Módulos sobre un dominio de ideales principales

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1 Módulos sobre un dominio de ideales principales Agustín García Iglesias 1 Introducción El propósito último de este trabajo es determinar la estructura de los módulos finitamente generados (FG) sobre un dominio principal (DP). Mostraremos que tal como en el caso de grupos abelianos, caso particular, considerados como Z-módulos, todo módulo finitamente generado puede ser descompuesto de dos maneras como suma directa de submódulos cíclicos (3.13). Cada descomposición provee un conjunto de invariantes para el módulo dado (esto es, dos módulos son isomorfos si y sólo si tienen los mismos factores invariantes (3.14)). Así, cada método de descomposición lleva a una clasificación completa (salvo isomorfismos) de los módulos finitamente generados sobre un dominio principal. A lo largo del trabajo, los módulos a considerar son unitarios. Empezaremos tratando módulos libres sobre un DP. Como R tiene la PDI (2.6), el rango de un R-módulo libre está bien definido. En particular, dos R-módulos libres son isomorfos si y sólo si tienen el mismo rango (2.5). Continuaremos, tras definir análogos al orden de un elemento en un grupo y al subgrupo de torsión, descomponiendo a un módulo FG sobre un DP como suma de un módulo de torsión y un módulo libre de rango finito (3.7). A su vez descompondremos luego un submódulo de torsión como suma de submódulos tales que todo elemento en ellos tiene orden una potencia de un primo p en el anillo (3.8), y por último veremos que se pueden escribir este tipo de módulos como suma directa de módulos cíclicos (3.10). Estas sucesivas descomposiciones determinarán el teorema de estructura buscado (3.13). Finalmente, estudiaremos la estructura de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo, relativa a un endomorfismo dado, que surge como aplicación de los resultados anteriores (4.2). Esto nos permitirá desarrollar diferentes estructuras para la matriz de un endomorfismo (4.5), lo que generará distintas formas canónicas para la relación de similaridad en el anillo de matrices sobre un cuerpo (4.6). 2 Resultados previos Teorema 2.1. Sea R un anillo y {A i } i I una familia de submódulos de un R-módulo A tal que 1. A es la suma de la familia {A i } i I. 2. k I, A k A (k) = 0, donde A (k) es la suma de la familia {A i } i k. 1

2 Entonces existe un isomorfismo A = i I A i f g Teorema 2.2. Sea R un anillo y 0 A 1 B A2 una sucesión exacta corta (sec) de homomorfismos de R-módulos. Son equivalentes: 1. Existe un homomorfismo de R-módulos h : A 2 B tal que gh = 1 A2. 2. Existe un homomorfismo de R-módulos k : B A 1 tal que kf = 1 A1. 3. La sucesión es isomorfa (con la identidad en A 1 y A 2 ) a la sucesión exacta corta de ι suma directa 0 A 1 π 1 A1 A 2 2 A2. En particular, B = A 1 A 2. Proposición 2.3. Si f : A B y g : B A son homomorfismos de R-módulos tales que gf = 1 A, luego B = Im(f) ker(g) (ya que podemos escribir b = (b fg(b))+fg(b)). Proposición 2.4. Todo módulo (unitario) A sobre un anillo (con identidad) es la imágen homomorfa de un R-módulo libre F. Si A es finitamente generado por un conjunto X A, con X = n, F puede elegirse finitamente generado por n elementos. Proposición 2.5. Sean E y F módulos libres sobre un anillo R que tiene la propiedad de la dimensión invariante (PDI). Luego E = F si y sólo si E y F tienen el mismo rango. Proposición 2.6. Si R es un anillo conmutativo con unidad, luego R tiene la propiedad de la dimensión invariante. Teorema 2.7. Todo módulo libre sobre un anillo R con identidad es proyectivo. Teorema 2.8. Sea R un anillo. En un R-módulo P son equivalentes: 1. P es proyectivo. 2. Toda sec 0 A f B g P 0 es split. 3. un módulo libre F y un R-módulo K tal que F = K P. Proposición 2.9. Sea R un anillo con identidad. Un R-módulo unitario J es inyectivo si y sólo si L ideal a izquierda de R, todo homomorfismo de R-módulos f : L J puede ser extendido a un homomorfismo de R-módulos f : R J. Proposición Sea R un anillo con identidad. En un R-módulo J son equivalentes: 1. J es inyectivo. 2. Toda sec 0 J f B g C 0 es split. (Luego, B = J C). 3. J es sumando directo de cualquier R-módulo B del cual es submódulo. 2

3 3 Módulos sobre un dominio de ideales principales Está sección se basa sobre resultados en [1]. Comenzamos con la siguiente generalización del hecho de que todo subgrupo de un grupo abeliano libre es libre y de rango menor o igual que el grupo original. Teorema 3.1. Sean R un DP, F un módulo libre sobre R y G un submódulo de F. Luego G es un R-módulo libre y rango(g) rango(f ). Observación. El hecho de que F sea un módulo sobre un DP es fundamental, ya que, por ejemplo, si consideramos Z 6 como Z 6 -módulo, éste es evidentemente libre, pero no lo es Z 3, submódulo (ya que tendría que tener al menos 6 elementos), ya que Z 6 no es DP (no es dominio íntegro). Sea {x i /i I} una base de F. Luego F = i I Rx i, con cada Rx i isomorfo a R como R-módulo a izquierda. Sea un buen orden en I y para cada i I, sea i+1 su inmediato sucesor. Introducimos el siguiente conjunto J como un elemento técnico para salvar el caso en el que algún elemento de I (necesariamente único) no tuviera sucesor inmediato, lo que puede ocurrir, por ejemplo, si I es finito. Sea entonces J = I {α}, donde α / I y por definición i < α i I. Luego, J está bien ordenado y todo elemento de I tiene un sucesor inmediato en J. Para cada j J sea F j el submódulo de F generado por {x i /i < j} y G j = G F j. Entonces se verifican las siguientes propiedades: 1. j < k si y sólo si F j F k. j < k sii {x i /i < j} {x i /i < k} sii F j F k. 2. j J F j = F. ) f F f = r k=1 r i k x ik, luego si l = máx {i k } f F l+1 f j J F j. ) Trivial. 3. i I, F i+1 /F i = Rxi = R. Sea ϕ : k<i+1 Rx k Rx i la proyección canónica. Luego, Im(ϕ) = Rx i y ker(ϕ) = k<i Rx k = F i F i+1 /F i = Rxi = R, por el primer teorema del isomorfismo para módulos. 4. j < k G j G k. j < k F j F k G F j G F k G j G k. 5. j J G j = G. j J G j = j J G F j = G j J F j = G F = G. 6. i I, G i = G i+1 F i. G i+1 F i = G F i+1 F i = G F i = G i. 3

