Variable Aleatoria Continua. Principales Distribuciones

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1 Variable Aleatoria Continua. Definición de v. a. continua Función de Densidad Función de Distribución Características de las v.a. continuas continuas Ejercicios Definición de v. a. continua Las variables aleatorias continuas se definen sobre espacios muestrales infinitos no numerables, es decir, toman un número de valores infinito. Se representan mediante letras mayúsculas y pueden tomar como posibles valores: X = { x 1, x 2,..., x i,..., x n, } Se suele comentar que las variables aleatorias discretas son el resultado de contar (edad de una persona, nº de hijos, nº de hermanos, nº de veces que aparece cara en un lanzamiento de moneda, nº de puntos de un dado, etc ), mientras que las variables aleatorias continuas son el resultado de medir (velocidad media de un automóvil, talla y peso de una persona, etc ) Ejemplo: Si consideramos la variable aleatoria altura de las personas españolas mayores de 21 años, esta variable puede tomar infinitos valores, ya que entre cualesquiera dos valores, digamos y 164.5, pueden darse infinitos valores de altura, uno de los cuales es exactamente el 164.

2 Función de Densidad: f(x) Sea (Ω, (Ω), P) un espacio de probabilidad y X una v. a. c. Se llama función de densidad, f(x), a una función real no negativa, tal que a, b R, con - a b : y que verifica: (i) f(x) 0 (ii) Gráficamente se representa mediante una curva. Observación f(x) no representa la probabilidad de nada, es sólo al integrar cuando obtenemos probabilidades. Función de Distribución, F(x) Sea (Ω, (Ω), P) un espacio de probabilidad, X v. a. continua, {x i } i = 1.. los valores que toma y f(x) la función de densidad de X. Se llama función de distribución (acumulativa) de la v.a.c. X, F(x), a la probabilidad de que X sea menor o igual que x; es decir: Que cumple las siguientes propiedades: (i) F(- ) = 0 (iii) F( ) = 1 (v) F es monótona no decreciente, es decir, si x i x j entonces F(x i ) F(x j ) (vi) F es continua (vii) Si f(x) es continua, entonces F(x) es derivable y (viii) P(a X b) = F(b) - F(a) =

3 Función de Distribución, F(x) Gráficamente resulta: Características de las v.a. continuas Se trata de resumir la información de una variable aleatoria en un conjunto de medidas (números). Esperanza: Sea X una v. a. c. El valor esperado o esperanza matemática de X, denotada por E(X) o por µ, se define como: E(X) es un valor fijo que depende de la distribución de probabilidad de X. Está medida en las mismas unidades que X. Propiedades de la esperanza: (i) Si C es una constante, entonces E(C) = C. (ii) Linealidad: E(aX + b) = ae(x) + b, a, b R (iii) Si g(x) es una función de X, entonces: (iv) Si g(x), h(x) son funciones de X, entonces E[g(X)+h(X)]=E[g(X)]+E[h(X)] (v) E[g(X)] E[ g(x) ]

4 Características de las v.a. continuas Varianza: Sea X una v. a. d. La varianza de X se denota con Var(X), V(X) o σ 2 y se define como La raíz cuadrada positiva de la varianza se llama desviación típica y se denota con σ. Tanto la varianza como la desviación típica miden la dispersión de la v.a. respecto a su media. Observaciones: - La varianza y la desviación típica son cantidades positivas. - La desviación típica está medida en las mismas unidades que la v.a. Propiedades de la varianza: (i) Si C es una constante, V(C)=0 (ii) V(X) = E(X 2 ) - E 2 (X) (iii) Si a y b son constantes: V(aX+b) = a 2 V(X) La desviación media se define como la esperanza de X-µ. R 2 V ( X ) = ( X µ ) f ( x) dx Como ocurría con las variables aleatorias discretas, en la práctica, la función de densidad de la mayoría de las variables continuas se ajusta a un modelo teórico expresado mediante una fórmula concreta. Veremos los más habituales. V.A. CONTINUAS Normal N(µ, σ) Chi-Cuadrado de Pearson χ 2 t de Student F de Fisher-Snedecor

