2.- DEFINICIONES Y TEOREMAS BÁSICOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Transcripción

1 EMA 9: PROGRAMACIÓ LIEAL.- IRODUCCIÓ 2.- DEFIICIOES Y EOREMAS ÁSICOS DE LA PROGRAMACIÓ LIEAL 3.- RESOLUCIÓ DEL PROLEMA 3..- Método Gráfico El Algoritmo del Simple Justificación del Criterio de Entrada Justificación del Criterio de Salida Variables Artificiales Método de las Penaliaciones. 4.- PROGRAMACIÓ CUADRÁICA. 77

2 EMA 9 PROGRAMACIÓ LIEAL..- IRODUCCIÓ Un problema de optimiación en términos matemáticos queda definido por: a) Las variables del problema, que reciben el nombre de variables instrumentales. Se notarán por el vector. b) La función objetivo f() que es la descripción en términos matemáticos del objetivo a conseguir. c) El conjunto de oportunidades k o conjunto de valores que satisfacen todas las condiciones del problema que se trata de resolver. d) En general ( ) k m I i i donde i () son las condiciones de restricción. Una de las modalidades de la programación matemática es la programación lineal, que se caracteria por:.- La función objetivo es lineal, es decir f() c + c Las restricciones del problema también son lineales (); a + a a n n b 2 ();...a 2 + a a n n b m ();...a m + a m a mn n b m 78

3 3.- Las variables instrumentales an de tomar necesariamente valores mayores o iguales que cero. Se trata de una condición de no negatividad i En notación matricial ma (min) c t s.a A b Donde c t 2 ( c, c,..., c ) n 2 n son vectores de n componentes A es una matri de m n llamada también matri técnica a a... a a a... a A a a... a 2 n n m m2 mn ( P, P, P,..., P ) 2 3 n siendo P j el vector columna asociado a la variable j y es el vector de términos independientes de m componentes. b b2 b b m El problema de programación lineal puede presentarse en 3 formas diferentes. (a).- En forma canónica, cuando las restricciones son desigualdades en una de las 2 formas siguientes: 79

4 a..- ma (min) c t s.a A b a.2.- ma (min) s.a c t A b (b).- En la forma estándar, cuando las restricciones son igualdades ma (min) c t s.a A b (c).- En forma mita, cuando eisten unas restricciones como desigualdades, tanto mayor o igual, como menor o igual, y otras como igualdades. Para transformar el problema a su forma estándar, se recurre a las variables de olgura, cuyo sentido es recoger los ecesos o defectos de las restricciones. La restricción ( i ) d () puede ser: a + a a b d d 2 2 d n n d y con la introducción de la variable de olgura a + a a + b d d 2 2 d n n d d bien d () puede venir dada por a + a a b d d 2 2 d n n d y se convierte en a + a a b d d 2 2 d n n d d 8

5 Estas variables poseen una importante interpretación económica. Si en la solución del problema la variable de olgura de la restricción d es cero, d, indica que la restricción está saturada o que se verifica como igualdad. Por el contrario d >, indica que no se verifica como igualdad sino que eiste un eceso de recursos no utiliados si la restricción estaba planteada como ( ) y también puede significar un eceso de consumos de disponibilidades mínimas cuando la restricción es mayor o igual ( ). Con estas variables de olgura también denominadas variables secundarias en contraposición a las variables principales, el problema se reduce fácilmente a la forma estándar Ma c t. s.a A. b Donde (, ) y A es la matri técnica de los coeficientes de las variables y. Al aumentar el número de variables, a de aumentar también el número de coeficientes en la función objetivo. Se recurre a coeficientes de valor cero c (c, ) para valores de olgura. 8

6 2.- DEFIICIOES Y EOREMAS ÁSICOS DE PROGRAMACIÓ LIEAL Solución factible: El conjunto de oportunidades k, queda definido por la intersección de las restricciones, que al ser desigualdades lineales delimitan semiespacios cerrados. Por lo tanto el conjunto de oportunidades es un conjunto conveo, al ser intersección de conjuntos conveos. Caso de no ser vacío recibe el nombre de politopo, y si está acotado se llama poliedro. Se llama solución factible o vector admisible de un problema de programación lineal en forma standard a cualquier vector que satisface las restricciones A. b y i. En otras palabras, la solución factible a de ser una solución que esté contenida dentro del conjunto conveo de oportunidades. La solución factible óptima es aquel o aquellos vectores admisibles para los que la función objetivo alcana el óptimo. Si k es un poliedro, la solución óptima puede ser única (solución de vértice, Figura.) o puede tener infinitas soluciones (solución de arista o de cara) (Fig..2) Si k es un politopo no acotado puede tener solución única (Fig..3), infinitas soluciones (Fig..4) o no tener solución (Fig..5) Si k es vacío no ay solución Figura. 82

