EXISTENCIA DE UNA FUNCIÓN NO LINEAL, CONTINUA Y BIYECTIVA EN l CON INVERSA DISCONTINUA EN TODO PUNTO

Transcripción

1 EXISTECIA DE UA FUCIÓ O LIEAL, COTIUA Y BIYECTIVA E l CO IVERSA DISCOTIUA E TODO PUTO Jorge E Herádez U, Temístocles Zeballos M Uversdad de Paamá, Cetro Regoal Uverstaro de Veraguas, Departameto de Matemátca emal: edthleco@gmalcom Uversdad de Paamá, Cetro Regoal Uverstaro de Azuero, Departameto de Matemátca emal: temzeballos@gmalcom RESUME E el presete trabajo se utlza la fucó de Mazur para probar la esteca de ua fucó o leal bectva cotua de l sobre u subcojuto de l cua versa es dscotua e todo puto També se preseta u ejemplo, relatvamete secllo, e el caso leal PALABRAS CLAVES Espaco de Hlbert l, beccó cotua co versa dscotua ABSTRACT I ths paper the Mazur fucto s used to prove the estece of a olear bjectve ad cotuous fucto from l o a subset of l whose verse s dscotuous at ever pot Also a rather smple eample s show the lear case KEYWORDS Hlbert space l, cotuous bjecto wth dscotuous verse Tecoceca, Vol 5, 93

2 ITRODUCCIÓ Los espacos de Hlbert so de vtal mportaca e el aálss modero, e este trabajo vamos a lmtar uestra atecó al espaco de Hlbert l (Ste & Shakarch, 005) al espaco de Baach l (Re & Yougso, 008) Como l l, podemos aplcar a l la topología de l Cosderamos la fucó G F : l l l mostramos que G es ua beccó cotua o leal; s embargo F es dscotua e todo puto de l EJEMPLO E EL CASO LIEAL A cotuacó presetamos u ejemplo de ua fucó leal cotua bectva cua versa es dscotua e todo puto Ejemplo: Sea Como f : l l la fucó defda por f f f f f f f f 94 Herádez U, J E Zeballos M, T

3 se tee que f es ua fucó leal ote que f l : l : Y otacó: Para cada,, l deotemos,,,,0,0, 0,,0,,, Probemos que Y es deso e defamos l E efecto, sea l,,,,0,0, z,,,,0,0, l Como Y para todo f z, se tee que Por otro lado, 0 Por lo tato, la sucesó decr, Y es deso e l coverge a e l Y l ; es,, l se tee que Para cada,, f Tecoceca, Vol 5, 95

4 Esto mplca que f es u operador leal acotado (Maccluer, 009) f Así pues, f es cotua e l Es claro que f : l Y es bectva su versa está defda por f : Y l,, 3,,,3 3, f Cosderemos la sucesó ortoormal e, e, de l, etoces como se tee que e de dode Por lo tato, 0,0,,0,,0, 0,0,,0,,0, f e f e ésma poscó Y para todo Además f 009) Esto mplca que f e e ésma poscó f e f sup f sup f e es u operador leal o acotado (Ama & Escher, f es dscotua e todo puto Y Observacó: Recordemos que ducda por la orma l es deso e l bajo la topología 96 Herádez U, J E Zeballos M, T

5 EJEMPLO E EL CASO O LIEAL Teorema : Sea G F : l l l La versa de la fucó de Mazur (99) Para todo,, l 0 este 0 tal que s,, l, etoces:, para todo 4 v G G Demostracó: Como tal que,, l, este u úmero atural para Tomemos m, Sea,, l, etoces 4 4 tal que ; por lo tato, para todo se tee que Además, 4 Tecoceca, Vol 5, 97

6 de dode Falmete, como, para, se tee que sg sg G G Por lo tato, sg sg Herádez U, J E Zeballos M, T G G Teorema : Sea G F : l l l la versa de la fucó de Mazur,,, l, 0 Etoces este u 0 tal que s, etoces G G

7 Demostracó: ote que la fucó ƒ: R R ƒ (t ) = sg ( t ) t² es cotua e R Luego, para cada,,, este u 0 tal que: Tomemos Sea sg sg t t t l m,,,,, tal que para todo,,, Por lo tato, Etoces sg sg G G Teorema 3: Sea G F : l l l la versa de la fucó de Mazur Etoces G es cotua e l Demostracó: Sea,, l 0 Por el Teorema, este u úmero 0 tal que l G G, Luego, por el Teorema, este u tal que l G G, Sea m, Luego, s l, ; etoces Tecoceca, Vol 5, 99

8 G G G G G G G G G G Por cosguete, G es cotua e, para todo l Teorema 4: Sea F : l l l la fucó de Mazur (99) Etoces F es dscotua e, para todo l Demostracó: Sea u puto,, l 0 Probemos que este l tal que F F E efecto, sea co ote que la fucó g : R R g ( t )= - lm g t g 0 es cotua e R Luego, Por lo tato, este u 0 Como t0 tal que,, l, se tee que este u tal que Defamos la sucesó,, g t sempre que t, sempre que por ; lo que mplca que sg, s, e los otros casos 00 Herádez U, J E Zeballos M, T

9 Como,, l,, sólo dfere e ua catdad fta de térmos, se tee que ote que sg sg sg sgt t sg t l para todo tr Por lo tato, para todo Además, sg de dode Falmete, sg sg F F sg, sg, sg, sg, sg 4 4 g, a que de dode, F F De todo lo ateror se deduce que F es dscotua e, para todo l Tecoceca, Vol 5, 0

10 Como cosecueca de los resultados aterores, se tee el sguete corolaro Corolaro : Sea G F : l l l Etoces G es ua beccó cotua G F es dscotua e todo puto l REFERECIAS Ama, H & J Escher 009 Aalss III Frst Edto Brkhäuser Verlag AG, Basel Maccluer, BD 009 Elemetar Fuctoal Aalss Frst Edto Sprger-Verlag, ew York Mazur, S 99 Ue Remarque sur L homèomorphe des Champs Foctoels, Studa Math,, Re, BP & MA Yougso 008 Lear Fuctoal Aalss Secod Edto Sprger-Verlag, Lodo Ste, EM & R Shakarch 005 Real Aalss Measure Theor, Itegrato, & Hlbert Spaces Frst Edto Prceto Uverst Press, ew Jerse Recbdo juo de 0, aceptado abrl de 03 0 Herádez U, J E Zeballos M, T