Lógica Proposicional Razonando en la vida diaria

Transcripción

1 Capítulo 2 Lógica Proposicional Resumen Las inferencias lógicas más básicas involucran frases creadas con expresiones comunes tales como no, y, o, si... entonces. Estas expresiones nos permiten describir situaciones indicando lo que es cierto y lo que no. Esta forma de razonamiento es no solo una forma de clasificación, sino también la base de cualquier descripción del mundo real. De la misma forma, estas frases lógicas nos proporcionan la estructura fundamental de actos de comunicación y argumentación. Por ejemplo, cuando estamos en desacuerdo con lo que alguien afirma, una forma de refutarlo es demostrar que la afirmación implica ( si... entonces ) un hecho cuya falsedad ( no ) es fácil de mostrar. Éste es el tipo de patrones de razonamiento que estudiaremos en el presente capítulo. Para ser mas precisos, en este primer capítulo presentaremos la Lógica Proposicional, el sistema lógico que describe el razonamiento con expresiones tales como no, y, o y si... entonces. Presentaremos conceptos tales como fórmula, conectivo lógico, verdad, consecuencia válida, actualización de información, demostración sintáctica y expresividad, y también discutiremos brevemente las conexiones con Ciencias de la Computación y Ciencias Cognitivas Razonando en la vida diaria La Lógica se puede encontrar en muchos lugares: Una pareja llega a un restaurante con su hijo. El padre pide pescado, la madre pide ensalada y el hijo pide carne. Un mesero distinto al que tomó la orden llega con la comida. Qué pasará? Todos aquellos que han visitado algún restaurante saben lo que sucederá. El mesero empezará preguntando algo parecido a Para quién es la carne?, y pondrá el plato en el lugar correspondiente. Entonces hará una segunda pregunta, Para quién es el pescado?, y podrá el plato en su lugar. Finalmente, sin hacer otra pregunta, pondrá el plato restante en el lugar que le corresponde. Cómo sucede esto? 2-1

2 2-2 CAPÍTULO 2. LÓGICA PROPOSICIONAL Comencemos por el final. Cuando el mesero coloca el tercer plato sin hacer preguntas, estamos viendo el resultado de una acción lógica importante: él realizó una inferencia. Las respuestas que recibió de las preguntas anteriores le permitieron inferir a quién le corresponde el tercer plato. Este esquema de inferencia puede ser representado de la siguiente forma: P o E o C, no C, no P = E. (2.1) Esta representación formal tiene muchas ventajas. Por ejemplo, el esquema representa una cantidad infinita de inferencias, ya que P, E y C pueden tener cualquier significado. Este tipo de acciones es especialmente importante en juegos de ingenio y/o acertijos. Un ejemplo de esto son los pasos que realizamos para resolver un sudoku de 3 3 de acuerdo a las reglas del juego: cada una de las 9 celdas debe tener un número, 1, 2 ó 3, y ningún número puede repetirse en la misma columna o en la misma fila: (2.2) Cada diagrama hace más explícita la solución que estaba ya determinada por la posición inicial de los números 1 y 2. En cada paso la información es revelada mediante actos de inferencia similares a los que ocurren en el restaurante. Pero ésta no es la única forma en que la información fluye. Antes de que la inferencia final se realizara, el mesero buscó información mediante otra acción: hacer una pregunta. Las respuestas que recibió son cruciales para el resultado final. En esencia, las respuestas a las preguntas actualizan el estado de información. Durante una conversación, el estado de información de una persona o personas cambia debido a la comunicación. En el ejemplo del restaurante, el estado de información inicial del mesero contiene las seis diferentes formas en que los tres platos pueden ser distribuidos entre las tres personas. Asumiendo que CPE indica que el padre pidió la carne, la madre pidió el pescado y el hijo pidió la ensalada, las posibilidades iniciales son CPE, CEP, PCE, PEC, ECP y EPC. La respuesta a la primera pregunta, indicando que el hijo pidió la carne, elimina las cuatro posibilidades en las cuales esto no sucede, reduciendo el estado de información a PEC y EPC. La respuesta a la segunda pregunta, indicando que el padre pidió el pescado, elimina una posibilidad más, quedando tan sólo la distribución correcta: PEC. Esta secuencia de pasos puede ser representada con una secuencia de diagramas (podemos entenderla como una animación) que muestra las actualizaciones sucesivamente:

3 2.2. PATRONES DE INFERENCIA, VALIDEZ E INVALIDEZ 2-3 CPE CEP PCE PEC Primera respuesta PEC EPC Segunda respuesta PEC EPC ECP (2.3) 2.2. Patrones de inferencia, validez e invalidez Considere el siguiente razonamiento de un médico: Si tomas el medicamento mejorarás. Pero no has tomado el medicamento. Entonces no mejorarás. (2.4) La palabra entonces (o su sinónimo por lo tanto ) indica que la proposición que le sigue, la conclusión, se deriva a partir de las proposiciones que le preceden, las premisas. A este tipo de acciones se les llama inferencias. Esta inferencia en particular no es correcta: la conclusión puede ser falsa aún en el caso en el que las dos premisas sean verdaderas. Un enfermo puede mejorar simplemente usando la mejor medicina existente (difícil de usar en tiempos modernos): esperar. Confiar en un patrón de inferencia erróneo como ese puede ser peligroso en algunas situaciones, tal y como lo muestra el siguiente ejemplo: Si opongo resistencia, el enemigo me matará. No opongo resistencia. Entonces el enemigo no me matará. (2.5) Compare las inferencias anteriores con la siguiente: Si tomas el medicamento, mejorarás. Pero no estas mejorando. Por lo tanto no tomaste el medicamento. (2.6) Esta última inferencia es válida: no es posible que las dos premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Para ser mas precisos, decimos que una inferencia es válida si transfiere la verdad, es decir, si la conclusión es verdadera en cualquier situación en la cual todas las premisas

