Aprendemos los números decimales: nos vamos de compras

Transcripción

1 Aprendemos los números decimales: nos vamos de compras 1. Secuencias curriculares correspondientes Área: Matemática SC. 7: Los números decimales Temporalización: 4 sesiones de 45 minutos. 1

2 Recuerda Un número decimal, por definición, es la expresión de un número no entero, que tiene una parte decimal. Es decir, que cada número decimal tiene una parte entera y una parte decimal que va separada por una coma, y son una manera particular de escribir las fracciones como resultado de un cociente inexacto. Debe tenerse en cuenta la posición de la coma. Un número decimal admite una escritura formal (llamada la representación decimal) con base en series infinitas de fracciones decimales. Las fracciones decimales suelen expresarse sin denominador, con uso del separador decimal, es decir, como número decimal exacto. Los números decimales se leen como si fueran enteros, pero luego se les da el nombre de la última cifra decimal según la posición que tenga en la serie. Un número decimal no se altera escribiendo o suprimiendo ceros en su derecha, porque la parte entera es la misma. Para leer un número decimal se enuncia primero la parte entera, seguida de las palabras unidades o enteros; después se lee la parte decimal como si fuera un número entero, expresando el orden decimal que corresponde a la última cifra. 2

3 Situación de Aprendizaje En el horario de la merienda, Juan José y su hermana deben compartir el dinero que les han dado en su casa para comprarse una merienda. El docente de Matemática ve que están poniéndose de acuerdo porque son 85 pesos y no saben cómo dividirlos de manera que les corresponda a cada uno la misma cantidad. Cuando hace preguntas a otros estudiantes, se da cuenta que necesitan profundizar en el conocimiento de los números decimales. Cuánto le corresponde a cada uno para que el dinero esté dividido a partes iguales? Con el propósito de instruir a los y las estudiantes sobre el concepto y la representación de estos, así como la aplicación práctica de su uso, se diseña esta Unidad de Aprendizaje. Competencias fundamentales Competencia Comunicativa. Competencia Ética y Ciudadana. Competencia Científica y Tecnológica. Competencia de Resolución de Problemas. Competencia de Desarrollo Personal y Espiritual. Competencia Pensamiento Lógico, Creativo y Crítico. 3

4 Competencias específicas Contenidos Indicadores de logro Materiales necesarios para las actividades Matemática Matemática Matemática Matemática Lee, escribe y representa los números decimales en diversos contextos. Utiliza los números decimales en situaciones de la cotidianidad. Selecciona y justifica el método de computación más apropiado y las herramientas utilizadas (cálculo mental, estimación, herramientas tecnológicas, lápiz y papel) al operar con decimales. Describe ideas y procesos de razonamiento de forma oral y escrita utilizando los números decimales valorando las decisiones de sus compañeros. Resuelve y plantea problemas utilizando decimales en los contextos escolar, comunitario y nacional, documentando el procedimiento utilizado registrándolo en forma estructurada y comprensible. Utiliza diferentes representaciones para mostrar números decimales. Conceptuales Números decimales. Concepto. Valor de posición: La diezmilésima y la cienmilésima. Redondeo. Comparación y orden de números decimales. Procedimentales Lectura, escritura y representación de números decimales. Utilización de los números decimales en problemas de la vida cotidiana. Localización de los números decimales en la recta numérica. Comparación de números decimales utilizando los símbolos <, =, >. Identificación de patrones numéricos en los números decimales. Actitudinales Disfrute del trabajo en matemática. Interés por crear y utilizar representaciones concretas, gráficas y simbólicas sobre sus ideas de los números decimales y fracciones. Rigor en los procesos seguidos al resolver problemas que impliquen números decimales. Perseverancia en el trabajo en Matemática. Valoración de los beneficios que aporta el compartir con mis compañeros el trabajo con los números decimales. Interés al comunicar ideas matemáticas de forma clara y coherente que involucren números decimales. Identifica el valor posicional de los dígitos que conforman un número decimal con una expansión de cien milésimas. Comprende y utiliza números decimales. Identifica situaciones que pueden representarse con números decimales. Lee y escribe números decimales. Relaciona el nombre, el número y la cantidad que representa utilizando diferentes modelos y representaciones de los números decimales. Redondea o aproxima números decimales. Compara números decimales utilizando signos =, < o >. Para desarrollar el proyecto, el docente debe tener: Cuaderno de trabajo. Hojas de papel. Lápiz. 4

