Las reglas de divisibilidad Por: Enrique Díaz González
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- Lucía Olivera Acosta
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1 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce Ls regls de divisibilidd Por: Erique Díz Gozález Itroducció Desde l escuel elemetl los estudites se les eseñ cudo u etero es divisible, por ejemplo, por ó por ó por 5. Si embrgo, o se d ls justificcioes correspodietes porque se ecesit u ivel de coocimieto más vzdo. E este rtículo queremos justificr, usdo el rzomieto deductivo, ls regls de divisibilidd más utilizds. El fudmeto mtemático descs e l oció de cogrueci uméric itroducid por Guss. Defiició. Se dice que dos eteros y b so cogruetes módulo d, dode d es etero myor que, si y b d el mismo residuo l dividirlos por d. Si es cogruete co b módulo d, se ot b ( mód d ) Ejemplos. ) 5 9 ( mód ) pues 5 = x + y 9 = x4 + ( el residuo es ) ) 7 8 ( mód 5 ) pues 7 = x5 + y -8 = ( - ) x5 + ( el residuo es ) ) 6 ( mód 6 ) pues -6 = (-)x6 + y - = (-)x6 + ( el residuo es ) Lem. Ls siguietes codicioes so equivletes: ) b ( mód. d ) ) = b + sd, pr lgú etero s ) d divide b Demostrció. ) ). Si b ( mód d ) etoces = md + r, b = d + r Restdo : b = ( m ) d = s d, dode s = m Revist 6 ο / N o. / 6
2 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce Luego = b + sd, pr lgú etero s ) ) Si = b + sd, etoces b = sd y ésto implic que d divide b ) ) Si d divide b, existe etero s tl que b = sd Supogmos que = d + r dode r < d y que b = ld + r dode r < d Restdo : b = ( l )d + ( r r ) sd = ( )d + ( r r ). Esto implic que d divide r r lo cul es imposible meos que r r se cero y por lo tto r = r. Corolrio. ( mód d ) si y sólo si es divisible por d Demostrció. Result de imedito por l codició ) del Lem. Lem. Si z ( mód m ) y z ( mód ), dode m y so primos reltivos, etoces z ( mód m ) Demostrció i) Si z ( mód m ) etoces z es divisible por m y luego z = m, etero ii) Si z ( mód ) etoces z es divisible por y luego z =, etero De dode se obtiee m = y luego = m Como m y so primos reltivos, m debe dividir, es decir, = m, etero Por lo tto, = Revist 6 ο / N o. / 6
3 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce Reemplzdo e i) se tiee z = m y esto sigific que z ( mód m ) E otrs plbrs, el lem dice que si u etero z es divisible por eteros m y, primos reltivos etre sí, etoces z es divisible por el producto m. L utilidd de l otció de cogrueci estrib e el hecho de que, co respecto u módulo fijo, tiee ls propieddes de l relció de iguldd, es decir, ) ( mód d ) Propiedd Reflexiv ) Si b ( mód d ) etoces b ( mód d ) Propiedd Simétric ) Si b ( mód d ) y b c ( mód d ) etoces c ( mód d ) Propiedd Trsitiv. Se dej l lector verificr ests propieddes. Lem. Si ( mód. d ) y b b ( mód. d ), etoces : ) + b + b ( mód. d ) ) b b ( mód. d ) ) b b ( mód. d ) 4) c c ( mód. d ) pr culquier úmero rel c Demostrció. Si = + rd y b = b + sd, pr ciertos eteros r y s, etoces: ) + b = + b + ( r + s) d ) b = b + ( r s) d ) b = b + ( s + b r + rsd) d Revist 6 ο / N o. / 6
4 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce 4 4) c = c + ( rc) d De ests igulddes se obtiee ls firmcioes del lem. II. Ls regls de divisibilidd. Se z culquier etero expresdo e el sistem deciml e l form = , dode i 9 z y, i =,, A. Divisibilidd por Teemos que ( mód. ) pr =,,.., por Corolrio del Lem Por lo tto, ( mód. ), por l propiedd 4 ) del Lem Si ( mód. ) ( es decir, si es úmero pr ), etoces ( mód. ) ( mód. ) ( mód. ) ( mód. ) Sumdo ests cogruecis se tiee z ( mód. ) lo cul sigific que z es divisible por. De quí se obtiee l regl : A) Si u etero termi e cifr pr, etoces es divisible por. B. Divisibilidd por. Teemos que ( mód. ) pr =,,,., Revist 6 ο / N o. / 6
