retas temporales Retas vitalicias diferidas e periodos, para u idividuo de edad Relació etre las retas diferidas, temporales y vitalicias para u idividuo de edad Valoració actuarial de la reta vitalicia reversible pagadera e tato sobreviva, al meos, ua de las cabezas. 8. OPERACIONES DE SEGURO: LOS SEGUROS DE PERSONAS 8.. Seguro de capital diferido para caso de vida: E 8.. Seguro vida etera: A 8.3. Seguro temporal para caso de muerte: /A 8.4. Seguro vida etera de efecto diferido: /A 8.5. Relació etre el seguro vida etera, el seguro temporal y el seguro diferido Seguro mito: A : 9. APLICACIONES: CASOS PRÁCTICOS 9.. Seguro temporal. 9.. Seguro temporal co ivalidez Seguro vida etera Seguro diferido Reta diferida 9.6. Seguro diferido co cotraseguro de primas. PARTE III. LA PLANIFICACIÓN A TRAVÉS DEL MÉTODO DE LAS PROYECCIONES 0. FUNDAMENTO Y TÉCNICA DE LAS PROYECCIONES 0.. Aálisis de la evolució de la població geeral. 0.. Proyeccioes ecoómico-fiacieras. 0...Descripció geeral de la metodología aplicable. 0...Proyeccioes demográficas y ecoómicas de activos y pasivos del colectivo asegurado Bases técicas de u estudio actuarial. 4

5 0..4.Ejemplo de ua proyecció demográfica de u colectivo cerrado de idividuos e edad de trabajar, siguiedo la distribució por edades de la població española de 004 (INE-004). ANEXOS I. MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN Y AJUSTE II. SÍMBOLOS DE CONMUTACIÓN BIBLIOGRAFIA 5

6 PARTE I. ELEMENTOS BÁSICOS DE LA METODOLOGÍA ACTUARIAL. LA PLANIFICACIÓN ACTUARIAL... Cocepto. Es el istrumeto que permite vigilar la solvecia de los sistemas de Previsió Social y de los Seguros e geeral, ua vez determiadas las codicioes e las que se va a verificar el equilibrio fiaciero. Por ello, u primer objetivo detro de la plaificació actuarial es determiar la cuota o prima que verifique el equilibrio que, ecesariamete ha de eistir, etre recursos y gastos. Cualquiera que sea el sistema fiaciero utilizado, toda determiació del tipo o cuota (que represeta el precio) implica u reparto tato e la Seguridad Social como e el seguro privado. U reparto es u cociete cuyo umerador represeta el valor de las obligacioes o prestacioes previstas y el deomiador el valor de los recursos, que puede estar e fució de los salarios o ser iguales para todos los asegurados. El cociete, coste del sistema, es el tipo de cotizació, cuota o prima: valor de las prestacioes tipo de cotizacio (.) valor de los salarios valor de las prestacioes Cuota (.) umero de cotizates o asegurados La forma e que se calcula el valor de las prestacioes es lo que difiere de uo a otro de los sistemas fiacieros utilizados, así como el horizote temporal al que está referido el equilibrio. Así, e u sistema de previsió social, teemos tres posibilidades: E el sistema de reparto aual: El Valor de las prestacioes = Número de asegurados por cuatía de la pesió media. E el sistema de capitales de cobertura: El Valor de las prestacioes = Valor Actual Actuarial (VAA) de las uevas pesioes E el sistema de capitalizació: El Valor de las prestacioes = VAA de las prestacioes totales Es decir, toda plaificació actuarial tiee como primer objetivo determiar la cuota o prima (epresada e %), que aplicada a la base determia los recursos. Dichos recursos, juto a los redimietos fiacieros de las reservas (si los hay), debe cubrir las prestacioes previstas durate el tiempo fijado para la duració del equilibrio. De este secillo plateamieto se deduce la eorme trascedecia que tiee la dimesió del tiempo e toda plaificació actuarial. 6