5 Estrategias de Enseñanza y Aprendizaje Aprendizaje colaborativo Resolución de problemas Aprendizaje basado en problemas Aprendizaje autónomo Reflexiones orales sobre el tema Recursos didácticos digitales Actividad 1. Los números decimales Actividad 2. Representación gráfica de los números decimales 5

6 2. 00:90 Secuencia didáctica Actividad 1: Inicio Organizamos el torneo de béisbol Aprendizaje colaborativo Resolución de problemas Aprendizaje autónomo Aprendizaje basado en problemas El docente recuperará conocimientos previos haciendo preguntas a los estudiantes tales como: Qué entienden ustedes por números enteros? Cómo escribirían el número que representa la mitad de uno? Conocen varias formas de escribirlo? Luego, escribirá varios números en la pizarra para citarles el ejemplo y pasará a expresar el concepto de los números decimales. Les explicará que cada número decimal tiene una parte entera y una parte decimal que va separada por una coma, y son una manera particular de escribir las fracciones como resultado de un cociente inexacto. Mencionará que en otros países se usa un punto para separar el número entero de la parte decimal. Es importante que explique que debe tenerse en cuenta la posición de la coma. Un número decimal admite una escritura formal (llamada la representación decimal) con base en series infinitas de fracciones decimales. El docente puede recordar a las y los estudiantes que los números decimales son una manera de anotar las fracciones con denominador 10, 100, 1.000, etc. Utilizará el contenido del anexo 1 para ilustrar la explicación, dibujando algunos de los gráficos en la pizarra. Definirá los conceptos de: centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas, milésimas, aclarando que se corresponden con la posición de los números después de la coma. Décima Centésima Milésima Diezmilésima Cienmilésima Millonésima Realizará la ejemplificación de la teoría de acuerdo con el contenido del anexo 1, copiando en la pizarra el gráfico y pidiendo que copien la explicación siguiente: La unidad se representa por 1. 6

7 La décima es la unidad dividida en 10 partes iguales = 1/10 = 0.1. La centésima es la unidad dividida en 100 partes iguales = 1/100 = La milésima es la unidad dividida en 1,000 partes iguales = 1/1,000 = Propiciará la participación oral de los estudiantes para que expresen sus dudas. Orientará la realización de los ejercicios que aparecen en el anexo 2. Orientaciones para la o el docente Se auxiliará del recurso digital en la preparación de la clase. Debe imprimir previamente los anexos 1 y 2 para que pueda utilizarlos. Estimule la capacidad analítica de los estudiantes formulando preguntas. Indique que copien en sus cuadernos los dibujos y representaciones que les permitan comprender el tema. 00:90 Actividad 2 Calculamos la distancias en el campo de juego Resolución de problemas Aprendizaje colaborativo Comenzará por recuperar los conocimientos sobre el concepto de los números decimales, haciendo preguntas orales y pidiéndoles que demuestren en la pizarra con un ejemplo. Valiéndose del anexo 3, dibujará una recta numérica en la pizarra y representará varios números decimales, siguiendo las indicaciones del enlace digital y el contenido del anexo. Recuérdeles que en la estructura posicional de la notación decimal cada cifra representa una fracción decimal de la unidad multiplicada por el valor de esa cifra. Explique cómo comparar los números decimales, atendiendo a su valor y copiando en la pizarra los signos correspondientes (=, < o >). Propóngales realizar algunas comparaciones de las que aparecen en el anexo 3, de modo que aprendan a realizarlas. Para que desarrollen el trabajo de forma colaborativa, forme equipos de tres o cuatro estudiantes. Después de realizar y copiar los ejercicios y las respuestas, explique cómo hacer las aproximaciones de los números decimales, guiándose por la explicación que aparece en el anexo 3. Oriente después socializar las respuestas de los ejercicios del anexo 4 en la pizarra, estimule que comenten y expliquen, en la medida en que van realizando los pasos, y pídales que los copien en sus cuadernos. 7