4 2-4 CAPÍTULO 2. LÓGICA PROPOSICIONAL son verdaderas. Si éste no es el caso, entonces decimos que la inferencia es inválida. 1 Dicho de una manera diferente (pero equivalente), una inferencia es válida si no tiene contraejemplos, es decir, si no hay situaciones en las cuales todas las premisas son verdaderas pero la conclusión es falsa. El concepto de inferencia válida es crucial, así que le dedicaremos un poco más de tiempo. Lo que la validez implica La definición anterior es clara intuitivamente, pero es importante notar que es más débil de lo que podría pensarse inicialmente. Tomemos una inferencia válida con dos premisas P 1, P 2, implica C (2.7) Existen muchas combinaciones de valores de verdad (verdadero y falso) para las premisas y la conclusión. Por ejemplo, si alguna de las premisas es falsa, no podemos asegurar nada acerca de la conclusión: en la inferencia 2.6, si asumimos que la primera premisa es verdadera (tomar el medicamento implica mejoría) y la segunda falsa (el paciente mejora), la conclusión puede ser falsa (el paciente tomó el medicamento) pero también verdadera (el paciente no tomó el medicamento y mejora por otras razones). De las ocho combinaciones posibles de valores de verdad de las dos premisas y la conclusión, el hecho de que la inferencia sea válida nos permite eliminar tan sólo una posibilidad (ambas premisas verdaderas y la conclusión falsa). Dada la validez de una inferencia, lo único que podemos asegurar acerca de sus premisas y su conclusión puede ser dicho de dos maneras: (a) Si todas las premisas son verdaderas, entonces la conclusión es verdadera. (b) Si la conclusión es falsa, entonces al menos una de las premisas es falsa. (2.8) El primer enunciado ejemplifica lo que se entiende comúnmente como la función de la Lógica: si hemos demostrado que las premisas son verdaderas, entonces podemos concluir que la conclusión también lo es. Pero la Lógica también puede ser utilizada para refutar afirmaciones, y el segundo enunciado nos dice precisamente cómo hacerlo: si se demuestra que cierta conclusión es falsa, entonces uno puede dudar acerca de las premisas. Las inferencias lógicas válidas nos ayudan no sólo a descubrir verdades, sino también a descubrir falsedades. Aquí es importante enfatizar que si tenemos una inferencia válida, el hecho de que la conclusión sea falsa no implica que todas las premisas sean falsas; tan sólo que al menos una de ellas lo es. Averiguar cuál o cuáles son la premisas problemáticas puede requerir información extra. A manera de ejercicio, y para entender mejor lo que una inferencia válida nos indica, considere el siguiente árbol que representa un argumento complejo formado por varias inferencias válidas. Las letras mayúsculas representan proposiciones, y en cada inferencia las premisas aparecen sobre la línea y la conclusión debajo de ella. 1 N.T. En Castellano también se usan los términos inferencia correcta e inferencia incorrecta para referirse a una inferencia válida y una inferencia inválida, respectivamente.

5 2.3. CLASIFICACIÓN, CONSECUENCIA Y ACTUALIZACIÓN 2-5 (2.9) Si sabemos que A es verdadera y G es falsa, qué podemos decir acerca de las demás proposiciones? (La respuesta es que, adicionalmente, B es verdadera y C, D y E son falsas; acerca de F no podemos afirmar nada.) Patrones de inferencia El siguiente paso importante en el desarrollo de la Lógica fue la siguiente observación: la validez o invalidez de una inferencia se determina no en base al contenido específico de las proposiciones que la componen, sino en base a su patrón abstracto (es decir, su forma). Por ejemplo, es claro que la siguiente inferencia, idéntica en forma a la inferencia 2.6, es también válida: Si el enemigo rompe los diques, Holanda se inundará. Holanda no está inundada. Entonces el enemigo no ha roto los diques. (2.10) La forma de esta inferencia tiene partes que pueden variar (algunas proposiciones han sido substituidas por otras), pero otras son constantes y su significado no debe variar a fin de que la inferencia siga siendo válida. Por ejemplo, si en la segunda premisa y en la conclusión remplazamos la negación no por la afirmación sí, entonces obtenemos una inferencia inválida: Si el enemigo rompe los diques, Holanda se inundará. Holanda sí está inundada. Entonces el enemigo sí ha roto los diques. (2.11) La inferencia es inválida porque la inundación puede ser debida a otros factores (por ejemplo, lluvia excesiva). Para poder representar formalmente la forma de una inferencia, necesitamos una notación que nos indique adecuadamente qué partes son variables y qué partes son constantes. Esto se hace utilizando letras para representar expresiones que pueden ser reemplazadas por otras de la misma categoría, y símbolos especiales para representar las expresiones que determinan la forma de la inferencia, llamadas comúnmente conectivos lógicos Clasificación, consecuencia y actualización

6 2-6 CAPÍTULO 2. LÓGICA PROPOSICIONAL Clasificación Las ideas principales de la Lógica Proposicional se remontan a la antigüedad (al filósofo estoico Chrysippos de Soleus 2, A.C.), pero su versión moderna se inició en el siglo XIX con el trabajo del matemático británico George Boole ( ). Chrysippos George Boole En esencia, estas ideas son consecuencia de observar que las proposiciones que forman una inferencia como las anteriores son esencialmente combinaciones de proposiciones más simples que llamamos proposiciones básicas. Las proposiciones básicas son generalmente representadas mediante las letras p, q, r, etc. Si tenemos un número finito de proposiciones básicas, entonces tenemos un número finito de situaciones posibles, cada una representando una combinación de valores de verdad de las proposiciones básicas (verdadera o falsa). Por ejemplo, para p y q existen cuatro combinaciones de valores de verdad, que pueden ser representados como pq, pq, pq, pq (2.12) donde p indica que p es verdadera y p indica que p es falsa. (Observe que p no representa una proposición, y por lo tanto es diferente de la negación no-p que aparece en las inferencias que usaremos. Esta diferencia se verá claramente más adelante.) Considere ahora los ejemplos anteriores de inferencias váli- Derivando consecuencias das e inválidas: (a) La inferencia que, partiendo de si-p-entonces-q y no-p deriva no-q, es inválida. pero (b) La inferencia que, partiendo de si-p-entonces-q y no-q deriva no-p, es válida. 2 N.T. Conocido en Castellano como Crisipo de Solos.