5 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce 5 Además ( mód. ) ( mód. ) por l propiedd 4) del lem.. ( mód. ) Sumdo ests cogruecis, result z ( mód. ) De quí se obtiee l regl : B) Si l sum de los dígitos de u úmero es divisible por, etoces el úmero es divisible por. C. Divisibilidd por 4. Teemos que ( mód. 4 ) pr =,,4,.., Si + ( mód. 4 ) etoces + ( mód. 4 ) ( mód 4 ) Sumdo ests cogruecis, result... ( mód. 4 ) z ( mód. 4 ) De quí se obtiee l regl: C) Si el úmero formdo por ls dos últims cifrs de u etero es divisible por 4, etoces el etero es divisible por 4. Revist 6 ο / N o. / 6
6 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce 6 Usdo el mismo rgumeto, se obtiee l regl de l divisibilidd por 5 : si el úmero formdo por ls dos últims cifrs de u etero es divisible por 5, etoces el etero es divisible por 5. D. Divisibilidd por 5 Se tiee que ( mód. 5 ) pr =,,,..., Etoces si ( mód. 5 ), result que = 5t y como 9 se obtiee t = ó t =. E cosecueci, = ó = 5 Por lo tto : ( mód. 5 ) ( mód. 5 ).. ( mód. 5 ) Sumdo: z ( mód. 5 ) De quí se obtiee l regl : D) Si u úmero termi e ó e 5, etoces es divisible por 5 E. Divisibilidd por 6 Se tiee que ( mód. 6 ) pr =,,,.., E efecto, ( mód. 6 ) Elevdo l cudrdo 4 - ( mód. 6 ) Multiplicdo miembro miembro 4 ( mód. 6 ) y sí sucesivmete. Además ( mód. 6 ) Revist 6 ο / N o. / 6
7 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce 7 ( mód. 6 ).. ( mód. 6 ) Sumdo : z... ( mód. 6 ) ( ) (mód. 6 ) ( ) ( mód. 6 ) Si es divisible por y si es pr, el segudo miembro es divisible por y por y, por lem, es divisible por 6. Se deduce que z es divisible por 6. De dode se tiee l regl: E) Si u etero es divisible por y por, etoces es divisible por 6. F. Divisibilidd por 7 Teemos que ( mód 7 ) ( mód 7 ) ( mód 7 ) 4 ( mód 7 ) 5 ( mód 7 ) 6 ( mód 7 ) 7 ( mód 7 ) y sí sucesivmete Por lo tto, ( mód 7 ) ( mód 7 ) Revist 6 ο / N o. / 6
8 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce 8 ( mód 7 ) ( mód 7 ) ( mód 7 ) ( mód 7 ) ( mód 7 ) 7 7 ( mód 7 ) 7 Sumdo se obtiee: z Por lo tto, se obtiee l regl : F) Si l expresió : es divisible por 7, etoces el úmero z = tmbié lo es. Ejemplo. El úmero 97 es divisible por 7 porque = = = 8 es divisible por 7 G. Divisibilidd por 8 Teemos que ( mód 8 ) pr Por lo tto, ( mód 8 ) ( mód 8 ) ( mód 8 ) Revist 6 ο / N o. / 6
9 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce 9 ( mód 8 ) ( mód 8 ) Sumdo Por lo tto si z + + ( mód 8 ) + + es divisible por 8, etoces z es divisible por 8. De quí l regl : G) Si el úmero formdo por lo tres últimos dígitos de u etero es divisible H. Divisibilidd por 9 por 8, etoces el etero es divisible por 8. Teemos que ( mód 9 ) ( mód 9 ) ( mód 9 ) de dode se obtiee ( mód 9 ) ( mód 9 ) ( mód 9 ) Sumdo z ( mód 9 ) De dode result l regl: H) Si l sum de ls cifrs de u úmero es divisible por 9, etoces el úmero es divisible por 9. Revist 6 ο / N o. / 6
10 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce I. Divisibilidd por Teemos que ( mód ) pr =,,..., Si ( mód ) etoces =, y que 9 De dode se obtiee l regl I) Si u etero termi e, etoces es divisible por J. Divisibilidd por Se tiee que ( mód ) ( mód ) ( mód ) 4 ( mód ). ± ( mód ) depediedo si es pr o impr Por lo tto, ( mód ) ( mód ) ( mód ) ± ( mód ), depediedo si es pr o impr Result etoces z ± 4 Revist 6 ο / N o. / 6