7 Punto etremo un punto F se dice que es un punto etremo de conjunto de oportunidades F si y solo si no puede ser epresado como: α + ( α), F, < α <, Solución básica Considere un problema lineal epresado en su forma estándar: min (ma) c s. a A b Donde el rango de A es m. Se puede dividir la matri A en 2 submatrices y. de orden m m y de orden m (n-m). odo el vector admisible contiene m componentes asociados a y n-m componentes asociados a. Esto es: A[ ] y y por lo tanto: A + b Se dice que una solución es básica si: ; Y por lo tanto: b El vector, vector de los componentes de asociadas a, es el vector de variables básicas, (forman la solución básica). Mientras que el vector, vector de las componentes de asociadas a y cuyo valor es cero, es el vector de variables no básicas. 83

8 84 eorema I Un punto en un programa lineal epresado en forma estándar es un punto etremo si y sólo si es una solución básica. O sea b Demostración: Sea una solución factible básica, y por lo tanto: La demostración se ará por contradicción. Si no es un punto etremo entonces deberán eistir dos puntos y y de tal manera que: ; y ; y y y y y y < < + ) ( α α α Si el punto es una solución básica entonces: + y y ) ( α α Así pues para las variables no básicas se cumple que: y + ) ( α α (recordando que ; y ) y Por otra parte como los puntos son factibles deben satisfacer las restricciones: b y y si la matri es invertible entonces.

9 y Lo cual nos lleva a una contradicción, debiendo cumplirse necesariamente que si es punto etremo es también una solución factible básica. eorema II La solución óptima de un problema lineal cae siempre en un punto etremo de la región factible F Demostración: La demostración la aremos por reducción al absurdo. Sea * el óptimo de un programa lineal (sin pérdida de generalidad digamos que estamos minimiando). Supongamos que * no es un punto etremo:, entonces: i * αi αi > αi i i multiplicando en ambos lados por c : c * i α i i c Pero como además * es el punto óptimo entonces : i c * < c Estas dos últimas ecuaciones son contradictorias, y por lo tanto la solución óptima * debe ser, necesariamente, un punto etremo. Corolario: Si la función alcana un mínimo (máimo) en más de un punto etremo toma el mismo valor para cualquier combinación lineal convea de dicos puntos. 85

10 86 eorema 3: Una condición necesaria y suficiente para que * sea una solución óptima es que: c c Demostración Recordemos que el problema que estamos resolviendo es el siguiente: b A c.. min : a s Haciendo la separación entre variables básicas y no básicas: b c c min : a s Despejando del conjunto de restricciones: b b + Sustituyendo en el problema original queda lo siguiente: ( ) b c c c c ) b ( c min : a s Las condiciones necesarias de optimalidad de Karus-Kun-ucker de primer orden para el problema anterior son: µ µ c c > + ) (

11 y como el multiplicador de KK es positivo entonces necesariamente: c c que es la epresión que se buscaba. 3.- RESOLUCIÓ DEL PROLEMA Los teoremas anteriores transforman la tarea de resolver un problema de programación lineal en ir buscando la solución óptima entre las soluciones básicas y comprobar la condición de optimalidad formulada en le teorema III. La resolución se reduce a investigar sólo un número finito de puntos. m m! (El número total de puntos es que corresponde al número de vértices). n n! ( n m)! De entre los varios métodos propuestos para resolver este tipo de problemas destaca el método gráfico, y el algoritmo simple MÉODO GRÁFICO El método gráfico consiste en obtener geométricamente la solución del problema de programación lineal. Este método es recomendable sólo en el caso de que el número de variables sea reducido. Se precisa conocer: (a) La representación del conjunto de oportunidades F que viene dada por la intersección de los semiespacios definidos por las restricciones. (b) La gráfica de la familia de líneas de nivel definida por la función objetivo y el conjunto de oportunidades. El iperplano a de tomar el mayor valor en la solución si el problema es de maimiación y el menor si el valor es de minimiación. Ejemplo: supóngase un programa de maimiación con 2 variables y 2 restricciones dado por las ecuaciones: Ma F()