7 2.3. CLASIFICACIÓN, CONSECUENCIA Y ACTUALIZACIÓN 2-7 Nuestra definición anterior de inferencia válida puede ser presentada ahora de manera más precisa. Esencialmente dice que: cada una de las combinaciones de valores de verdad que hace verdaderas a las premisas también debe hacer verdadera a la conclusión. Verifiquemos que esto se cumple con las inferencias (a) y (b). Tomemos la primera de ellas: (a) La segunda premisa, no-p, sólo es verdadera en pq y pq. La primera premisa, si-p-entonces-q, es también verdadera en dichas situaciones porque la condición p es falsa. Sin embargo, en pq la conclusión no-q es falsa. Por lo tanto, la inferencia es inválida. Para la segunda tenemos que: (b) La segunda premisa no-q es verdadera en pq y pq. Pero la primera premisa, si-p-entonces-q, sólo es verdadera en la segunda situación, así que pq es la única posibilidad en la cual ambas premisas se cumplen. En dicha situación la conclusión no-p es verdadera, y por lo tanto la inferencia es válida. Actualizando información La Lógica Proposicional es útil para reconocer patrones de inferencia válidos (e inválidos), pero también tiene otros usos. Uno de ellos es describir la forma en que cambia el estado de información actual cuando se recibe nueva información. En general, inicialmente consideramos posibles varias situaciones, y la información que recibimos nos permite descartar algunas de ellas. Por ejemplo, supongamos que se quiere organizar una fiesta y que los únicos invitados posibles son María y Juan. Podemos utilizar p y q para indicar que María será invitada y Juan será invitado, respectivamente. Ahora supongamos que nos informan que al menos una de las dos personas debe ser invitada: p-o-q. De entre las cuatro situaciones posibles inicialmente, esta nueva información descarta sólo una: pq. Después nos dicen que María no debe ser invitada, no-p. Con esto descartamos dos situaciones mas, pq y pq, dejando a pq como la única posibilidad. La siguiente secuencia de diagramas muestra cómo cambian los estados de información: pq pq pq pq p o q pq pq pq no p pq (2.13) Ahora podemos ver por qué la conclusión q es verdadera y por lo tanto la inferencia válida. Si en el estado de información final alguien afirmara q, dicho estado no cambiaría,

8 2-8 CAPÍTULO 2. LÓGICA PROPOSICIONAL es decir, ninguna posibilidad sería eliminada: pq q pq (2.14) Ejercicio 2.1 Considere el siguiente ejemplo en el que hay tres hechos a analizar. Una persona se despierta, abre sus ojos, y se pregunta a sí mismo: Me he despertado tarde?, Está lloviendo?, Hay embotellamientos en el camino al trabajo?. Para responder a la primera pregunta se puede revisar el reloj despertador; para responder a la segunda se puede mirar por la ventana, y para responder a la tercera se puede escuchar el reporte del trafico en el radio. Los tres hechos pueden ser representados con tres proposiciones básicas, p, q y r, con p indicando me he despertado tarde, q indicando está lloviendo y r indicando hay embotellamientos en el camino al trabajo. Suponiendo que la persona no sabe nada acerca del valor de verdad de estas tres proposiciones, cuál es el espacio inicial de posibilidades? Ejercicio 2.2 (Continuación del ejercicio anterior) Ahora la persona revisa su reloj despertador y se da cuenta de que no se ha despertado tarde. Qué sucede con el espacio de posibilidades? Acercándonos a un sistema formal Ahora que tenemos un sistema formal para estas tareas, podemos hacer muchas cosas más. Por ejemplo, además de preguntarnos si una inferencia dada es válida o no, podemos observar las premisas y preguntarnos qué podemos concluir a partir de ellas. El siguiente ejercicio muestra una forma de inferencia básica, utilizada comúnmente en programas que realizan razonamiento automático. Ejercicio 2.3 Alguien nos dice que tenemos p-o-q y (no-p)-o-r. Qué podemos concluir acerca de q y r? Se pueden escribir programas que realizan tareas como la anterior de manera automática y, de hecho, la Lógica Proposicional es importante históricamente por la relación que tiene con las Ciencias de la Computación. Las computadoras son esenciales cuando se tienen tareas de razonamiento complejas que involucran varias inferencias y/o actualizaciones como las mostradas anteriormente, y el sistema de la Lógica Proposicional puede ser fácilmente implementado en un programa de razonamiento automático. Como veremos en la sección 2.10, la Lógica Proposicional es, en cierto sentido, el lenguaje de las Ciencias de la Computación, y tiene muchas conexiones con problemas sobre complejidad computacional. Pero nuestra historia no comenzó desde el punto de vista de las Ciencias de la Computación, sino desde el punto de vista del lenguaje natural. En la siguiente sección haremos más preciso nuestro lenguaje, identificando los conectivos lógicos básicos que necesitamos y definiendo para ellos una notación precisa El lenguaje de la Lógica Proposicional El razonamiento proposicional involucra proposiciones complejas que contienen conectivos lógicos del lenguaje natural, tales como no, y, o, si... entonces. Aunque

9 2.4. EL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL 2-9 estos no son los únicos conectivos que se utilizan en el razonamiento lógico, sí son los más básicos. Podríamos utilizar el lenguaje natural para trabajar (algo que se solía hacer), pero se ha vuelto cada vez mas claro que el uso de un lenguaje formal nos permite ser más claros y precisos, y también mejora el entendimiento y facilita las operaciones. Del lenguaje natural a la notación lógica Como vimos en la sección 2.3, hay cierta forma lógica en las inferencias válidas que expresamos en lenguaje natural. Para hacer esta forma lógica clara debemos usar una notación adecuada. Para empezar, utilizaremos símbolos especiales para los conectivos lógicos: Símbolo En lenguaje natural Nombre técnico no negación y conjunción o disyunción si... entonces condicional si y sólo si bicondicional (2.15) Los conectivos son algunas veces representados de manera diferente. Algunas personas usan & en lugar de y en lugar de, pero lo importante no es el símbolo que se use sino su significado (el cual es presentado formalmente en la sección 2.5). Denotaremos proposiciones básicas (también llamadas proposiciones atómicas) con las letras minúsculas p, q, r, etc. Para denotar proposiciones arbitrarias que pueden contener algunos de los conectivos de la tabla (2.15) utilizaremos las letras griegas minúsculas ϕ, ψ, χ, etc. Disyunción inclusiva y exclusiva El símbolo denota disyunción inclusiva, tal y como se entiende en para aprobar el examen se debe contestar correctamente las preguntas 3 ó 4 : uno espera no ser penalizado si ambas preguntas se responden correctamente. Esto difiere de la disyunción exclusiva (frecuentemente representada con ) que aparece en enunciados como te puedes casar con Blancanieves o Cenicienta, cuyas opciones no deben ser ambas verdaderas. De aquí en adelante la palabra disyunción será interpretada como disyunción inclusiva. Ahora podemos escribir frases en lenguaje natural como fórmulas con los símbolos que hemos definido. Por ejemplo, considere la siguiente descripción de las cartas de un oponente: Frase Fórmula lógica Él tiene un as si no tiene un diamante o un trébol (d t) a Es útil ver esta traducción como un proceso que se realiza en varios pasos. En caso de que la traducción de una frase no sea clara, siempre es posible realizar el proceso paso a paso para identificar dónde se toma la decisión importante.