11 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce De quí se obtiee l regl J) Si l sum de los dígitos de u etero lterdos e sigos es divisible por, etoces el úmero es divisible por. Ejemplo : el úmero 689 es divisible por y que = es divisible por K. Divisibilidd por Se tiee ( mód ) 4 ( mód ) 8 4 ( mód ).. 4 ( mód ) pr Etoces ( mód ) ( mód ) ( mód ) 4 4 ( mód ).. 4 ( mód ) Sumdo z ( mód ) z ( ) ( mód ) Revist 6 ο / N o. / 6
12 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce Si el prétesis es divisible por, etoces z es divisible por. Si 6 es divisible por 4, etoces z es divisible por 4 porque ls dos últims cifrs de z se puede escribir de l siguiete form: + = + + = = ( 6 ) Lo cul implic que z es divisible por 4. Por lo tto z es divisible por y por 4. De cuerdo l lem, z es divisible por. De quí result l regl K) Si u etero es divisible por y por 4, etoces es divisible por L. Divisibilidd por Se tiee que ( mód ) ( mód ) 9 4 ( mód ) ( mód ) 4 ( mód ) 5 4 ( mód ) 6 ( mód ) 7 ( mód ) Revist 6 ο / N o. / 6
13 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce Se comiez repetir l secueci (,, 4,,,4, ) e ese orde. Por lo tto, z ( mód ) 4 5 De dode result l regl L) Si es divisible por, etoces z es divisible por Ejemplo: El úmero,4 es divisible por y que = 6 es divisible por Bibliogrfí. Court, Richrd d Robbis, Herbert:Wht is Mthemtics? Secod Editio, Oxford Uiversity Press, 996 Erique Díz Gozález, ediz@poce.iter.edu Ctedrático Auxilir de Mtemátics de l Uiversidd Itermeric de Puerto Rico Recito de Poce. M.S. Uiversity of Illiois. Revist 6 ο / N o. / 6
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Estatuto para los números reales: Una herramienta para el aprendizaje formal de las operaciones básicas de matemáticas.
Esttuto pr los úmeros reles: U herrmiet pr el predizje forml de ls opercioes básics de mtemátics. Cosuelo Vlle Espios Rfel Herádez-Wlls Fcultd de Ciecis Mris, Uiversidd Autóom de Bj Clifori Resume El presete
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN. Recordemos en primer lugar algunas definiciones y propiedades de la potenciación y de la radicación de números reales:
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN Recordemos e primer lugr lgus defiicioes y propieddes de l potecició y de l rdicció de úmeros reles: PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Poteci de expoete cero : 0 = por defiició,
Operaciones con Fracciones
Frccioes Opercioes co frccioes Opercioes co Frccioes Reducció de frccioes Frccioes co igul deomidor: De dos frccioes que tiee el mismo deomidor es meor l que tiee meor umerdor. < Frccioes co igul umerdor:
Sucesiones de Números Reales
Apédice A Sucesioes de Números Reles A.. Defiicioes U sucesió de úmeros reles es u correspodeci A que soci, cd úmero turl, u úmero rel A ( ) El cojuto de los úmeros turles, cotiee ifiitos elemetos e u
Matemáticas técnicas. Física Sexta edición Paul E. Tippens. Capítulo 2
Cpítulo 2 Físic Sext edició Pul E. Tippes Mtemátics técics Números co sigo Repso de álgebr Expoetes y rdicles Notció cietífic Gráfics Geometrí Trigoometrí del triágulo rectágulo Números co sigo Regl de
a se llama la n-ésima potencia de a, siendo a la base y n el
Guí de estudio Expoetes rdicles Uidd A: Clse Cmilo Eresto Restrepo Estrd, Li Mrí Grjles Vegs Sergio Ivá Restrepo Ocho.. Expoetes rdicles. Este trjo está pesdo pr repsr el álger elemetl estudid e el chillerto.