8 Propiciará el intercambio oral entre los estudiantes sobre los resultados con la clase. Compruebe que han aprendido a comparar y aproximar los números decimales, a través de otras preguntas, además de la solución de las actividades. Orientaciones para la o el docente Antes de la clase, debe revisar el enlace digital que se incluye para esta actividad. Además, debe llevar los anexos 3 y 4 impresos para desarrollar la clase. Estimular a los y las estudiantes a realizar los ejercicios. Estimule el análisis y la comprensión. 00:90 Actividad 3: Cierre Elaboramos conclusiones y presentamos el proyecto Resolución de problemas Aprendizaje colaborativo El docente necesita asegurarse de que sus estudiantes comprenden qué significa usar el peso como unidad, y para eso quizá sea conveniente clarificar que las mismas cantidades de dinero se podrían expresar en centavos, usando números enteros. La relación entre el peso y el centavo será la clave para que resuelvan la tarea. Una vez realizada, será importante identificar que la segunda cifra de la notación decimal corresponde a las décimas del peso. Se espera que, a partir de expresar las cantidades de dinero en fracciones, se pueda explicar el valor de cada una de las cifras en la notación decimal. Por ejemplo: Si deben dividir 85 pesos entre dos, como se plantea en la Situación de Aprendizaje: 84 = , para hallar dos partes iguales debemos fraccionar la unidad en dos partes y su expresión sería: 1 = 0,5 + 0,5. Expresado en dinero: RD$82.00 = RD$ RD$ Se comienza el trabajo con números decimales en el contexto del dinero. La idea es que dicho contexto sirva de punto de apoyo para explicar las relaciones de valor entre posiciones contiguas, primero referidas a cantidades de dinero y luego en general. 8

9 A continuación se analizará el valor posicional de las cifras en las escrituras decimales, las equivalencias entre las posiciones contiguas y no contiguas de la escritura decimal. Propiciará que se resuelvan los ejercicios del anexo 5. Para concluir la clase, mencionará otros ejemplos relacionados con el uso de los decimales en la vida práctica, con relación a las unidades de peso, volumen y de longitud. Oriente como tarea que busquen en el periódico o en el supermercado los precios de diferentes productos expresados en números decimales y que comparen, atendiendo al valor, cuáles son más o menos costosos. Orientaciones para la o el docente Motive la participación de las y los estudiantes en la realización del problema práctico, como forma de estimular el trabajo colaborativo y por proyectos. Propicie la aplicación de lo aprendido en la clase. Si es posible, oriente de estudio individual diferentes comparaciones y formule problemas que involucren situaciones del entorno escolar o familiar. Utilice los ejercicios que aparecen en el anexo Si observas, trata de Si observas Que algún o alguna estudiante tiene dificultad para realizar las comparaciones entre los números decimales. Trata De utilizar estrategias motivadoras y de trabajo colaborativo para reforzar el tema. Formule problemas para que sean debatidos y resueltos en equipo. Haga representaciones gráficas de los problemas traduciendo los números en figuras u objetos. 9

10 4. Anexos ANEXO 1 Los números decimales. Ejemplos de la notación. Qué son los números decimales? Los números decimales se utilizan para representar números más pequeños que la unidad. Los números decimales se escriben a la derecha de las unidades separados por una coma. Es decir: centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas y milésimas. En la imagen que aparece a continuación, el primer cuadrado representa la unidad. Si esta unidad la dividimos en 10 partes iguales (segundo cuadrado), representaremos las décimas. Si las décimas las dividimos en 10 partes iguales o la unidad en 100 partes iguales (tercer cuadrado), representaremos las centésimas. Veamos algunos ejemplos: Primer ejemplo: Si la unidad la dividimos en 10 partes iguales, tendremos décimas. Y hemos coloreado 7 de estas partes. La forma de escribirlo es 0 unidades,7 décimas = 0.7. Segundo ejemplo: En el segundo ejemplo también tenemos décimas y tenemos coloreadas 1. Se escribirá de la siguiente forma: 0 unidades, 1 décima = 0.1. Tercer ejemplo: En el tercer ejemplo tenemos representadas centésimas, de las cuales tenemos coloreadas 6 décimas y 4 centésimas. Por lo tanto se escribirá: 0 unidades, 6 décimas y 4 centésimas = 0.64.