10 2-10 CAPÍTULO 2. LÓGICA PROPOSICIONAL Él tiene un as si no tiene un diamante o un trébol, Si (él no tiene un diamante o un trébol) entonces (tiene un as) (él no tiene un diamante o un trébol) (tiene un as) no es cierto que (él tiene un diamante o un trébol) (tiene un as) (él tiene un diamante o un trébol) (tiene un as) ((él tiene un diamante) o (él tiene un trébol)) (tiene un as) ((él tiene un diamante) (él tiene un trébol)) (tiene un as) (d t) a Algunos autores aceptan como traducciones enunciados en los cuales las proposiciones básicas se mantienen intactas, reemplazando tan sólo los conectivos lógicos por su símbolo, de manera similar a lo que sucede en el lenguaje matemático. Esta combinación puede ser útil (el uso de los símbolos de los conectivos enriquece el lenguaje natural y es posiblemente más fácil de entender), pero para nosotros será más útil trabajar con traducciones completas en las cuales las proposiciones son reemplazadas totalmente por su forma lógica. Ambigüedad En general el proceso de transformar frases del lenguaje natural a su forma lógica no es sencillo: es posible encontrar problemas de interpretación. Algunas frases en lenguaje natural pueden ser ambiguas, es decir, pueden tener dos o más interpretaciones diferentes. Por ejemplo, la frase si tiene plumas entonces vuela o nada puede dar lugar a dos formas lógicas diferentes: (a) Si tiene plumas, entonces vuela o nada. p (v n) (b) Si tiene plumas entonces vuela, o nada. (p v) n (2.16) Una de las virtudes de la notación formal es que dichas diferencias pueden ser identificadas fácilmente, en este caso mediante el uso de paréntesis, algo que no se puede hacer con el lenguaje natural. Como ejemplo adicional, para algunas personas la frase te daré una cachetada (c) si te quejas (q) tiene la forma de una implicación (q c) mientras que para otras tiene la forma de una equivalencia (q c). Las negaciones en lenguaje natural pueden ser particularmente complicadas. Considere la siguiente pregunta, famosa en experimentos psicológicos y difícil de responder para mucha gente: Cuántas negaciones hay en la frase nada es demasiado trivial como para ser ignorado, y cuál es su significado? Lenguaje formal y árboles sintácticos Para los lógicos, la notación que hemos presentado es más que una herramienta que ayuda a hacer el lenguaje natural más preciso. Es importante también porque define un lenguaje artificial (también llamado lenguaje formal).

11 2.4. EL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL 2-11 Las fórmulas de este lenguaje se construyen a partir de proposiciones básicas, representadas por las letras p, q, r, etc, mediante la aplicación de los conectivos lógicos (y los paréntesis a fin de evitar ambigüedades). Ejemplo 2.4 La fórmula (( p q) r) se construye paso a paso a partir de las proposiciones básicas p, q y r mediante la aplicación sucesiva de las siguientes reglas: (a) a partir de p se construye p, (b) a partir de p y q se construye ( p q) (c) a partir de ( p q) y r se construye (( p q) r) Este tipo de construcciones puede ser representada mediante árboles sintácticos que no dan lugar a ambigüedad alguna. A continuación mostramos el árbol tanto para la fórmula anterior como para una variante. Matemáticamente, la representación con fórmulas es equivalente a la representación con árboles, pero éstas difieren en la claridad. Además, las estructuras tipo árboles han sido ampliamente estudiadas y utilizadas en Matemáticas, Lingüística y otras áreas: (( p q) r) ( (p q) r) ( p q) r (p q) r p q (p q) p p q Ahora estamos listos para la definición formal del lenguaje de la Lógica Proposicional. Hay dos formas de hacerlo, y las dos tienen la misma esencia: ambas son definiciones inductivas (en el apéndice A se puede encontrar más información sobre este concepto). He aquí la primera: Toda proposición básica (p, q, r,...) es una fórmula. Si ϕ es una fórmula, entonces ϕ también es una fórmula. Si ϕ 1 y ϕ 2 son fórmulas, entonces (ϕ 1 ϕ 2 ), (ϕ 1 ϕ 2 ), (ϕ 1 ϕ 2 ) y (ϕ 1 ϕ 2 ) también son fórmulas. Ninguna otra expresión es una fórmula. Observe cómo la fórmula del ejemplo 2.4 fue construida siguiendo esta receta adecuadamente, es decir, la construcción de dicha fórmula es una instancia de la definición anterior (la definición está dada en términos abstractos, usando las variables ϕ 1 y ϕ 2 para referirse a fórmulas arbitrarias). Otra opción es usar la notación BNF (la forma Backus-Naur, llamada así en honor de John Backus y Peter Naur, quienes la crearon para definir la sintaxis de los lenguajes de programación), que es aún más abstracta pero tiene el mismo significado.

12 2-12 CAPÍTULO 2. LÓGICA PROPOSICIONAL Definición 2.5 (lenguaje de la Lógica Proposicional) Sea P un conjunto de letras proposicionales básicas, y sea p P. ϕ ::= p ϕ (ϕ ϕ) (ϕ ϕ) (ϕ ϕ) (ϕ ϕ) Esta definición indica cómo construir objetos del tipo fórmulas en la Lógica Proposicional (en este capítulo, simplemente fórmulas). La definición indica que una fórmula ϕ puede ser una proposición básica (p), o la negación de una fórmula ( ϕ), o la conjunción de dos fórmulas (ϕ ϕ), y así sucesivamente. Este mecanismo nos permite construir fórmulas paso a paso, tal y como en el ejemplo anterior. En la práctica, los paréntesis son frecuentemente omitidos, y tan sólo son utilizados cuando son necesarios para evitar ambigüedad. Por ejemplo, la expresión p q r puede corresponder a ((p q) r) (una fórmula que, para ser verdadera, requiere que r sea verdadera) pero también a (p (q r)) (una fórmula que es verdadera si p es verdadera). Ejercicio 2.6 Escribe como fórmulas de la Lógica Proposicional los siguientes enunciados: Sólo iré a la escuela si me dan una galleta ahora mismo. Juan y María están corriendo. Un extranjero tiene derecho a la seguridad social si está empleado legalmente o si ha estado empleado legalmente hace menos de tres años, a menos que tenga actualmente un empleo en el extranjero. Ejercicio 2.7 Cuáles de las siguientes expresiones son fórmulas de la Lógica Proposicional? p q q p p q Ejercicio 2.8 Construya árboles sintácticos para las siguientes fórmulas: (p q) q q r s t (construya todos los árboles posibles). El hecho de que existan varios árboles sintácticos para la fórmula q r s t nos indica que esta expresión puede ser leída de varias maneras diferentes. Qué tan perjudicial es esta ambigüedad?, por qué? Una observación importante Observe cómo las fórmulas y los árboles sintácticos son entidades puramente simbólicas que carecen de un significado concreto. Históricamente, la diferencia entre la forma y el significado se volvió importante tan sólo a partir del desarrollo de las Matemáticas durante el siglo XIX. La mayoría de las frases en lenguaje natural y en el razonamiento práctico involucran también el significado de los símbolos utilizados (a menos que estemos en una fiesta y sea ya muy tarde). Los análisis de lenguajes a un nivel puramente sintáctico se han vuelto la base para establecer conexiones entre Lógica, Matemáticas y Ciencias de la Computación, áreas en las cuales los procesamientos puramente simbólicos juegan un papel importante.