4 La propiedad 6. y el segundo teorema del isomorfismo para R-módulos implican: G i+1 /G i = G i+1 /(G i+1 F i ) = (G i+1 + F i )/F i. Pero (G i+1 + F i )/F i es un submódulo de F i+1 /F i. Entonces G i+1 /G i es isomorfo a un submódulo de R por 3. Mas todo submódulo de R es un ideal y por lo tanto de la forma (c) = Rc para algún c R. Si c 0, entonces el epimorfismo de R-módulos R Rc es un isomorfismo por ser R un DP. Así, todo submódulo de R (y por lo tanto G i+1 /G i ) es libre de rango 0 o 1. G i+1 /G i libre G i+1 /G i es proyectivo por 2.7, luego la sec 0 G j G j+1 G j+1 /G j 0 es split por 2.8 y por lo tanto j I G j+1 = G j Rb j ya que por 2.2, h : G j+1 G j tal que h ι = 1 Gj, luego, por 2.3, G j+1 = Im(ι) ker(h) y Im(ι) = G j y ker(h) = Rb j, para algún b j G j+1 G j y Rb j = R si Gj+1 /G j 0 y b j = 0 si G j+1 = G j (G j+1 /G j = 0). Sea B = {b i /b i 0 i I}, entonces B I = rango de F. Supongamos que u = j r jb j, (j I, r j R, suma finita). Sea k el mayor índice (si hay) tal que r k 0, entonces u = j<k r jb j + r k b k G k Rb k = G k+1. Pero u = 0 r k = 0, que es un contradicción. Entonces r j = 0 j I B es linealmente independiente. Resta ver que B genera G. Basta ver, por 5, que B k = {b j B/j < k} genera G k. Usaremos inducción transfinita. Supongamos que B j genera G j j < k y sea u G k. Si j : k = j + 1 G k = G j+1 = G j Rb j y u = v + rb j, con v G j. Por hipótesis inductiva, u = r i b i + rb k, con lo cual B k genera G k. Si k j + 1 j I, como u G k = G F k, u es una suma finita u = r j x j, con j < k. Si t es el mayor índice tal que r t 0, entonces u F t+1, con t + 1 < k por hipótesis. Entonces u G F t+1 = G t+1, con t + 1 < k. Por hipótesis inductiva u es combinación lineal de elementos de B t+1 B k. Entonces B k genera G k. Corolario 3.2. Sea R un DP. Si A es un R-módulo finitamente generado por n elementos, luego todo submódulo de A puede ser generado por m elementos, con m n. Por 2.4, F módulo libre de rango n y ϕ : F A epimorfismo de R-módulos. Si B es submódulo de A, ϕ 1 (B) es submódulo de F. Luego, ϕ 1 (B) es libre de rango m n. Si X es una base de ϕ 1 (B) ϕ(x) es un conjunto de a lo sumo m elementos que genera B. B puede ser generado por m elementos, con m m n. Corolario 3.3. Un módulo unitario A sobre un DP es libre si y sólo si A es proyectivo. ) 2.7 ) A proyectivo implica que existe una sec 0 K F f A 0, con F libre, f epi y K = ker(f). Por 2.8, A proyectivo F = A K. Luego A es isomorfo a un submódulo de F y, por lo tanto, libre. Observación. Esta recíproca de 2.7 no vale en general, ya que Z 2 y Z 3 son submódulos de Z 6 como Z 6 -módulo (libre) y como Z 2 Z 3 = Z6, entonces son proyectivos, pero no son libres. Desarrollamos ahora los análogos del orden de un elemento en un grupo y del subgrupo de torsión de un grupo abeliano. El conjunto de los elementos inversibles (unidades) de un anillo R, será denotado por U(R). 4

5 Teorema 3.4. Sea A un módulo a izquierda sobre un dominio íntegro (DI) R y para cada a A, sea O a = {r R/ra = 0} 1. O a es un ideal de R para cada a A. 2. A t = {a A/O a 0} es un submódulo de A. 3. Para cada a A existe un isomorfismo de módulos a izquierda: R/O a = Ra = {ra / r R} 1. O a ideal. r, s O a (r s)a = ra sa = 0. Entonces r s O a. r O a, s R (sr)a = s(ra) = s0 = 0 rs O a. 2. A t submódulo. a, b A t O a 0, O b 0 r, s 0 R : ra = sb = 0. Por ser R DI rs 0 y como rs(b a) = 0 a b A t. a A, r R s R : sa = 0 s(ra) = r(sa) = 0 ra A t. 3. R/O a = Ra. ϕ : R Ra es epi y ker(ϕ) = O a R/O a = Ra. Teorema 3.5. Sea R un DP y p R primo. 1. Si p i a = 0 (equivalentemente (p i ) O a ), luego O a = (p j ), con 0 j i. 2. Si O a = (p i ), luego p j a 0 j : 0 j < i. 1. R DP, O a ideal O a = (r). p i a = 0 r p i. Por ser R un DP, R es DFU, entonces r = p j u, j i, u U(R) O a = (r) = (p j ). 2. Si p j a = 0, j < i p j O a = (p i ) p i p j, absurdo. Sea A un módulo sobre un DI. El ideal O a del teorema 3.4 es llamado el ideal de orden de a A. El submódulo A t es el submódulo de torsión de A. A se dice módulo de torsión si A = A t y libre de torsión si A t = 0. Todo módulo libre es libre de torsión, pero no viceversa (como por ejemplo en el caso de Q como Z-módulo, que es libre de torsión a pesar de no ser libre). Sean R un DP y A un módulo sobre R. El ideal de orden de a A es un ideal principal de R, O a = (r), y a se dice que tiene orden r. El elemento r es único salvo multiplicación por una unidad. El submódulo cíclico Ra generado por a se dice cíclico de orden r. El teorema 3.4 muestra que a A tiene orden 0 si y sólo si Ra = R (esto es, Ra es libre de rango 1). También a A tiene orden r, con r unidad, si y sólo si a = 0 (ya que a = 1 R a = r 1 (ra) = r 1 0 = 0). Teorema 3.6. Sea R un DP. Un módulo A finitamente generado y libre de torsión sobre R es libre. 5

