VALORES EXTREMOS Y PUNTOS DE SILLA.

Transcripción

1 1 VALORES EXTREMOS Y PUNTOS DE SILLA. DEFINICION: Sea ( x, y ) una unción deinida sobre una región R que contiene el punto ( a, b ),entonces: a) (a, b ) es un máximo local de si ( a, b ) (x, y ) para todos los puntos ( x, y ) del dominio ( x, y n) de un disco abierto con centro en ( a, b ). (a, b ) es un mínimo local de si (a, b ) ( x, y ) ara todos los puntos ( x, y ) del dominio ( x, y n) de un disco abierto con centro en ( a, b ). Mínimo local Máximo local Los máximos locales corresponden a cimas de montañas y los mínimos locales a ondos de valles. PRUEBA DE LA PRIMERA DERIVADA PARA VALORES EXTREMOS LOCALES. Si ( x, y ) tiene un valor máximo o mínimo local en un punto interior ( a, b ) de su dominio y si las primeras derivadas parciales existen ahí, entonces 0 x y 0 y. Ejemplo: probar si la unción ( x, = x + 3y + 4x 6y, tiene valores locales. Si la unción tiene extremos locales, debe cumplir la condición de sus primeras derivadas parciales sean iguales a cero, en algún punto del dominio. Es decir:

2 x 0 pero x x 4 con lo que 0 x 4 y x y 0 pero y 6y 6 con lo que 0 6y 6 y 1 y, Es decir las primeras derivadas se hacen cero en el punto ( - unción tiene u extremo local en ese punto., 1 ), lo que nos indica que la Ejemplo: probar si la unción ( x, = 3x + y + 4x 6, tiene valores locales. Si la unción tiene extremos locales, debe cumplir la condición de sus primeras derivadas parciales sean iguales a cero, en algún punto del dominio. Es decir: x 0 pero x 6x 4 6y con lo que 0 6x 4 6y y 0 pero y y 6x con lo que 0 y 6x Solucionando el sistema lineal: 3x 3y y 3x 0 se tiene que 1 x e y 1 3 Es decir las primeras derivadas se hacen cero en el punto ( 1/3 unción tiene un extremo local en ese punto., 1 ), lo que nos indica que la DEFINICION: Un punto interior del dominio de una unción ( x, y ) donde x 0 y y 0 o donde una o ambas no existan, es un punto critico de. DEFINICION: Una unción dierenciable ( x, y ) tiene un punto de silla en un punto critico ( a, b ) si en todo disco abierto con centro en ( a, b ) hay puntos del dominio ( x, y ) donde y puntos del dominio ( x, y ) donde. El punto correspondiente a, b, sobre la supericie z = (x, se llama punto de silla de la supericie.

3 3 Punto de silla Ejemplo: Sea la unción ( x, y ) = 3y x, a lo largo e eje x ( puntos de la orma ( x, 0) la unción tiene el valor de (x, y ) = x, es decir ( x, y ) < 0; y a lo largo del eje de las y, la unción toma valores de ( x, = 3y, es decir ( x,y ) > 0. lue4go la unción tiene un punto de silla en el origen. PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA VALORES EXTREMOS LOCALES. Supongamos que ( x, y ) y sus primeras y segundas derivadas parciales son continuas en todo disco con centro en ( a, b ) y que x y 0, entonces Sea el determinante ormado por las segundas derivadas parciales evaluadas en el punto crítico. D Pero como las derivadas cruzadas son iguales: yx D

4 4 Analizando el signo de la segunda derivada parcial con respecto a x y el signo del determinante, se pueden caseiicar los puntos críticos de acuerdo con el siguiente criterio. 1) tiene un máximo local si 0 y 0 ) tiene un mínimo local si 0 3) tiene un punto de silla si D 0 D. y D 0 4) si D 0 el criterio no decide nada y es necesario aplicar otros criterios para determinar el comportamiento de la unción. EJEMPLO: Encontrar los valores extremos de la unción 3 3x y 9x 4y Inicialmente se buscan las derivadas parciales. (, ) 9x x x y 9 y 4 y Se iguales las primeras derivadas a cero para encontrar los puntos críticos. x 0 ; 0 9x 9 Con lo que x 1 y 0 ; 0 y 4 Donde se obtiene y críticos son: y, luego los posibles puntos Ahora buscamos las segundas derivadas y las evaluados en los puntos encontrados: 18x ; ; 0 Para el punto se tiene que ( ) 18(1) 18, ( ) y ( ) 0 Ahora se evalúa igual a cero. para determinar si es mayor, menor o

5 5 ( ) ( ) ( ) 18* Como ( ) 0 y 0 de acuerdo al segundo criterio de la segunda derivada, se concluye que la unción tiene un mínimo local en el punto. 3 ( ) 3(1) ( ) 9(1) 4( ) Luego el mínimo local es el punto, 10 Evaluamos las segundas derivadas en el punto ( ) 18( 1) 18, ( ) y ( ) 0 Ahora se evalúa el determinante mayor, menor o igual a cero. para determinar si es ( ) ( ) ( ) 18* Como (, ) (, ) (, ) a b a b a b 0 de acuerdo al tercer criterio de la segunda derivada, se concluye que la unción tienen un punto de silla en. ACTIVIDAD. Encuentre los máximos y mínimos locales, y los puntos de silla de las siguientes unciones. x y 3x 3y 4 x 3 3y 6x 3y 6 5x y 4x 4y 4

6 6 y x y x 4 y 6y 4x 6 5y 0 x 6 y 3 3 x 3 y. resolver los siguientes problemas. 1. Una caja rectangular descansa sobre el plano con uno de su vértices en el origen. Hallar el volumen máxima de la caja si su vértice opuesto al origen pertenece al plano 6x+4y+3z = 4.. El beneicio que se obtiene produciendo x unidades del modelo A e y unidades del modelo B se aproxima mediante el modelo: P( x, 8x 10 y 0.001x y Determine el nivel de producción que reporta el beneicio máximo. 3. La suma de la longitud y el perímetro de una sección de los paquetes enviados por correo no puede exceder de 16 cm. Halle las dimensiones del paquete rectangular de mayor volumen admitido por el correo. 4. Repetir el problema anterior si la suma de los dos perímetros de las secciones no puede pasar de 16 cm.