5 Distribución Normal N(µ,σ) Es el modelo de distribución más utilizado en la práctica, ya que: 1. Multitud de fenómenos se comportan según una distribución normal. (distribución de pesos, alturas, coeficientes de inteligencia, errores en la medida, etc ) 2. Es la distribución muestral de varios estadísticos maestrales, tales como la media, etc 3. Es una buena aproximación de otras distribuciones (así la distribución de una variable binomial, de Poisson, etc son aproximadamente normales). Se dice que una variable aleatoria continua sigue una distribución normal si su función de densidad viene dada por la expresión: Esta distribución viene definida por dos parámetros: µ: es el valor medio de la distribución y es precisamente donde se sitúa el centro de la curva (de la campana de Gauss). σ: es la desviación típica. Indica si los valores están más o menos alejados del valor central Se caracteriza porque la gráfica de la función de densidad forma una curva, simétrica respecto a un valor central que coincide con la media de la distribución, y se extiende sin límite, tanto en la dirección positiva como negativa del eje X, de forma asintótica (campana de Gauss). Por ser función de densidad, el área total encerrada bajo la curva y sobre el eje X es igual a 1. Un 50% de los valores están a la derecha de este valor central y otro 50% a la izquierda.

6 La curva de cualquier función de densidad está construida de tal modo que el área bajo la curva, limitada por los dos puntos x = a y x = b es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria X asuma un valor entre x = a y x = b. Es posible transformar todas las observaciones de cualquier v. a. X con distribución normal a un nuevo conjunto de observaciones de una variable aleatoria normal Z con media 0 y varianza 1. Esta distribución normal se denomina normal tipificada, y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribución. Para transformar una v. a. X en una normal tipificada se crea una nueva variable (Z) que será: µ Z = X σ Por tanto: xi µ P( X xi ) = P Z σ a µ b µ P( a X b) = P Z σ σ

7 X 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5723 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7090 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7813 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8416 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , ,99861 Cómo se lee esta tabla? La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer. La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando. Los valores del interior de la tabla representan áreas (o probabilidades)

8 Llamaremos z α al punto del eje OX que deja a su izquierda un área α en la curva, es decir P( Z zα ) = α Como la curva normal es simétrica respecto a su media y esta, en el caso de la normal tipificada (que es la tabulada) es 0, se verifica z α = z 1 α Hay ocasiones en que estamos interesados en conocer el punto del eje OX que deja a su izquierda, bajo la curva normal tipificada, un área α. En estos casos buscamos en el interior de la tabla el valor más cercano a α, y las coordenadas de la fila-columna de la posición de ese valor nos da el punto buscado. Aproximación de la Binomial a la Normal. Distribución Binomial: Si n es pequeña Las probabilidades se obtienen de la fórmula de la binomial o de su tabla acumulada. Si n es grande Las probabilidades se obtienen por aproximación. Aproximación discreta (la de Poisson) para aproximar probabilidades de la binomial cuando n es grande y p cercana a 0 ó a 1 (1-p cercano a 0). Aproximación continua (la normal) para aproximar probabilidades de la binomial es excelente cuando n es grande (n >30) pero sigue siendo buena para valores relativamente pequeños de n, siempre y cuando p esté cercano a 0.5. (np y nq ambos 5). Cuidado con las probabilidades asociadas a los puntos extremos de los intervalos considerados Corrección de continuidad

9 Ejemplo: Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas, de las cuales sólo 1 es la correcta. Cuál es la probabilidad de que un alumno que contesta al azar 80 de ellas acierte entre 25 y 30? La probabilidad de una respuesta correcta para cada una de las 80 respuestas es p=1/4. X = nº de respuestas correctas de las 80 contestadas X B(80, ¼) 30 P(25 X 30)= b( x;80, 1 ) 4 x= Usamos la aproximación a la normal con µ = np = 80. ¼ = 20 y σ = npq = 80 = Se necesita conocer el área entre 24.5 y 30.5 (por la corrección de continuidad). Los correspondientes valores de Z son: Z1 = = Z 2 = = La probabilidad de responder correctamente de 35 a 30 preguntas la proporciona el área comprendida entre estos dos valores bajo la curva de la normal estándar P(25 X 30) = 30 x= 25 b ( x;80, 1 ) P(1.16 < Z < 2.71) = 4 = P( Z < 2.71) P( Z < 1.16) = =