7 Por lo tato, la ecuació de equilibrio debe icorporar tato la dimesió temporal como las reservas o fodos del sistema: Tipo de cotizacio = VAA de las prestacioes - Reservas o Fodos Valor actual de los salarios Por otra parte, ua buea plaificació e u sistema de reparto eige comprobar el grado de coicidecia etre los valores previstos y los reales, empleado proyeccioes y efectuado u balace actuarial. Paralelamete, ua plaificació eficaz e capitalizació colectiva o idividual supoe verificar que la cuatía de las reservas o provisioes sea suficiete para: Pagar las pesioes hasta su etició y sus pesioes derivadas Etregar el rescate de los activos E este caso, siempre debe verificarse la siguiete ecuació: VA de las cotizacioes del colectivo iicial + VA de las cotizacioes de los futuros asegurados + Reservas e el mometo iicial = VA de las obligacioes del colectivo iicial (jubilació, ivalidez y/o supervivecia) + VA de las obligacioes del colectivo de los futuros asegurados (jubilació, ivalidez y/o supervivecia). Como se ve el tiempo es ua variable trascedetal... Elemetos y fucioes. E la determiació del VAA de las prestacioes y del VA de los salarios iterviee los siguietes elemetos y fucioes: Elemetos demográficos: el ceso de partida o iformació de los asegurados. Elemetos biométricos: la probabilidad de ocurrecia del hecho objeto del seguro, como el fallecimieto, la jubilació o la ivalidez. Elemetos fiacieros: el tipo de iterés técico i. Elemetos ecoómicos: los salarios y las cuatías de las prestacioes, así los como capitales asegurados. Fucioes biométricas: las probabilidades de trasició, P t, calculadas e fució de las distitas probabilidades idepedietes. Fucioes fiacieras: los factores de descueto v y v y los de capitalizació (+i) y (+i). Fucioes fiacieras y actuariales: E = v. p Fució de retas fiacieras: a :i Fució de retas actuariales: a y a :.3. Etapas de la plaificació. U proceso completo de plaificació debe icorporar las siguietes etapas: 7

8 ) Plaificació a corto plazo cuyo objetivo es determiar la cuota o prima que establece el equilibrio fiaciero sobre la base del sistema fiaciero y método de evaluació aceptado. Se materializa e u documeto que se cooce co el ombre de ota técica y costa, etre otros, de los siguietes apartados: Objeto de la ota Descripció de los riesgos y prestacioes Colectivo cubierto y su evolució Hipótesis de trabajo (que coforma la base técica) Sistema fiaciero y método de evaluació Política de iversioes Estimacioes demográficas Valoracioes actuariales sobre cargas pasivas (actuales y futuras), derechos e formació (si los hay) y bases de cotizació y salarios (que icide tato e el cálculo de los igresos como e el de las prestacioes) Tipos de cotizació ecesarios para coseguir el equilibrio fiaciero Presupuestos auales y pluriauales Aálisis de flujos moetarios y sus previsioes: presupuestos de tesorería ) Plaificació a medio plazo. Es complemetaria co la aterior, utilizado técicas tales como: Aálisis de sesibilidad. Métodos de simulació Árboles de decisió Balaces actuariales Lo que implica realizar: * Ua previsió iicial. * Ua seguda fase de seguimieto a través de idicadores de cotrol. * U aálisis de desviacioes y correccioes e su caso. 3) Plaificació a largo plazo. Su objetivo es el mismo de las etapas ateriores: evaluació de cargas y provisioes a largo plazo. evaluació de salarios diseño de la fiaciació: sistema fiaciero y método de evaluació tipo de cotizació ecesario para el equilibrio fiaciero. A largo plazo se suele utilizar distitas técicas basadas e: * Modelos ecoométricos. 8