13 2.5. SITUACIONES SEMÁNTICAS, TABLAS DE VERDAD Y ARITMÉTICA BINARIA2-13 Lógica, lenguaje, computación y pensamiento Para aquéllos con conocimiento en el área, los árboles sintácticos anteriores pueden ser un recordatorio de los árboles de análisis en gramáticas para lenguajes naturales. De hecho, las traducciones entre formas lógicas y formas lingüísticas son importantes cuando se establecen conexiones entre Lógica y Lingüística, recientemente (siglo XX) mediante el uso de modelos matemáticos. Las conexiones entre lenguajes formales y lenguajes naturales se han vuelto importantes en áreas tales como la Lingüística Computacional y la Inteligencia Artificial, por ejemplo para establecer comunicación entre los seres humanos con su lenguaje natural y las computadoras con sus lenguajes simbólicos. De hecho, los árboles sintácticos pueden entenderse de dos maneras diferentes que corresponden a dos temas principales en estas áreas. De arriba hacia abajo analizan expresiones complejas en términos de las expresiones más simples que las forman: el proceso de analizar frases. Pero de abajo hacia arriba nos indican cómo construir nuevas frases: el proceso de generación del lenguaje. La relación entre lenguajes naturales y lenguajes formales también ha sido discutida largamente desde un punto de vista filosófico. El nivel abstracto de los lenguajes formales ha sido considerado como una forma de lenguaje universal para el pensamiento, trascendiendo las diferencias entre lenguajes naturales (y tal vez entre culturas). También se puede entender el lenguaje formal como una forma de reemplazar las formas confusas y ambiguas del lenguaje natural con las formas claras y precisas de un lenguaje formal a fin de realizar razonamiento de manera formal, que es precisamente lo que los primeros lógicos tenían en mente cuando afirmaban que los lenguajes naturales son sistemáticamente engañosos. Pero hay otras opiniones, menos radicales y tal vez más realistas desde un punto de vista cognitivo empírico, que ven esta relación como una forma de crear híbridos entre formas de expresión existentes y nuevas formas de expresión diseñadas artificialmente. Como ejemplos de esto tenemos el lenguaje de las Matemáticas, que está constituido por el lenguaje natural más una base creciente de símbolos, o la manera en que las Ciencias de la Computación extienden nuestro repertorio natural de expresiones y medios de comunicación Situaciones semánticas, tablas de verdad y Aritmética Binaria En los lenguajes formales las diferencias en la sintaxis generalmente conllevan diferencias en significado, tal y como lo muestran los árboles sintácticos anteriores. Para explicar esto de manera más precisa necesitamos una forma de asignar un significado a fórmulas, es decir, una manera de determinar cuándo una fórmula es verdadera o falsa en una situación dada. Valores de verdad para proposiciones básicas Como hemos dicho anteriormente, cada conjunto de proposiciones básicas {p, q, r,...} genera un conjunto de situaciones posibles, describiendo las diferentes formas en que la situación real podría ser. Por ejemplo, tres proposiciones básicas generan 2 3 = 8 situaciones posibles: {pqr, pqr, pqr, pqr, pqr, pqr, pqr, pqr} (2.17)

14 2-14 CAPÍTULO 2. LÓGICA PROPOSICIONAL Las proposiciones básicas pueden ser entendidas como proposiciones atómicas, es decir, entidades indivisibles. Los conectivos lógicos pueden ser entendidos entonces como operaciones que nos permiten construir moléculas. Es importante enfatizar que somos nosotros quienes decidimos en que situaciones consideraremos un enunciado como una proposición básica, indicando de esta forma que los detalles más finos no son importantes para nosotros. Una manera de representar una situación posible es mediante una función V que asigna un valor de verdad, 1 (verdadero) ó 0 (falso) a cada proposición básica. Por ejemplo, la situación pqr corresponde a la función que asigna 1 a p, 0 a q y 1 a r. Aunque los valores de verdad también pueden ser indicados con letras (v en lugar de 1 y f en lugar de 0), nosotros utilizaremos números para enfatizar la conexión que existe con la Aritmética Binaria (la base del funcionamiento de una computadora). Cada una de estas funciones V que representan situaciones posibles son llamadas evaluaciones; V(p) = 1 indica que la proposición básica p es verdadera en la situación (representada por) V, y V(p) = 0 indica que p es falsa en la situación V. Como notación alternativa también escribiremos V = p para indicar V(p) = 1, y V = p para indicar V(p) = 0. Si V = p entonces decimos que V hace verdadera a p, que V satisface a p o que V es un modelo de p. Aunque no será muy utilizado en este capítulo, el símbolo = será muy útil posteriormente. Operaciones booleanas sobre valores de verdad Dada una situación posible V, es posible decidir si una proposición atómica es verdadera o falsa. Para poder hacer lo mismo con fórmulas más complejas necesitamos algo más: necesitamos definir el significado de los conectivos lógicos (es decir, las operaciones lógicas) que las forman. El significado de los conectivos se define en base a su interpretación intuitiva; por ejemplo, si V(p) = 0, entonces V( p) = 1 y viceversa, si V(p) = 1, entonces V( p) = 0. Estas definiciones son más fáciles de representar en una tabla. Definición 2.9 (semántica de la Lógica Proposicional) Una evaluación es una función que asigna un valor de verdad (0 ó 1) a cada proposición básica. Dada una evaluación, el valor de verdad de proposiciones básicas puede ser obtenido inmediatamente. El valor de verdad de fórmulas más complejas se obtiene a partir del valor de verdad de las proposiciones básicas que la componen y los conectivos lógicos utilizados, tal y como se muestra en las siguientes tablas de verdad. ϕ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ (2.18) La tabla nos indica los valores de verdad que asignan los conectivos lógicos en todas las combinaciones de valores de verdad posibles: dos en el caso de conectivos con un argu-