12 s.a , 2 2 (,5) m-4/5 (4,) Figura 2. Ejemplo de método gráfico para resolver un problema de programación lineal La ona oscura es el conjunto k. solución: punto 3 2, 5 88

13 3.2.- EL ALGORIMO SIMPLEX El algoritmo del simple como todo algoritmo iterativo, necesita un punto de partida que es la solución factible básica inicial (punto etremo inicial). Si esta solución no es la óptima se van generando, a través del método de cálculo que se epondrá más adelante, sucesivas soluciones básicas, (puntos etremos) asta determinar cuál de ellas es la óptima, momento en el cual se detiene el proceso. El algoritmo del simple se puede resumir en las siguientes etapas a. Encontrar una base inicial b. Resolver para las variables básicas c. Comprobar si se cumple el criterio de optimalidad d. En caso de que la condición c no se cumpla, eliminar una variable de la base, que pasaría a ser no básica e introducir una nueva variable básica seleccionada entre las no básicas. Veamos de forma detallada como se lleva a cabo el procedimiento en forma de tabla: (Lo aplicaremos a un problema de maimiación) El método simple en forma de tabla comiena por colocar ordenadamente en columnas todas las variables que forman parte del programa especificando en el encabeamiento el respectivo coeficiente cj de la función objetivo. Por filas, se sitúan las variables básicas acompañadas por los cj. Los componentes de la tabla son los distintos vectores P j que están en función de la base considerada. En una última columna se recogen los componentes del vector solución respecto de dica base. 89

14 p P 2 p f p m p k p n c C 2 c f c m c k c n X 2 f m k n P c k n b c 2 2 2k 2n b 2 2 c f f fk fn b f f c m m mk mn b m m j Z 2 f m k n F w j c k - k c n - n A partir de aquí se an de realiar las siguientes operaciones:.- Calcular los elementos de la penúltima fila de la tabla llamados Z j y cuyo valor es: j c j +c 2 2j +...+c m mj, siendo ij la i-esima componente del vector P j, con i,2,...,m. Los Z j de las variables básicas son Z j c j. 2.- Calcular los elementos de la última fila de la tabla (w j ) cuyo valor es w j c j -Z j. 3.- Comprobar si todos los w j son menores o iguales que cero. En caso afirmativo se an alcanado el óptimo. En caso contrario ay que seguir iterando. 4.- Si eisten varios vectores cuyo w j >, de entre ellos se elige el que toma el valor máimo, p.e p k. La variable k se convierte en variable básica y se debe eliminar alguno de los m primeros para que la base continúe teniendo m. Ma : w j > wk criterio de entrada 5.- Para seleccionar el vector que va a salir de la base, se elige aquel que minimice la epresión i ik con i,2,...,m donde ik son las componentes del vector P k que es el vector seleccionado previamente 9

15 Min: ik > i f ik fk criterio de salida Si todas las ik, no eiste solución óptima (Politopo no acotado) 6.- Se determina el elemento pivote, en nuestro caso fk, intersección de la columna del vector que entra P k y la fila del vector que sale P f. A continuación se lleva a cabo una eliminación de Gauss de tal manera que el elemento pivote se convierta en un y lo otros elementos de su columna pasen a ser ceros. 7.- Se vuelve nuevamente al punto uno. El proceso se obtiene cuando w j en cuyo caso se a alcanado el óptimo Justificación del criterio de entrada En una etapa cualquiera del proceso nuestra tabla queda como: 2. m 2.. t b I - - b c c c b Vemos que el valor que calculamos en la tabla W corresponde al término c c y por lo tanto la mejor decisión local es aquella que produce más mejora en la función objetivo es decir, la que tiene el mayor W Justificación del criterio de salida La idea es eliminar una variable de la base de tal manera que la solución siga manteniéndose positiva para todas las variables. Si tenemos: + b 9

16 + b + Y b donde Y b b Que escrito para cada una de una de las variables i: + i yik k bi i... m k Digamos que j entra en la base, nosotros queremos que entonces, de la ecuación anterior j y i i i bi yij j j bi yij i para asegurar que esto se cumple para todas las i debemos elegir la variable que tiene una b relación i b menor (entre aquellos con i ). yij yij Veamos un ejemplo: Planteamos el problema resuelto anteriormente por el método gráfico. Ma F() s.a , 2 Convertimos el problema a su forma standard. Ma... F( ) s. a ; ; ;

