X = beneficio del jugador = (ganancia neta) (recursos invertidos) Cuántos euros debo poner yo para que el juego sea justo?

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1 Ejemplo: el valor esperado y los juegos justos. En los juegos de azar es importante la variable aleatoria X = beneficio del jugador = (ganancia neta) (recursos invertidos) El juego consiste en una caja con 7 bolas blancas y 4 bolas negras. Tu pones 1 y yo pongo x. Sacamos una bola al azar. Si es negra, ganas tú (te quedas con 1+x ) Si es blanca, gano yo (me quedas con 1+x ) Cuántos euros debo poner yo para que el juego sea justo?

2 Ejemplo: media y varianza de una variable Bernoulli(p) Si X ~ Bernoulli(p), entonces, aplicando la definición, tenemos = 0 P(X=0) + 1 P(X=1) = 0 q + 1 p = p = (0 - p)² P(X = 0) + (1 p)² P(X = 1) = p² q + (1-p)² p = p² q + q² p = p q (p + q) = p q

3 Ejemplo: media y varianza de una variable B(n,p) Si llamamos Xi al i - ésimo experimento Bernoulli y X ~ B(n,p), se puede interpretar X = X1 + X Xn Podemos calcular la media y la varianza de X a partir de la de cada variable Bernuilli Xi?

4 OPERACIONES CON VARIABLES ALEATORIAS: Retomando el ejemplo anterior: E(X) = E(X1) + E(X2 ) E(Xn) = n p Var = Var(X1) + Var(X2 ) Var(Xn) = n p (1-p)

5 Un determinado carácter se hereda con probabilidad p = 0.15 Si la descendencia es de 50 individuos. Qué probabilidad hay de que al menos 30 presenten dicho carácter? de que lo presenten entre 17 y 31 individuos? Votaciones de las CUP El problema La solución

6 Ejemplo: en un referéndum (votar a favor o en contra) participan 3030 personas. Se estima que la probabilidad de votar a favor de la propuesta es 0.5 Cuál es el resultado esperado? Cuál es la probabilidad de empate? X= nº de votos a favor de entre 3030, con probabilidad de éxito = 0.5 Valor esperado = n p = = 1515 Probabilidad de empate P(X = 1515); cálculo con R, GeoGebra,...

7 La función de distribución (de probabilidad) de una variable aleatoria discreta es la función definida mediante: F (x )=P (x X ) para cualquier número real x. Observa que La función de densidad se corresponde con la frecuencia relativa. La función de distribución se corresponde con la frecuencia relativa acumulada. Función de densidad de probabilidad Función de distribución de probabilidad

8 Ejemplo. El experimento consiste en lanzar 5 veces un dado, X = nº de seises en 5 lanzamientos. Éxito = sacar 6. X ~ B(5, 1/6) X P(X = x) P(x<=X) Probabilidad de obtener 2 seises? P(X=2) = Probabilidad de obtener entre 2 y 4 seises? P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = = P(X<=4) P(X<=1) = = Probabilidad de obtener más de 1 seis? P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) 1- P(X<=1) = =

9 c PFM Biología de la Conservación Gestión de Ecosistemas Tomás González Sousa

10 PFM Biología de la Conservación Gestión de Ecosistemas Tomás González Sousa

11 Foto de Castro et al (en revisión)

12 Recuento ficticio Simplifica cálculos Foto de Castro et al (en revisión) Distancia metros Número bellotas 0 a a a a a 50 5 Fabricar una función que permita calcular la probabilidad de que se esconda una bellota a una determinada distancia del comedero. Suponer que la distancia máxima es 50 metros Suponer que las bellotas se distribuyen uniformemente en cada clase Nota: en esta publicación se trabaja un problema análogo, pero con urracas y nueces

13 Ejemplo. Una aproximación a la variable aleatoria continua. X = distancia a la que hay (al menos) una bellota escondida.

14 Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua. Sección 5.5 del libro (pero hemos dado un pequeño salto)

15 Ejemplo: la siguiente es una función de densidad de probabilidad de una variable continua Calcular la probabilidad P (0 X 1) Usa una máquina, como Wolframalpha, GeoGebra, Wiris,...

16 Función de soporte compacto en el intervalo [a, b]: es una función que vale 0 fuera de ese intervalo. Ejemplo: Comprobar que es una función de densidad de probabilidad. Calcular P (0 X 1) P (1/4 X 1/2) Sol: 0.5 y 0.11, respectivamente

17 Sumas de Darboux Ejemplo: calcular el valor esperado de la función Sol: 0.1

18 Ejemplo: calcular la varianza de la función Sol: 0.2

19 La función de distribución de una v.a. continua: Es el equivalente a la función de probabilidad acumulada y, en le caso de una variable aleatoria continua está definida por k F (k)=p (X k)= f ( x)dx Donde f(x) es la función de densidad de X y k es un número cualquiera Ejercicio: Calcular la función de distribución de probabilidad del ejemplo del arrendajo Ejercicio: si X tiene por función de densidad de probabilidad calcular su función de distribución de probabilidad. Sección 5.5 del libro

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