9 * Modelos actuariales, etre los más coocidos os referiremos al de las proyeccioes. * Modelos mitos. Así como la realizació de la ota técica resulta iherete a todo seguro y sistema de previsió social, o siempre se efectúa ua adecuada plaificació a medio y largo plazo. Si embargo, la evaluació actuarial a lo largo del tiempo resulta crucial para coseguir ua gestió fiaciera eficaz. Tambié hay que decir que la técica de evaluació a implemetar (balace actuarial, proyecció, etc.) será diferete segú el régime fiaciero elegido (reparto, capitalició, etc.).. EL ELEMENTO DEMOGRÁFICO La demografía es la rama de la ciecia que tiee como objeto el estudio de la població, su volume, composició, estructura, etc. La metodología del aálisis demográfico tiee dos aspectos: el cuatitativo, que mide tato el estado de la població y sus características, como su movimieto (los acimietos, defucioes y migracioes) y el aspecto cualitativo, referido a las políticas demográficas, saitarias, de previsió social, etc. La palabra demografía apareció, por primera vez, e la obra de Achille Guillard titulada Élémets de statistique humaie o démographie comparée e 855. No obstate, las bases técicas parte del siglo XVII, fudametalmete co los trabajos del astróomo Edmud Halley y de otros cietíficos que sitiero la ecesidad de eplicar los feómeos de la població a través de las matemáticas y la estadística, reduciedo la realidad a elemetos cuatificables. La evolució de la població costituye desde hace muchos años ua preocupació de los Estados. Ya e el siglo XVIII, la teoría mercatilista cetra e el crecimieto de la població la base para lograr ua mayor reta y bieestar geeral. Adam Smith parte de la armoía atural etre ecoomía y demografía, haciedo depeder el tamaño de ua població tato de su mao de obra como de la productividad de la tierra. Thomas Maltus defedía la ecesidad de poer freo al crecimieto de la població ya que, e otro caso, esta crecería e progresió geométrica mietras que los medios de subsistecia lo hace e progresió aritmética. Para Mar, cada modo histórico de producció tiee su propia ley de població. Los procesos demográficos determia la estructura de ua població y su evolució y está referidos a los acimietos, defucioes y migracioes. Estos procesos está codicioados e parte por feómeos sociales, culturales, ecoómicos, políticos, religiosos, saitarios, etc. Por tato, la demografía estudia las características y evolució de u colectivo bajo determiados supuestos sociales. Se etiede por colectivo u cojuto de elemetos que posee, al meos, ua característica comú. Segú esto, para poder hablar de colectivo será imprescidible que eista cierta homogeeidad etre sus elemetos, al meos e toro a esa característica comú a que se ha aludido. E uestro caso, el estudio se limitará al tratamieto de colectivos humaos, esto es, 9

10 de grupos de idividuos sobre los que se costruya las hipótesis y se verifique las distitas fases del proceso estadístico. Además, de todas las posibles subdivisioes que sobre tales colectivos puede efectuarse, e fució de la característica buscada como elemeto diferecial, e pricipio sólo se cosiderará ua, la que respode a u criterio de "vida". Esto es, el objetivo pricipal va a ser tratar colectivos humaos atediedo al hecho de que sus compoetes viva o o e u determiado mometo. Podemos tambié pregutaros si uestro estudio se realiza tomado como variable el tiempo o al marge de éste; e otros térmios, si se realiza u plateamieto estático o diámico. Ates de ada, debemos decir que se puede cosiderar la variable tiempo e ua doble acepció: a) Como tiempo "físico". Es decir, como soporte de la eistecia; así se habla de ua fecha determiada, de u istate cocreto, etc. b) Como tiempo "biométrico". Esto es, como "medida de vida" de los elemetos itegrados e el colectivo. Por supuesto que esa "medida de vida" es la edad. Lo que se ha llamado tiempo biométrico, la edad, será el elemeto fudametal e todo lo que sigue; efectivamete, será ésta la característica diferecial para los distitos grupos humaos. Es claro que ua edad puede teerla, e cierta fecha, u úmero dado de idividuos pero esa misma edad la habrá alcazado, e u mometo aterior, otro úmero de idividuos y otros la alcazará e u istate futuro. De maera que se tiee que precisar e qué mometo t del tiempo físico se sitúa los idividuos co tiempo biométrico... Represetació e el tiempo. Stocks y flujos. El aálisis demográfico requiere situar los datos e el tiempo. Si el feómeo estudiado tiee comiezo e ua fecha cocreta, por ejemplo el 0 de oviembre de 005, va cumpliedo períodos de duració a lo largo del tiempo. Así, el 0 de oviembre de 006 dicho feómeo cumple u año de duració y cico cuatro años después, discurriedo a lo largo de lo que se deomia su líea de vida hasta que el feómeo desaparece. Si se observa alguos idividuos, cada uo de ellos tiee su líea de vida, que comieza e su fecha de acimieto y termia e la de su fallecimieto, habiedo trascurrido años. Los acidos e u mismo año de caledario se deomia geeració. E geeral se cosidera idividuos de edad todos aquellos que, e u mometo dado, ha cumplido períodos de edad y o ha llegado a cumplir +. Asimismo, e u mismo año de caledario coicidirá persoas de la misma edad perteecietes a dos geeracioes diferetes. Por ejemplo, los acidos e 005 cumplirá año de edad a lo largo del 006, mietras que los acidos e el 004 cumplirá años de edad a lo largo del 006. Pues bie, ambas geeracioes habrá teido año de edad durate algú tiempo del 006. Ua vez situada la vida e relació co el tiempo y la duració, se da paso a la determiació de lo que se deomia magitudes demográficas. Las magitudes demográficas se divide e stocks y flujos, segú esté referidas a u istate del tiempo o a u período, respectivamete. U ejemplo de flujo sería el úmero de acidos vivos e el año 007. U ejemplo de stock sería la població eistete a de eero de