6 Observación. La hipótesis de que A es FG es esencial, como podemos comprobar si consideramos a Q como Z-módulo, que no está finitamente generado y entonces, a pesar de ser un módulo libre de torsión sobre un DP, no es libre. Supongamos que A 0. Sea X un conjunto finito de generadores de A no triviales. Si x X rx = 0 r = 0, ya que A es libre de torsión. En consecuencia, existe un subconjunto S = {x 1,..., x k } de X que es maximal con respecto a la propiedad r 1 x r k x k = 0, entonces r i = 0 1 i k (r i R). El submódulo F generado por S es claramente un R-módulo con base S. Si y X S, por ser S maximal existen r y, r 1,..., r k R, no todos 0, tal que r y y + r 1 x r k x k = 0 r y y = k i=1 r ix i. Además, r y 0, ya que si no r i = 0 i. Como X es finito, r 0 R (por ej. r = y X S r y), tal que rx = {rx/x X} F. Entonces ra F. El mapeo f : A A dado por a ra es un homomorfismo con imágen ra. Como A es libre de torsión, ker(f) = 0 A = Im(f) = ra F. Entonces A es libre. Los siguientes tres teoremas constituyen tres pasos en la determinación de la estructura de un módulo A que está FG sobre un DP. Mostramos primero que A es la suma directa de un módulo de torsión y un módulo libre. Teorema 3.7. Si R es un DP y A es un módulo FG sobre R, luego A = A t F, donde F es un R-módulo libre de rango finito y F = A/A t. El módulo cociente A/A t es libre de torsión pues r 0, r(a + A t ) = A t ra A t, luego r 1 0 : r 1 (ra) = 0 a A t. Además, A/A t es FG por serlo A. Entonces A/A t es libre de rango finito por el teorema anterior. En consecuencia, la sucesión exacta corta 0 A t A π A/A t 0 es split, por 2.7, 2.8 y A = A t A/A t. El isomorfismo A t A/A t = A está dado por la aplicación (a1, a 2 ) ι(a 1 ) + k(a 2 ), si k es tal que π k = 1 A/At, existente por ser la sec split (2.2), que es un homomorfismo de R-módulos por construcción y, si a A, podemos escribir a = (a kπ(a)) + kπ(a). Tenemos que π((a kπ(a))) = π(a) π(a) = 0, luego, (a kπ(a)) A t y se cumple ((a kπ(a)), π(a)) a, con lo que el mapeo es un epimorfismo, y es un monomorfismo ya que Im(ι) Im(k) = A t Im(k) = 0 (si b A t Im(k) a A/A t : b = k(a), pero b A t 0 = π(b) = πk(a) = a b = 0). Bajo este isomorfismo la imágen de A t es A t y la imágen de A/A t es un submódulo F de A que es necesariamente libre de rango finito. Entonces A = A t F, con F = A/A t (por 2.1, ya que A t F = 0). Continuamos viendo que todo módulo de torsión es suma directa de módulos p-primarios Teorema 3.8. Sea R un DP. Sea A un módulo de torsión sobre R y para cada primo p R sea A(p) = {a A / a tiene orden una potencia de p}. 1. A(p) es un submódulo de A, p R primo. 2. A = A(p), donde la suma es sobre todos los primos p R. 6

7 3. Si A es FG sólo finitos de los A(p) son no nulos. 1. Sean a, b A(p), s R. Luego, O a = (p r ), O b = (p s ). Sea k = max{r, s}. Luego p k (a b) = 0 O a b = (p i ) (3.5), 0 i k a b A(p) y p r (sa) = s(p r a) = 0. Entonces O sa = (p l ), 0 l r. A(p) es submódulo. 2. Sea a 0 A, con O a = (r). R es un DFU, por lo tanto r = p n p n k k, con los p i primos distintos en R y n i > 0 i = 1,..., k. i, sea r i = r/p n i i los r i son primos relativos y s i : s 1 r s k r k = 1 R. Entonces a = 1 R a = s 1 r 1 a s k r k a. Pero p n i s i r i a = s i ra = 0 s i r i a A(p i ). Los submódulos A(p) generan A. Sea p R primo y A 1 el submódulo de A generado por todos los A(q), con q p primo. Si a A(p) A 1 p m a = 0, para algún m 0 y a = a a t, con a i A(q i ), para algunos primos q i p. a i A(q i ) m i Z >0 : q m i i a i = 0 (q m qt mt )a = 0. Si d = q m qt mt d y p son primos relativos y r, s : rp m + sd = 1 R. En consecuencia, a = 1 R a = rp m a + sda = 0. A(p) A 1 = 0. Por 2.1, A = A(p). 3. Una suma directa de módulos con una cantidad infinita de sumandos no nulos no puede ser finitamente generada ya que cada generador tiene una cantidad finita de coordenadas no nulas. Así el conjunto de coordenadas no nulas en cualquier combinación lineal de los generadores es finito, con lo cual existirá un elemento en la suma con una coordenada no nula que no pertenece a tal conjunto y, por tanto, no puede ser generado por los generadores dados. Para determinar la estructura de los módulos finitamente generados tales que todo elemento tiene orden una potencia de un primo p (como los A(p) en 3.8), necesitaremos el siguiente lema. Lema 3.9. Sea A un módulo sobre R, donde R es un DP, tal que p n A = 0 y p n 1 A 0 para algún primo p R y un entero positivo n. Sea a un elemento de orden p n. 1. Si A Ra, luego b 0 A tal que Ra Rb = 0 2. un submódulo C de A tal que A = Ra C. 1. Si A Ra, c A Ra. Como p n c p n A = 0 Ra, j mínimo entero tal que p j c Ra y p j 1 c / Ra. p j c = r 1 a (r 1 R) y r 1 = rp k, para algún k 0 y r R : p r, por ser R un DFU. En consecuencia, 0 = p n c = p n j (p j c) = p n j rp k a. Como p r y p n 1 a 0 n j + k n k j 1. Entonces b = p j 1 c rp k 1 a está bien definido como elemento de A y b 0, ya que p j 1 c / Ra, y pb = p j c rp k a = p j c r 1 a = 0. Si Ra Rb 0 s R : sb Ra y sb 0. sb 0 y pb = 0 p s. Entonces, s y p n son primos relativos y sx + p n y = 1 R para algún x, y R. Así, como p n A = 0, b = 1 R b = sxb + p n yb = x(sb) Ra. En consecuencia, p j 1 c = b + rp k 1 a Ra. Si j 1 0, esto contradice que j sea mínimo y, si j 1 = 0, esto contradice el hecho de que c / Ra. Luego, Ra Rb = 0. 7