17 Se selecciona la base canónica como base de partida para el algoritmo (m) constituida por 2. Esta circunstancia ace que el vector P y los vectores P j de las variables no básicas son directamente conocidos. Se puede construir así la primera tabla del algoritmo: en las filas se sitúan las variables básicas y 2 y en las variables del programa y el vector P que coincide con el vector de términos independientes en esta primera tabla P * 5 Z j w j 4 5 La identificación de los vectores es bien simple 2 8 P P P ' ; ' 2 ; ' ; P' 2 ; P 5 w ; w 2 luego no se a alcanado el óptimo. Se toma la variable 2 al ser w 2 > w. Es decir la variable 2 se incorpora a la base de la que debe salir alguna de las variables básicas precedentes ó 2. Para seleccionar la variable que debe abandonar la base se analia el cociente i i ; por lo tanto debe abandonar la base el vector El elemento pivote aparece con un * en la tabla, realiamos pues una eliminación de gauss donde el elemento pivote debe tomar valor y el resto de los elementos de la columna ceros, por ser una columna de una variable básica. 93

18 * Z j w j 4-5 De acuerdo con lo dico el nuevo vector de entrada debe ser ; y el de salida (3/2<5/) no definido /2 -/2 3/ Z j w j -2-3 Hemos alcanado el óptimo 3/2 ; 2 5 F.3 Cómo se identifican las soluciones o falta de solución a través del algoritmo el simple? El procedimiento epuesto corresponde al caso de solución de vértice (solución única), pero también puede aparecer la solución de arista (solución múltiple) o la falta de solución. odos los casos quedan recogidos en el siguiente resumen. (a) Si se alcana una tabla en la que, para las variables no básica, los w j <, la solución es de vértice. Solución única. (b) Si alguno o algunos de los w j de los w j de las variables no básicas es nulo, la solución es de arista o de cara. Solución múltiple. (c) Cuando algún vector de la tabla tiene todas sus componentes no positivas ( i, i ) y w k, no eiste solución óptima, politopo no acotado. 94

19 (d) Si al ir calculando sucesivas tablas el valor de la función permanece constante y cada cierto número de tablas se vuelve de nuevo a la tabla que inició el proceso, repitiéndose sucesivamente, no se alcana ninguna solución recibiendo este caso el nombre de ciclo. (Eisten métodos para resolver el problema en este caso). El algoritmo antes mencionado con los criterios de entrada y salida sirve para resolver problemas de maimiar. Para minimiar podremos elegir entre 2 criterios:.- Variar w j. En la maimiación w j c j -Z j entrando a la base aquel j cuyo w j es mayor. Para el caso de minimiación se define w j Z j -c j y sigue entrando en la base la variable que lleva asociado el mayor w j. El óptimo se alcana cuando todos los w j de las variables no básicas son negativas. 2.- ransformar: min f() - ma( - f()) con lo que el problema de mínimo se transforma en un máimo. an sólo ay que cambiar el signo de la F. y aplicar el algoritmo. Una ve obtenido el óptimo ay que cambiar el signo de la F. para obtener la solución Variables artificiales El punto de partida del algoritmo del simple consiste en tomar la solución básica factible a la que se a denominado solución básica factible inicial y que está asociada con la base canónica. En los casos asta aora presentados (forma canónica con restricciones del tipo ), la solución básica factible inicial es muy fácil de obtener pues basta tomar las variables de olgura que se introdujeron para pasar a la forma estándar. o siempre se presentan los programas en la forma epuesta, pues puede aber: 95

20 Restricciones con desigualdades de signo en los que los coeficientes de las variables de olgura an de tomar signo negativo. Restricciones de igualdad en las que no puede aber variables afectadas por un vector e perteneciente a la bases canónica. En estos supuestos no resulta fácil tomar la solución factible básica inicial que sirva de punto de partida del algoritmo del simple. Para evitar esta dificultad se utilia el artificio de introducir otras variables con la condición de tener asociado un vector e i y sin que tengan ninguna interpretación económica o técnica. (En consecuencia dicas variables no pueden aparecer en la solución del problema como variables básicas. Si aparecen como tales significa que el problema carece de solución, es decir que las restricciones son incompatibles). Así por ejemplo ante una restricción de igualdad: a + a a b d d 2 2 dn n d se añade la variable artificial a d d a + a a + b d d 2 2 dn n a d Si la restricción es una desigualdad de signo mayor o igual: a + a a b d d 2 2 dn n d Se añade por una parte una variable de olgura de signo negativo que la transforme en igualdad (forma estándar) y por otra parte la variable artificial: d a + a a + b d d 2 2 dn n d a d El problema original se a visto ampliado como consecuencia de la introducción de estas variables, con un número indeterminado de ellas, que en todo caso no será superior a m (n de restricciones) y que reciben el nombre de variables artificiales. 96