11 Cuarto ejemplo: Tenemos centésimas (la unidad entre 100), de las cuales tenemos coloreadas 3 décimas y 5 centésimas. Lo escribiremos: 0 unidades, 3 décimas y 5 centésimas = Quinto ejemplo: Tenemos dos unidades enteras coloreadas y de la tercera unidad, que está dividida en centésimas, tenemos 8 décimas coloreadas y una centésima coloreada. Por lo tanto, se escribirá: 2 unidades, 8 décimas y 1 centésima = 2.81: 2.81 Cuál es la relación de los decimales con las fracciones? La unidad se representa por 1. La décima es la unidad dividida en 10 partes iguales = 1/10 = 0,1 La centésima es la unidad dividida en 100 partes iguales = 1/100 = 0,01 La milésima es la unidad dividida en 1,000 partes iguales = 1/1,000 = 0,001 Ejemplo para pasar de decimal a fracción: 7.508: Nos fijamos en el último número, en el 8, que ocupa el lugar de las milésimas, por lo tanto el denominador tendrá que ser 1,000. Y en el numerador escribiremos el número completo sin la coma = 7508/1,000 Ejemplo para pasar de fracción a decimal: 402/100: Como el denominador es 100, el último número del numerador (el 2), tiene que ser las centésimas, el anterior (el 0) tienen que ser las décimas y el anterior a este (el 4) tiene que ser las unidades, poniendo la coma detrás de las unidades. Por lo tanto, 402/100 =

12 ANEXO 2 Decimales en la recta. Para representar números decimales en la recta numérica debemos, primero, transformalos a fracción y, luego, podremos graficarlos como ya hemos aprendido anteriormente. Veamos los siguientes números decimales: Al leerlos tenemos: 0.3 y = tres décimos, ya que, después de la coma tenemos 1 cifra. Si lo representamos como fracción tenemos: 2,45 = dos enteros y cuarenta y cinco centésimos, ya que, después de la coma tenemos 2 cifras. Como fracción quedaría Foto 23. Si simplificamos la fracción del número mixto quedará: Recuerda que al transformar un decimal a fracción, la cantidad de ceros de la potencia de 10 del denominador será igual al número de cifras que posee el decimal después de la coma. 12

13 Acabamos de representar dos decimales exactos en la recta numérica, pero cómo se grafican aquellos que son inexactos? Para representar decimales inexactos en la recta numérica, primero debemos aprender a transformarlos a fracción. Para transformar decimales inexactos a fracción, debemos hacer lo siguiente: Los números que están después de la coma en el número decimal, serán el numerador de nuestra fracción. Para encontrar el denominador debemos fijarnos en el período y anteperíodo del decimal. El denominador estará compuesto por nueves y ceros: Nos fijaremos primero en el anteperíodo. Si por ejemplo, este tiene dos dígitos, nuestro denominador entonces tendrá dos ceros. Luego debemos fijarnos en el período. Si por ejemplo, este tiene un dígito que se repite infinitamente, entonces nuestro denominador tendrá un 9. Entonces el denominador de nuestra fracción será 900. Veamos los siguientes ejemplos: Ahora que ya sabemos transformar decimales inexactos a fracción, podemos representarlos en la recta numérica sin problema. 13

14 ANEXO 3 Representación gráfica de los decimales en la recta numérica Números decimales: característica especial Se dice que el conjunto de los números decimales es denso, porque siempre se puede encontrar otro decimal ubicado entre dos decimales dados. Ejemplo: Entre los numerales 14 y 15 no hay ningún número natural; en cambio, entre el 0,14 y el 0,15 podemos encontrar el 0,141; y entre el 0,14 y el 0,141 está el 0,1401; y entre el 0,14 y el 0, Son infinitos! Observemos gráficamente nuestro ejemplo: 14