11 Las relacioes etre este tipo de magitudes da lugar a lo que se deomia tasas. Ua tasa es u cociete etre u flujo y u stock, o bie etre dos flujos; por tato, tiee ua dimesió temporal. Las tasas iteta dar ua medida de la frecuecia co la que u determiado feómeo se produce e ua població. La medida será más ajustada cuato más homogéeo sea el stock o flujo del deomiador, detro del cual se produce los sucesos que ocasioa el flujo del umerador. La tasa bruta es el cociete cuyo deomiador es el stock de la població total y cuyo umerador es el flujo total de sucesos. La tasa bruta de u feómeo demográfico es u idicador secillo de la itesidad co la que dicho feómeo se produce pero depede, e gra medida, de la estructura por edad y seo de la població. De ahí la ecesidad de refiar la medició mediate el empleo de tasas específicas que refiere el feómeo a ua edad y/o geeració cocretas. El objetivo de las tasas es doble, por ua parte so descriptivas del feómeo demográfico y por otra se utiliza para determiar probabilidades... Aálisis probabilístico de la mortalidad. A partir de este mometo os situamos ya eclusivamete e el marco de u colectivo humao cuya característica diferecial es la edad; e este colectivo el feómeo causate del riesgo será la muerte. E este setido coviee recordar que la ciecia que estudia la supervivecia de los humaos es la Biometría, valiédose del empleo de modelos estadísticos. Dos so las hipótesis fudametales sobre las que se asieta la teoría de la supervivecia: a) Hipótesis de idepedecia. Dado u grupo demográfico de N cabezas, se supoe que el feómeo de la mortalidad es idepediete, es decir, que o eiste iteracció etre las mismas, o teiédose e cueta la mortalidad por cotagio i la que se deriva de la acció volutaria de cualquiera de ellas sobre las demás. b) Hipótesis de homogeeidad. Los idividuos objeto de estudio forma u grupo homogéeo respecto al feómeo de la mortalidad, que sólo viee determiado por la edad y el seo.... Supervivecia y mortalidad. Mediate estadísticas demográficas adecuadas, el objetivo es seguir la evolució a lo largo del tiempo de u grupo de l 0 persoas acidas simultáeamete. Se trata de determiar cuatos de ellos sobrevive cada año, es decir, cuatos cumple,, 3, 4... w años, siedo w el límite de la vida humaa o edad máima que puede alcazar ua persoa. La observació estadística os permitirá determiar l 0, l, l,... l... l w, úmero de idividuos, o cabezas como suele decirse, que cumple 0,,,..., años de edad, verificádose l w = 0. Sea u colectivo de idividuos que, e u mometo t, tiee eactamete la edad y que deomiaremos l. Los idividuos supervivietes de éstos os permitirá determiar los úmeros l +,... l +,... l w que defiirá ua "tabla de supervivecia" procedete de ua població. El tratamieto probabilístico de l sugiere la coveiecia de cosiderar a esta fució como modelo biométrico, siedo l u elemeto básico para uestro trabajo. Por otra parte, si del colectivo iicial l sobrevive al cabo de u año l + idividuos, será porque se ha producido u úmero determiado de fallecimietos que represetaremos por d, de tal forma que:

12 l = d + l + Esto es, los idividuos co edad o fallece ates de cumplir la edad +, este úmero de fallecimietos es d, o cumple dicha edad, siedo este úmero de supervivietes l +. Aálogamete: l + = d + + l + De modo que, el úmero de idividuos vivos co edad + da orige al úmero de fallecidos co esa edad pero si cumplir la + (esto es d + ) y al úmero de idividuos que cumple la edad + (esto es l + ). Y así sucesivamete podríamos ir estableciedo las relacioes etre los idividuos de cada edad y los supervivietes a la siguiete edad, de tal forma que si se supoe como edad límite para los miembros del colectivo w (lo que equivale a decir que l w = 0) podríamos decir que: E resume, pues, se tiee que: l w- = d w- + l w = d w- d = l - l + d + = l + - l + (.) d +r = l +r - l +r+ d w- = l w- - l w Por supuesto, el feómeo de la mortalidad provoca que el colectivo l se vea sometido a u proceso moótoo de elimiació, ya que: l l + l +... l w- l w Si sumamos ordeadamete e (.), y teiedo e cueta que l w = 0 Es decir: d + d d w- = l h= -- l = d +h h=o Lo que corrobora la afirmació de que se toma el grupo l para aalizarlo hasta su etició. Este resultado, por lo demás, es completamete lógico ya que siedo la muerte el úico riesgo al que se supoe sometido a los idividuos que costituye l, y o admitiedo que se verifique uevas icorporacioes a este grupo a partir del mometo iicial de observació t 0, la suma total de fallecimietos a todas las edades, a partir de la y hasta el límite w, es igual al úmero iicial de idividuos vivos a la edad. E virtud de ello, las tablas de supervivecia, que e setido estricto debe deomiarse tablas de supervivecia y mortalidad, so fudametales para determiar las cosecuecias del riesgo.... Probabilidades de vida y muerte sobre ua cabeza. Supogamos u idividuo de edad perteeciete al colectivo l. Este idividuo puede verse afectado úica y eclusivamete por uo de estos dos sucesos: a) Fallecer ates de cumplir la edad +, etoces forma parte del colectivo d.

13 b) Sobrevivir y cumplir la edad +, etoces forma parte de l +. Puede establecerse uas frecuecias resultates de comparar el úmero de persoas que alcaza la edad +, co el de persoas de edad. Esta frecuecia co respecto al suceso "sobrevivir u año más ua persoa de edad ", se preseta (co referecia a la observació estadística) como el cociete de dividir el úmero de casos favorables l + etre el úmero de casos posibles l. Esto os lleva a iterpretar este cociete como la probabilidad de supervivecia al cabo de u año de ua persoa de edad : + p = l l De forma aáloga se establecería la frecuecia que surge al comparar el úmero de persoas que fallece a la edad, respecto de la frecuecia de los que tiee esa edad: q = d l Llamaremos q a la probabilidad de que u idividuo de edad fallezca y p a la de que sobreviva; co este plateamieto os hallamos, evidetemete, ate u suceso dicotómico, epresado por u esquema biomial o de Berouilli. Luego ambas probabilidades so complemetarias y por cosiguiete: p + q = (.) Aálogamete represetamos por: p = probabilidad de que u idividuo de edad alcace la edad +. /q = probabilidad de que u idividuo de edad fallezca ates de cumplir la edad +, es decir, detro de los años. p l l (.3) + / q = - p = - l l + = l - l l (.4) Es evidete que todo idividuo del colectivo l se verá icluido e ua y sólo ua de estas categorías, de dode: p + / q = (.5) Pero l - l + recoge la diferecia etre los idividuos vivos a la edad y los vivos a la edad +, luego será la suma de los fallecidos e ese período; e efecto: l - l = d + d +...+d = d +h- h= (.6) 3

14 Segú esto, tambié podríamos epresar / q así: q = / h= E defiitiva, / q epresa la relació etre los fallecidos durate los años y los vivos a la edad. Tambié tiee iterés establecer la probabilidad de que u idividuo de edad fallezca e el trascurso del año, esto es, a la edad +-. Represetamos esta probabilidad por - /q y la defiiremos como el cociete etre los fallecidos e ese año, o sea, co la edad +-, pero si haber cumplido la +, y los idividuos vivos a la edad. Es decir: d +- -/q = (.8) l d l +h- (.7) Teiedo e cueta que d +- = l +- - l / q = l - l l = p - p - (.9) A partir de (.8) podríamos llegar a la siguiete epresió de (.7): / q = Lo que permite afirmar que Es claro que para =, d l d h= +h = l d l = d l d d d / q h / q h + +- l q + / q = / q - (.0) -/q = 0 /q = q La epresió (.0) permite afirmar que la probabilidad de fallecer durate los años es igual a la suma de las probabilidades respectivas de fallecer e cada uo de ellos. La epresió (.3) aplicada a otras edades base permite escribir, por ejemplo: 4