15 2.5. SITUACIONES SEMÁNTICAS, TABLAS DE VERDAD Y ARITMÉTICA BINARIA2-15 mento (negación), y cuatro en los casos de conectivos con dos (conjunción, disyunción, condicional y bicondicional). Explicación Las tablas para la negación, conjunción, disyunción y bicondicional corresponden a nuestra idea intuitiva. Sin embargo, la tabla para la condicional ha generado mucho debate debido a que no concuerda exactamente con el significado de la expresión implica en lenguaje natural. Por ejemplo, si el antecedente (la condición) ϕ es falso y el consecuente es ψ verdadero, la condicional ϕ ψ es verdadera? Se podría argumentar que en este caso la condicional debería estar indefinida, pero recuerde que trabajamos asumiendo que tenemos tan sólo dos valores de verdad, verdadero y falso. He aquí un ejemplo que ha ayudado a muchos estudiantes. La afirmación Todos los números mayores que 13 son mayores que 12 es claramente verdadera. Otra forma de decir lo mismo es afirmando que si un número n es mayor que 13 (p), entonces n es mayor que 12 (q). Tomemos la condicional p q; ahora podemos justificar los casos en los cuales ésta es verdadera asignando distintos valores a n. El caso en el que p q es verdadera debido a que p y q son ambas verdaderas se justifica con n = 14; el caso en el que p q es verdadera porque p es falsa y q verdadera se justifica con n = 13; el caso en el que p q es verdadera porque p y q son ambas falsas se justifica con n = 12. Las diferencias entre el lenguaje natural y el lenguaje lógico formal pueden ser muy útiles. Los condicionales son tema importante de investigación en Lógica, y hay muchas propuestas que tratan de representarlos de una manera que refleje mejor su comportamiento. La Lógica Proposicional es el sistema más simple que existe, pero hay otros sistemas lógicos que exploran otros aspectos de la implicación en el lenguaje natural y en el razonamiento común. Algunos de estos sistemas se estudiarán más adelante. Obteniendo valores de verdad para fórmulas complejas Cómo se obtienen los valores de verdad para fórmulas complejas? Una forma de hacerlo es utilizar las tablas de verdad paso a paso, empezando con las proposiciones básicas y siguiendo el orden de construcción representado en los árboles sintácticos. Por ejemplo, sea V una evaluación tal que V(p) = V(q) = 1 y V(r) = 0, y considere las siguientes fórmulas: (( p q) r 0 ( (p q) r) 1 ( p q) 1 r 0 (p q) 0 r 0 p 0 p 1 q 1 (p q) 1 p 1 q 1 Esto nos indica que V(( p q) r) = 0 y V( (p q) r) = 1. Observe cómo los valores de verdad de las fórmulas son diferentes. Ésta es la razón por la cual sus frases

16 2-16 CAPÍTULO 2. LÓGICA PROPOSICIONAL correspondientes en lenguaje natural tienen diferente significado. Estos cálculos se pueden realizar para todas las situaciones posibles, y de esta forma podemos construir una tabla de verdad describiendo completamente el comportamiento de fórmulas complejas. p q r (( p q) r) ( (p q) r) (2.19) Estos valores se pueden calcular paso a paso respetando el orden impuesto por los paréntesis. Por ejemplo, tomemos la segunda fórmula de (2.19). Primero hacemos una lista con todas las situaciones posibles (las primeras tres columnas), y después copiamos los valores de verdad de cada proposición básica en donde sea necesario. p q r ( (p q) r) (2.20) Ahora podemos calcular los valores de verdad que impone el primer conectivo. En este caso dicho conectivo es la disyunción, ya que es el único que tiene explícitos los valores de verdad de todos sus argumentos (esto se puede observar también en el árbol sintáctico de la fórmula). La subfórmula (p q) es falsa (0) si y sólo si p y q son ambas falsas (0). El resultado de este paso se muestra en la primera tabla de (2.21). Los siguientes pasos, en los cuales se calculan las tablas de la negación y luego la condicional, aparecen en las tablas que le siguen.

17 2.6. INFERENCIA VÁLIDA Y CONSISTENCIA 2-17 ( (p q) r) ( (p q) r) ( (p q) r) (2.21) Por supuesto, estos cálculos se pueden realizar en una sola tabla siempre y cuando los valores de verdad de las subfórmulas se calculen en el orden correcto. Ejercicio 2.10 Construya tablas de verdad para las siguientes fórmulas: (p q) (q p). ((p q) r) ( (p r) q). Ejercicio 2.11 Usando tablas de verdad determine cuáles pueden ser las diferentes interpretaciones de la expresión p q r (es decir, coloque paréntesis en el lugar adecuado), y muestre por qué éstas no son equivalentes. Si, sólo si y si y sólo si condicionales: A continuación se listan algunas formas de expresar si p entonces q p si q p sólo si q p q q p p q La tercera expresión podría parecer extraña. Para entender el porqué de ella podemos pensar en términos de la frase te ayudamos sólo si nos ayudas, que es falsa tan sólo cuando te ayudamos es verdadera pero nos ayudas es falsa. El uso de si y de sólo si explican el uso de la abreviación si y sólo si en lugar de la bicondicional. Una frase de la forma P si y sólo si Q indica que si P entonces Q y que si Q entonces P. La frase si y sólo si se abrevia frecuentemente como ssi Inferencia válida y consistencia Ahora podemos definir formalmente el concepto de inferencia válida en Lógica Proposicional. Esta definición es más precisa que la definición presentada en la página 2-3.

18 2-18 CAPÍTULO 2. LÓGICA PROPOSICIONAL El concepto de inferencia válida se define en términos de todas las situaciones posibles. Como veremos dentro de un momento, podemos utilizar tablas de verdad para verificar si una inferencia dada es válida o no. En la siguiente definición, k representa a un número cualquiera (si k = 0, entonces no hay premisas). Definición 2.12 (inferencia válida) Se dice que una inferencia que nos lleva de un conjunto finito de premisas ϕ 1,..., ϕ k a una conclusión ψ es una inferencia válida, en símbolos, ϕ 1,..., ϕ k = ψ, si y sólo si toda evaluación V que cumple V(ϕ 1 ) =... = V(ϕ k ) = 1 también cumple V(ψ) = 1. En este caso también diremos que la inferencia produce una consecuencia válida, o que ψ es una consecuencia lógica de ϕ 1,..., ϕ k. Definición 2.13 (equivalencia lógica) Si tenemos ϕ = ψ y ψ = ϕ, entonces decimos que ϕ y ψ son equivalentes lógicamente. No está de más repetir la advertencia hecha anteriormente: si lo único que sabemos es que una inferencia dada es válida, no podemos decir nada acerca del valor de verdad de la conclusión. Como se mencionó anteriormente, una inferencia válida garantiza que su conclusión es verdadera sólo cuando todas las premisas son verdaderas. En otras palabras, si sabemos que una inferencia es válida, sólo podemos descartar situaciones en las cuales todas las premisas son verdaderas pero la conclusión no. Otro punto que es importante enfatizar es que una inferencia válida nos ayuda no sólo a establecer más verdades a partir de las que ya conocemos, sino también a refutar enunciados: si una inferencia es válida pero su conclusión es falsa, al menos una de las premisas debe ser falsa (aunque, en general, esto no nos dice cuál). De hecho, muchos filósofos han afirmado que el uso de la Lógica como herramienta de refutación podría ser el más importante, ya que es la base del proceso de aprendizaje, durante el cual descartamos posibilidades cuando éstas contradicen los hechos. El siguiente ejemplo nos muestra como podemos utilizar tablas de verdad para verificar la validez una inferencia. Ejemplo 2.14 (modus tollens) El patrón de refutación más simple es conocido como modus tollens: ϕ ψ, ψ = ϕ. A continuación se muestra la tabla de verdad que prueba la validez de esta inferencia. ϕ ψ ϕ ψ ψ ϕ !! (2.22) Hay cuatro situaciones posibles, pero sólo una de ellas hace verdaderas a ambas premisas (la primera evaluación). Dado que la conclusión también es verdadera en esta situación, podemos concluir que la inferencia es válida.