21 El problema se puede tratar por el método de las penaliaciones o por el método de las dos fases Método de penaliaciones Se introducen las variables artificiales en la función objetivo, penaliando dicas variables con un coeficiente M, siendo M un número arbitrariamente grande en valor absoluto, de forma que: Para un problema de maimiación, el valor de M será un número arbitrariamente grande negativo, o bien aparece restando, de modo que al intentar maimiar dico problema, necesariamente la solución no a de depender de las variables artificiales. Para un problema de minimiar, el valor de M será un número arbitrariamente grande y positivo, lo que provocará la eclusión de la correspondiente variable artificial Método de las dos fases Consiste en descomponer el problema ampliado en dos subproblemas o fases. La primera fase consiste en minimiar la función auiliar p F i... p p m a a a a ( ) + + ( ) i sujeta a las restricciones del problema ampliado. Con su resolución en el caso de que las soluciones fueran compatibles, se abrá llegado a una solución factible básica del problema original. La segunda fase consiste en optimiar el problema original, tomando como solución factible básica inicial la solución de la fase anterior. 97

22 4.- PROGRAMACIÓ CUADRÁICA La programación cuadrática (QP) es el nombre que se le da a un procedimiento que minimia una función cuadrática de n variables sujeta a m restricciones lineales de igualdad o desigualdad. Un programa cuadrático es la forma más simple de problema no lineal con restricciones de desigualdad. La importancia de la programación cuadrática es debida a que un gran número de problemas aparecen de forma natural como cuadráticos (optimiación por mínimos cuadrados, con restricciones lineales), pero además es importante porque aparece como un subproblema frecuentemente para resolver problemas no lineales más complicados. Las técnicas propuestas para solucionar los problemas cuadráticos tienen muca similitud con la programación lineal. Específicamente cada desigualdad debe ser satisfeca como igualdad. El problema se reduce entonces a una búsqueda de vértices eactamente igual que se acía en programación lineal. En notación compacta el programa cuadrático es: min () f c + Q 2 s. a. A b () donde c es un vector de coeficientes constantes; A es una matri (m n) y se asume, en general que Q es una matri simétrica. Dado que las restricciones son lineales y presumiblemente independientes la cualificación de las restricciones se satisface siempre, así pues, las condiciones de Karus-Kun- ucker son también condiciones suficientes para obtener un etremo, que será a demás un mínimo global si Q es definida positiva. Si Q no es definida positiva el problema podría no estar acotado o llevar a mínimos locales. 98

23 Comencemos por la función de Lagrange: ( Ab) + v ( ) L c+ Q + µ 2 (2) Donde µ es el vector de los multiplicadores de KK asociados a las restricciones lineales del sistema y v es el vector de los multiplicadores que vienen como consecuencia de acer que las variables sean todas no negativas. Las condiciones de Karus Kun ucker son entonces: c + Q + A µ v A b µ ( A b) complementaridad v (3) Si se añaden variables de olgura a la desigualdad del conjunto de ecuaciones en (3) A b + A b (4) Sustituyendo la epresión anterior en la condición de complementaridad se obtiene: µ ( A b ) µ ( ) µ (5) Las condiciones de Karus Kun- ucker, pasando los términos constantes a la dereca, e incluyendo las sustituciones anteriores quedan entonces como: 99

24 Q A µ + v c A + b µ complementariedad v (6) Si en las ecuaciones anteriores (6) elimino las restricciones de complementariedad el problema resultante es un problema lineal que puedo resolver utiliando la fase I del método de las dos fases. Para asegurar que se cumplen las condiciones de complementariedad basta con modificar el criterio de entrada de una variable a la base, de tal manera que la variable µ j y su correspondiente par complementario j no formen simultáneamente parte de la base (y lo mismo con v y ). Por ejemplo, digamos que la variable µ j es la primera candidata para entrar a formar parte de la base. µ j entrará a la base sólo si j no forma parte de la base o si j es la variable que debe abandonar la base. Si no es así se seleccionará para entrar a formar parte de la base la siguiente candidata. Se puede demostrar que si (, µ, v, ) es una solución del problema QP original entonces f() es equivalente a: ( c + b ) f 2 (7) La minimiación de la función dada por la ecuación (7) sujeta a las restricciones dadas por las ecuaciones (6) (o simplemente las ecuaciones 6) es lo que se conoce como el problema lineal complementario.