15 En conclusión: mientras más cifras decimales tenga un número, la recta numérica está dividida en más partes que son 10 veces más pequeñas que la recta dividida con la cifra anterior. Comparación de números decimales Para comparar números decimales comenzamos comparando la parte entera: aquel que tenga la parte entera más alta, es el mayor: es mayor que Si ambos tienen igual parte entera, habría que comparar la parte decimal, comenzando por las décimas, luego las centésimas y, por último, las milésimas. Veamos algunos ejemplos: es mayor que (ambos tienen igual parte entera, pero el primero tiene 8 décimas mientras que el segundo tiene 7) es mayor que (ambos tienen igual parte entera y también las mismas décimas, pero el primero tiene 6 centésimas y el segundo tan solo 3) es mayor que (ambos tienen igual parte entera y también las mismas décimas y centésimas, pero el primero tiene 8 milésimas y el segundo tan solo 5). Veamos otros ejemplos: Vamos a comparar un número con parte decimal y otro sin parte decimal: es mayor que 207 (ambos tienen igual parte entera, pero el primero tiene 1 décima mientras que el segundo no tiene ninguna). Vamos a comparar un número con décimas y centésimas y otro solo con décimas: es mayor que 43.2 (ambos tienen igual parte entera y las mismas décimas, pero el primero tiene 8 centésimas mientras que el segundo no tiene ninguna). Vamos a comparar un número con décimas y otro solo con centésimas: 72.1 es mayor que (ambos tienen igual parte entera, pero el primero tiene 1 décima y el segundo ninguna). 15

16 Ejercicios: Para comparar números decimales comenzamos comparando la parte entera: aquel que tenga la parte entera más alta, es el mayor Si ambos tienen igual parte entera, habría que comparar la parte decimal, comenzando por las décimas, luego las centésimas y, por último, las milésimas. Veamos algunos ejemplos: (ambos tienen igual parte entera, pero el primero tiene 8 décimas mientras que el segundo tiene 7) (ambos tienen igual parte entera y también las mismas décimas, pero el primero tiene 6 centésimas y el segundo tan solo 3) (ambos tienen igual parte entera y también las mismas décimas y centésimas, pero el primero tiene 8 milésimas y el segundo tan solo 5). Veamos otros ejemplos: Vamos a comparar un número con parte decimal y otro sin parte decimal: (ambos tienen igual parte entera, pero el primero tiene 1 décima mientras que el segundo no tiene ninguna). Vamos a comparar un número con décimas y centésimas y otro sólo con décimas: (ambos tienen igual parte entera y las mismas décimas, pero el primero tiene 8 centésimas mientras que el segundo no tiene ninguna). Vamos a comparar un número con décimas y otro solo con centésimas: (ambos tienen igual parte entera, pero el primero tiene 1 décima y el segundo ninguna). 16

17 Aproximación de decimales En muchos casos es necesario trabajar con números decimales que tengan pocas cifras en la parte decimal, esto se logra revisando la última cifra decimal para eliminarla. Para ello existen algunas normas, que son: Si el número decimal es menor que 5 se mantiene la penúltima cifra decimal. Si es mayor o igual que 5 se aumenta en 1 la penúltima cifra. La cantidad de cifras decimales que se eliminan dependerá de la situación del ejercicio. Por ejemplo, para colocar notas se trabaja hasta las décimas, por lo tanto, habrá que aproximar las centésimas. Analicemos juntos: Andrés tuvo un promedio general de 5,38. En este caso, se aproxima a 5.4 porque la centésima es 8 y 8 > 5. Pepa tuvo un promedio general de 6,24. En este caso, se aproxima a 6.2 porque la centésima es 4 y 4 < 5. 17