15 + p + = l l + +3 p + = l l p + = l l + Es fácil iterpretar estas relacioes. Por ejemplo, p + epresaría la probabilidad de que u idividuo de edad + sobreviviera a la edad ++. A las relacioes de este tipo las deomiaremos "tatos de supervivecia para la edad +". Adviértase que el coocimieto de estos tatos "e post", procede de la iformació estadística de que dispogamos, mietras que el coocimieto de las probabilidades, teiedo e cueta el carácter del modelo que correspode a l, será "e ate". Pues bie, a la vista de lo que atecede podemos epresar p así: l l + = l l +... l l + +- = p p p...p (.) Esto, por otra parte, es lógico, puesto que, e virtud del postulado de idepedecia, adoptado co aterioridad, y habiedo sido cosiderados los tatos como probabilidades referidas a cada año, p podría ser cosiderada como probabilidad de u hecho compuesto; y, siedo los hechos simples estocásticamete idepedietes, esa probabilidad compuesta será igual al producto de las probabilidades de los hechos simples, tal y como poe de maifiesto la epresió (.). De la misma forma que hemos establecido los tatos auales de supervivecia, podemos establecer los tatos auales de mortalidad: Puede advertirse que: q + = tato aual de mortalidad a la edad +. + q + = d l + (.) d + = úmero de fallecidos durate el año +, ó sea co la edad +, pero si alcazar la edad ++. l + = úmero de idividuos vivos co edad +. Esta relació evidecia que el tato aual de mortalidad a la edad +, coocida tambié como "e post", es igual al cociete etre el úmero de fallecidos co edad + y el úmero de vivos a tal edad...3. Fucioes biométricas: ley de supervivecia. Se puede cosiderar u grupo de cabezas acidas simultáeamete como l 0 pruebas de u suceso que preseta dos modalidades diferetes: la cabeza alcaza la edad, acotecimieto 5

16 de probabilidad p 0, o fallece ates de años, acotecimieto de probabilidad q 0 = p 0. El valor medio o valor probable del úmero de cabezas, de etre las l o, que alcaza la edad, se obtedrá por tratarse del problema de pruebas repetidas, multiplicado el úmero de pruebas por la probabilidad correspodiete, es decir, será: l = l 0. p o (.3) El coocimieto de los valores: l 0, l, l,... l w ha permitido calcular las probabilidades de supervivecia y ahora, a partir de la epresió (.3), es posible estimar los valores l, dadas dichas probabilidades. El mismo razoamieto podría haberse efectuado, para u grupo de l persoas, respecto al suceso alcazar la edad +t, acotecimieto de probabilidad t p, o respecto al suceso fallecer ates de t años, cuya probabilidad es /t q. Siedo l el úmero de pruebas o úmero total de persoas del grupo de referecia, la variable aleatoria úmero de persoas de edad que alcaza la edad + t puede tomar los valores 0,,, 3,..., l y su valor probable es, como ates, el producto del úmero de pruebas por la probabilidad, esto es l +t = l. t p = l 0. p 0. t p igualdad de la que se deduce el valor de la probabilidad: t p l l t. p 0 0 o bie t p = l l +t..4. Probabilidades de supervivecia y mortalidad referetes a u grupo de dos cabezas. Puede ocurrir que el feómeo de la supervivecia afecte a dos cabezas y las operacioes de seguro implique a ambas. Previamete a realizar valoracioes hay que defiir las correspodietes probabilidades. E el supuesto de que las probabilidades de vida y muerte de dos cabezas de edades e y sea idepedietes, podemos establecer ahora, basádoos e los pricipios de la probabilidad total y de la probabilidad compuesta, las siguietes probabilidades: a) Probabilidad de que ambas sobreviva al cabo de años: P y = P P y y e particular, para = 6

17 P y = P P y b) Probabilidad de que igua de las dos viva más de años: q y y P P q. q y para = : q y = q. q y c) Probabilidad de que o viva las dos más de años. Este suceso se preseta bajo las siguietes modalidades: I. La cabeza muere ates de los años y sobrevive la y... II. La cabeza y muere ates de los años y sobrevive la... Probabilidad q P y P q y III. Nigua de las dos vive más de años... qy q qy Por tato la probabilidad de que o viva las dos más de años es: q y = q. P y + P. q y + q. q y = ( - P ) P y + P ( - P y ) + ( - P ) ( - P y )= = ( - P ) ( P y + - P y ) + P ( - P y ) = - P + P - P. P y = - P. P y = = - P y A este resultado podía haberse llegado directamete si más que observar que el suceso e cuestió es el cotrario del que ambas viva más de años, co lo cual Cuado = q y = - P y q y = - P y d) La probabilidad de que al cabo de años viva algua de las dos cabezas, es la probabilidad del suceso cotrario al que o viva igua de las dos; por lo tato: y para = P y = - q y = - ( - P ) ( - P y ) = P + P y - P y Py P Py Py 7