8 2. Un R-módulo A con estas características resulta tener una estructura de R/(p n )- módulo determinada por (r + (p n ))a = ra. Probaremos entonces la existencia de un tal módulo C, mediante los siguientes pasos: (i) Todo R-submódulo de A es un R/(p n )-submódulo. Recíprocamente, todo R/(p n )- submódulo es un R-módulo, por pullback en ϕ : R R/(p n ). ) B R-submódulo de A B A y rb B b B, r R, entonces (r + (p n ))b = rb B r + (p n ) R/(p n ). Luego, B R/(p n )-submódulo. ) B R/(p n )-submódulo B A y rb = ϕ(r)b = (r + (p n ))b B r R. Así, B es R-submódulo. (ii) El submódulo Ra es isomorfo a R/(p n ). Consideramos ϕ : Ra R/(p n ), ra r + (p n ) ϕ(ra + sa) = ϕ((r + s)a) = r + s + (p n ) = ϕ(ra) + ϕ(sa) (morfismo). ϕ(sra) = sra + (p n ) = sϕ(ra) (morfismo de R-módulos). r + (p n ) R/(p n ) r + (p n ) = ϕ(ra) (epimorfismo). ϕ(ra) = 0 r (p n ) r = p n k ra = 0 (monomorfismo). Ra = R/(p n ). (iii) Los únicos ideales propios del anillo R/(p n ) son los ideales generados por los elementos p i + (p n ), i = 1, 2,..., n 1. Sea ϕ : R R/(p n ) la proyección al cociente. R DP R/(p n ) DP, luego, si I es un ideal propio de R/(p n ), I = (r + (p n )), con r 1 R y tal que p n r. Entonces ϕ 1 (I) = J ideal de R J = (r). 0 I (p n ) J r p n. Por lo tanto, r = p i, con i = 1,..., n 1. Así, I = (p i + (p n )), i = 1,..., n 1. (iv) R/(p n ) (y por lo tanto Ra) es un R/(p n )-módulo inyectivo. Basta ver que, si I es un ideal de R/(p n ) y f : I R/(p n ), luego se puede extender f a una h : R/(p n ) R/(p n ), por 2.9. Sea I = (p i + (p n )) y supongamos que f(p i + (p n )) = r + (p n ). Luego, p n i (p i + (p n )) = 0 p n i (r + (p n )) = 0 p n i r (p n ) r = p i+k s, con k 0. Sea entonces h : R/(p n ) R/(p n ), 1 + (p n ) p k s + (p n ). Entonces h(p i + (p n )) = (p i + (p n ))h(1 + (p n )) = p i+k s + (p n ) = r + (p n ) = f(p i + (p n )). (v) Existe un R-submódulo C de A tal que A = Ra C Ra R-submódulo de A Ra R/(p n )-submódulo de A y Ra es inyectivo como R/(p n )-módulo C : A = Ra C, por Finalmente, observamos que todo módulo p-primario es suma directa de módulos cíclicos. Teorema Sea A módulo FG sobre R, con R un DP, tal que todo elemento de A tiene orden una potencia de algún primo p R. Luego A es suma directa de R-módulos cíclicos de órdenes p n 1,..., p n k respectivamente, donde n1 n 2... n k 1. Inducción sobre r = cantidad de generadores de A, con el caso r = 1 trivial. Si r > 1, A está generado por elementos a 1,..., a r, cuyos órdenes son respectivamente p n 1, p m 2..., p mr. Podemos suponer que n 1 = max{n 1, m 2,..., m r }. Luego p n 1 A = 0 y p n1 1 A 0. Por el lema anterior, existe C submódulo de A tal que A = Ra 1 C. Sea π el epimorfismo canónico A C. Como A está generado por {a i }, C debe estar 8

9 generado por {π(a i )}, pero π(a 1 ) = 0 C está generado por r 1 o menos elementos. Por hipótesis inductiva, C es suma directa de R-módulos cíclicos de órdenes p n 2,..., p n k, con n Así C contiene un elemento de orden p n 2. Como p n 1 A = 0, p n 1 C = 0. Entonces n 1 n 2. Como Ra 1 es cíclico de orden p n 1, A es suma directa de R-módulos cíclicos de órdenes p n 1,..., p n k, respectivamente, con n1 n 2... n k 1. Los teoremas 3.7, 3.8 y 3.10 inmediatamente determinan un teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio principal (Teorema 3.13 item 2 abajo). Tal como en el caso de grupos abelianos, existe un segundo modo de descomponer un módulo FG como suma directa de submódulos cíclicos. Para obtener tal descomposición y para probar un teorema de unicidad para cada descomposición, necesitamos los siguientes dos lemas. Lema Sea R un DP y sean A, B, y {A i } i I módulos sobre R. Sean r R y p R primo. 1. ra = {ra/a A} y A[r] = {a A/ra = 0} son submódulos de A. 2. R/(p) es un cuerpo y A[p] es un espacio vectorial sobre R/(p). 3. Para cada entero positivo n hay isomorfismos de R-módulos (R/(p n ))[p] = R/(p) y p m (R/(p n )) = R/(p n m ) (0 m n). 4. Si A = i I A i, luego ra = i I ra i y A[r] = i I A i[r]. 5. Si f : A B es un isomorfismo de R-módulos, luego f : A t = Bt y f : A(p) = B(p). 1.Veamos que son subgrupos: x, y ra x = ra 1, y = ra 2 (a 1, a 2 A) x y = r(a 1 a 2 ) ra. x, y A[r] rx = ry = 0 r(x y) = 0 x y A[r] Son submódulos: x ra y s R x = ra (a A) sx = sra = r(sa), sa A sx ra. x A[r] s Rr(sx) = s(rx) = s0 = 0 sx A[r]. 2. Por ser R un DP, valen las siguientes implicaciones: p primo (p) primo (p) maximal R/(p) cuerpo. Sabemos que A[p] es un grupo abeliano, definimos (r + (p))a = ra y comprobamos que, por ser A R-módulo, a, b A, r, s R, se verifica: (i) (r + (p))(a + b) = r(a + b) = ra + rb = (r + (p))a + (r + (p))b. (ii) (r + (p) + s + (p))a = (r + s + (p))a = (r + s)a = ra + sa = (r + (p))a + (s + (p))a. (iii) (r + (p))[(s + (p))a] = (r + (p))sa = r(sa) = (rs)a = [(r + (p))(s + (p))]a. (iv) (1 R + (p))a = 1 R a = a. A[p] es R/(p)-módulo A[p] R/(p) espacio vectorial. 3. (r + (p n ))p = 0 pr (p n ) p n 1 r. Por lo tanto (R/(p n ))[p] = (p n 1 + (p n )). (R/(p n ))[p] está generado como R-módulo (y por lo tanto como R/(p)-espacio vectorial) por un solo elemento (R/(p n ))[p] = R/(p). 9