19 2.6. INFERENCIA VÁLIDA Y CONSISTENCIA 2-19 Cuando una inferencia es inválida debe haber al menos una situación (i.e., una evaluación) que hace verdaderas a todas las premisas pero hace falsa a la conclusión. Estas situaciones son llamadas contraejemplos. La tabla del ejemplo anterior también nos proporciona un contraejemplo para otra inferencia discutida anteriormente: a partir de ϕ ψ y ϕ se infiere ψ Dicho contraejemplo es la segunda evaluación, bajo la cual ϕ ψ y ϕ son ambas verdaderas pero ψ es falsa. Observe que el hecho de que una inferencia sea inválida no implica que todas las evaluaciones que satisfacen a todas las premisas ϕ i deben hacer la conclusión ψ falsa. De hecho, si éste fuera el caso, esto demostraría la validez de cierta inferencia: la refutación de ψ: ϕ 1,..., ϕ k = ψ (2.23) Consistencia Finalmente, he aquí otro concepto lógico importante. Definición 2.15 (consistencia) Un conjunto de fórmulas Φ = {ϕ 1,..., ϕ k } es consistente si y solo sí existe una evaluación que satisface a todas las fórmulas de Φ. Cuando un conjunto de fórmulas no es consistente también decimos que es inconsistente: no hay evaluaciones que satisfagan a todas las fórmulas del conjunto. Note que consistencia no es lo mismo que verdad. Que un conjunto de fórmulas sea consistente no significa que todas sus fórmulas sean siempre verdaderas, tan sólo que existe una situación en la cual todas son verdaderas. Esta noción es muy útil. Cuando conversamos con alguien, generalmente es difícil comprobar que todo lo que nos dice es cierto (por ejemplo, sus historias acerca de sus vacaciones o acerca de lo inteligente que son sus hijos), y generalmente le creemos siempre y cuando la historia sea consistente. Otro ejemplo es la labor de un abogado defensor. Él no tiene que demostrar que su cliente es inocente: tan sólo tiene que demostrar que las pruebas presentadas en su contra y su inocencia son consistentes. Para verificar consistencia también podemos utilizar la tabla de verdad. Simplemente hay que buscar el renglón (i.e., la evaluación) que hace verdaderas a todas las fórmulas. De hecho, validez y consistencia están fuertemente relacionadas: a partir de nuestras definiciones podemos concluir que ϕ = ψ si y sólo si {ϕ, ψ} no es consistente. (2.24) Tautologías Revisemos ahora las leyes de nuestro sistema: Definición 2.16 (tautología) Una fórmula ψ es una tautología (en símbolos, = ψ) cuando es verdadera en toda evaluación, es decir, en todas las situaciones posibles. Una tautología también es llamada una fórmula válida.

20 2-20 CAPÍTULO 2. LÓGICA PROPOSICIONAL Muchas tautologías son conocidas como leyes de la Lógica Proposicional, y pueden ser usadas para realizar inferencias o para simplificar afirmaciones. He aquí algunas de ellas: Doble negación Leyes de De Morgan Leyes de distribución ϕ ϕ (ϕ ψ) ( ϕ ψ) (ϕ ψ) ( ϕ ψ) (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) (2.25) Se puede verificar que estas fórmulas son tautologías construyendo su tabla de verdad y verificando que obtenemos un 1 en todos los renglones. Una tautología puede ser vista como una inferencia especial: aquélla que no tiene premisas. Sin embargo, también podemos utilizar el concepto de de tautología para verificar la validez de una inferencia cualquiera: ϕ 1,..., ϕ k = ψ si y sólo si (ϕ 1... ϕ k ) ψ es una tautología (2.26) En otras palabras, verificar que una inferencia de las premisas ϕ 1,..., ϕ k a la conclusión ψ es válida es equivalente a verificar que la fórmula (ϕ 1... ϕ k ) ψ es una tautología. Esta equivalencia será utilizada frecuentemente. Ejercicio 2.17 Utilizando tablas de verdad, determine si las siguientes fórmulas implican 1. p r. 2. p r. p (q r), q Construya la tabla de verdad completa y utilícela para justificar las respuestas. Ejercicio 2.18 Utilizando tablas de verdad demuestre que la inferencia de p (q r) y q a p es válida, y la inferencia de p (q r) y q a p no es válida. Ejercicio 2.19 Verifique si las siguientes inferencias son válidas (la barra / separa las premisas de la conclusión): 1. (q r), q / r. 2. p q r, q r, p / r. Ejercicio 2.20 Construya las tablas de verdad de las siguientes fórmulas: 1. (p q) (p (q r)). 2. (( p (q r)) (p r)).