Progresiones aritméticas y geométricas
Progresioes ritmétics y geométrics Progresioes ritmétics y geométrics. Esquem de l uidd PROGRESIONES Progresioes Aritmétics Progresioes Geométrics Iterés compuesto Sum de térmios Sum de térmios Producto
1. Aplicar la definición para hallar, sin calculadora, el valor de las siguientes potencias:
EJERCICIOS de POTENCIAS º ESO cdémics FICHA : Potecis de expoete IN RECORDAR:... Defiició de poteci ( veces). Aplicr l defiició pr hllr, si clculdor, el vlor de ls siguietes potecis: ) b) ( ) c) d) ( )
Ejercicios para entrenarse
Uidd Potecis de úmeros reles Ejercicios pr etrerse Clcul ls siguietes expresioes: : 0 :. : 9 :. c)) - 0 -. d)) : : - 9 9 9 - /. Clcul ls siguietes expresioes: x x x x x : x x - x - /x. ( -x) x x x x x
4º ESO Opción A ARITMÉTICA Esquema resumen
4º ESO Opció A ARITMÉTICA Esquem resume NÚMEROS Números Nturles ( N ): so los que sirve pr cotr. So,, Números Eteros ( Z ): so los turles y sus simétricos egtivos. So -, -, -, 0,, 4 Números Rcioles ( Q
10. Series de potencias
0. Series de potecis Aálisis de Vrible Rel 204 205 Resume Se verá e este tem u tipo especil de serie de fucioes: ls series de potecis. Veremos que ests tiee us propieddes muy prticulres, que ls hce prticulrmete
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Tema 1: Números reales.
Tem : Números reles. REALES se utiliz pr Medir mgitudes se obtiee Ctiddes todos so Números Errores viee fectds de errores Aproximcioes clses se represet Rect rel Aproximcioes decimles Redodeos Trucmieto
Matemáticas B 4º E.S.O. Tema 1 Los números Reales 1 3º ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS. Simplificar la fracción, si es posible N = 50
Mtemátics B º E.S.O. Tem 1 Los úmeros Reles 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.0 INTRODUCCIÓN º 1.0.1 ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS º RACIONALES(Q)???????? NO RACIONALES NATURALES(N) 0 ; ; ; 81...
CALCULO GRADO EN INGEN. INFORM. DEL SOFTWARE TEMA 3. SUCESIONES Y SERIES. Sucesiones de números reales: monotonía, acotación y convergencia.
Muel José Ferádez, mjfg@uiovi.es CALCULO GRADO EN INGEN. INFORM. DEL SOFTWARE. - TEMA. SUCESIONES Y SERIES.: Sucesioes umérics. Sucesioes de úmeros reles: mootoí, cotció y covergeci. Se llm sucesió de
8 1 2n 2. 2( n 1) 1 2n 1 2n 1 2n 1
E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Curso 00-0 Grdos E.T.S.I. Idustriles y Telecomuicció Asigtur: Cálculo I Tem : Sucesioes y Series Numérics. Series de Potecis. Ejercicios resueltos Estudir l mootoí de
Definición: Es un conjunto ordenado de términos. Se representan mediante una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
SUCESIONES Y SERIES Sucesió Es u cojuto ordedo de térmios. Se represet medite u ució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros turles. Se expres l ució que geer los térmios de l sucesió como ( ) =. Al térmio
Fracción generatriz de un decimal. Denominador :1 seguido de tantos 0 como cifras decimales haya 1000 = 7 8
º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- NÚMEROS- PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES.- FRACCIONES Y DECIMALES Opercioes comids co frccioes Pr relizr vris opercioes se reliz primero los prétesis y se
9 Proieddes del roducto de úmeros or mtrices: b y M m. socitiv: b b Distributiv e : b b Distributiv e M m : Elemeto eutro: =.. Producto de mtrices Pr
. OPERIONES ON MRIES.. Sum de mtrices Pr oder sumr dos mtrices ésts debe teer l mism dimesió. Etoces se sum térmio térmio: b b m m m Proieddes de l sum de mtrices: socitiv: omuttiv: Elemeto eutro: L mtriz
TEMA Nº 1: NÚMEROS REALES
Deprtmeto de Mtemátics. I.E.S. Ciudd de Arjo º BAC MCS TEMA Nº : NÚMEROS REALES. NÚMEROS RACIONALES. EXPRESIONES DECIMALES.. NÚMEROS RACIONALES. EXPRESIONES DECIMALES. NÚMEROS IRRACIONALES.. NÚMEROS REALES.