10 R/(p n ) = (1 R +(p n )) p m (R/(p n )) = (p m +(p n )) R-submódulo de R/(p n ). p m +(p n ) tiene orden p n m, luego, por 3.4, R/(p n m ) = (p m + (p n ))R = p m (R/(p n )). 4. ϕ : A A i isomorfismo. Sea ra Ra A ϕ(ra) = rϕ(a) = r(a i ) i I = (ra i ) i I ra i. Entonces ϕ(ra) ra i. Si (ra i ) i I ra i (ra i ) i I = r(a i ) i I a A : (a i ) i I = ϕ(a). Entonces r(a i ) i I = rϕ(a) (ra i ) i I = ϕ(ra), ra ra. Luego, φ = ϕ ra : ra ra i es un isomorfismo por serlo ϕ. Si a A[r] ra = 0 ϕ(a) = (a i ) i I y 0 = ϕ(ra) = rϕ(a) = (ra i ) i I. Luego ra i = 0 i I a i A i [r] i I. Entonces ϕ(a[r]) A i [r]. Si (a i ) i I A i [r] A i a : (a i ) i I = ϕ(a). Tenemos entonces que 0 = (ra i ) i I = r(a i ) i I = rϕ(a) = ϕ(ra) ra = 0 a A[r]. φ = ϕ A[r] : A[r] A i [r] es un isomorfismo por serlo ϕ. 5. Si a A t r : ra = 0 rϕ(a) = 0 ϕ(a) B t. Si b B t B, entonces a A : b = ϕ(a) y r 0 : rb = 0 0 = rϕ(a) = ϕ(ra) ra = 0 a A t. A t = Bt, restringiendo ϕ a A t. Si a A(p) n : p n a = 0 0 = ϕ(p n a) = p n ϕ(a) ϕ(a) tiene orden una potencia de p ϕ(a) B(p). Si b B(p) n : p n b = 0 y a A tal que b = ϕ(a) 0 = p n ϕ(a) = ϕ(p n a) p n a = 0 a tiene orden una potencia de p. A(p) = B(p), mediante la restricción de ϕ a A(p). Lema Sea R un DP. Si r R se factoriza como r = p n p n k k, con p 1,..., p k primos distintos y cada n i > 0, luego existe un isomorfismo de R-módulos: R/(r) = R/(p n 1 1 )... R/(p n k k ). Consecuentemente todo R-módulo cíclico de orden r es suma directa de k R-módulos cíclicos de órdenes p n 1 1,..., p n k k, respectivamente. Probaremos que si s, t R son primos relativos R/(st) = R/(s) R/(t). La primera parte del lema se obtiene luego por inducción en la cantidad de primos distintos en la descomposición de r. La última afirmación es una consecuencia inmediata del hecho de que R/(c) es un R-módulo cíclico de orden c, c R, por 3.4. El mapeo ϕ : R R dado por x tx es un R-monomorfismo que lleva el ideal (s) en (ts). ϕ induce un homomorfismo R/(s) R/(st) dado por x + (s) tx + (st). De manera similar, hay un homomorfismo R/(t) R/(st), dado por x + (t) sx + (st). El mapeo α : R/(s) R/(t) R/(st) dado por (x + (s), y + (t)) [tx + sy] + (st) es un R-morfismo bien definido: Si x + (s) = x + (s) y y + (t) = y + (t) x x (s) y y y (t) t(x x ) (st) y s(y y ) (st). Entonces ϕ(x+(s), y +(t)) ϕ(x +(s), y +(t)) = t(x x )+s(y y )+(st) = (st) = 0. Como (s, t) = 1, u, v R : su + tv = 1 R. Si c R c = suc + tvc, con lo que α(vc + (s), uc + (t)) = c + (st). Entonces α es epimorfismo. Para ver que α es un monomorfismo, debemos ver que α(x + (s), y + (t)) = 0 x (s), y (t). Si α(x+(s), y+(t)) = 0 tx+sy = stb (st), para algún b R. Entonces utx+usy = ustb. Pero y = 1 R y = (su + tv)y, con lo que utx + y tvy = ustb e y = ustb utx + tvy (t). De la misma forma probamos que x (s). Teorema Sea R un DP. Sea A un módulo FG sobre R. 10

11 1. A es la suma directa de un submódulo libre F de rango finito y un número finito de módulos cíclicos de torsión. Los sumandos cíclicos de torsión (si hay) son de órdenes r 1,..., r t, donde r 1,..., r t son elementos (no necesariamente distintos) de R no inversibles y no triviales, tal que r 1 r 2... r t. El rango de F y la lista de ideales (r 1 ),..., (r t ) están unívocamente determinados por A. 2. A es la suma directa de un submódulo libre E de rango finito y un número finito de módulos cíclicos de torsión. Los sumandos cíclicos de torsión (de haberlos) son de órdenes p s 1 1,..., p s k k, donde p 1,... p k son primos en R (no necesariamente distintos) y s 1,..., s k son enteros positivos (no necesariamente distintos). El rango de E y la lista de ideales (p s 1 1 ),..., (p s k k ) están unívocamente determinados por A (excepto por el orden de los p i ) Los elementos r 1,... r t del teorema 3.13 son llamados factores invariantes del módulo A, tal como en el caso especial de grupos abelianos. De forma similar, p s 1 1,..., p s k k son llamados divisores elementales de A La existencia de una descomposición en suma directa del tipo 2. es una consecuencia inmediata de los teoremas 3.7, 3.8 y 3.10, según los cuales podemos descomponer a A de j(p) P j F. Con F libre, p R la siguiente manera: A = A t F = p A t(p) F = p primos, P j R-módulos cíclicos de orden potencia de un primo. Entonces A es la suma directa de un módulo libre y una familia finita de R-módulos cíclicos, cada uno con orden una potencia de un primo. Cálculo de los factores invariantes: Disponemos los divisores elementales de A de la siguente manera, insertando algunos términos de la forma p 0 fuera necesario: p n 11 1, p n 12 2,..., p n 1r r p n 21 1, p n 22 2,..., p n 2r r.. p n t1 1, p n t2 2,..., p ntr r Donde r es el número de primos distintos, y para cada j = 1,..., r, 0 n 1j n 2j... n tj, con algún n ij 0 y n 1j 0 para algún j. Por definición de divisores elementales, A = t r i=1 j=1 T ij F, con F libre de rango finito y T ij submódulo cíclico de torsión de orden p n ij j, que es isomorfo a R/(p n ij j ), por 3.4. Para cada i = 1,..., t, sea r i = p n i1 1 p n i p n ir r. Como algún n 1j 0, r 1 / U(R) y por construcción r 1 r 2... r t. Por 3.12, R/(p n i1 1 )... R/(p n ir r ) = R/(r i ), así, A = t i=1 R/(r i) F, con lo que r 1,..., r t son los factores invariantes del teorema. Unicidad. Debemos considerar que la factorización prima en R es única salvo multiplicación por una unidad, luego, en un DP, un elemento a A puede tener orden p y orden q, con p y q primos distintos. No obstante, como (p) = O a = (q), p y q son asociados. Así, la unicidad del teorema está más referida a ideales que a elementos. Vemos también que a 0 O a R y que un módulo cíclico Ra es libre si y sólo si O a = 0. Por lo tanto, los r i en 1. no son unidades ni nulos. 11