10 Distribución Chi - Cuadrado de Pearson χ 2 k Aproximación de χ 2 a la Normal

11 Distribución t de Student t k Distribución F de Fisher-Snedecor F k1,k2

12 Ejercicios Ejercicio 4.1 La variable X=" nº de centímetros a que un dardo queda del centro" al ser tirado por una persona, se observó que tenía por función de densidad f(x): k 0<x<10 0 restantes casos Se pide: a) Hallar k para que f(x) sea función de densidad. Representarla b) Hallar la función de distribución. Representarla c) Media, Varianza y Desviación Típica. d) P(X 1) e) Probabilidad de acertar en la diana. Ejercicio 4.2 Se emplean calibradores para rechazar todos los componentes en los cuales haya cierta dimensión cuya medida no esté dentro de las especificaciones 1.5 ± d. Se sabe que esta medida tiene una distribución normal con media 1.5 y desviación estándar de 0.2. Determine el valor de d, de modo que las especificaciones cubran el 95% de las medidas. Ejercicios Ejercicio 4.3 En la observación del nº de glóbulos rojos (en millones) de los habitantes de una gran ciudad se observó que seguían aproximadamente una distribución normal de media 4.5 y desviación típica 0.5. Se pide calcular: a) Probabilidad de que un habitante tomado al azar tenga más de cinco millones de glóbulos rojos. b) Tanto por ciento de la ciudad con menos de 3.75 millones c) Nº de glóbulos rojos del 20 por 100 más alto de la ciudad d) Nº de glóbulos rojos del 10 por 100 más bajo de la ciudad e) Nº de glóbulos rojos del 80 por 100 más próximo a la media

13 Ejercicios Ejercicio 4.4 Un biólogo comprobó que la probabilidad de que al inyectar a una rata un determinado producto sobreviviera después de una semana era de 0.5. Si el biólogo inyectó el producto a un lote de 100 ratas. Se pide calcular: a) Probabilidad de que vivan más de 65 b) Probabilidad de que vivan entre 40 y 60 c) Probabilidad de que vivan menos de 30 d) Probabilidad de que vivan más de 45. Qué significa esta probabilidad? Ejercicio 4.5 Una variable aleatoria sigue una distribución χ 2 de Pearson. Se pide calcular: a) Los puntos críticos: χ ;5 χ2 0.01;26 χ ;8 χ2 0.08;10 b) Las probabilidades: P(χ ); P(χ ); P(χ2 10 4); P(χ ); Ejercicios Ejercicio 4.6 Una variable aleatoria sigue una distribución t de Student Se pide calcular: a) Los puntos críticos: t 0.20;20 t 0.99;10 t 0.25;10 b) Las probabilidades: P(t ); P(t 8 1.2); P(-0.5 t 6 0.6); P( t 24 >2) Ejercicio 4.7 Una variable aleatoria sigue una distribución F de Fisher-Snedecor Se pide calcular: a) Los puntos críticos: F 0.1;10,12 F 0.05;5,24 F 0.90;28,30 b) Las probabilidades: P(2 F 10; )

14 Ejercicios Ejercicio 4.8 La población de sujetos tallados en el servicio militar se distribuye en X: altura N (1,69; 0,01) y en Y: peso N (68,2; 1,80). Suponiendo que ambas variables son independientes en la población y que seleccionamos una muestra aleatoria de 10 sujetos: a) Cuál es la probabilidad de que su estatura esté comprendida entre 1,65 y 1,70 m.? b) Cuál es la probabilidad de que su altura y peso sean superiores a 1,72 m. y 65 kg.? c) Cuáles son los pesos que delimitan al 50 por 100 central de los sujetos? d) Si creamos la nueva variable: W = 2 X: Calcule E(W), σ 2 (W) y P(3,32 W 3,40) Ejercicios Ejercicio 4.9 La variable extroversión (X) se distribuye según el modelo normal con media 50 y desviación típica 10. Conteste a las siguientes preguntas: a) Probabilidad de que los sujetos obtengan como mucho una puntuación de 35 b) Probabilidad de que los sujetos obtengan una puntuación mayor de 60 en extroversión c) Calcule la puntuación en extroversión que deja por debajo de sí al 80% de los sujetos d) Probabilidad de observar un valor comprendido entre 42 y 59 e) Calcule la puntuación que corresponde al centil 90 en directas, diferenciales y típicas f) Calcule los valores que acotan el 50% central de sujetos g) Calcule la puntuación S que corresponde al centil 75 (siendo S= 2 zi+5) h) Si se extrae una muestra aleatoria de 25 alumnos, cuál es la probabilidad de que su media aritmética sea mayor de 55?

15 Ejercicios Ejercicio 4.10 La variable U se distribuye según χ 2 con 9 grados de libertad, la variable V se distribuye según t de student con 15 grados de libertad y la variable W se distribuye según F de Snedecor con 6 y 8 grados de libertad. Según esto conteste a las siguientes preguntas: a) Probabilidad de que la variable U adopte como mucho el valor 8 b) Puntuación U tal que la probabilidad de obtener como máximo ese valor sea 0,70 c) Probabilidad de observar valores en la variable V entre -1,341 y 2,602 d) Calcular la puntuación V que corresponde al centil 80 e) Probabilidad de que la variable W adopte como mínimo el valor 4,65 f) Puntuación W que corresponde a la probabilidad acumulada de 0,90

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