TEMA 8: SUCESIONES DE NÚMEROS. PROGRESIONES. a 1, a 2, a 3,, a n
TEMA 8: UCEIONE DE NÚMERO. PROGREIONE.- UCEIONE DE NÚMERO RACIONALE: U sucesió es u cojuto ordedo de úmeros reles:,,,, - Los úmeros turles se llm ídices. El subídice idic el lugr que el térmio ocup e l
1. Aplicar la definición para hallar, sin calculadora, el valor de las siguientes potencias:
FICHA : Potecis de expoete IN RECORDAR:... Defiició de poteci ( veces). Aplicr l defiició pr hllr, si clculdor, el vlor de ls siguietes potecis: ) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) ) o) p) q) r) s) t)
Binomio de Newton. Teorema: Sean a, b dos números reales no nulos, y sea n N un número natural. Entonces: a n k b k. n 1 a n 1 b + 2.
Biomio de Newto Teorem del biomio de Newto Teorem: Se, b dos úmeros reles o ulos, y se N u úmero turl. Etoces: b b b b b b L expresió l derech se deomi el desrrollo biomil de b. Observmos que este desrrollo
El conjunto de los Números Reales
El cojuto de los Números Reles Al cojuto de los úmeros reles se lleg por sucesivs mplicioes del cmpo umérico prtir de los úmeros turles. E cd u de ls mplicioes se vz y se logr mejorr respecto de l terior.
POTENCIA DE UN NÚMERO NATURAL. a, es igual al producto de n veces el número Natural
LICEO DE CERVANTES PP. AGUSTINOS BOGOTÁ ÁREA DE MATEMÁTICAS ASIGNATURA: Mtemátics DOCENTE: Elky F. Ortiz GRADO: QUINTO FECHA: CALIFICACIÓN DESCRIPCIÓN: Guí - Tller de potecició, Rdicció y logritmció. ESTUDIANTE:
MATRICES: INVERSA GENERALIZADA DE MOORE-PENROSE. Jorge Eduardo Ortiz Triviño
MTRIES: INVERS GENERLIZD DE MOORE-PENROSE Jorge Edurdo Ortiz Triviño jeortizt@uleduco http:/wwwdocetesuleduco Mtrices Elemeto: ij Tmño: m Mtriz cudrd: orde ) Elemetos de l digol: m m m Vector colum mtriz
Qué tienes que saber?
Potecis y ríces Qué tiees que ser? QUÉ tiees que ser? Te e cuet Si 0 y 0, se verific que: 0 ( m m m+ m ( m m Te e cuet U úmero e otció cietífic se escrie como u producto de dos fctores: U úmero deciml
lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5.
Itroducció º ESO º ESO Pr operr co frccioes se sigue el mismo método que pr operr co úmeros eteros. Es decir, hy que respetr u jerrquí. Recordémosl: 1. Corchetes y prétesis.. Multipliccioes y divisioes..
Definición: Llamamos función exponencial a una función que se expresa de la forma: x. ( x)
FUNCIÓN EXPONENCIAL Defiició: Llmmos fució epoecil u fució que se epres de l form: f = = co > 0 ( ), dode f ( ) : R R > 0 Ates de trbjr específicmete, co ls fucioes epoeciles, recordemos lguos coceptos
POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS RACIONALES
Lecció : POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS RACIONALES.1.- POTENCIA DE UNA FRACCIÓN Si se tiee e cuet que ls frccioes so cocietes idicdos y que l poteci de u cociete es igul l cociete de potecis, se puede decir
TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Profesor: Rf Gozález Jiméez Istituto St Eulli TEM 2: SISTEMS DE ECUCIONES LINELES ÍNDICE 2..- Sistems de Ecucioes Lieles. Geerliddes. 2.2.- Sistems equivletes. 2.3.- Resolució de S.E.L. por mtriz ivers.