12 Si A = H F y A = H F, con H suma directa finita de módulos cíclicos de torsión y F R-módulo libre, consideramos ι : H H F ι(h) es el submódulo de torsión de H F : ι(h) (H F ) t trivialmente y, si h + f (H F ) t, con h H, f F r R : r(f + h) = 0 rh + rf = 0 rh = 0, rf = 0 f = 0 (H F ) t ι(h). Con lo que, por 3.11, ι(h) = A t. Entonces A/A t = (H F )/ι(h) = F y equivalentemente A/A t = F F = F (lo que implica que tienen el mismo rango, por 2.5). Veremos primero la unicidad del segundo tipo de descomposición: Supongamos A = r i=1 R/(u i) F y A = d i=1 R/(v i) F, con u i, v i potencias de algún primo (que pueden ser diferentes) y F, F módulos libres FG. Por el lema 3.11 A t = r i=1 R/(u i) = d i=1 R/(v i) y para cada primo p, r i=1 R/(u i)(p) = k j=1 R/(u j), con u j = p n j. Así, por 3.11, basta asumir que A = A t y que cada u i, v i es una potencia de un primo fijo p. Supongamos que A = r i=1 R/(pn i ) = d i=1 R/(pm i ), con 1 n 1... n r y 1 m 1... m d. Luego, obtenemos que A[p] = r i=1 R/(pn i )[p] = r i=1 R/(p) = d i=1 R/(p). Entonces r = d = dim R/(p) A[p]. Tenemos entonces que r i=1 R/(pn i ) = r i=1 R/(pm i ). Sea ν el primer entero tal que n i = m i i < ν y n ν m ν. Supongamos que n ν < m ν. Como p nν R/(p n i ) = 0 n i < n ν p nν A = r i=ν+1 R/(pn i n ν ), en donde n ν+1 n ν n ν+2 n ν... n r n ν. Claramente hay a lo sumo r (ν + 1) + 1 = r ν sumandos no triviales. Como n i = m i i < ν y n ν < m ν, la segunda descomposición implica que p nν A = r i=1 R/(pm i n ν ). Obviamente, hay al menos r ν + 1 sumandos no triviales. Por lo tanto tenemos dos descomposiciones del módulo p nν A como suma directa de módulos cíclicos de orden primo y el número de sumandos en la primera es estrictamente menor que en la segunda, lo que contradice lo que probamos antes, aplicado ahora a p nν A. n i = m i i = 1,..., r. Veamos ahora una prueba de la unicidad en el restante tipo de descomposición: Supongamos A = R/(r 1 )... R/(r t ) F y A = R/(s 1 )... R/(s d ) F, con r 1 r 2... r t, s 1 s 2... s d no inversibles, no triviales y F, F libres FG. Cada r i, s j tiene una factorización prima dada e insertando factores de la forma p 0, podemos suponer que los mismos primos (distintos) p 1,..., p n aparecen en las factorizaciones de cada uno. Supongamos r i = p a i p a in n, s i = p c i p c in 0 c 1j... c dj. Por 3.12, A t = n, con 0 a 1j... a tj y i,j R/(pa ij j ) = t i=1 R/(r i) = i,j R/(pc ij j ) = d i=1 R/(s i). El lema 3.11 implica que, para j = 1,..., n, t i=1 R/(pa ij j ) = A(p j ) = d i=1 R/(pc ij j ). Como (A(p j ))[p] = t i=1 R/(p j) = d i=1 R/(p j), luego t = d = dim R/(pj )(A(p j ))[p]. Entonces, por lo escrito más arriba, debemos tener a ij = c ij i, j, lo que implica que r i = s i i. Teorema Dos módulos finitamente generados sobre un DP, A y B, son isomorfos si y sólo si A/A t y B/B t tienen el mismo rango y A y B tienen los mismos factores invariantes, (respectivamente divisores elementales). ) Supongamos que A = R/(r 1 )... R/(r k ) F = R/(p n 1 1 )... R/(p nt t ) F, y B = R/(s 1 )... R/(s k ) E = R/(q m 1 1 )... R/(q m h h ) E. Como A = A t F, B = B t E y A t = Bt, por 3.7, Entonces F = A/A t = B/Bt = E. 12