21 2.7. DEMOSTRACIÓN (p (q r)) ((p q) (p r)). 4. (p (q r)) ((p q) r). 5. ((p q) ( q r)) ( (p r) q). Ejercicio 2.21 Cuáles de los siguientes pares de fórmulas son equivalentes lógicamente? Verifique su respuesta mediante tablas de verdad. 1. ϕ ψ y ψ ϕ 2. ϕ ψ y ψ ϕ 3. (ϕ ψ) y ϕ ψ 4. (ϕ ψ) y ϕ ψ 5. (ϕ ψ) y ϕ ψ 6. (ϕ ψ) y ϕ ψ 7. (ϕ ψ) (ϕ ψ) y ϕ ψ 2.7. Demostración Demostración: inferencia simbólica Hasta ahora hemos verificado la validez de inferencias mediante tablas de verdad, basándonos en el significado semántico de las fórmulas que la componen. Sin embargo, muchas inferencias se realizan mediante manipulación de símbolos. De hecho, los seres humanos generalmente no razonamos construyendo tablas de verdad: generalmente construimos inferencias complejas en base a inferencias simples que conocemos sin pensar mucho en su justificación. Entre más inferencias simples sepamos, más rápido razonamos. De la misma forma, los matemáticos realizan frecuentemente cálculos mediante reglas simbólicas (por ejemplo, en Álgebra) y, por supuesto, las computadoras realizan cálculos de manera puramente simbólica (ya que hasta ahora no pueden darse cuenta, como nosotros, de lo que significan sus acciones). La Lógica nos proporciona métodos de razonamiento formales que nos permiten realizar demostraciones, y más adelante dedicaremos un capítulo entero a este tema. Aquí presentaremos tan sólo las ideas básicas de lo que significa realizar una demostración siguiendo un cálculo formal. Presentaremos ahora un sistema axiomático, organizado de manera parecida al famoso libro de Geometría Elementos de Euclides: primero establecemos unos pocos principios básicos (los axiomas) y después presentamos una manera simple de generar más principios (los teoremas). El uso sucesivo de estos pasos simples nos lleva a teoremas más complejos, algunos de ellos sorpresivos. Definición 2.22 (axiomatización) Una demostración sintáctica es una secuencia finita de fórmulas en la cual cada fórmula, o es un axioma, o se obtiene a partir de las fórmulas anteriores mediante una regla de derivación. Una fórmula es un teorema si aparece en alguna demostración, generalmente como su última fórmula. Un conjunto de axiomas y reglas definen un sistema axiomático para una lógica dada.

22 2-22 CAPÍTULO 2. LÓGICA PROPOSICIONAL A continuación presentamos un sistema axiomático para la Lógica Proposicional. Los axiomas se presentan como esquemas (esquemas de axiomas), con letras griegas representando fórmulas arbitrarias. (1) ϕ (ψ ϕ) (2) (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) (3) ( ϕ ψ) (ψ ϕ) La única regla de derivación, modus ponens, ya ha aparecido anteriormente: a partir de ϕ y ϕ ψ se deriva ψ. Este sistema axiomático, desarrollado por el lógico Polaco Jan Łukasiewicz, sólo nos permite usar dos conectivos lógicos: condicional y negación. En la sección dedicada a expresividad (sección 2.9) se verá por qué este vocabulario, que podrá parecer limitado, es en realidad suficiente. En este curso no nos enfocaremos en demostraciones sintácticas, pero es importante observar cómo esta herramienta nos permite demostrar hechos basándonos simplemente en manipulaciones sintácticas (este método puede ser interpretado como un juego, como se verá mas adelante). Presentaremos tan sólo un ejemplo, para tener una mejor idea de su funcionamiento. Ejemplo 2.23 Como ejemplo de una demostración sintáctica demostraremos que p p es un teorema. Semánticamente es claro que esta fórmula es una tautología, pero nuestro interés es ahora derivarla utilizando tan sólo las herramientas que el sistema axiomático nos proporciona. En la siguiente demostración utilizaremos instancias concretas de los esquemas de axiomas. Por ejemplo, la primera línea utiliza el esquema de axioma (1), con la proposición básica p tomando el lugar de ϕ y la fórmula q p tomando el lugar de ψ. 1. p ((q p) p) Esquema de axioma (1) 2. (p ((q p) p)) ((p (q p)) (p p)) Esquema de axioma (2) 3. (p (q p)) (p p) Modus ponens sobre 1 y 2 4. p (q p) Esquema de axioma (1) 5. p p Modus ponens sobre 3 y 4 En este curso no requeriremos que los estudiantes construyan este tipo de demostraciones, pero es importante desarrollar habilidad para realizarlas ya que esencialmente consisten en manipulaciones puramente simbólicas. En general, una demostración se basa no sólo en los esquemas de axiomas sino también en ciertas suposiciones adicionales. He aquí un ejemplo más cercano al razonamiento que realizamos en la vida diaria.

23 2.7. DEMOSTRACIÓN 2-23 Ejemplo 2.24 Utilice tan sólo modus ponens y los axiomas de esquemas adecuados para derivar la solución al siguiente problema. Se quiere organizar una fiesta respetando las siguientes incompatibilidades: (a) (b) (c) Juan es invitado si María o Ana son invitadas. Ana es invitada si María no es invitada. Si Ana es invitada, Juan no. A quiénes se debe invitar? Hay varias maneras de encontrar la solución, incluyendo las actualizaciones que estudiaremos en la siguiente sección. Pero, por ahora, podemos demostrar cuál debe ser la solución? He aquí un poco de ayuda: (i) Si Ana es invitada, Juan no corresponde a la fórmula a j, (ii) Ana es invitada si María no es invitada es m a, (c) Juan es invitado si María o Ana son invitadas puede ser reescrito equivalentemente como una conjunción, Juan es invitado si María es invitada y Juan es invitado si Ana es invitada, que en nuestro lenguaje formal corresponde a las fórmulas m j y a j. Ahora podemos demostrar, utilizando los esquemas de axiomas y la regla de derivación anteriores, que debemos tener a, m y j. A divertirse! Así concluimos nuestra primera mirada a los sistemas de demostración. Propiedades del sistema: correctitud y completitud Si todos los teoremas de un sistema axiomático dado son tautologías (fórmulas válidas), entonces decimos que el sistema es correcto; si todas las tautologías son teoremas, entonces decimos que el sistema es completo. Correctitud es un requerimiento obvio: uno desea un sistema de demostración confiable. El sistema que presentamos es correcto, ya que todos los axiomas son tautologías y la única regla de derivación, Modus ponens, nos lleva de tautologías a tautologías. Completitud es un asunto diferente, y en general no es fácil demostrar que un sistema dado tiene esta propiedad. ( El sistema de axiomas de Euclides es suficiente para demostrar todas las verdades en Geometría? La respuesta tardó varios siglos en ser encontrada, y requirió una reformulación del sistema.) El sistema que presentamos es completo, y también lo son los sistemas de demostración que serán presentados más adelante. (Un caso interesante es el de la Lógica de Predicados, que será discutida en el capítulo 4. El descubrimiento de un sistema completo para ella, realizado por Kurt Gödel en su tesis de 1929, fue el primer resultado importante en la Lógica moderna.) La demostración sintáctica es tan sólo uno de los muchos métodos utilizados en Lógica para verificar validez de fórmulas. También tenemos deducción natural (utilizada frecuentemente en Teoría de la Demostración) y resolución (utilizada en demostradores automáticos de teoremas). En el capítulo 9 discutiremos estos métodos con más detalle.