En este capítulo expondremos brevemente (a modo de repaso) conceptos básicos sobre los sistemas de numeración.
Arquitectur del Computdor ots de Teórico SISTEMAS DE UMERACIÓ. Itroducció E este cpítulo expodremos brevemete ( modo de repso) coceptos básicos sobre los sistems de umerció. o por secillo el tem dej de
Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesiones numéricas. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria
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Capítulo 3. Postulados de la mecánica cuántica
Cpítulo 3 Postuldos de l mecáic cuátic 3 Postuldos 3 Medició 33 Form de los operdores 34 Iterpretció de l fució de od 35 cució de Schrödiger 3 Postuldos de l mecáic cuátic L mecáic cuátic se puede costruir
Todo número complejo se representa gráficamente en el plano de GAUSS. z = (a, b)
Álgebr y Geometrí Alític Año 00 UNIDAD Nº : Números Complejos UNIDAD Nº : NÚMEROS COMPLEJOS Itroducció L ecució x + b /, b IN co < b o tiee solució e el cojuto de los úmeros turles (IN), pero sí es soluble
Matemáticas II Hoja 2: Matrices
Profesor: Miguel Ágel Bez lb (º Bchillerto) Mtemátics II Hoj : Mtrices Opercioes: Ejercicio : Ecotrr ls mtrices X e Y tles que: X Y 5 X Y 7 Ejercicio : 5 Dds ls mtrices y B, clcul: ) -B b) B c) B(-) d)
ARITMÉTICA MODULAR. CONGRUENCIAS ENTERAS Carl Friedrich Gauss ( )
CONGRUENCIAS ENTERAS Carl Friedrich Gauss (1777 1855) ARITMÉTICA MODULAR Defiició Sea m, a, b. a es cogruete co b módulo m si y sólo si ma b. a b (mód m) La relació de cogruecia es ua relació de equivalecia:
PAIEP. Sumas de Riemann
Progrm de Acceso Iclusivo, Equidd y Permeci PAIEP Uiversidd de Stigo de Chile Sums de Riem Ddo u itervlo de l form [, b], co y b e R, < b, u prtició del itervlo [, b] es u colecció de putos P = {x, x,...,
Soluciones de las actividades = (8,48 : 7,7) Página Las expresiones son: a) 2 3 / 2 b) 2 5 /3 c) x 2 / 5 + = 6. Las expresiones son: a) 4 2
Solucioes de ls ctividdes Pági. Los resultdos so ) - ) -, -, π π π 0,. Los resultdos epresdos e otció cietífic so ) ) 0, 0, 0, 0, 0, 0 (0 0 - ),0 0 (,,) 0,0 (0,,) (0-0 ) 0,, 0 0 -, 0 -. Los resultdos so
Guía Semana RESUMEN. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática
. ESUMEN Igeierí Mtemátic FACULTA E CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVESIA E CHILE Cálculo e Vris Vribles 08- Igeierí Mtemátic Uiversidd de Chile Guí Sem 0 Itegrl y propieddes básics. d f : Ê y u reticuldo
Series de números reales
Series de úmeros reales Covergecia de series uméricas Ejercicio. series: a) ) + b) 3 3 ) c) +) Aplicar el criterio de la raíz para estudiar la posible covergecia de las siguietes Solució. a) Aplicamos
Guía de actividades. PROGRESIONES SERIES Profesor Fernando Viso
Guí de ctividdes PROGRESIONES SERIES Profesor Ferdo Viso GUIA DE TRABAJO Mteri: Mtemátics Guí #. Tem: Progresioes ritmétics Fech: Profesor: Ferdo Viso Nombre del lumo: Secció del lumo: CONDICIONES: Trbjo