13 Podemos suponer entonces que A = A t, B = B t. Por 3.11, A(p) = B(p). Entonces (A(p))[p] = r i=1 R/(p), (B(p))[p] = s i=1 R/(p). Como el número de sumandos de R/(p) es dim R/(p) (A(p))[p] = dim R/(p) (B(p))[p] r = s. Luego, si A(p) = r i=1 R/(pn i ), B(p) = r i=1 R/(pn i ). Entonces pa(p) = n i >1 R/(pn i ) = pb(p) = m i >1 R/(pm i ). Como la cantidad de sumandos debe coincidir, tenemos que la cantidad de sumandos de la forma R/(p) debe ser igual en las descomposiciones de A y B. Luego, con el mismo argumento aplicado a p k A(p) = p k B(p), obtenemos que la cantidad de sumandos de la forma R/(p k ) es la misma en ambas descomposiciones k. Luego, si A(p) = r i=1 R/(pn i ), B(p) = r i=1 R/(pm i ). Extendiendo esto a cada primo en la descomposición de A, obtenemos que A y B tienen los mismos divisores elementales. Por lo tanto, también comparten los factores invariantes, que se realizan a partir de los divisores elementales. ) Si A y B comparten los factores invariantes (y divisores elementales), se tiene que A = R/(r 1 )... R/(r k ) F = A t F, B = R/(r 1 )... R/(r k ) E = B t E. Como F = A/A t y E = B/B t y rango(a/a t ) = rango(b/b t ) rango(f ) = rango(e), con lo que F = E por 2.5. Por lo tanto B = R/(r 1 )... R/(r k ) F = A, por unicidad de la descomposición de ambos módulos. 4 Forma de Jordan Esta sección combina resultados de [1] y [2]. Sea K un cuerpo y E un espacio vectorial de dimensión finita sobre K, E 0. Sea A End K (E) donde End K (E) es el conjunto de las transformaciones lineales del K- espacio E en sí mismo. Definiremos una representación del anillo de polinomios K[t] en E por medio del homomorfismo K[t] K[A] End K (E), obtenido reemplazando A por t en los polinomios. El anillo K[A] es el subanillo de End K (E) generado por A, y es conmutativo porque las potencias de A conmutan entre sí. Entonces A induce una estructura de K[t]-módulo en E de la siguiente manera. Si f K[t] y u E, luego f(a) End K (E) y se define fu = f(a)(u). Un K-subespacio F de E es A-invariante si y sólo si A(F ) F. Claramente, F es un K-subespacio A- invariante si y sólo si F es un K[t]-submódulo de E. En particular, v E, el subespacio E(A, v) = K[t]v = K[A]v generado por el conjunto {A i /i 0} es A-invariante. Tal subespacio es llamado módulo principal o (sub)espacio A-cíclico. El núcleo del homomorfismo f(t) f(a) es un ideal principal de K[t] que es 0 porque K[A] es de dimensión finita sobre K. Este ideal está generado por un único polinomio mónico de grado positivo. Este polinomio, que no es necesariamente irreducible, es el polinomio minimal de A sobre K y será denotado por q A (t). Proposición 4.1. Sea K un cuerpo, E K-espacio de dimensión finita, A End K (E). Luego es E es un espacio A-cíclico y A tiene minimal q A (t) = t d + a d 1 t d a 0 si y sólo si dim K E = d y E tiene una base ordenada con respecto a la cual la matriz de A es: 13

14 a 0 1 K a K 0 0 a 2 M = a d K a d 1 (1) La matriz M es llamada matriz asociada al polinomio mónico q A K[t]. ) E es A-cíclico si y sólo si E es un módulo principal, esto es E = Rv = (v), donde R = K[t]. Entonces, si q A (t) = t d + a d 1 t d a 0, luego los elementos v, Av, A 2 v,..., A d 1 constituyen una base de E sobre K. Esto se prueba observando que son linealmente independientes porque cualquier relación de dependencia lineal sobre K determinaría un polinomio g(t) de grado menor que gr(q A ) y tal que g(a) = 0. Por otra parte, generan E porque cualquier polinomio f(t) puede ser escrito f(t) = g(t)q A (t)+r(t), con gr(r) < gr(q A ) y entonces f(a) = r(a). ) Si M es la matriz de A relativa a la base {v 1, v 2,..., v d } y v = v 1, es inmediato que v i = A i 1 (v) para i = 2,..., d y A d (v) = A(v d ) = a 1 A(v)... a r 1 A r 1 (v). En consecuencia, E es el módulo generado por v y entonces, como q A (A)(v) = 0, q A (A) = 0. Como {v, A(v),..., A d 1 (v)} es linealmente independiente no puede haber un polinomio f K[t] de grado menor que d que anule a A. Por lo tanto, q A es el polinomio minimal de A. Observación. Si E = (v), luego E = K[t]/(q A (t)) bajo el homomorfismo f(t) f(a)(v). El polinomio q A está unívocamente determinado por A y no depende del generador v E. Esto resulta del hecho de que si f 1 y f 2 son dos polinomios mónicos, sucede entonces que K[t]/(f 1 (t)) = K[t]/(f 2 (t)) si y sólo si f 1 = f 2, por 3.13, descomponiendo cada polinomio en producto de factores primos. Si E es principal, llamaremos al polinomio minimal q A el invariante polinomial de E, con respecto a A, o simplemente su invariante. El siguiente teorema aplica los resultados de la sección 3 para generar una descomposición de un espacio vectorial inducida por un endomorfismo dado. Teorema 4.2. Sea K un cuerpo y E un K-espacio vectorial de dimensión finita, no nulo, y sea A End K (E). 1. E admite una descomposición en suma directa E = E 1... E r, donde cada E i es un K[A]-submódulo principal, con invariante q i 0 tal que q 1 q 2... q r. La sucesión (q 1,..., q r ) está unívocamente determinada por E y A. Además, q r es el polinomio minimal de A. 2. Existen polinomios mónicos irreducibles p 1,... p s K[t] y submódulos principales E 11,..., E 1k1, E 21,..., E 2k2, E 31,..., E sks 14

15 tales que E = s ki i=1 j=1 E ij y para cada i hay una sucesión no creciente de enteros es el invariante de E ij con respecto a / 1 i s; 1 j k i } está unívocamente s es el polinomio minimal de A. m i1 m i2... m iki 0 tal que p m ij i A Eij. La familia de polinomios {p m ij i determinada por E y A. Además, p m 11 1 p m p m s1 Los polinomios q 1,..., q r en 1. son llamados los factores invariantes de A. Los polinomios que son potencias de primos en 2. son los divisores elementales de A. La primera afirmación en 1. es simplemente reformular en el lenguaje de esta sección el teorema 3.13, ítem 1. Además es claro que q r (A) = 0, ya que q i q r i. Ningún polinomio de grado menor puede anular E, porque en particular no anula a E r. Así, q r es el polinomio minimal. La segunda parte del teorema se prueba de manera similar, aplicando el ítem 2 de Proposición 4.3. Sea K cuerpo, E K-espacio de dimensión finita, A End K (E). Luego E es un espacio A-cíclico y A tiene polinomio minimal q(t) = (t b) r (b K) si y sólo si dim K E = r y E tiene una base ordenada respecto de la cual la matriz de A es: b K b K b 0 0 N = b K b (2) La matriz de r r N es llamada matriz elemental de Jordan asociada a (t b) r K[t]. Sea B = A b1 E End K (E). Luego q = (t b) r es el polinomio minimal de A si y sólo si t r es el polinomio minimal de B (si y sólo si B es nilpotente). E tiene dos estructuras de K[t]-módulo inducidas por A y por B. Para cada f K[t] y v E, f(t)v en la estructura dada por A es el mismo elemento que f(t b)v en la estructura determinada por B. Así, E es A-cíclico si y sólo si E es B-cíclico. Como A = B + b1 E, la matriz de B relativa a alguna base ordenada es la matriz M asociada al polinomio t r si y sólo si la matriz de A relativa a la misma base es la matriz elemental de Jordan N = M + bi r asociada a (t b) r. Si aplicamos la proposición 4.1 a B y le sumamos bi r, obtenemos la conclusión del teorema. A fin de utilizar los resultados anteriores para obtener un conjunto de formas canónicas para la relación de similaridad en Mat n K = K n n, necesitamos el siguiente lema. Lema 4.4. Sea A End K (E), E K-espacio de dimensión finita n, K cuerpo. Para cada i = 1,..., t sea M i una matriz de n i n i sobre K, con n 1 + n n t = n. Luego E = E 1... E t, donde cada E i es un subespacio A-invariante y para cada i, M i es la matriz de A Ei relativa a alguna base ordenada de E i, si y sólo si la matriz de A relativa a alguna base ordenada de E es: 15