18 Esta probabilidad P y tambié puede euciarse como la probabilidad de que al cabo de años viva por lo meos ua de las dos cabezas. e) Probabilidad de que al cabo de años viva solamete ua cualquiera de las dos cabezas. El suceso preseta dos modalidades: Que viva "" y haya muerto "y", cuya probabilidad es: P. q y Que viva "y" y haya muerto "", cuya probabilidad es: P y. q La probabilidad buscada es, pues, es decir: P P. q P. q P - P P P P P P P y y y y y y y P P P P y y y Resulta, pues, que las probabilidades de supervivecia y mortalidad de u grupo de dos cabezas puede ser epresadas e fució de las de ua sola cabeza. 3. TABLAS DE MORTALIDAD Y SUPERVIVENCIA 3.. Cocepto y tipología. La evolució de ua població, que permita ver su volume y estructura por edades a lo largo del tiempo, depede de ua serie de factores etre los que hay que destacar la fecudidad, la mortalidad y los feómeos migratorios. Cuado se proyecta ua població se eige estudiar el comportamieto futuro de esos feómeos, cetrádoos e la mortalidad. El mejor istrumeto para medir este feómeo e ua població es la tabla de mortalidad, que cosiste e la serie croológica que epresa la reducció progresiva de u grupo iicial de idividuos, de la misma edad, por efecto de su fallecimieto. La eistecia de tablas de mortalidad se basa e la Ciecia Actuarial, e cuato que modeliza la ocurrecia de u suceso: e este caso, el fallecimieto de u idividuo de edad. Los estudios de mortalidad, que permite aalizar la evolució futura de ua població mediate la realizació de proyeccioes, está adquiriedo cada vez más importacia. U estudio de este tipo costa de varias etapas. E primer lugar, hay que efectuar ua valoració detallada de la mortalidad eperimetada por la població objeto de aálisis. Al hacerlo hay que prestar especial ateció a la evolució reciete (e los deceios precedetes a la fecha del aálisis). E segudo lugar, se platea ua serie de hipótesis sobre el comportamieto esperado de las variables e el futuro. A cotiuació, se aplica el modelo matemático que mejor se ajuste a los elemetos que cofigura la tabla de mortalidad. Fialmete, se completa la tabla co el resto de los elemetos que la compoe, desagregado por edad y seo. 8

19 Las probabilidades básicas de muerte y supervivecia se calcula, fácilmete, a partir de la ley de mortalidad y de las correspodietes epresioes aalíticas de la fució de supervivecia. El tipo de fució que se elija depede de los datos observados, así como de las hipótesis que se formule. Se pretede ecotrar ua ley uiversal de mortalidad que sea valida para cualquier població, pero eso es prácticamete imposible. Si embargo, para determiadas poblacioes y ciertos tramos de edad, es posible ecotrar el ajuste a algua ley teórica (la más típica es la ley de Makeham). E la práctica, o se cosidera ua úica fució para todas las edades, sio que se busca las fucioes que se adapte a itervalos delimitados oportuamete, como pueda ser el tramo de las edades ifatiles o el de las etremas. Auque geéricamete se habla de tablas de mortalidad, e realidad habría que difereciar etre: Ua tabla de mortalidad, que es ua colecció de valores del úmero de fallecimietos que, a cada edad, se ha verificado etre u grupo de L idividuos co ua edad iicial preestablecida, de ordiario la edad 0. Ua tabla de supervivecia que es la colecció de valores del úmero de supervivietes, a cada edad, etre u grupo de L idividuos de la misma edad. Como es lógico, de ua tabla de supervivecia se obtiee imediatamete ua de mortalidad, ya que el úmero de fallecimietos de persoas de años de edad viee dado a partir de los supervivietes a las edades y +, mediate la diferecia: d = l - l + Co lo cual: d 0 = L - l,, d = l - l,, d = l - l 3,... (3.) Siedo además: L = d 0 + d + d +... Puede obteerse ahora l = L - d 0,, l = l - d,, l 3 = l - d,,... (3.) Igualdades que permite costruir la tabla de supervivecia a partir de la de mortalidad. Ambas clases de tablas se cooce co el ombre de tablas demográficas. E las tablas suele presetarse los valores de q, tato aual de mortalidad, y p, tato aual de supervivecia. Ahora bie, los distitos grupos de persoas observados estadísticamete para obteer las frecuecias d /l ha de ser evidetemete homogéeos, es decir, de las mismas características respecto a ua serie de causas que ifluye e la mortalidad: a) Las estadísticas demográficas ha puesto de maifiesto que la mortalidad varía co el seo, lo cual ha coducido al establecimieto de tablas distitas para hombres y para mujeres. b) La profesió y el clima, etre otras, so circustacias que ejerce ifluecia sobre la mortalidad. Si embargo, sobre este puto o hay estadísticas abudates y de garatía. Esto se debe a que las compañías de seguros so casi las úicas etidades que tiee iterés e u estudio profudo de la mortalidad auque, por razó de la composició de su clietela, o tiee para ellas gra importacia la cuestió de la profesió y el clima. E 9