18 ANEXO 4 Orden de los números decimales. Ejercicios. Orden de números decimales Como todo sistema numérico, los números decimales forman un conjunto ordenado, por lo que se pueden establecer relaciones de orden entre ellos. A continuación, queremos que conozcas estas relaciones, que son: 1. Es mayor el número decimal que tiene más en su parte entera. Analicemos los siguientes numerales: a) b) c) d) El numeral d) es el mayor, tiene 129 enteros; luego sigue el b), que tiene 42 enteros; después el a), que tiene 3 y, finalmente, el c), que no tiene enteros. Entonces, ordenados de mayor a menor quedan: > > > Si los enteros son iguales, o ninguno tiene enteros, conviene igualar la cantidad de cifras en la parte decimal mediante ceros. Será mayor el que tiene más en la parte decimal. Por ejemplo: Igualando resulta: ; ; ; ; Ordenados de mayor a menor quedan así: 4.92 > 4.3 > 4.26 > 4.1 >

19 Si no igualamos las cifras de la parte decimal, habiendo la misma cantidad de enteros o sin ellos, tendremos que ir comparando los décimos, siendo mayor el que tiene más décimos; si los décimos son iguales, habrá que comparar los centésimos, y así sucesivamente. Por ejemplo: Tienen iguales enteros y décimos ; ; ; ; El mayor es 0.068, porque tiene la cifra mayor, 6, en los centésimos; le sigue el 0.042, luego el Nos quedan dos numerales con centésimo 0; de éstos es mayor el , porque tiene la cifra 2 en los milésimos y queda último el : > > > > También podemos determinar equivalencia entre números decimales. Observa estos ejemplos: a) 0.34 es equivalente a b) 68 es equivalente a Los ceros colocados al final de la parte decimal no cambian el valor del número. Nos fijaremos primero en el anteperíodo. Si por ejemplo, este tiene dos dígitos, nuestro denominador entonces tendrá dos ceros. Luego, debemos fijarnos en el período. Si por ejemplo, este tiene un dígito que se repite infinitamente, entonces nuestro denominador tendrá un 9. Entonces el denominador de nuestra fracción será 900. Veamos los siguientes ejemplos: Ahora que ya sabemos transformar decimales inexactos a fracción, podemos representarlos en la recta numérica sin problema. 19

20 ANEXO 4 Ejercicios 1.- Escribe, usando fracciones y considerando el peso (RD$) como unidad, las siguientes cantidades de dinero, expresadas en decimales. Notación decimal Notación en moneda 0.50 RD$0.50 (cincuenta centavos) Cuánto dinero (en RD$) hay en 10 monedas de 10 centavos? Y en 10 monedas de 1 centavo? Y en 100 monedas de 1 centavo? Y en 100 monedas de 10 centavos? 3.- Cuántos centímetros tiene una tira de medio metro? Recuerda que medio metro se escribe también 0.5 metro. 4.- A cuántos centímetros equivale una longitud de 0.05 metros? Y una de 0.55 metros? 5.- Qué parte de un metro son 40 centímetros? 6. - Completa usando números decimales: a) 40 cm =... m b) Qué parte de un metro son 123 cm? c) 123 cm = m 7.- Resuelve el siguiente problema: En un supermercado venden bolsas con diferentes frutas. La bolsa A dice: peso 3,3 kilogramos. La bolsa B dice: peso 3,25 kilogramos. Si quiero llevar la bolsa que contiene más fruta, cuál elijo? 8.- Completa los espacios con el signo menor (<), mayor (>) o igual (=) según corresponda: a) b) c) d)

21 9.- Ordenar de menor a mayor: 10.- Resolver los problemas: 7.4; 8.3; 7.12; 8.08; 7.04; 8.15; 8,009; 8,013 a) Matías y Elena jugaban a adivinar números. Mientras lo hicieron con números naturales no hubo problemas, pero cuando jugaron con números decimales se generó la siguiente discusión. MATÍAS: Adivina, adivinador... El número que yo pensé está entre 2.4 y 2.5. ELENA: Siempre el mismo tramposo, no existen números entre 2.4 y 2.5. Quién piensas que tenía razón? b) Matías le dio a Elena varios ejemplos de números mayores que 2.4 y menores que 2.5. Puedes pensar algunos? c) Elena, entusiasmada, ve que ahora sí le puede ganar a Matías. ELENA: Adivina, adivinador... Mi número está entre 1.15 y 1.16, y tiene tres cifras. Di cuáles números podría decir Matías. 21