16 M 1 M 2 0 M =... 0 M t (3) Donde la diagonal principal de cada M i yace en la diagonal principal de M. Una matriz de la forma de M se dice ser la suma directa de las matrices M 1,..., M t (en ese orden). ) Para cada i, sea V i una base ordenada de E i tal que la matriz de A Ei relativa a V i es M i. Como E = E 1... E t, V = t i=1 V i es una base de E. Luego M es la matriz de A relativa a V, donde V está ordenada convenientemente. ) Sea U = {u 1,..., u n } es una base de E y M la matriz de A relativa a U. Sea E 1 el subespacio de E con base U 1 = {u 1,..., u n1 } y para i > 1, sea E i el subespacio de E con base U i = {u r+1,..., u r+ni }, donde r = n n i 1. Luego, E = E 1... E t, cada E i es A-invariante y M i es la matriz de A Ei relativa a U i. Teorema 4.5. Sea A End K (E), E K-espacio de dimensión finita n, K cuerpo. 1. E tiene una base relativa a la cual la matriz de A es la suma directa de las matrices asociadas a los factores invariantes q 1,..., q r K[t] de A. 2. E tiene una base relativa a la cual la matriz de A es la suma directa de las matrices asociadas a los divisores elementales p m ij i. 3. Si el polinomio minimal q de A se factoriza como q = (t b 1 ) r 1... (t b d ) r d (bi K), luego todo divisor elemental de A es de la forma (t b i ) j (j r i ) y E tiene una base relativa a la cual la matriz de A es suma directa de matrices elementales de Jordan asociadas a los divisores elementales de A. 3. Si q = (t b 1 ) r 1... (t b d ) r d, luego (t b1 ) r 1,..., (t b d ) r d son divisores elementales de A porque son potencias de primos y factores del minimal y por lo tanto todos los divisores elementales son de la forma (t b i ) j con j r i. Por el teorema 4.2 E se puede descomponer como suma directa de subespacios A-cíclicos E ij cuyos invariantes son los divisores elementales de A, (t b i ) i j. Por el teorema 4.3, dim K E ij = i j y E tiene una base ordenada en la cual la matriz de A Ei es la matriz elemental de Jordan asociada a (t b i ) i j. Así, para cada subespacio en la descomposición de E podemos escribir la matriz de A restringida a éste como una matriz elemental de Jordan. Por el lema 4.4, la matriz de A en alguna base ordenada de E es suma directa de matrices elementales de Jordan. Los ítems 1. y 2. se prueban de manera análoga, como consecuencia inmediata de los resultados 4.1, 4.2 y 4.4. Corolario 4.6. Sea M una matriz de n n sobre un cuerpo K. 16

17 1. M es similar a una matriz D tal que D es la suma directa de las matrices asociadas a una única familia de polinomios q 1,..., q r K[t] tal que q 1... q r. La matriz D está unívocamente determinada. 2. M es similar a una matriz N tal que N es la suma directa de matrices asociadas a una única familia de polinomios p m 11 1,..., p m sks s K[t] donde cada p i es primo en K[t]. N está unívocamente determinada salvo por el orden de las matrices asociadas a los p m ij i a lo largo de la diagonal principal. 3. Si K es algebraicamente cerrado, luego M es similar a una matriz J tal que J es una suma directa de matrices elementales de Jordan asociadas a una única familia de polinomios (t b) m (b K). J está unívocamente determinada salvo por el orden de las matrices elementales de Jordan a lo largo de la diagonal principal. Observación. Si K no es algebraicamente cerrado pero M es la matriz de una transformación A End K E tal que su minimal q A se factoriza como producto de factores lineales en K, también vale la conclusión del ítem 3. Probamos 2., siendo las pruebas de 1. y 3. similares, con la excepción de que en 1. se puede lograr un argumento de unicidad más fuerte, ya que los factores invariantes (y no así los divisores elementales) pueden ser unívocamente ordenados por divisibilidad. Sea φ : K n K n una transformación lineal con matriz M relativa a la base canónica. Por el teorema 4.5 vemos que M es similar a la matriz D que es la suma directa en algún orden de las matrices asociadas a los divisores elementales p m ij i de φ. Si M es también similar a D 1, donde D 1 es la suma de las matrices asociadas a una familia de polinomios (potencias de primos) f 1,..., f b K[t], luego D 1 es la matriz de φ relativa a alguna base de K n. Por la proposición 4.1 y el lema 4.4, K n = E 1... E b donde cada E i es un submódulo principal y f i es su invariante. La unicidad planteada por el teorema 4.2 implica que los polinomios f i son precisamente los divisores elementales p m ij i que D 1 difiere de D sólo en el orden de las matrices asociadas a los p m ij i diagonal principal. de φ, con lo a lo largo de la Los polinomios q 1,..., q r K[t] en 1. son los factores invariantes de la matriz M y los polinomios p m 11 1,..., p m sks s K[t] en 2. son los divisores elementales de M. La matriz D en 1. se dice que está en forma canónica racional o que es la forma canónica racional de M. De manera similar, la matriz N de la parte 2. se dice que está en la forma canónica racional primaria y la matriz J en 3. se dice que está en la forma canónica de Jordan. References [1] Hungerford, Thomas W, Algebra, Springer, 1974 [2] Lang, Serge, Algebra, Addison-Wesley Publishing Company,

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