20 efecto, la profesió puede variar e el trascurso del cotrato de seguro. E cuato al clima, la compañía iicia sus operacioes e su propio país y, evetualmete, las etiede luego a otros países co aálogas codicioes de vida; lo que hace iecesario la utilizació de tablas diferetes. E cosecuecia, la solució implemetada por las aseguradoras cosiste e isertar cláusulas restrictivas e el cotrato, ecluyedo profesioes particularmete peligrosas y climas reputados uiversalmete de malsaos. Por otro lado, las tablas de mortalidad resulta ua herramieta esecial para dos tipos de ivestigadores. E primer lugar para los actuarios, que las utiliza e el ejercicio de su profesió, ya sea e el cálculo de primas y provisioes matemáticas e los seguros de vida, e la cofecció de bases técicas, e los plaes y fodos de pesioes y e geeral e todos los estudios sobre previsió social. E segudo lugar, para los demógrafos, quiees las emplea para coocer la estructura de ua població e u mometo dado, para comparar uas poblacioes co otras o para efectuar proyeccioes. Asimismo, la elaboració de tablas de mortalidad compete a distitas istitucioes. Etre otros: orgaismos públicos (el INE, e el caso español, la ONU, a ivel iteracioal), compañías de seguros y reaseguros, Uiversidades y colegios profesioales (Istituto de Actuarios Españoles, e uestro país). Las tablas de mortalidad se puede clasificar atediedo a diferetes criterios. Etre otros: a) De geeració o de mometo. Ua tabla de mortalidad de geeració surge a partir del aálisis logitudial de ua geeració cocreta. Se parte del volume de persoas que compoe iicialmete la cohorte, registrado los fallecimietos que se va produciedo y la edad a la que tiee lugar, hasta su etició. Esto supoe teer que esperar más de u siglo para su elaboració. Sólo alguos países como Fracia, Suecia o Iglaterra y Gales dispoe de este tipo de tablas. Las tablas de mometo so ua aplicació del aálisis trasversal al estudio de la mortalidad. El procedimieto cosiste e observar los fallecimietos de ua població producidos a lo largo de varios años ( ó 4 geeralmete) y aplicar, las probabilidades de muerte resultates, a ua geeració ficticia. Esta geeració tedría, a cada edad, el comportamieto observado e la població real de partida que, o obstate, está formada por u gra úmero de cohortes. Las tablas de mometo so las más utilizadas ya que, por u lado, o requiere tato tiempo para su elaboració como las logitudiales y, por otro, icorpora iformació actualizada sobre las codicioes de mortalidad de cualquier edad. b) Directa o derivada. La diferecia etre ua y otra estriba e el tipo de herramietas estadísticas utilizadas e la elaboració de la tabla. E el primer caso se efectúa u empleo directo de los datos que se ha recogido y ordeado, a través de la estadística descriptiva. E el segudo caso se emplea, además, técicas estadísticas sofisticadas como ajuste de curvas, regresioes, modelos de supervivecia, etc. c) Abierta o cerrada. Ua tabla de mortalidad abierta permite que se icorpore idividuos al grupo iicial; o así e caso de ser cerrada. 0

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